不等式與基本不等式（原題版）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（新高考）

專題02不等式與基本不等式

目錄

題型一：不等式性質(zhì)及解法

易錯(cuò)點(diǎn)01忽略不等式性質(zhì)成立的前提條件

易錯(cuò)點(diǎn)02解分式不等式時(shí)變形不等價(jià)

易錯(cuò)點(diǎn)03一元二次型不等式恒成立問題混淆范圍

易錯(cuò)點(diǎn)04解含參不等式討論不全

易錯(cuò)點(diǎn)05多變量不等式問題混淆主元

題型二基本不等式

易錯(cuò)點(diǎn)06基本不等式求最值忽略前提條件

題型一：不等式性質(zhì)及解法

易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略不等式性質(zhì)成立的前提條件

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例2.（24-25高三上?上海?期中）若。、b、ceR,a>b,則下列不等式中成立的是（）

a2>b2

C.-->——a|c|>b\c\

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性質(zhì)和反例即可判斷.

【詳解】對(duì)于AB：取=滿足。>6,顯然!<1,/不成立，錯(cuò)誤;

對(duì)于C：因?yàn)榘偎?正確;

對(duì)于D：取c=0,顯然力|>小|不成立，錯(cuò)誤,

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

在應(yīng)用不等式性質(zhì)進(jìn)行判斷時(shí)，若忽略。力是否同號(hào)，容易錯(cuò)選若忽略不一定同大于零，容易錯(cuò)選

B,由于忽略c是否為零，容易錯(cuò)選D

【避錯(cuò)攻略】

1不等式的性質(zhì)及推論

性質(zhì)1：不等式的傳遞性：設(shè)a,b,c均為實(shí)數(shù)，如果且6>c,那么a>c

性質(zhì)2：不等式的加法性質(zhì)：設(shè)a,b,c均為實(shí)數(shù)，如果a>b,那么a+c>b+c

性質(zhì)3：不等式的乘法性質(zhì)：設(shè)a,6,c均為實(shí)數(shù)，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推論1.如果a>b,c>4/那么a+c>6+d

推論2.如果。>6,c<d那么a-c>6-d

推論3.如果a>6>0,c>d>0那么

推論4.如果a>6>0,那么!〈工

ab

推論5.如果。>b>0,d>c>0那么@>2

cd

推論6.如果a>b>0,那么a">6"（"是正自然數(shù)）

推論7.如果a>6>0,那么a">6"（"是正自然數(shù)）

【提醒】（1）不等式的性質(zhì)3中在不等式兩邊同乘一個(gè)因式時(shí)一定要判斷正負(fù)；

（2）推論1逆命題不成立，且“同向不等式只能相加，不等號(hào)方向不變，不能相減”.

（3）推論3、推論5、推論6、推論7中要注意成立的前提條件，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同

向不等式，并無相除式.

2判斷不等關(guān)系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷.；

（2）比較法：一是作差比較：即作差、變形、判斷差式與0的大小、下結(jié)論；二是作商法：即作商、變形、

判斷商式與1的大小、下結(jié)論.

（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性；

（4）特殊值排除法.

易錯(cuò)提醒：（1）一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質(zhì)包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后

者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

舉一反三

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）已知。>6>c,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac1>be2

工〉工

C.D.a（a-c）>b（b-c）

a-ca-c

2.（2024?福建泉州一模）若實(shí)數(shù)Q>6〉0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3”<0.36B.\ga>\gb---<----D.y[a>4b

。一1b-1

3.（24-25高三上?山東泰安?期中）（多選）已知Q,b,xeR,則下列命題正確的是（）

A.若一〈:，貝B.若a>b,則*>加”

ab

C.右Q>6>0,貝I-->—D.若ln@>0,貝！Ja>b

a+\ab

叁易錯(cuò)題通關(guān)

