第20講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（廣東專用）

第四章三角形第20講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)考點(diǎn)二解直角三角形考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解正弦、余弦、正切的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03已只三角函數(shù)值求邊長?題型04由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀?題型05含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形?題型02解非直角三角形?題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積?題型04解直角三角形的綜合問題命題點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用?題型01仰角、俯角問題?題型02方位角問題?題型03坡度坡比問題?題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.10年7考實(shí)數(shù)這一考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn),其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計(jì)2025年廣東中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題.10年6考考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦余弦正切3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：，2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大考點(diǎn)二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA==，sinB==cosA==tanA==解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達(dá)的物體高度模型需測量數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αh=m+n矩形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系水平距離n，仰角α，俯角β，h==n（）3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解正弦、余弦、正切的概念1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)定義，根據(jù)正弦，余弦，正切的定義一一判斷即可．【詳解】解：．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，原表示方法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可．【詳解】解：，設(shè)，，由勾股定理得：，．故選：B．3．（2024·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義．由銳角的三角函數(shù)定義，即可判斷．【詳解】解：，，、，故不符合題意；、結(jié)論正確，故符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意．故選：B．4．（2022·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合題意；B．=tanA，不符合題意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合題意；D．=sin∠DBC=sinA，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊是解題關(guān)鍵．?題型02求角的三角函數(shù)值5．（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．【詳解】解：已知，，，∴，∴A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；A、，故選項(xiàng)正確；故選：D．6．（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求銳角三角函數(shù)值，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，；故選A．7．（23-24九年級(jí)上·北京平谷·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解直角三角形，可過點(diǎn)B作的垂線，構(gòu)造出直角三角形即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)B作的垂線，垂足為D，令小正方形的邊長為1，則，在中，．故選：D．8．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在中，，是邊上的中線，，，則的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義列式求出的正切值，即為的值．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∴，∵，，，∴，∴的值．故選：D．?題型03已只三角函數(shù)值求邊長9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，菱形周長為，，垂足為，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得出，，勾股定理求得，進(jìn)而可得，最后利用勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵菱形周長為，∴∵，，∴，則∴∴，故選：B．10．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在中，，，則的長是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接求解即可．【詳解】解：在中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，將矩形直線折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意證明出，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)正切的概念求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴，，由折疊可得，，∴，又∵∴，∴，設(shè)，則在中，解得：．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、矩形的折疊問題、全等三角形的性質(zhì)和判定、正切的定義等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2024·陜西榆林·一模）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，掌握已知正切值求邊長是解題的關(guān)鍵，根據(jù)正切的概念可得，可得，再由線段中點(diǎn)即可求出答案；【詳解】解：在中，，，D是的中點(diǎn)，，故選：B．?題型04由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀13．（2021·廣東廣州·二模）在中，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】計(jì)算出∠A和∠C的角度來即可確定．【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC為直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測）在中，若，都是銳角，且，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷，，從而可求出，即證明的形狀是直角三角形．【詳解】∵，都是銳角，且，，∴，，∴，∴的形狀是直角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀，三角形內(nèi)角和定理．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．15．（2021·浙江金華·三模）若∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，則△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【詳解】解：∵∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是銳角三角形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．16．（22-23九年級(jí)上·遼寧盤錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．?題型05含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算17．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）計(jì)算：【答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開立方和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【詳解】解：原式．18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）計(jì)算：.【答案】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)混合運(yùn)算，先化簡零次冪、正切值，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】解：19．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】4【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．先根據(jù)零次冪、負(fù)整數(shù)次冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)化簡，然后再合并同類二次根式即可．【詳解】解：．20．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算．利用特殊銳角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：．命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，延長到點(diǎn)，使，連接．利用此圖，可算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求，由勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及外角求得，最后在中，．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．22．（2024·廣東東莞·三模）如圖，中，，，，是上的一點(diǎn)，垂足為，若，則的長為（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，則．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，在中，，故選：C．23．（2025·陜西西安·二模）如圖，在平行四邊形中，過D作于點(diǎn)E，若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明，，根據(jù)可得答案．【詳解】解：在平行四邊形中，，∴，，∵，，∴，∴，故選：C24．（2025·陜西·一模）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，且，若，則的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．先求得，得到，利用正弦函數(shù)的定義求得，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．?題型02解非直角三角形25．（2024·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，那么的值為（）?A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，過點(diǎn)作的垂線構(gòu)造出直角三角形及熟知正弦的定義是解題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)．【詳解】解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)小正方形的邊長為，∵在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，∴，，，∴，∵，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴的值為．故選：C．26．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如下圖所示：

