2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練：圓中三角形相似與三角函數(shù)的綜合練習(xí)（含答案）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中三角形相似與三角函數(shù)的綜合練習(xí)

1.如圖，點(diǎn)。在以A2為直徑的。。上，過。作。。的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,AE±CD

于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，連接AO,FD.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：DF*AC=AD'DC；

(3)若sin/C=1,AD=4VT0,求EF的長(zhǎng).

q

2.如圖1,。為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑2A的延長(zhǎng)線上，且/CD4=/C2D

(1)判斷直線CO與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

1

(2)若tan/ADC=W，AC=2,求的半徑；

(3)如圖2,在(2)的條件下，NADB的平分線DE交。。于點(diǎn)E,交A3于點(diǎn)R連

結(jié)BE.求sin/OBE的值.

3.如圖，在中，ZAOB=90°,以點(diǎn)。為圓心，0A為半徑的圓交AB于點(diǎn)C,

點(diǎn)。在邊。8上，且CD=BO.

(1)判斷直線CD與O。的位置關(guān)系，并說明理由;

24

(2)已知tan/OOC=號(hào)，AB=40,求OO的半徑.

4.如圖，。。是△A2C的外接圓，AD是O。的直徑，歹是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接CD,

CF,且/OCE=/C4D.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)若cosB=g,AD=2,求FD的長(zhǎng).

5.如圖，A8為。。的直徑，直線/與OO相切于點(diǎn)C,AD±l,垂足為。，交。。于點(diǎn)

E,連接CE.

(1)求證：ZCAD=ZCAB；

1

(2)若EC=4,sinZCAD=求。。的半徑.

6.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的交BC于點(diǎn)。，DE_LAC交BA的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)E

(1)求證：是。O的切線;

(2)若AC=6,tanE=*求AF的長(zhǎng).

q

7.如圖，在。。中，是直徑，C。是弦，AB±CD,垂足為P,過點(diǎn)。的。。的切線與

AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證：CE為。。的切線；

(2)若。。半徑為3,C￡=4,求sin/DEC.

8.如圖，已知A。，跖是。。的直徑，AD=6y/2,。0與E1OABC的邊AB,OC分別交于

點(diǎn)、E,M,連接C。并延長(zhǎng)，與AP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,ZAFE=ZOCD.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若GF=1,求cos/AEP的值；

(3)在(2)的條件下，若NA3C的平分線交CO于點(diǎn)X,連接A8交。。于點(diǎn)N,

9.如圖，A3為。。的直徑，C為。。上的一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C

的切線C?；ハ啻怪保棺銥镋,AE與OO相交于點(diǎn)尸，連接AC.

(1)求證：AC平分NEAB；

(2)若AE=12,tanZCAB=^-,求OB的長(zhǎng).

10.如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于O。，2D為直徑，血上存在點(diǎn)E,滿足冠=前，連結(jié)

BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BE與AD交于點(diǎn)G.

(1)若/￡)BC=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示NAGB.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若tan/AZ)B=*，求△FGO的周長(zhǎng).

②求CG的最小值.

11.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,是NBAC的平分線，以AO為直徑的。。交

A3邊于點(diǎn)E,連接CE,過點(diǎn)。作D/〃CE,交A3于點(diǎn)足

(1)求證：。尸是OO的切線；

(2)若BZ)=5,sin/g1,求線段D尸的長(zhǎng).

12.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,AB是。。的直徑，E為AB上一點(diǎn)，BE=BC,延長(zhǎng)CE交

AD于點(diǎn)。，AD=AC.

(1)求證：AD是。。的切線；

1

(2)若tan/ACE=掾,0E=3,求3c的長(zhǎng).

13.如圖，在RtZXACD中，/ACD=90°,點(diǎn)。在C。上，作。。，使。。與A。相切于

點(diǎn)B,。0與C。交于點(diǎn)￡,過點(diǎn)。作D/〃AC,交49的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R且/。42=/

F.

(1)求證：AC是0O的切線；

(2)若OC=3,DE=2,求tan/F的值.

