2025年上海金山區(qū)高三二模高考數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．已知集合，則.2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.3．已知向量，若，則實(shí)數(shù).4．若為第二象限角，且，則.5．在展開式中的系數(shù)為80，則實(shí)數(shù)的值為.6．若直線是曲線在處的切線，則的斜率為.7．已知圓錐底面半徑為1，高為，則過(guò)圓錐母線的截面面積的最大值為.8．已知是等差數(shù)列，若分別是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則.9．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為．10．已知函數(shù)的圖象是折線段，且，則函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為.11．如圖，現(xiàn)對(duì)某景區(qū)一長(zhǎng)，寬的矩形空地進(jìn)行建設(shè).規(guī)劃在邊上分別取點(diǎn)修建人行步道（不考慮寬度），且滿足點(diǎn)關(guān)于步道的對(duì)稱點(diǎn)在邊上.在內(nèi)種植花卉，在內(nèi)搭建娛樂設(shè)施，其余區(qū)域規(guī)劃為露營(yíng)區(qū)，則人行步道的最短距離為.（結(jié)果精確到）12．設(shè)均是正整數(shù)，且，則的值為.二?選擇題（本題共有4題，滿分18分，13?14每題4分，15?16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．已知，則下列結(jié)論不恒成立的是（

）A． B．C． D．14．某人統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營(yíng)業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個(gè)位數(shù)），關(guān)于這5天的營(yíng)業(yè)額情況，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的極差相同B．甲、乙兩家商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)相同C．從營(yíng)業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)所占比例來(lái)看，甲商店較高D．甲商店?duì)I業(yè)額的方差小于乙商店?duì)I業(yè)額的方差15．已知定義在上的函數(shù)，滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意恒成立，且；（2）對(duì)任意都有，則下列關(guān)于函數(shù)的表述中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③函數(shù)有最小值.A．0 B．1 C．2 D．316．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，且為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（

）①在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得恒成立；②三角形面積的最小值為.A．①是真命題，②是真命題 B．①是假命題，②是真命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是假命題三?解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)若，求函數(shù)的值域.18．如圖，在四棱錐中，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.19．為了研究高三學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)在本校高三年級(jí)學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生，調(diào)查他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)和整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)14不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)1520合計(jì)40(1)完成上述樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，并計(jì)算：每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率；(2)是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)”？附：；0.100.010.0012.7066.63510.828(3)從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生做進(jìn)一步訪談，設(shè)恰好抽取到數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布和期望.20．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，上下頂點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，是上異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn).(1)求的周長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在第一象限且滿足的面積比的面積大，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)記點(diǎn)在直線上的投影為，且直線的斜率是直線的斜率的3倍，試判斷：過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)的圓是否為定圓？若是，求出該圓的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．若函數(shù)和同時(shí)滿足下列條件：①對(duì)任意，都有成立；②存在，使得，則稱函數(shù)為的“函數(shù)”，其中稱為“點(diǎn)”.(1)已知圖像為一條直線的函數(shù)是的“函數(shù)”，請(qǐng)求出所有的“點(diǎn)”；(2)設(shè)函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點(diǎn)”組成集合；函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點(diǎn)”組成集合.試證明：“函數(shù)為的‘函數(shù)’”的一個(gè)充分必要條件是“”；(3)記（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若為的“函數(shù)”，且“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的最大值.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.2．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可.【詳解】依題意，.故答案為：3．【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故答案為：.4．【分析】結(jié)合角所在象限，借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由為第二象限角，則，故.故答案為：.5．2【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的項(xiàng)，再由給定的系數(shù)求出值.【詳解】展開式中的項(xiàng)為，依題意，，所以.故答案為：26．##【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以的斜率為.故答案為：7．【分析】依題意求得圓錐的母線長(zhǎng)，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解．【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為，，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，顯然，則過(guò)該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故截面的面積的最大值為．故答案為：.8．2【分析】轉(zhuǎn)化為是的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理和等差數(shù)列性質(zhì)得到.