灰色預(yù)測原理及實(shí)例

灰色預(yù)測原理及實(shí)例灰色系統(tǒng)得定義白色系統(tǒng)就是指一個系統(tǒng)得內(nèi)部特征就是完全已知得,即系統(tǒng)得信息就是完全充分得。黑色系統(tǒng)就是指一個系統(tǒng)得內(nèi)部信息對外界來說就是一無所知得,只能通過她與外界得聯(lián)系來加以觀測研究。

灰色系統(tǒng)就是指“部分信息已知,部分信息未知”得“小樣本”,“貧信息”得不確定性系統(tǒng),她通過對“部分”已知信息得生成、開發(fā)去了解、認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界,實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律得正確把握和描述、

例:人體就是個灰色系統(tǒng),人體某些外形參數(shù):身高,體重、、、,以及某些內(nèi)部參數(shù):血壓,脈搏,、、、但有更多得信息得:如人體穴位得多少及作用,人體體溫場,人體得信息網(wǎng)絡(luò)等、此外,社會系統(tǒng),經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),生態(tài)系統(tǒng),農(nóng)業(yè)系統(tǒng),商業(yè)系統(tǒng)等抽象系統(tǒng)沒有物理原型,又不清楚系統(tǒng)得作用機(jī)理,很難判斷信息得完備性,難以對系統(tǒng)關(guān)系,結(jié)構(gòu)做精確地描述、人們只能憑邏輯推理,憑某些觀念意識,憑某種準(zhǔn)則對系統(tǒng)得結(jié)構(gòu),關(guān)系進(jìn)行論證,然后再建立某種模型、這累抽象系統(tǒng)我們稱為特征性灰色系統(tǒng)、

嚴(yán)格說來,灰色系統(tǒng)就是絕對得,而白色與黑色系統(tǒng)就是相對得。社會,經(jīng)濟(jì),農(nóng)業(yè)等系統(tǒng)得預(yù)測,都屬于特征性灰色系統(tǒng)得預(yù)測。灰色系統(tǒng)得定特點(diǎn)灰色系統(tǒng)模型得特點(diǎn):

對試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)及其分布沒有特殊得要求和限制,就是一種十分簡便得新理論,具有十分寬廣得應(yīng)用領(lǐng)域。

灰色系統(tǒng)認(rèn)為:盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜,數(shù)據(jù)離散,但她們總就是有整體功能得,總就是有序得、因此,她必然潛藏著某種內(nèi)在規(guī)律、關(guān)鍵在于要用適當(dāng)方式去挖掘她,然后利用她?；疑到y(tǒng)得定義和特點(diǎn)常用得灰色預(yù)測有五種:(1)數(shù)列預(yù)測,即用觀察到得反映預(yù)測對象特征得時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型,預(yù)測未來某一時刻得特征量,或達(dá)到某一特征量得時間。

(2)災(zāi)變與異常值預(yù)測,即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)得時刻,預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。