1.（24-25高三上?上海?期中）已知。<6<0,則（）

A.—<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b1

bab

2.（23-24高三上?四川瀘州?階段練習(xí)）若a>b>0,c<09則下列結(jié)論正確的是（）

A.ac>beB.a+c<b+c

117

C.—<—D.a-c<b-c

ab

3.（24-25高三上?山東臨沂?期中）已知非零實(shí)數(shù)Q,b滿足。>6,貝（?。ǎ?/p>

A.—<—B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

4.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.若。>6>0,貝!B.若貝!

ab

C.。十一妾2D.〃222Q-3

a

5.（24-25高三上?重慶?期中）已知。>b,c<d<0f貝!J（）

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd2

6.（24-25高三上?山東聊城期中）已知。也C￡R,G>6,則下列不等式一定成立的是（）

A.a1>b2B.，+*>2C.[Jac1>be1

7.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習(xí)）下列命題中，真命題的是（）

A.若。<6,則一>；

ab

B.若a>b,貝U/AQ/J〉/

C.若a>b>c>。,貝I]2>什

bb+c

D.若0<Q<6<C,貝！Jlog,。<log,b

8.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）（多選）下列說法中正確的有（）

A.若。>b>0,c<d<0,貝ijacvbd

B.若a>b>0,c<0,貝!J—>—

ab

C.若-1<Z?<O,則2<〃一b<3

D.若。<0,ab>a2>Pl!|b2>a2

9.（24-25高三上?河南安陽?期中）（多選）已知。，4Gd為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若a>b,則小,33

B.若a>b,c>d,貝！]Q+c>b+d

C.若e">eJ則L：

ab

D.若Ina〉In/?,Inc>Ind,貝（Jac>bd

10.（24-25高三上?山東煙臺(tái)?期中）（多選）已知。<0,b>0且。+6>0,則（）

A.a2<b2B.a2+ab>0C.-+y<0D.（—l）<0

ab

易錯(cuò)點(diǎn)02：解分式不等式時(shí)轉(zhuǎn)化不等價(jià)

12易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

2—x

典例（24-25甘肅蘭州?期中）不等式一21的解為（）

X

A.{x|0<x<l}B.{%|x<0或

C.{x|0<x<l}D.{x|x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即可得解.

2—x2—x2—2xfx（l—x）0

【詳解】由——>1,得-----1>0,即----->0,因此,解得

xxx[xwnU

所以原不等式的解集為{xl0<x<l）.

故選：A

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)容易忽略XW1這一條件而造成化簡不等價(jià)而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.基本思路：應(yīng)用同號(hào)相乘（除）得正，異號(hào)同號(hào)相乘（除）得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式.在此

過程中，變形的等價(jià)性尤為重要.

2.基本方法：

①通過移項(xiàng)，將分式不等式右邊化為零；

②左邊進(jìn)行通分，化為形如42的形式;

g（x）

③常見同解變形:

〃x)

⑴0=/(x>g(x)>0；

g(x)

〃x)

(2)0=〃x>g(x)<0；

g(x)

7(xbg(x)Z0

(3)g(>x0)=[

g(無)wo

/(x)-g(x)<0

(4)

g(x/I&GN。

易錯(cuò)提醒：求解不等式時(shí)，一定要注意化簡的等價(jià)性，如去分母時(shí)要保證分母不為0、平方時(shí)范圍不能變大、

兩邊同乘（除）一個(gè)因式時(shí)要注意判斷因式的符號(hào)等.

舉一反三

1.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?