14.如圖，PA.PB是的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是。。的直徑，連接OP,交。。于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：BC//OP-,

(2)若E恰好是。。的中點(diǎn)，且四邊形0AP2的面積是16次，求陰影部分的面積；

(3)若sin/BAcJ且4￡>=2次，求切線E4的長(zhǎng).

15.已知：如圖，AB是。。的直徑，C,。是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交D4的延長(zhǎng)線于

點(diǎn),E,DELCE,連接CDBC.

(1)求證：ZDAB=2ZABC；

1

(2)若tanNA0C=*,BC=4,求。0的半徑.

\B

E

C

16.如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，。是A3延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作2。

的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)CD,且CZ)=ED

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若tan/DCE=2,BD=1,求。。的半徑.

參考答案

1.【解答】(1)證明：如圖，連接OD.

是。。的切線，

J.ODLEC,

'：AE±CE,

：.AE//OD,

：.ZEAD=ZADO,

'：OA=OD,

???ZADO=ZDAO,

：.ZDAE=ADAC.

(2)證明：如圖，連接BE

VAB是直徑，

AZAFB=90°,

VAE±EC,

AZAFB=ZE=90°,

J.BF//EC,

：.ZABF=ZC,

9：ZADF=/ABF,

：.NADF=NC,

'：ZDAF=ZDAC,

：.ADAF^ACAD,

ADDF

CACD

：.DF-AC^AD*DC.

(3)解：過點(diǎn)。作OHL4c于巴

???a>是。。的切線，

AZODC=90°,

“OD1

,sinZC=-^=5，

???可以假設(shè)。。=瓦。。=4左，則04=。。=瓦CD=底匕

11

■:iOD?DC=/OC>DH,

22

：.DH=孚比

JOH=y/OD2-DH2=%,

；?AH=OA+OH=%,

VA￡>2=AH2+Z)H2,

(4V10)

???斤=8或-8（舍棄）,

???AC=5Z=40,AB=2k=16,

Ap1Af

sinC=左=4=sinZABF=麗，

：.AE=10,AF=4,

：.EF=AE-AF=10-4=6.

2.【解答】解：（1）CD與。。相切，理由:

如圖1,連接0。，

?：OB=OD,

：./ODB=/CBD,

?：/CDA=NCBD,

:./CDA=/ODB,

???AB為。。的直徑，

AZADB=ZADO-^-ZODB=90o,

：.ZCDA+ZADO=90°,

：.ZCDO=90°,

：.OD.LCD,

???CD與。。相切；

（2）由（1）知，NCBD=/ADC,

1

VtanZA￡）C=專,

tanXCBD=

AHi

在中，tanNC3￡>=麗=],

VZC=ZC,NADC=/CBD,

：.ACAD^ACDB,

.CACDAD1

??CD-CB-BD-2’

???C￡>=2CA=4,

：.CB=2CD=8,

：.AB=CB-CA=S-2=6.

.1

：.OA=OB=^AB=3,

?。。的半徑為3；

(3)如圖2,連接OE,過點(diǎn)E作EGJ_8O于G,

?；?！昶椒?4￡>3,

:./ADE=/BDE=45°,

：.ZBOE=2ZBDE=90°,

：.BE=VOB2+OE2=3V2,

在RtAABD中,AD2+BD2=AB2=62,

_AD1

?——，

BD2

.?.AZ)=誓BD=^-,

■:EGLBD,ZBDE=45°,

???/DEG=NBDE=45°,

：.DG=EG,

設(shè)DG=EG=x,則BG=BD-DG=—-x,

在RtABEG中，EG2+BG2=B￡2=(3V2)2=18,

12^5

??X9+(-:)2=18,

等(舍)，

x=或x=-

；.EG=W

F(；3同

sinXDBE=百

cV

E

圖1圖2

3.【解答】解:(1)直線CD與OO相切，

理由如下：如圖,連接。C,

"：OA=OC,CD=BD,

—廠卜、

：.ZA=ZACO,

VZAOB=90°,

AZA+ZB=90°,

：.ZACO+ZZ)CB=90°,

???NOCD=90°,

OCXCD,

又???oc為半徑，

???CD是。。的切線，

???直線CO與。。相切；

240C

(2)VtanZOPC=y：=^,

?,?設(shè)C0=7x=D8,OC=24x=OA,

???/。。。=90°,

OD=70c2+CD2=V49%2+576x2=25x,

.?.O3=32x,

VZAOB=90°,

：.AB2=AO2+OB2,

A1600=576/+1024.?,

??x—1,

：.OA=OC=24,

.??OO的半徑為24.