由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識(shí)，如果圖形中無直角三角形時(shí)，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．27．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，過點(diǎn)A作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E，過點(diǎn)B過作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)I，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，解直角三角形，求出，利用矩形的性質(zhì)得到，求出，進(jìn)而求出，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E，過點(diǎn)B過作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)I，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，則，∵矩形中，，∴，∴，∴，同理，，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∵，∴四邊形是矩形，∴∴，∵點(diǎn)B在第二象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為:故選：A．28．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵四邊形是矩形，∴，∴∵將四邊形沿翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．?題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積29．（2020·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，，，直線與直線所夾銳角的度數(shù)為．

【答案】【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，求出BE、CF的長，利用的正弦值為，得到它是，即直線BC與直線AD所夾的銳角度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，∵AB=40，，∴，∵，∴四邊形BEDF是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴直線BC與直線AD所夾的銳角度數(shù)等于的度數(shù)，是．故答案是：．

【點(diǎn)睛】本題考查用銳角三角函數(shù)解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握構(gòu)造直角三角形的方法和特殊角的銳角三角函數(shù)值．30．（2020·山西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，過點(diǎn)作，，連接，則的周長為．【答案】【分析】通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求得，，然后利用勾股定理、銳角三角函數(shù)、線段的和差以及三角形周長公式即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，如圖：∴∵，∴是等邊三角形∴，∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵∴∵∴∴在中，，∴，∴∴在中，∴的周長為．故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、線段的和差、三角形的周長公式等，適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．31．（2018·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，則線段BC的長是．【答案】6【分析】作DE⊥AB，交BA的延長線于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可證Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根據(jù)tan∠BAC=∠DAE=，可設(shè)DE=3a，AE=a，根據(jù)勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根據(jù)勾股定理求BC的長．【詳解】如圖：作DE⊥AB，交BA的延長線于E，作CF⊥AB，∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB∴CF=DE，且AC=AD∴Rt△ADE≌Rt△AFC∴AE=AF，∠DAE=∠BAC∵tan∠BAC=3∴tan∠DAE=3∴設(shè)AE=a，DE=3a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2∴52=（4+a）2+27a2解得a1=1，a2=-（不合題意舍去）∴AE=1=AF，DE=3=CF∴BF=AB-AF=3在Rt△BFC中，BC=＝6【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形問題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線是本題的關(guān)鍵，利用三角形全等證明邊相等，并借助同角的三角函數(shù)值求線段的長，與勾股定理相結(jié)合，依次求出各邊的長即可．32．（2019·四川成都·一模）如圖，AC是□ABCD的對(duì)角線，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，連接BH交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE平分∠ACB交BH于點(diǎn)G，且GF＝，CG＝3，則AC＝．【答案】.【分析】連接AG，作GN⊥AC于N，F(xiàn)M⊥EC于M．想辦法證明等G是△ABC的內(nèi)心，推出∠FGN＝∠CAG＝45°，解直角三角形即可解決問題．【詳解】如圖，連接AG，作GN⊥AC于N，F(xiàn)M⊥EC于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AHB＝∠HBC，∵AB＝AH，∴∠ABH＝∠AHB，∴∠ABH＝∠CBH，∵∠ECA＝∠ECB，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GBC+∠GCB＝45°，∴∠FGC＝∠GBC+∠GCB＝45°，∵FM⊥CG，GN⊥AC，F(xiàn)G＝，∴FM＝GM＝1，∵CG＝3，∴CM＝2，∴tan∠FCM＝，∴CN＝2CG，∴GN＝，∵BG，CG是△ABC的角平分線，∴AG也是△ABC的角平分線，∴∠NAG＝45°，∴AN＝GN＝，∴AC＝AN+NC＝．故答案為．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的內(nèi)心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．?題型04解直角三角形的綜合問題33．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD，菱形EFGP，點(diǎn)E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H．(1)求證：GH＝AE；(2)若菱形EFGP的周長為20cm，，F(xiàn)D＝2，求△PGC的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形、正方形性質(zhì)證明，即可證明GH＝AE；（2）解直角三角形求出的長度，利用勾股定理求出的長度，從而得到的長度，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：由菱形性質(zhì)可知，，，是正方形，，又，，可得，，，，又，，，．（2）解：菱形EFGP的周長為20cm，，在中，，，，，，在中，，，由（1）知，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，需要根據(jù)已知條件綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．34．（2024·北京昌平·二模）如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線交于O，平分．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點(diǎn)C作的垂線交其延長線于點(diǎn)E，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證，再證，得，然后證四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，中，，，，，，過點(diǎn)C作的垂線交其延長線于點(diǎn)E，，中，，．35．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，且在直徑的兩側(cè)，過點(diǎn)D作的切線交的延長線于點(diǎn)C，連接．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)詳見解析(2)的半徑為【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)及判定，圓周角定理，解直角三角形．（1）根據(jù)題意連接，利用圓周角定理得，繼而得，又因?yàn)?，所以；?）根據(jù)題意證明，繼而得，，所以，所以的半徑為【詳解】（1）解：證明：連接，如圖所示，則，．∵為直徑，∴．∴，即．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：由（1），得．又∵，∴．∴．∵，∴．設(shè)的半徑為r，則．∴，．∴的半徑為．36．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，是等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求的值；(2)是線段上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形，用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)；(2)．見解析【分析】（1）證和相似得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)及得，設(shè)，，則，，進(jìn)而得，由此可得的值；（2）先證為等腰直角三角形得，，再由得，則，設(shè)，由（1）可知，，，則，，進(jìn)而可求出，，再證和相似得，即，由此得，據(jù)此可得和的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，，，又，，，即，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，由勾股定理得：，；（2）解：補(bǔ)全圖形如下圖所示，，證明如下：