A.(1,4)B.[1,4)

C.（-℃,l）U（4,+co）D.（-oo,l]u（4,+oo）

2.（24-25高一上?上海?期中）“x>l”是“2<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?安徽?階段練習(xí)）已知集合={x|x2-x-2<o},則（）

A.{x|-l<x<5}B.{x|l<x<5}

C.{x|-l<x<21D.{x|l<x<2}

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）若集合N={-l,0,l,2},5=jx|^->o1,則工口3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1）

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）“x>l”是“二<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

3.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）不等式—<0的解集為（）

x-2x+3

A.RB.{x|x>l}C.{x|x<l}D.{x|x<-l}

4.（2024?陜西西安?三模）若集合4=卜也<2},5={-3,-1,0,1,3）,則（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3）

1—2x

5.（24-25高三上?山東德州?期中）已知。：xMa,4：--<0,若。是4的充分不必要條件，則。的取

x+2

值范圍是（）

A.u<—2B.a4—2

1,1

C.。<—D.aS—

22

3

6.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）使不等式9一41成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

2-x

A.U（2,+co）B.（-8,-1]U（2,+8）

C.（-<?,-l）u[2,+oo）D.（-8,-1][[2,+oo）

7.（24-25高三上?上海?期中）不等式半葭0的解集為______.

x-1

Y—6

8.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知不等式二^>1的解集為A,若5e力，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為—

ax-1

SY+3

9.（24-25高三上?上海浦東新?期中）不等式的解集為_________.

x-1

易錯(cuò)點(diǎn)03：解含參不等式討論不全面出錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25山東高三聯(lián)考）（多選）對(duì)于給定實(shí)數(shù)。，關(guān)于x的一元二次不等式（G-1）（X+1）<0的解集可

能是（）

A.l<x<—j>B.{x|xw—1}C.|-<x<—11D.R

【答案】AB

【詳解】由（"-l）（x+l）<0,分類討論。如下：

當(dāng)。>0時(shí)，—1<x<—；

a

當(dāng)。=0時(shí)，x>-1；

當(dāng)時(shí)，x<，或x>-l；

a

當(dāng)。=-1時(shí)，xw-1；

當(dāng)a<-l時(shí)，x<-l或x>L

a

故選：AB.

【易錯(cuò)剖析】

本題在求解過程中對(duì)參數(shù)a的分類討論容易不全面而漏解失分.

【避錯(cuò)攻略】

1.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

項(xiàng)目J>0J=0J<0

v

4/V

y=ax2-\~bx~\~C(Q>0)

的圖象

XNQ/X2XO\Xi=X2X

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

QN+&+。=0(6Z>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)沒有

b

的根根修，X2（Xi<X2）X\=乃=實(shí)數(shù)根

2a

ax2-\~bx~\-c>0(tz>0)

{x\x<Xi,或介歷}R

的解集l2al

QN+&+C<0(6Z>0)

{%Xi<X<%2}00

的解集

2解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

第一步（化標(biāo)準(zhǔn)）：通過對(duì)不等式變形，使不等式右側(cè)為0,二次項(xiàng)系數(shù)為正；

第二步（判別式）：對(duì)不等式左側(cè)進(jìn)行因式分解，若不易分解，則計(jì)算相應(yīng)方程的判別式;

第三步（求實(shí)根）：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根；

第四步（畫圖象）：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象;

第五步（寫解集）：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

3解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

【注意】

求解方程的根時(shí)可優(yōu)先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時(shí)再求判別式/,用求根公式計(jì)算.

易錯(cuò)提醒：含參數(shù)一元二次不等式的求解最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是討論不全面，在求解過程緊抓三點(diǎn)就可以

有效的避免失誤：一是分析二次項(xiàng)系數(shù)是否需要討論；而是分析方程根的存在型是否需要討論；三是根的

大小關(guān)系是否需要討論.

舉一反三

1.（24-25高三上?安徽?階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)加，〃滿足機(jī)+〃>0,則關(guān)于x的不等式（x-%）（x+"）>0的解集為

（）

A.{xlx<-n^x>m}B.{x\x<-m^x>n}

C.{x\-n<x<m}D.{x\-m<x<n}

2.（23-24江蘇徐州?階段練習(xí)）（多選）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)。，關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式。（x-??（x+l）>0

的解集可能為（）

A.0B.{-1}

C.（a,-l）D.（-°o,-l）U（a,+°o）

3.（24-25高三上?江蘇鹽城?開學(xué)考試）（多選）已知集合/={祖<」<4},8=卜丫一（a+l）x+a<0},則下

列命題中正確的是（）

A.若{U8=B,則〃之4

B.若=貝!