4.【解答】解：(1)連接。C,

是O。的直徑，

/.ZACD=90°,

：.ZADC+ZCAD^90°,

又：OC=OD,

：.ZADC=ZOCD,

又：ZDCF=ZCAD.

：.ZDCF+ZOCD=90°,

即OCLFC,

???PC是OO的切線；

(2)VZB=ZADC,cosB=

3

：.cosZADC=I，

在RtZXACD中，

3er)

VcosZAZ)C=|AO=2,

CD=AD-cosZADC=2x|=|,

：.AC=<AD2-CD2=J22-(1)2=|,

.CD3

??~—,

AC4

VZFCD=ZFAC,ZF=ZF,

：.AFCD^AMC,

.CDFCFD3

"AC~FA~FC~4

設(shè)尸￡>=3x,則FC=4x,A尸=3x+2,

又?：FU=FD，F(xiàn)A,

即(4x)2=3%(3x+2),

解得(取正值)，

.18

??FD—3x=-y-.

5.【解答】(1)證明：連接OC,

???CO為OO的切線，

???OCLCD,

9：ADLCD,

：.OC//AD,

：.ZCAD=ZACO.

又,：OC=OA,

：.ZACO=ZOAC,

：.ZCAD=ZOAC,

即NCA0=NA4C；

(2)u：ZCAD=ZBAC,

:.EC=CB=4,

連接BC,

*：AB是直徑，

AZACB=90°,

1

sinZzCAB=寸

：.AB=12,

?,?半徑為6.

