2025年河南中考數(shù)學(xué)培優(yōu)能力提升練習(xí)題（含答案）

2025年河南中考數(shù)學(xué)培優(yōu)能力提升練習(xí)題

考試時(shí)間：100分鐘；總分：120分

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為（）

1

-23C-O

A.B.-3D.

2.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年舉行,下列圖形是本屆奧運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目圖標(biāo)，其中屬于

3.中國(guó)倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國(guó)與世界各國(guó)的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆

蓋總?cè)丝诩s為4500000000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.45X108B.4.5X109C.4.5X108D.4.5X1O10

4.下列計(jì)算正確的是（）

A.a'cr—a'B.c^-^a—c^C.(x2)3=彳9D.2m+3n=5mn

5.中秋節(jié)吃月餅是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，小穎媽媽買了2個(gè)五仁月餅、3個(gè)蓮蓉月餅、5個(gè)豆沙月餅,

月餅除內(nèi)部餡料不同外其他均相同.小穎隨意吃一個(gè)，吃到五仁月餅的概率是（）

1131

A.-B."C.-D.-

105102

6.某公司統(tǒng)計(jì)了今年4月份銷售部10名員工銷售某種商品的業(yè)績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

每人銷售量/件490260220160

人數(shù)/人1252

則這10名銷售人員4月該商品銷售量的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

A.220,220B.260,240C.220,240D.260,220

7.已知6-3%W4x-8V3（x-1）,其解集在數(shù)軸上表示正確的是（)

A.-2-1012345678

B.-2-1012345678

C.-2-1012345678

D.-2-1012345678

8.“抖空竹”是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，也是大家鐘愛(ài)的運(yùn)動(dòng)之一.在公園里，小聰看到小女孩在

抖空竹（圖1）,抽象得到圖2,在同一平面內(nèi)，已知A5〃CD,ZA=70°,ZECZ）=110°,則

圖1圖2

A.20°B.30°C.40°D.50°

9.如圖，函數(shù)y=2x和>=以+4的圖象相交于A（m,4）,則不等式2xVQx+4的解集為（）

A.x>2B.x>4C.x<2D.x<4

10.下面說(shuō)法中，不正確的是（）

A.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)

B.一個(gè)數(shù)除以真分?jǐn)?shù)，結(jié)果都大于原數(shù)

C.當(dāng)a=l時(shí)，3a和/不相等

D.一個(gè)長(zhǎng)方體最多有2個(gè)面是正方形

E.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，是正確的

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.因式分解：ab-ac—.

12.若\0-2024有意義,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

13.若點(diǎn)尸（m,m-1）在y軸上，則點(diǎn)尸關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為.

14.2015年8月，美國(guó)某研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了一種完美五邊形（如圖），相互結(jié)合后可完全鋪滿平面，

是全球第15種能做到此效果的五邊形.這個(gè)新五邊形中四個(gè)角的度數(shù)分別為60°、135。、105°、

90°,請(qǐng)問(wèn)第五個(gè)角的度數(shù)是.

15.把圖1中周長(zhǎng)為24c%的長(zhǎng)方形紙片分割成四張大小不等的正方形紙片A、B、C、。和一張長(zhǎng)方

形紙片E,并將它們按圖2的方式放入周長(zhǎng)為360fl的長(zhǎng)方形中.設(shè)正方形C的邊長(zhǎng)為xcm正方

形。的邊長(zhǎng)為yew.則圖2中陰影部分的周長(zhǎng)與正方形A的周長(zhǎng)之比為.

三.解答題（共8小題，滿分75分）

16.（9分）（1）計(jì)算：9（x+1）2-（3尤+2）（3%-2）；

2x

（2）解方程：---------=1.

1-xx-1

17.（9分）為迎接學(xué)?！坝⒄Z(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”大賽，某班在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加，在相同的測(cè)試

條件下，兩人5次測(cè)試成績(jī)（單位：分）如下：

甲：28,28,27,28,29.

乙：25,29,27,30,29.

（1）下列表格中的a=，b=,c=；

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲282828C

乙a29b3.2

（2）班主任根據(jù)這5次的測(cè)試成績(jī)，應(yīng)選擇誰(shuí)參加學(xué)?！坝⒄Z(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”大賽更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（9分）已知關(guān)于x的方程（%-1）尤2+加什1=0.

（1）求證：不論相取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)相為何正整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（m-1）/+〃a+1=0有兩個(gè)整數(shù)根？

19.（9分）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB是。。的直徑，。是。。上的一點(diǎn)，C。平分NBC。，AB

與C。相交于點(diǎn)E.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作O。的切線，交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?,sin2=g時(shí)，求CP的長(zhǎng).