C.若Bp|Z=3,貝

D.若4r）5=0,貝lja<l

>易錯(cuò)題通關(guān).

1.（24-25高三上,湖北,階段練習(xí)）已知集合4=—={x|——（2Q+l）x++1）W0},若

“XW/”是?！?”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（）

A.〃4-3或B.〃4-3或〃>1

C.1<一3或D.1<-3或

2.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知/={x￡R|%2+2加x+加2一4<。},5={xGN||x|<1）,且=

那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-14）B.C.（-2,2）D.[—2,2]

3.（23-24高三上?浙江紹興?期末）（多選）己知“eR,關(guān)于x的一元二次不等式（◎-2）（x+2）>0的解集可

能是（）

4.（23-24高三上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）（多選）關(guān)于x的不等式（"-1）（》+20-2）>0的解集中恰有4個(gè)整

數(shù)，則。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

5.（24-25高三上?河南安陽?期中）已知不等式ar+bx+oQ的解集為{N-1<x<2}.若不存在整數(shù)x滿足不

等式（“履+bk2+2c）（2c-6x）<0,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：ax2-（3a+l）x+3<0（其中0>0）.

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式辦?+x+6>0的解集為

（一co,-2）u（l,+oo）

（1）求。和6的值

（2）求不等式蘇-（2a+b+2）cx+c2-l<0的解集

易錯(cuò)點(diǎn)04：二次型不等式恒成立問題混淆范圍

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）“。<3”是“不等式/一方+2N0在（0,+功上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】分離參數(shù)得到。在（o,+“）上恒成立，由基本不等式求出x+2“百，得到“w2VL根據(jù)

XX

a<3幺aM2血,aV2&na<3求出答案.

【詳解】不等式/一辦+220在（0,+動(dòng)上恒成立，

2

即X+—在（0,+8）上恒成立，

X

其中》+工22、11=2也，當(dāng)且僅當(dāng)x=2即》=后時(shí)，等號(hào)成立，

X\XX

故aW2近，

由于“<33/42逝，a<272=>A<3>

故。<3是不等式/一狽+2z0在（。,+8）上恒成立的必要不充分條件.

故選：B

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)容易忽略在（0,+。）上這一條件而誤認(rèn)為在R上恒成立而而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

對(duì)于一元二次型不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸

上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在無軸下方，解決一元二次不等式中的恒

成立、能成立問題常常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或分離參數(shù)后求最值的方法解決問題.

1、在R上的恒成立問題

a>0[a=b=Q,

①二次型不等式以2+樂+°>0在氏上恒成立或者解集為k時(shí)，滿足〈或〈

A<0[c>0

a>0fa=Z）=0,

②二次型不等式以2+區(qū)+0之0在尺上恒成立或者解集為氏時(shí)，滿足〈或〈

A<0[c>0

a<0fa=Z)=0,

③二次型不等式a^+bx+cvO在R上恒成立或者解集為R時(shí)，滿足〈、八或八

A<0[c<0

a<0[a=Z)=0,

④二次型不等式a^+bx+cwo在R上恒成立或者解集為R時(shí)，滿足〈或〈

A<0[c<0

2、在給定區(qū)間上的恒成立問題

方法一：若/(x)〉0在集合/中恒成立，即集合z是不等式/(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由

子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)；

方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇機(jī),〃],

則/(x)>a恒成立=/(x)min>a,即小?a；

/(x)<a恒成立=/(x/ax<。，即〃Wa.

易錯(cuò)提醒：|求解二次型不等式恒成立問題時(shí)要注意兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一看二次項(xiàng)的系數(shù)；二看不等式恒成立(有

解)的區(qū)間.