，，為等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，由（1）可知：，，，，，在中，，，則，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用?題型01仰角、俯角問題37．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，小樂和小靜一起從點(diǎn)出發(fā)去拍攝木棉樹．小樂沿著水平面步行17m到達(dá)點(diǎn)時(shí)拍到樹頂點(diǎn)，仰角為；小靜沿著坡度的斜坡步行13m到達(dá)點(diǎn)C時(shí)拍到樹頂點(diǎn)F，仰角為，那么這棵木棉樹的高度約（

）m．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，米，再根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得米，米，最后設(shè)米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而列出關(guān)于的方程進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，米，斜坡的坡度，，設(shè)米，則米，在中，（米，米，，解得：，米，米，設(shè)米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，（米，這棵木棉樹的高度約為20米，故選：C．38．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好可觀測到矮建筑物的最底端點(diǎn)處，從點(diǎn)測得點(diǎn)的俯角為，測得點(diǎn)的俯角為30°，若旗桿底部為的中點(diǎn)，則，矮建筑物的高為（）A．18米 B．20米 C．米 D．米【答案】B【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則點(diǎn)F，D，C三點(diǎn)共線，根據(jù)，可得，可得米，然后和中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則點(diǎn)F，D，C三點(diǎn)共線，根據(jù)題意得：，∴，∵點(diǎn)G是中點(diǎn)，∴，∴米．在中，，∴米．在中，米，則米．∴米．故選B．【點(diǎn)睛】解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．39．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強(qiáng)國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”．某校九年學(xué)生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為，然后向后走160米（米），到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為，則該主塔的高度是（