6.【解答】證明：(1)如圖，連接00,

VAB=AC,

ZABC=ZACB,

?：0B=0D,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZODB^ZACB,

：.AC//OD,

：.ZDFC^ZODF,

VDEXAC,

:?/DFC=NODF=90°,

：.OD.LDE,

???。石是O。的切線；

9

(2)：AC=6=ABf

???AO=O3=3=OD,

3

*：OD.LDE,tanE=

4

.OD3

??—―,

DE4

???OE=4,

???OE=-JOD2+DE2=V9+16=5,

：.AE^OE-0A=2,

VAC/7OD,

.AEAF

?.一,

OEOD

.2AF

.?一=,

53

?2I

7.【解答】證明：(1)連接OC,OD,

VOC=OD,ABLCD,

：.ZCOE=ZDOE,

在△COE和△OOE1中，

OC=OD

(COE=乙DOE,

OE=OE

:.△COE”^DOE(SAS),

：?NOCE=NODE,

是OO的切線，

AZODE=90°,

/.ZOCE=90°,

：oc是O。的半徑，

；.CE為OO的切線；

(2)解：過。作DF_LCE于尸，

由(1)知，ZOC￡=90",

在RtZkOCE中，：CE=4,OC=3,

OE=70c2+"2=V32+42=5,

\'AB±CD,

?11

??S/\OCE=2OC*CE=靜P*OE,

A3X4=5CP,

；.CP=早

VOC=OD,ABLCD,

:?CP=DP,

24

：.CD=2CP=-^,

在RtACP￡中，PE=y/CE2-CP2=J42-(竽)2=當(dāng),

,：CE,OE是。。的切線，

:.DE=CE=4,

11

■:SACDE=，CE?DF=^CD/PE,

在RtADEF中，sinZDEC=器=季=

8.【解答】(1)證明：???四邊形。43。是平行四邊形,

OC//AB,

：.ZDOC=ZOAE,

?；OA=OE,

：.ZOAE=ZAEFf

：./DOC=NAEF,

???所是。。的直徑，

：.ZEAF^90°,

AZAFE+ZAEF=90°,

AZAFE+ZDOC=90°,

ZAFE=ZOCD,

：.ZOCD+ZDOC=90°,

：.ZODC=90°,

：.OD±CD,

???CD是。。的切線；

(2)連接OR如圖：

:A。是。。的直徑，

AZADF+ZDAF=9Q°,

???s是。。的切線，

AZG+ZDAF=90°,

???ZADF=ZG,

EB

5LZDAF=ZGAD,

：.AADFsAAGD,

.AFAD

??—,

ADAG

,：AD=6V2,GF=1,

.AF6V2

"6V2—AF+1

解得AP=8或AP=-9（舍去）,

在RtAAEF中，AE=y/EF2-AF2=<AD2-AF2=2&,

Ap1

cosXAEF=而=于

(3)延長(zhǎng)CO交A廠于K,連接MN、MF,如圖:

???￡尸是。。直徑，

AZEAF=90°,

*.*OC//AB,

：.ZCKA^90°,即OK_LAR

'：EF=AD=6>j2,AF=8,

:.FO=30,FK=AK=4,

RtZXO"中，OK=7FO2-FP=&,

VZG+ZOAF=90°,ZOFA+ZAEF=90°,

且/。4尸=/Ofi4,

：.ZG=ZAEF,

tanG=tanZAEF,

CKAF

即--=---，

GKAE

CKAFCK8

------=,即=-尸,

FK+GFAE52y/2

解得或=10魚,

平分NABC,OC//AB,

：.ZCBH=ZABH=ZCHB,

:?CH=BC=OA=36,

：?MH=CK-OK-OM-CH^10V2-V2-3A/2-3A/2=3A/2,

KH=OK+OM+MH=7四,

在RtAA^H中，AH=y/AK2+KH2=42+(7>/2)2=V114,

11

而ZMNH=ZMFA=^ZMOA=^ZABC=/ABH,

且NMHN=/HAB,

:.叢MNHs叢HBA,

.ABAHV114V57

"NH~MH~3A/2—3-

9.【解答】(1)證明：連接OC,

為O。的切線，

OCLDE,

'：AE±DE,

：.OC//AE,

：.ZEAC=ZOCA,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZEAC=AOAC,即AC平分/EAB；

解得：￡C=4V3,

在RtAAEC中，AC=yjAE2+EC2=J122+(4A/3)2=8A/3,

??+/…_BC_點(diǎn)

?tanz_CAB=

???3C=8,

在RtZXABC中，AB=V4C2+BC2=J(8V3)2+82=16,

：.OB=8.

10?【解答】解：（1）「BO為OO的直徑,

/.ZBAD=90°,

"：AE=CD,

ZABG=ZDBC=a,

：.ZAGS=90°-a；

(2)為。。的直徑，

AZBCD=90°,

AZBEC=ZBDC=90°-a,

：.ZBEC=ZAGB,

VZCEF=180°-ZBEC,ZBGD=180°-ZAGB,

：.ZCEF=ZBGD,

又：CE=BG,ZECF=ZGBD,

.?.△CFEqABDG(ASA),

：.EF=DG；

(3)①如圖，連接QE,

,：BD為的直徑，

/.ZA=ZBED=90°,

在Rtz\A2￡)中，tanZADB=AD=2,

：.AB=孚xAD=V3,

'：AE=CD,

：.AE+DE=CD+DE,

即麗=CE,

：.AD=CE,

,:CE=BG,

：.BG=AD=2,

,：在RtAABG中，sinZAGB=需=*，

ZAGB=60°,AG=^BG=1,

：.EF=DG^AD-AG=1,

:在RtZkDEG中,ZEGD=60°,

：.EG=^DG=I，亨DG=字，

在RtAFED中,DF=<EF2+DE2=

：.FG+DG+DF=^f-,

二-L^7

???△尸GO的周長(zhǎng)為--；

2

②如圖，過點(diǎn)。作/于

ABDG名ACFE,

:.BD=CF,ZCFH=ZBDA,

■:NBAD=NCHF=90°,

???△BAD注ACHF(AAS),

：?FH=AD,

*：AD=BG,

:?FH=BG,

VZBCF=90°,

：.ZBCH+ZHCF=90°,

?；/BCH+/HBC=9U°,

/HCF=/HBC,

VZBHC=ZCHF=90°,

ABHCs叢CHF,

.BHCH

??=,

CHFH

設(shè)GH=x,

：.BH=2-x,

:.C逐=2(2-x),

在RtZXGHC中，CGL=GHL+CHL,

：.CG2=X1+2(2-x)=(x-1)2+3,

當(dāng)x=1時(shí)，CG2的最小值為3,

；.CG的最小值為次.

