江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

高二年級(jí)下學(xué)期期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C.(0，3) D.3若函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.34.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.5.已知函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（）A B.C. D.8.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足，且，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.為函數(shù)極大值C.有兩個(gè)極小值 D.為的極小值10.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.的極大值點(diǎn)是B.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)C.存在實(shí)數(shù)，使得成立D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則11.函數(shù)定義域?yàn)?，下列命題正確的是（）A.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)B.對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)存最小值C.存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有恒成立D.存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為是______.13.已知函數(shù)，，是函數(shù)極值點(diǎn)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極小值5.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.16.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.設(shè)，.（1）若，求在處的切線方程；（2）若，試討論的單調(diào)性.18.已知函數(shù)（1）若求的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，區(qū)間是的一個(gè)非空子集．若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，且使得成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為上的“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)是上的“函數(shù)”．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：，．

高二年級(jí)下學(xué)期期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，.故選：C.2.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C.(0，3) D.【答案】C【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，最后令，解之即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，令并且，得：，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3).故本題正確答案為C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.3.若函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求得，從而求得.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，故選：B．4.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得在處的切線為，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，求得，又切點(diǎn)在曲線和切線上，代入即可求解.【詳解】對(duì)曲線，在切點(diǎn)處切線的斜率，所以切線方程為：，對(duì)于曲線，設(shè)切點(diǎn)，則在點(diǎn)處切線的斜率，依題意，即，又點(diǎn)切點(diǎn)在曲線和切線上，即，所以，故選：B.5.已知函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，問(wèn)題化為至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)求的極值并列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，且時(shí)趨向，時(shí)趨向，要使函數(shù)既有極大值又有極小值，即至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以.故選：A6.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有解，結(jié)合三角函數(shù)的值域來(lái)求得正確答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)有零點(diǎn)，所以方程

有根，所以函數(shù)與

有交點(diǎn)（且交點(diǎn)非最值點(diǎn)），因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所?/p>

.故選：D7.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，根據(jù)題意可知為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，可知的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，且，可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，所以是偶函數(shù)，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以不等式解集為；注意到不等式等價(jià)于，所以不等式解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性和奇偶性解不等式.8.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足，且，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到，結(jié)合求出，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，變形得到其中，，，令，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，比較出，從而得到答案.【詳解】等式兩邊同乘以得，令，則，即，設(shè)，即，故，又，故，解得，故，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，，令，，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，即.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見(jiàn)思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.為函數(shù)的極大值C.有兩個(gè)極小值 D.為的極小值【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)圖象判斷符號(hào)，從而判斷的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值點(diǎn)、極值的概念判斷即可.【詳解】由題圖知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有三個(gè)極值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值，和為的極小值.故AD錯(cuò)誤，BC正確.故選：BC10.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.的極大值點(diǎn)是B.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)C.存在實(shí)數(shù)，使得成立D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得極值點(diǎn)，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可判斷B；判斷的取值情況，可判斷C；由可得，要證，只要證，利用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，函數(shù)，則由于，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)中，由，可得當(dāng)且趨于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限接近于0，也無(wú)限趨于0，故不存在實(shí)數(shù)，使得成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，由得，要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調(diào)遞增，則，即成立，故成立，所以D正確.故選：BD.11.函數(shù)定義域?yàn)?，下列命題正確的是（）A.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)B.對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)存在最小值C.存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有恒成立D.存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可判定A錯(cuò)誤；在時(shí)，確定方程的解，并判斷函數(shù)在解的兩側(cè)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的最值，可判定B正確；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，可判定D正確；在時(shí)，結(jié)合圖象確定的零點(diǎn)，可判定C錯(cuò)誤.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以A正確；對(duì)于任意，設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意時(shí)，函數(shù)存在最小值，所以B正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值，且，所以，當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D正確；如圖所示，函數(shù)，的圖象在有公共點(diǎn)，所以對(duì)于任意，有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以存在，使得小于零，所以導(dǎo)函數(shù)的判別式，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為是，故答案為：.13.已知函數(shù)，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)分別求出在的值域，根據(jù)極值點(diǎn)性質(zhì)得到，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和，根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】，，令，解得.所以，，為增函數(shù).所以時(shí)，.，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得.所以.所以，，增函數(shù)，，，為減函數(shù)，且因?yàn)閷?duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，所以，即，解得.故答案為：14.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】.【解析】【分析】令，求得，令，可得，證得存在，使得，且，得到函數(shù)得單調(diào)性，結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為，令，求得在上遞增，且，得到，再由，利用導(dǎo)數(shù)求得滿(mǎn)足，得到，即可求解.【詳解】令，可得令，可得，即，令，其中，可得恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又由，，所以存在，使得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿(mǎn)足，令，可得恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，又由，其中，令，可得，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極小值5.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，解得，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時(shí)取極小值，符合題意所以，又，所以.綜上.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以列表如下：0123001極大值6極小值510故時(shí)，的值域?yàn)?16.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)及其零點(diǎn)，再分段討論求單調(diào)區(qū)間及最值計(jì)算參數(shù)即可；（2）根據(jù)函數(shù)有極值得在上有零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布分類(lèi)討論計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，令，，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.，所以．【小問(wèn)2詳解】，有極值，即在上有零點(diǎn)，令，即在上有解當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在上有解，所以，所以.17設(shè)，.（1）若，求在處的切線方程；（2）若，試討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，先求導(dǎo)，再求，利用點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程；（2）分，，，四種情況，結(jié)合求導(dǎo)討論即可求解．【小問(wèn)1詳解】若，則，，又，故，所以在處的切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．18.已知函數(shù)（1）若求的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而再求出極值即可；（2）令，求導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求得的最值，繼而可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，令，解得，則當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值；【小問(wèn)2詳解】由題意可得令則當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，所以存在時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，；當(dāng)，，則當(dāng)，；當(dāng)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以因?yàn)椋?，即故解得綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．19.設(shè)函數(shù)的定