）

A．80米 B．米 C．160米 D．米【答案】B【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：，∵，∴，∴，∴米，在中，米．即該主塔的高度是米．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．40．（2023·廣東廣州·一模）在某校的科技節(jié)活動(dòng)中，九年級(jí)開展了測量教學(xué)樓高度的實(shí)踐活動(dòng)．“陽光小組”決定利用無人機(jī)A測量教學(xué)樓的高度．如圖，已知無人機(jī)A與教學(xué)樓的水平距離為m米，在無人機(jī)上測得教學(xué)樓底部B的俯角為，測得教學(xué)樓頂部C的仰角為．根據(jù)以上信息，可以表示教學(xué)樓（單位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解，，求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，在中，，在中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．?題型02方位角問題41．（2024·廣東廣州·一模）端午節(jié)，賽龍舟，小亮在點(diǎn)處觀看400米直道競速賽，如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏西方向上，終點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東方向上，米，則點(diǎn)到賽道的距離為（

）米.A． B． C．87 D．173【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．過點(diǎn)作于，設(shè)，則用表示出，再根據(jù)列出等式解出即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)米．即點(diǎn)到賽道的距離為米．故選：B．42．（2023·山東泰安·一模）某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，和表示兩條互相垂直的公路．甲偵測員在處測得點(diǎn)位于北偏東，乙勘測員在處測得點(diǎn)位于南偏西，測得，，請(qǐng)求出點(diǎn)到的距離（

）．（參考數(shù)據(jù)，，）

A．140 B．340 C．360 D．480【答案】D【分析】作于，于，設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)用表示出、，根據(jù)正切的定義用表示出，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：作于，于，

則四邊形為矩形，，，設(shè)，則，，在中，，，則，在中，，由題意得，，解得，，即點(diǎn)到的距離約為480，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．43．（2023·陜西西安·三模）某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)后剛返回到港口，接到上級(jí)指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向上有一艘可疑船只，與此同時(shí)在港口處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦恰好在可疑船只的南偏東的方向上，則可疑船只距離港口的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題目條件，，得到是直角三角形，由的正弦定義即可求解．【詳解】解：船只在港口北偏東方向，在港口A處北偏東方向，，驅(qū)逐艦在可疑船只的南偏東的方向上，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形-方位角的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．44．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號(hào)”動(dòng)車，當(dāng)動(dòng)車車頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時(shí)間后，動(dòng)車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時(shí)段動(dòng)車的運(yùn)動(dòng)路程是（

）米（結(jié)果保留根號(hào)）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BC⊥AC于點(diǎn)D，在中利用三角函數(shù)求得AD的長，在中，利用三角函數(shù)求得CD的長，則AC即可求得．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對(duì)直角邊是斜邊的一半．?題型03坡度坡比問題45．（2024·廣東深圳·三模）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是米的旗桿，從辦公樓頂端測得旗桿頂端的俯角是，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離是米，梯坎坡長是米，梯坎坡度，則大樓的高度約為（

）（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，仰角俯角問題，過點(diǎn)作于，則，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，進(jìn)而得米，米，即得米，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于，則，，米，∴，在中，∵梯坎坡度，∴，∴，∴米，米，∴米，米，∴米，∴米，故選：．46．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，為測量觀光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D點(diǎn)測得塔頂A的仰角為，斜坡長為26米，C到塔底B的水平距離為9米．圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，則觀光塔AB的高度約為（

）米．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米【答案】D【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角、坡度坡角等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖：延長交過點(diǎn)D的水平面于F，作于E，先解直角三角形，求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出即可．【詳解】解：如圖：延長交過點(diǎn)D的水平面于F，作于E，由題意得：米，米，，在中，，米，∴米，米，在中，米，，∴（米），∴（米），即建筑物的高度為米；故選：D．47．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿．某時(shí)刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時(shí)電線桿在斜坡上的影長為30米，則電線桿的高為（

）米．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，作，由坡比得到，在中，應(yīng)用三角函數(shù)，求出、的長，根據(jù)題意求出的長度，根據(jù)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，∵坡比為，∴，∴，∵，∴（米），（米），∵某時(shí)刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，∴（米），∴（米），故選：．48．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）位于深圳市羅湖區(qū)的梧桐山公園自西南向東北漸次崛起，分布著小梧桐、豆腐頭、大梧桐三大主峰．從遠(yuǎn)處觀看，山中最為矚目的當(dāng)屬小梧桐電視塔．登臨小梧桐山頂，可上九天邀月攬星，可鳥瞰深圳關(guān)內(nèi)外壯麗美景．我校某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測該塔的高度，已知電視塔位于坡度的斜坡上，測量員從斜坡底端處往前沿水平方向走了達(dá)到地面處，此時(shí)測得電視塔頂端的仰角為，電視塔底端的仰角為，已知、、、在同一平面內(nèi)，則該塔的高度為（），（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)；，）