20.（9分）列方程解決實(shí)際問(wèn)題：

2024年12月2日，中央廣播電視總臺(tái)《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》發(fā)布官方吉祥物形象“巳（si）

升升”，祝福全球華人在新的一年如意康寧，好事連連.2025蛇年春晚吉祥物的設(shè)計(jì)是從中華傳

統(tǒng)文化中尋找的靈感，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨態(tài)可掬，又富有古意.

某商店銷售A,8兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價(jià)比8款吉祥物的單價(jià)高20元.若

顧客花800元購(gòu)買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購(gòu)買B款吉祥物的數(shù)量相同，則A,B兩款吉祥

物的單價(jià)分別是多少元？

21.（9分）綜合實(shí)踐

設(shè)計(jì)“腳手架”支桿的長(zhǎng)度

材料1為培養(yǎng)學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐能力，

某學(xué)校在校西南角開(kāi)辟出一

塊勞動(dòng)實(shí)踐基地.如圖是其

中蔬菜大棚的橫截面，它由

拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)

成.已知矩形的長(zhǎng)BC=12

A

米，寬A8=3米，拋物線最D

高點(diǎn)E到地面BC的距離為7E01C%

米.

材料2冬季到來(lái)，為防止大雪對(duì)大

棚造成損壞，學(xué)校決定在大4

棚兩側(cè)安裝兩根垂直于地面N

A

且關(guān)于y軸對(duì)稱的支撐柱P。D

和如圖所示EQO\MC3

材料3為了進(jìn)一步固定大棚，準(zhǔn)備

在兩根支撐柱上架橫梁

PN.搭建成一個(gè)矩形“腳手

架”PQMN,如圖所示.

問(wèn)題解決

任務(wù)1確定大棚形狀按如圖所示建立平面直角坐

標(biāo)系，求拋物線AEZ）的函數(shù)

表達(dá)式.

任務(wù)2嘗試計(jì)算間距若兩根支撐柱尸。的高

度均為6米，求兩根支撐柱

PQ,之間的水平距離.

任務(wù)3探索最優(yōu)方案為了進(jìn)一步固定大棚，準(zhǔn)備

在兩根支撐柱上架橫梁

PN.搭建成一個(gè)矩形“腳手

架”PQMN,求出“腳手架”

三根支桿PQ、PN、MN的長(zhǎng)

度之和的最大值.

22.（1。分）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=中』』經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-5,0）和點(diǎn)8

(1,0).

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸是拋物線上A,D之間的一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作PEL無(wú)軸于點(diǎn)E.PGLy軸，交拋物線于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)G作GFLx軸于點(diǎn)F,當(dāng)矩形PEFG的周長(zhǎng)最大時(shí).求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2,連接A。，BD,作08,無(wú)軸于點(diǎn)"把△即距沿著射線AD方向平移，點(diǎn)。在射

線上移動(dòng)的距離為機(jī)個(gè)單位，如果平移后的三角形恰好和拋物線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接

寫出m的取值范圍.

圖1圖2

23.（11分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在正方形ABC。中,點(diǎn)E在A8的延長(zhǎng)線上，連接AE,過(guò)

點(diǎn)Z）作。尸_LZ）E交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求證：DE=DF.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在菱形ABCQ中，ZABC=60°，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)E在AB的延

長(zhǎng)線上，連接ER以E為頂點(diǎn)作/EG交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若巴=AB=4,

EG4

BF=2,求CG的長(zhǎng).

【拓展提升】（3）如圖3,在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)尸在AB的延長(zhǎng)線上，連接8。,

EF,過(guò)點(diǎn)C作CG//BD,以E為頂點(diǎn)作/FEG=NBBD,EG交CG于點(diǎn)G,若AD=mAB,DE

=nAD＞求,值（用含〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2圖3

參考答案

一.選擇題(共10小題，滿分30分，每小題3分)

1.解：-2U-gV0<3,

，最小的數(shù)是：-2.

選：A.

2.解：A、圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

3、圖形是不軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

。、圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，

選：C.

3.解：4500000000=4.5XI09.

選：B.

4.解：A.a'a2=a3,選項(xiàng)A符合題意；

B.a6^-a—a5,選項(xiàng)2不符合題意；

C.(x2)3=x6,選項(xiàng)C不符合題意；

D.2m+3〃不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)。不符合題意；

選：A.

5.解：???小穎媽媽買了2個(gè)五仁月餅、3個(gè)蓮蓉月餅、5個(gè)豆沙月餅,

.2’1

,,D尸王二-2+3+5-.5-

選：B.