11.【解答】解：（1）證明：是/8AC的平分線,

：.ZBAD=ZCAD.

：.ED=DC.

：.OD±EC.

'：DF//CE,

：.OD±DF.

.?.DP是O。的切線.

(2)連接DE,如圖,

"：ED=DC,

：.ED=DC.

是OO的直徑，

：.DE±AE.

：.ZB￡D=90°.

3DF

VsinZB=|,sinN8=需，BD=5,

:?DE=3.

：.BE=y/BD2-DE2=4,DC=DE=3.

：.BC=BD+CD=5+3=8.

■:/B=/B,ZBED=ZBCA=90°,

JABEDsLBCA.

.BEBDDE

BC~BA~AC'

：.BA=2BD=10,AC=2DE=6.

：.AE=AB-BE=10-4=6.

VZADF=9Q°,DE±AF,

???ADEF^AAED.

DEAE

EF~DE

DE2_32_3

：.EF=~AE=~6=r

：.FD=y/EF2+DE2=J(|)2+32=|V5.

12.【解答】解：（1）;AB是。。的直徑,

AZACB=90°,

BPZACE+ZBCE=90°,

*：AD=AC,BE=BC,

：.ZACE=ZDf/BCE=/BEC,

又丁ZBEC=/AED,

：.ZAED+ZD=90°,

???N0A￡=9O°,

即ADLAE,

???O4是半徑，

???AO是。。的切線；

(2)由tanNACE=^=tan/D可設(shè)則AD=3a=AC,

OE=3,

.??OA=〃+3,AB=2(2+6,

5E=〃+3+3=〃+6=BC,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB2=BC2+AC2,

即(2〃+6)2=(。+6)2+(3〃)2,

解得。1=0(舍去)，a2=2,

.??3C=Q+6=8.

13.【解答】(1)證明：???￡>I〃AC,

:.ZF=ZOAC9

u：ZOAB^ZF,

：.ZOAB=ZOAC,

：.OA是NBA。的角平分線，

;。。與AO相切于點(diǎn)5,

???。8是。。的半徑，OBLAD,

VZACD=90°,

：.OC.LAC,

：?OB=OC,

?,?點(diǎn)。在。。上，

OC.LAC,

，AC是。。的切線；

(2)解：由(1)知：OB=OC=3,OC是OO的半徑，

，CE是的直徑，

：.CE=2OC=6,

：.CD=CE+DE=6+2=8,OD=OE+DE=OC+DE=3+2=5,

在RtZXOBD中，由勾股定理得：BD=yJOD2-OB2=V52-32=4,

'：ZOBD=ZACD=90°,ZODB=ZADC,

:.△ODBs^ADC,

.OBBD

?.—,

ACCD

.…OBCD3x8，

??AC=-^-=.=6，

*：ZF=ZOAC,

tanF=tanZOAC=力=z=

ACoL

14.【解答】(1)證明：???B4,尸8是。。的切線，

：.PA=PB,

?：OA=OB,

：.OP±AB,

VAC是直徑，

AZABC=90°,

：.BC±AB.

：.BC//OP.

(2)解：?：OE=DE,ABLOD,

：.AO=AD,

U

：OA=OD9

：.AD=OA=ODf

???△AO。是等邊三角形，

???NAOZ)=60°,

設(shè)OE=m,則AE—BE=y/3m,OA=2m,OP—^m,

,：四邊形OAPB的面積是16V3,

1l

A—OP*AB=16V3,

2

1==

x4mX2V3m=16v3,

2

:?m=2或-2(舍棄)，

J.OE—2,AB—4y/3,OA—2m—4,

VODXAB,

??AD—BD,

：.ZAOD=ZBOD=60°,

ZAOB=2ZAOD=120°,

2

:?S陰=S扇形OAB-SAAOB=I2黑4—1X4V3X2=