舉一反三

1.(24?25高三上?遼寧?階段練習(xí))已知命題p：VXGR,6tx2-ax+l>0;q：3XGR,一―%+口工。.均為真

命題，則。的取值范圍是()

A.(-<?,4)B.[0,4)C.10。D.0,1

2.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=lg(加/-蛆+2)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)僅取值范圍

是()

A.[0,8)B.(8,+(?)C.(0,8)D.(-℃,0)u(8,+(?)

3.(24-25高三上?山西?階段練習(xí))若不等式對(duì)任意的xeR恒成立，則4a+6的最小值為

()

A.2-72B.4C.5D.4亞

能易錯(cuò)題通關(guān).

1.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí))命題“V無eR,使得2/+(a-l)x+g>0”成立的一個(gè)充分不必要條

件可以是()

A.(0,1)B.(—3,+oo)C.(-L3)D.(—3,1)

2.(24-25高三上?北京?階段練習(xí))已知命題?：3x0eR,x：+2%+aV0是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.（-oo,l]B.[l,+℃）C.（-84）D.（l,+°o）

3.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式辦2-2尤+3a<0在（0,2]上有解，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

A.1一B.一0°，9C.（-℃,0]D.（-<?,0）

4.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）若命題“上仁&62加-依':+1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

5.（24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）（多選）已知命題p:VxeR,x2+（2a+l）x+4>0,則命題。成立的

一個(gè)充分條件可以是（）

A.\Q卜3<6Z<—?

B.

53

C.a——<a<—

22

6.（24-25高三上?湖南?期中）已知命題：“VXERMY一"一2<0”為真命題，則。的取值范圍是.

7.（24-25高三上?黑龍江綏化?期中）命題3,2],-一2、-2〃20”為假命題,則實(shí)數(shù)。的范圍為.

8.（24-25高三上?遼寧?期中）已知關(guān)于*的不等式（x-a）[x2-（2a+l）x+24+2]N0在xe[0,+功上恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值集合為;

9.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=X2+X+6,若存在e[0,2],使得/'（x。）2/一。成立，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

10.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）已知函數(shù)/（x）=x-2,g（x）=mx2-2mx+l（meR,m^0）.

⑴若對(duì)任意無eR,不等式g（x）>〃x）恒成立，求加的取值范圍；

（2）若對(duì)任意再e[1,2],存在％e[3,4],使得g（xj=f（%）,求機(jī)的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)05：多變量不等式中混淆主元出錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(24-25齊魯名校共同體聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，對(duì)于任意玉，x2e[-l,

1],&//總有/(*)一蟲>0且/(1)=1.若對(duì)于任意ae[-1,1],存在xe[-1,1],使/(x)Wd-2a”l

.X1-x2

成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.—B.t4-1—y/3或+1

C.怎0或，》2D.后2或《-2或％=0

【解析】解：???/(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，

.?.當(dāng)西、x2e[-l,1],且X|+%H0時(shí)，有““J—"[>>0,

玉-x2

.??函數(shù)〃x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.

(1)=1,

“X)的最小值為/(-1)=-/(1)=-1,最大值為/(1)=1,

若對(duì)于任意1],存在無e[-l,1],使-2af-l成立，

即產(chǎn)-2加-珍-1對(duì)所有ae[-1,1]恒成立，，產(chǎn)-2af20,

g(l)=〃-2例f22或《0

設(shè)g(a)=t2~2at=-2ta+12,則滿足

g(-l)=〃+2/》0或-2

:722或怎-2或f=0,

故選：D.

【易錯(cuò)剖析】

因?yàn)轭}設(shè)條件中含有兩個(gè)變量的取值范圍，易分不清主元而出錯(cuò)，此時(shí)可依次設(shè)定主元進(jìn)行求解.