A．24 B．31 C．60 D．136【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件在合適的直角三角形中通過解直角三角形求解．設(shè)于，設(shè)，則，根據(jù)可先列出方程求出的值，從而得出，的長，在中可求出的長，從而由可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)于，設(shè)，則，

在中，∵，∴，∴，∴，∴，，在中，（），∴，故選：．?題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合49．（2024·廣東中山·一模）如圖，線段分別表示甲、乙建筑物的高，于點(diǎn)，于點(diǎn)，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，則乙建筑物的高為多少？【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：仰角俯角問題，易得四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得，在中，由的正切函數(shù)可求出的長，進(jìn)而根據(jù)即可算出答案．【詳解】解：由題意得：四邊形是矩形，，在中，，，答：乙建筑物的高為．50．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具—桑梯，其簡單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔希瑢A角α調(diào)整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點(diǎn)、此時(shí)農(nóng)夫站在離頂端D處的E處時(shí)可以高效且安全地采桑．求此時(shí)農(nóng)夫所在的E處到地面的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)作于，先利用三角形內(nèi)角和等邊對(duì)等角求出，，解直角三角形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．51．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，是一種家用健身卷腹機(jī)，由圓弧形滑軌，可伸縮支撐桿和手柄構(gòu)成．圖①是其側(cè)面簡化示意圖．滑軌支撐桿與手柄在點(diǎn)A處連接，其中D，A，B三點(diǎn)在一條直線上．(1)如圖①，固定若求的度數(shù)；(2)如圖②，固定，若時(shí)，圓弧形滑軌所在的圓恰好與直線相切于點(diǎn)B，求滑軌的長度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：π取3.14，【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)平角定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的值，即可解答；（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知過點(diǎn)作，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，從而可得，進(jìn)而可得圓弧形滑軌所在的圓的圓心為，先利用三角形的外角性質(zhì)可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出的長，最后根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進(jìn)而可得為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，切線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，，，在中，，，在中，，，，的度數(shù)約為；（2）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，圓弧形滑軌所在的圓恰好與直線相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，，圓弧形滑軌所在的圓的圓心為，，，，在中，，，在中，，，，，，為等邊三角形，，，滑軌的長度，滑軌的長度約為．52．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖1，佛山電視塔坐落于佛山市禪城區(qū)文華公園內(nèi)，它集廣播電視發(fā)射、旅游觀光以及飲食娛樂于一體，是佛山市標(biāo)志性建筑之一．小梁和小羅利用卷尺和自制的測角儀對(duì)電視塔的高度進(jìn)行了測量．如圖2，小梁站在點(diǎn)A處利用測角儀測得電視塔頂端D的仰角為，小羅站在點(diǎn)B處利用測角儀測得電視塔頂端D的仰角為．已知測角儀高度均為，兩人相距．(點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，B，C在一條直線上)(1)求電視塔的高度．(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，)(2)根據(jù)“景點(diǎn)簡介”顯示，佛山電視塔總高為．請(qǐng)?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理化建議．【答案】(1)的高度約為；(2)減小誤差可多次測量，去測量數(shù)據(jù)的平均值．【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出的長，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案；（2）結(jié)合（1）誤差為，進(jìn)而可得減小誤差的建議：多次測量，求平均值．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點(diǎn)．由題意知，四邊形和四邊形均為矩形．，，．設(shè)，則．在中，，，在中，，，．解得．答：電視塔的高度約為；（2）誤差為．減小誤差可多次測量，去測量數(shù)據(jù)的平均值．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)在直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】在中，，，，，．故選：A．2．（2024·廣東佛山·三模）下表是小亮填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容：設(shè)樹頂?shù)降孛娴母叨让?，根?jù)以上條件，可以列出求樹高的方程為（