6.解：：第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)都是220,

220*220

.?.這10名銷售人員4月該商品銷售量的中位數(shù)是---------二220,

V220出現(xiàn)的次數(shù)最多，

,這10名銷售人員4月該商品銷售量的眾數(shù)是220

選：A.

7.解：由題意得f-3XW4X-81,

l4x-8<3(x-l)?

由①得，尤》2,

由②得，尤<5,

不等式組的解集為：2Wx<5,

在數(shù)軸上表示為：

-2-101234567

選：A.

8.解：延長(zhǎng)DC交AE于

'：AB//CD,

：.ZCME^ZA=70°,

VZECZ)=110°,

/E=ZDCE-ZCME^40°.

解得：x=2,

AA(2,4),

由圖象得：不等式2x<ox+4的解集為：x<2,

選：C.

10.解：A.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，是正確的；

B.-5-10,-10<-5,是不正確的；

C.當(dāng)a=l時(shí)，3a=3,?3=1,不相等，是正確的;

D.是正確的.

選：B.

二.填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)

11.解：ab-ac—a(b-c).

答案為：aQb-c）.

12.解：由于負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以\a-2024有意義時(shí),有。-202420,

所以“22024,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a22024,

答案為：aN2024.

13.解：：點(diǎn)尸（777,777-1）在y軸上，

??in^~0,

??m-1=-1,

：.P（0,-1）,

???點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（0,1）.

14.解：五邊形的內(nèi)角和為180°X（5-2）=540°,

則第五個(gè)角的度數(shù)為540°-60°-135°-105°-90°=150°,

答案為：150°.

15.解：長(zhǎng)方形E的寬為（x-y）cm,

正方形A的邊長(zhǎng)為（%+y）cm,

正方形8的邊長(zhǎng)為（%+2y）cm,

長(zhǎng)方形E的長(zhǎng)為（%+3y）cm,

.*.2（x+x+3y+x+x+y）=24,

.?.x+y=3,

2(x+y+x+2y+x-y+x+y+MN)=36,

:?MN=(18-4x-3y)cm,

.陰影部分的周長(zhǎng)

=2(AfN+x+y+x+2y+x-y)

=2(18-4x-3y+x+y+x+2y+x-y)

=2(18-x-y)

=36-2(x+y)

=36-2X3

=30(cm).

;正方形A的周長(zhǎng)=4(x+y)=12(cm).

30：12=5：2.

答案為：5：2.

三.解答題(共8小題，滿分75分)

16.解：(1)9(尤+1)2-(3x+2)(3尤-2)

=9(jr+2x+l)-(9X2-4)

=9/+18x+9-9$+4

=18x+13；

2x

(2)——-——=1,

1TX-1

方程兩邊都乘1-%,得2+x=l-x,

解得：

檢驗(yàn)：當(dāng)一之時(shí)，1-xWO,

所以4一;是分式方程的解，

即分式方程的解是

17.解：(1)乙的平均數(shù)a=正因售西@=28,

乙的中位數(shù)6=29,

222

甲的方差=gx=[3X(28-28)+(27-28)+(29-28)]=0.4:

答案為：28,29,0.4；

(2)甲參加學(xué)?！坝⒄Z(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”大賽更合適,

理由：因?yàn)榧灼骄煽?jī)等于乙的平均成績(jī)，且甲的方差較小，即甲的成績(jī)穩(wěn)定，所以選甲參加學(xué)

?！坝⒄Z(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”大賽更合適.

18.(1)證明：當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，A—m2-4(m-1)=(m-2)2^0,

...一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)m=1時(shí)，方程為尤+1=0,有實(shí)數(shù)根，

綜上，不論相取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：?方程(ZMT)=0有兩個(gè)整數(shù)根，

.??方程為一元二次方程，即加W1,

由根與系數(shù)關(guān)系得到：尤1工2=高，

又和暇為整數(shù)，且比為正整數(shù)，

??TYl~11,

解之得：m=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)X1=X2=-1符合題意.

19.解：(1)如圖，直線。產(chǎn)為所求;

?：OB=OC,

:?/B=/OCB,

?：NB=ND,

：.ZOCB=ZD,

J.AD//OC,

?「CT為。。的切線,

???OCLCF,

：.DF.LCF,

：.ZCFD=90°,

是O。的直徑，

ZACB=90°,

在RtAACB中,,：sinB=蛋=方

3

Sxl0=6,

VZACF+ZOCA=90°,ZOCB+ZOCA=90°,

：.ZOCB=ZACFf

?:/B=/OCB,

：./ACF=/B,

在RtAACF中,,.,sin/ACf==sinB=g,

3

SX6=185

:?CF=vXL-A產(chǎn)=j62-(y)3=y

20.解：設(shè)B款吉祥物的單價(jià)為尤元，則A款吉祥物的單價(jià)為（x+20）元,

800600

根據(jù)題意得：——=—

*+20X

解得：x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=60是所列方程的解，且符合題意,

/.尤+20=60+20=80,

答：A款吉祥物的單價(jià)為80元，2款吉祥物的單價(jià)為60元.