【詳解】由題意得是的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.故答案為：29．【詳解】該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為，故答案為.10．【分析】根據(jù)題意，求出的表達(dá)式，進(jìn)而得到的表達(dá)式，利用圖象分割求解面積.【詳解】由題可得，，，設(shè)函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為，如圖，由二次函數(shù)和可知，曲邊三角形的面積等于曲邊三角形的面積，所以.故答案為：.11．【分析】由題設(shè)有，設(shè)，根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得，注意的范圍，進(jìn)而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】由題意，，設(shè)，則，在中，得，則，由于，解得，則，解得，令，，則.令，則，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增；令，則，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，所以，即人行步道的最短距離為.故答案為：.12．【分析】先將四個(gè)數(shù)都寫成的指數(shù)冪和的指數(shù)冪的積的形式，再根據(jù)，分和兩種情況討論，即可得解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，不妨取，則，此時(shí)，而，所以滿足題目條件；當(dāng)時(shí)，不妨取，則，此時(shí)，而從中任取個(gè)數(shù)相乘不能得出，所以不滿足條件，綜上所述，，所以.故答案為：.13．B【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AD；舉例說(shuō)明判斷B；利用絕對(duì)值的三角形不等式判斷C.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，取，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：B14．C【分析】對(duì)于A，由極差的定義，即最大值減最小值即可判斷；對(duì)于B，由中位數(shù)的定義判斷即可（從小到大排列數(shù)據(jù)）；對(duì)于C，直接由莖葉圖即可判斷；對(duì)于D，由方差公式運(yùn)算即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的極差為10，乙商店?duì)I業(yè)額的極差為8，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)為32，乙商店?duì)I業(yè)額的中位數(shù)為30，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)為3，乙商店?duì)I業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)為2，故從營(yíng)業(yè)額超過(guò)3000元的天數(shù)所占比例來(lái)看，甲商店較高，故C正確；D選項(xiàng)：甲商店?duì)I業(yè)額的平均值為，乙商店?duì)I業(yè)額的平均值為，故甲商店?duì)I業(yè)額的方差，乙商店?duì)I業(yè)額的方差，則，故甲商店?duì)I業(yè)額的方差大于乙商店?duì)I業(yè)額的方差，故D錯(cuò)誤.故選：C.15．C【分析】通過(guò)賦值法判斷①②，舉反例判斷③.【詳解】由任意，都有，令，可得，因?yàn)?，解得，故①正確；令，，可得，整理得，又，得，故②正確；對(duì)于③舉反例，如，滿足條件（1），又，，則，滿足條件（2），而沒有最小值，故③錯(cuò)誤.所以正確的有2個(gè).故選：C.16．A【分析】對(duì)于①，注意到，則可想到當(dāng)時(shí)滿足題意；對(duì)于②，設(shè)，則，后由可得，利用三角函數(shù)知識(shí)可得，據(jù)此可判斷命題正誤.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，則①是真命題；設(shè)，則，又，則.因，則，則，令，則，即，則，其中，，則，因，則，則，則，故②是真命題.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于命題①，關(guān)鍵為注意到；對(duì)于命題②，難點(diǎn)在于確定的范圍，為此首先將看作整體，隨后將從相關(guān)等式中分離出來(lái)，最后利用三角函數(shù)的值域確定范圍.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可；（2）計(jì)算表達(dá)式，利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問(wèn)題即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以；（2），令，問(wèn)題等價(jià)于求的值域，函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，，函數(shù)的值域?yàn)椋?8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.19．(1)列聯(lián)表見解析，0.35；(2)有；(3)分布列見解析，期望為.【分析】（1）完善列聯(lián)表，求出經(jīng)驗(yàn)概率.（2）求出的觀測(cè)值，與臨界值比對(duì)得解.（3）求出的可能值及對(duì)應(yīng)概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）完善列聯(lián)表，如下：數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)14620不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題人數(shù)51520合計(jì)192140每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率為.（2）由（1）得，所以有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)”.（3）不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生有20人，其中數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀人數(shù)為5，的所有可能值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123期望.20．(1)(2)(3)是定圓【分析】（1）求出，結(jié)合橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)，由，可得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上即可得解；（3）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，分布于橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）由橢圓，得，所以，所以的周長(zhǎng)為；（2）設(shè)，由，得，所以，即，又因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為；（3），設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，所以，故，聯(lián)立，消得，則，所以，所以，故，當(dāng)，即時(shí)，，則直線的方程為，即，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)的圓即為過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)的圓，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)的圓是定圓.21．(1)；(2)證明過(guò)程見解析(3)【分析】（1）取，，滿足要求；（2）先得到任意，成立，①成立，再證明出充分性和必要性，得到結(jié)論；（3）求導(dǎo)得到的單調(diào)性和最值，分，和三種情況，得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）取，，此時(shí)，，故函數(shù)是的“函數(shù)”，“點(diǎn)”為；（2）為的“函數(shù)”，其“點(diǎn)”組成集合，故，設(shè)，函數(shù)為的“函數(shù)”，其“點(diǎn)”組成集合，故，設(shè)，顯然對(duì)任意，成立，①成立，充分性，若，不妨設(shè)，此