）題目測量樹頂?shù)降孛娴木嚯x測量目標(biāo)示意圖

相關(guān)數(shù)據(jù)米，，A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，先表示出，，再根據(jù)即可列等式，問題隨之得解．【詳解】在中，，即，在中，，即，∵米，，，∴，即：，則有：，故選：B．3．（2024·廣東陽江·二模）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形．根據(jù)圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，為的直徑，，，，，，故選：A．4．（2024·云南文山·二模）如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，均在格點(diǎn)上，過點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】此題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，進(jìn)而得出，求出答案即可．【詳解】解：由題意可得：，則．故選：C．5．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放置在直線上的點(diǎn)處，使斜邊．則的余弦值為．【答案】【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值解答，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．【詳解】解：，，，，故答案為：．二、填空題6．（2024·廣東廣州·三模）如圖，，分別表示的是一個(gè)湖泊的南、北兩端和正東方向的兩個(gè)村莊，村莊位于村莊的北偏東方向上．若，則該湖泊南北兩端的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，矩形的判定與性質(zhì)，過作于，根據(jù)題意及三角函數(shù)可求得的長，從而得到的長，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．【詳解】如圖，過作于，

∴四邊形是矩形，∴，在中，，，則，∴，故答案為：．7．（2024·廣東韶關(guān)·二模）第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為．【答案】【分析】此題中根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進(jìn)一步運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求解．根據(jù)大正方形的面積求得直角三角形的斜邊是5，根據(jù)大正方形減去小正方形的面積即四個(gè)直角三角形的面積和是24，求得兩條直角邊的乘積是12．再根據(jù)勾股定理知直角三角形的兩條直角邊的平方和等于25，聯(lián)立解方程組可得兩條直角邊分別是3，4，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，大正方形邊長，小正方形的邊長．∴三角形的面積．設(shè)三角形兩直角邊為，則．又，聯(lián)立解得，（舍去）所以．故答案為：．三、解答題8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）計(jì)算：【答案】6【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)混合運(yùn)算，先化簡零次冪、正切值正弦值，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】解：9．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，．(1)實(shí)踐與操作：作的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)應(yīng)用與計(jì)算：記的平分線交于點(diǎn)D，E是上一點(diǎn)，且．若，，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)作法利用尺規(guī)作圖即可．（2）由（1）得為的平分線，利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角函數(shù)得到，再根據(jù)三角形全等的判斷及性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖所示，即為所求．（2）解：∵，∴，∵為的平分線，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖（角平分線），角平分線的定義，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)．10．（2024·廣東深圳·三模）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：平分；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則根據(jù)平行線的判定方法得到，再利用平行線的性質(zhì)得到，加上，從而得到；（2）根據(jù)圓周角定理得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，則，接著利用正弦的定義得到，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