21.解：任務(wù)1：???四邊形A8CO是矩形,

：.AD=BC=12(米)，

.?.點(diǎn)4(-6,3),點(diǎn)。(6,3),

根據(jù)題意和圖象可得，頂點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（0,7）,

可設(shè)拋物線的解析式為：y=af+7,

把點(diǎn)A（-6,3）代入解析式可得：36『+7=3,

1

-

9

拋物線的解析式為：i+7；

1

-X3+76

任務(wù)2：當(dāng)y=6時(shí),9=

解得x=±3,

V3-(-3)=3+3=6(米)，

兩根支撐柱之間的水平距離為6米；

任務(wù)3：設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為［”t,PQ、PN、MN的長(zhǎng)度之和為w米,

則PN=2m,PQ=M.Y=—gm：+7,

2

-2+

9372

2

.

9

上9_r士曰/擊曰_r/擊^37

當(dāng)m=s時(shí)n，w有取大值，取大值為一，

22

“腳手架”三根支桿尸。，PN,MN的長(zhǎng)度之和的最大值為二米.

2

22.解：(1):拋物線r=-1t：+，br+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5,0)和點(diǎn)8(1,0)，

O

.?.拋物線的解析式為產(chǎn)一一竽，+等

4粕4

>.*-\

-X一)

一

=一

-209一z

-Q9(X4+-2

4

2,

(2)設(shè)尸(處-1后-竽m+挈),-5<m<-2,

則尸石=-施:-竽加+尋OE=-m,

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交尤軸于點(diǎn)如圖,

：.EH=OE=OH=-m-2,

由題意：直線為矩形尸石尸G的對(duì)稱軸，

：.EH=FH=-m-2,

:,EF=2EH=-2m-4,

??,四邊形尸跖G為矩形，

41620

PE—GF—--n7?——in?PG—EF--2m-4,

999

???矩形尸E尸G的周長(zhǎng)=2(PE+EF)

=2[—gm，—竽■+等+(-2m-4)]

8.6832

二一嚴(yán)----T-m——

?-|VO,

.?.當(dāng)-1時(shí)，矩形PEFG的周長(zhǎng)取得最大值為堊,

419

...點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一早；

(3)由題意得：0H=2,08=1,DH=4,

；.BH=0B+0H=3,

=芋=5.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n,

.次+八一0

?,1-2k+”=4,

4

=-5

解浮4

=5

「?直線BD的解析式為尸-31+§?

①當(dāng)平移后的三角形的頂點(diǎn)H恰好在拋物線上時(shí)，如圖,

設(shè)平移后的。，H,5的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為/，延長(zhǎng)》H,交兄軸于點(diǎn)“，則MLOB,

HH'//AD,

???△〃HMs叢DBH,

HHfHM

BD-OB

mHM

二

二

：.HM=-

-

3

：?OM=HM-0H=gm-2,

3

*.M(-m-2,0),

5

4334

-Z2\?2034

一

一

m(1一m

=-一16--_=

：.MH'9s2)9K79

525

設(shè)直線AD的解析式為y=ax+d,

?,?直線AD的解析式為尸打李

43704

D'M=-z(—m-2)+虧=-m+4,

3535

7

：.D'H'=D'M-H'M=4^-

,:D'H'=DH=4,

424

?7r+一機(jī)=4,

255

解得：m=_坐亙或舊工^（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），

②當(dāng)平移后的三角形的。'H'邊與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖,

設(shè)平移后的。，H,8的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為。），延長(zhǎng)。'H'交無(wú)軸于點(diǎn)則X'M±OB,

.HrKDM

HHf~BD

設(shè)直線。'B'的解析式為y=-

y=~=-x+e

4U

-

93290

rk=X-舞TX-+

4

3

20

9+e

4x2+4x+9e-20=0.

A=42-4X4(9e-20)=0,

7

-

e=3

47

-

...直線O'B'的解析式為y=丁3

74

?,.叢BHD沿著y軸方向平移了二一一=1個(gè)單位,

：.MH'=1,

.14

??'=一,

HH，5

5

-

4

5；5

.??如果平移后的三角形恰好和拋物線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，山的取值范圍為：-<m<-V-

42

23.(1)證明：：四邊形ABC。是正方形，

.?./A=/AOC=/OCB=90°,AD=CD=BC=CA,

r.ZDCF^ZDCB^ZA=90°,

?:DELDF,