【避錯(cuò)攻略】

關(guān)于不等式的恒成立問題，主元法是一個(gè)常用方法，所謂主元法就是在一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題中以其中一

個(gè)為“主元”，將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題，其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.有些

看似復(fù)雜的問題，如果選取適當(dāng)?shù)淖帜缸鳛橹髟?，往往可以起到化難為易的作用。

易錯(cuò)提醒：解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主

元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范

圍列式求解。

舉一反三

1.(24-25年高三專題訓(xùn)練)已知對(duì)任意加?1,3],機(jī)/-加工-1〈-加+5恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

()

g,+C0

-8,'

22

2.設(shè)/(x)=x3+x(xeR)當(dāng)0W。(春時(shí)/(^sin0)+/(l-m)^O,|'l^AL,則加的取值范圍是_

3.已知二次函數(shù)〃尤)=/-"+c,對(duì)任意xeR都有/(-2-幻=/(-2+x),且40)=6.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若對(duì)于Vw4-1,2],不等式時(shí)(x)-6<0恒成立，求x的取值范圍.

能易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25河北石家莊三中月考)已知任意ae[-1,2],若存在實(shí)數(shù)b使不等式|x?-ax區(qū)6對(duì)任意的

xe[0,2]恒成立，貝！]()

A.b的最小值為4B.b的最小值為6

C.6的最小值為8D.b的最小值為10

2.已知Vae[0,2]時(shí)，不等式江+(0+1卜+1-的<0恒成立，則x的取值范圍為.

3.設(shè)二次函數(shù)>=/+加龍.

(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)〃?40,1]/>0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

⑵若存在[-4,0),使得函數(shù)值為4-4成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

4.已知二次函數(shù)y=依2+bx+2(a,6為實(shí)數(shù))

(1)若x=l時(shí)，了=1且對(duì)力42,5),y>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若x=l時(shí)，了=1且對(duì)\/。?-2,-1],>>0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

題型二基本不等式

易錯(cuò)點(diǎn)06：基本不等式求最值忽略前提條件

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例14.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

4,

A.y=lnx+—B.y=2x+22-x

Inx

…?12（/+5）

C.J=4|sinx|+――-D.y=\

|snw|"6+4

【答案】BC

【分析】對(duì)于BCD：利用基本不等式運(yùn)算求解注意取等條件成立條件是否成立；對(duì)于A：取特值x=工代入

e

檢驗(yàn).

144

I1n?---------____1-I____S

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令》=上，可得e?1--1一，

ein—

e

4

所以4不是》=lnx+的最小值，故A錯(cuò)誤；

lux

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，＞0,22-，＞0,則2*+22-工22,2可22-工=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2，=22r,即x=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以2*+22r的最小值為4,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椴穒nx|＞0,則4,加|+廠'22/體inxl.p^u燈

11|sinx|V|sinx|

當(dāng)且僅當(dāng)體加|=占，即situ=±1時(shí)等號(hào)成立，所以＞=4年加|+1］的最小值為4,故C正確；

|sinx|2|sinx|

2（V+5）2（f+4）+2i--2

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閥=i_L-=2必百+^^,則

&+44+46+4

2&+4+.2＞22&+4x,2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)24r%=—=二，即X?+4=1時(shí)等號(hào)成立，

VX+4

2（f+5）

但/w—3,所以歹=',的最小值不為4,故D錯(cuò)誤；

G+4

故選：BC.

【易錯(cuò)剖析】

如果忽略“一正”的判斷容易錯(cuò)選A；如果忽略“等號(hào)”的檢驗(yàn)容易錯(cuò)選D.

【避錯(cuò)攻略】

1.幾個(gè)重要的不等式

（1）t/2>0（<2e7?）,>0（<2>0）,|a|>e7?）.

（2）基本不等式：如果則巴|^?癡（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取""）.

特例：a>0,a+->2;-+->2（。）同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①/+從2（"'）（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b~的不等關(guān)系式）

2

②abWa-^~（溝通兩積ab與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

（4）③

2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)

方面的問題：

（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；

（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)

不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)

或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等.

易錯(cuò)提醒：制用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+q（a〉O）的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單

X

調(diào)性求解.

■k舉一反三

25

1.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）x+2一的值可以為（）

x-1

A.