為的切線，，，，，，，，平分；（2）解：是的直徑，，，，，，，在中，，，．能力提升一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），圖2為其示意圖，攝像頭A的仰角、俯角均為，高度為．人筆直站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)B處，若此人要能被攝像頭識(shí)別，其身高不能超過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，由題意得，，在中，利用解直角三角形得，則利用進(jìn)而可求解，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角是的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，如圖：由題意得：，，在中，，，，若此人要能被攝像頭識(shí)別，其身高不能超過，故選C．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，是的邊的中點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，求角的正弦值，延長至點(diǎn)，使，連接，，可證明四邊形是平行四邊形，得到，則當(dāng)最大時(shí)，最小；過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)，由于，則最大為30度，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，．是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，∴，，當(dāng)最大時(shí)，最?。^點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最大，，的最小值為，故選：D．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，根據(jù)值的幾何意義，得到，，證明，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出的值，即可．【詳解】解：過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，∴，，∴，∴，∵，∴；故選C．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，港珠澳大橋是粵港澳大灣區(qū)的標(biāo)志性工程，是世界上最長的跨海大橋．項(xiàng)目于2009年12月30日開工建設(shè)，2016年9月15日完成竣工驗(yàn)收．被譽(yù)為“當(dāng)代橋梁建設(shè)的巔峰之作”．某校九年級(jí)學(xué)生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為，然后向后走160米（米），到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為，則該主塔的高度是（）A．160 B． C．200 D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，是的一個(gè)外角，，，，，米，在中，（米），該主塔的高度是米，故選：D．5．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實(shí)用性，活動(dòng)角的取值范圍宜為（如圖2），亮亮選購了折疊后如圖所示的伸縮衣架，則其拉伸長度的適宜范圍最接近（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形及其計(jì)算，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)直角三角形進(jìn)行計(jì)算．由菱形中，，，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，此時(shí)拉伸長度；同理當(dāng)時(shí)，拉伸長度，即可得到答案．【詳解】解：由菱形中，，，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，此時(shí)拉伸長度；同理當(dāng)時(shí)，拉伸長度．總之，．故選：B．6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）陳垣是中國杰出的歷史學(xué)家、教育家，陳垣故居位于廣東省江門市，故居的前面矗立著陳垣先生的半身塑像，如圖，從塑像正前方距離底座D點(diǎn)2米的A點(diǎn)處測量，塑像底部C點(diǎn)的仰角為，頂部B點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，則塑像的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在中，，在中，，即可求出答案.【詳解】解：由題意得，在中，，在中，，∴米．故選：C7．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在x軸正半軸上，反比例畫數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，交菱形對(duì)角線于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，若，則長為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，作于，分別求出、即可求解．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【詳解】解：作于．設(shè)，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，則，∴，，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴或（舍去），∴，∵四邊形是菱形，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴，故選：C．二、填空題8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D為外的一點(diǎn)，，，，則的面積為．【答案】【分析】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得出是等邊三角形，根據(jù)得出，進(jìn)而勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵為等邊三角形，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則∴，∴是等邊三角形，∵∴∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)∵∴∵，∴在中，∴解得：（負(fù)值舍去）∴故答案為：．9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，為等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)共線，若，時(shí)，則的長為．【答案】/【分析】作交線段于點(diǎn)P，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到為等腰直角三角形，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，結(jié)合解直角三角形、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，，，再證明，可得算出，最后結(jié)合勾股定理可求得的長．【詳解】解：作交線段于點(diǎn)P，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，則，，，∴，即，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．10．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，小明駕車從A地途經(jīng)B地到C地，在地圖上測得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏東方向，C地在A地的北偏東方向，A地到B地的距離是，那么A，C兩地的距離約為．(結(jié)果保留到．參考數(shù)據(jù)：)【答案】5.5【分析】本題解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正弦的定義求出，余弦定義求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，在中，，，，，∵，∴，在中，，∴，∴，則，∴，答：A，C兩地的距離約為．故答案為：5.5．11．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，將矩形沿折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)重合，連接并延長分別交、于點(diǎn)G、F，且．若，，則．【答案】【分析】如圖，過作于，可得，，利用，結(jié)合矩形的性質(zhì)證明，即，設(shè)，而，則，，，再求解，由折疊可得：，，利用，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，∴四邊形是矩形，則，，∵，，∵矩形，∴，∴，，∴，，∴設(shè)，∵矩形，，，∴，∴，∴，∴，∴，由折疊可得：，∴，∵，∴，∴，∴，

解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．12．（2024·廣東深圳·二模）如圖，已知等腰直角，，，點(diǎn)C是矩形與的公共頂點(diǎn)，且，；點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，且．連接，在矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)線段達(dá)到最長和最短時(shí)，線段對(duì)應(yīng)的長度分別為m和n，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)可求得，當(dāng)線段達(dá)到最長時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的下方，且B，C，G三點(diǎn)共線，求得根據(jù)勾股定理求得，即；當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的上方，且B，C，G三點(diǎn)共線，則根據(jù)勾股定理求得，即，進(jìn)而求出的值【詳解】解：∵為等腰直角三角形，，，∴，當(dāng)線段達(dá)到最長時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的下方，且B，C，G三點(diǎn)共線，如圖：則在中，，，當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的