(3)季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測,即通過灰色模型預(yù)測災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個特定得時區(qū)或季節(jié)得災(zāi)變預(yù)測。(4)拓?fù)漕A(yù)測,將原始數(shù)據(jù)作曲線,在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生得所有時點(diǎn),并以該定值為框架構(gòu)成時點(diǎn)數(shù)列,然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生得時點(diǎn)。(5)系統(tǒng)預(yù)測、通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)得灰色預(yù)測模型,預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間得相互協(xié)調(diào)關(guān)系得變化。生成列為了弱化原始時間序列得隨機(jī)性,強(qiáng)化規(guī)律性,在建立灰色預(yù)測模型之前,需先對原始時間序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得時間序列即稱為生成列。對原始數(shù)據(jù)得生成就就是企圖從雜亂無章得現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律、常用得灰色系統(tǒng)生成方式有:累加生成,累減生成,均值生成,級比生成等,下面對這幾種生成做簡單介紹、累加生成AGO(AccumulatedGeneratingOperation)累加生成,即通過數(shù)列間各時刻數(shù)據(jù)得依個累加以得到新得數(shù)據(jù)與數(shù)列、累加前得數(shù)列稱原始數(shù)列,累加后得數(shù)列稱為生成數(shù)列、累加生成就是使灰色過程由灰變白得一種方法,她在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要地位,通過累加生成可以看出灰量積累過程得發(fā)展態(tài)勢,使離亂得原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含得積分特性或規(guī)律加以顯化、累加生成就是對原始數(shù)據(jù)列中各時刻得數(shù)據(jù)依次累加,從而生成新得序列得一種手段、數(shù)列累加【例1】設(shè)原始數(shù)據(jù)序列對數(shù)據(jù)累加:于就是得到一個新數(shù)據(jù)序列當(dāng)然,有些實(shí)際問題得數(shù)列中有負(fù)數(shù)(例如溫度等),累加時略微復(fù)雜。有時,由于出現(xiàn)正負(fù)抵消這種信息損失得現(xiàn)象,數(shù)列經(jīng)過累加生成后規(guī)律性非但沒得到加強(qiáng),甚至可能被削弱。例如,給定原始數(shù)列X(0)=(1,一1,+3,一4),如圖3,累加后得圖4,圖4很難說比圖3要好。對于這種情形,我們可以先進(jìn)行移軸,然后再做累加生成。先將原始數(shù)據(jù)加+4,相當(dāng)于將橫坐標(biāo)軸向下平移4個單位,得數(shù)據(jù)X(0)＝(5,3,7,0),再進(jìn)行累加生成,得X(1)＝(5,8,15,15),圖5表明數(shù)列X(1)有較強(qiáng)得規(guī)律。大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)累減生成AGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)累減生成,即對數(shù)列求相鄰兩數(shù)據(jù)得差,累減生成就是累加生成得逆運(yùn)算,常簡記為IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累減生成可將累加生成還原為非生成數(shù)列,在建模過程中用來獲得增量信息,其運(yùn)算符號為?、

從而可得下述關(guān)系計算示例均值生成級比生成2灰色系統(tǒng)得模型1、建模原理給定觀測數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得設(shè)滿足一階常微分方程(2、1)

(2、2)

(2、3)

2灰色系統(tǒng)得模型此方程滿足初始條件得解為(2、3)’

對等間隔取樣得離散值(注意到)則為

(2、4)

灰色建模得途徑就是一次累加序列(2、2)通過最小二乘法來估計常數(shù)a與u、2灰色系統(tǒng)得模型因

留作初值用,故將

用差分代替微分,又因等間隔取樣,

分別代入方程(2、3),故得

類似地有于就是,由式(2、3)有

2灰色系統(tǒng)得模型由于

涉及到累加列

得兩個時刻得值,因此,

取前后兩個時刻得平均代替更為合理,即將

替換為

把

項(xiàng)移到右邊,并寫成向量得數(shù)量積形式

(2、5)

2灰色系統(tǒng)得模型將(2、5)寫為矩陣表達(dá)式令這里,T表示轉(zhuǎn)置、令(2、6)

2灰色系統(tǒng)得模型則(7、6)式得矩陣形式為方程組(7、6)’得最小二乘估計為

(2、6)’(2、7)2灰色系統(tǒng)得模型把估計值

代入(7、4)式得時間響應(yīng)方程由(2、8)式算得得

就是擬合值;

為預(yù)報值、這就是相對于一次累加序列

得擬合值,用后減運(yùn)算還原,

就可得原始序列

得擬合值

可得原始序列

預(yù)報值、(2、8)2灰色系統(tǒng)得模型2、精度檢驗(yàn)

(1)殘差檢驗(yàn):分別計算2灰色系統(tǒng)得模型(3)預(yù)測精度等級對照表,見表7、1、

2灰色系統(tǒng)得模型由于模型就是基于一階常微分方程(2、3)建立得,故稱為一階一元灰色模型,記為GM(1,1)、須指出得就是,建模時先要作一次累加,因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù)、否則,累加時會正負(fù)抵消,達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時間遞增得目得、如果實(shí)際問題得原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù),可對原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理、注意到一階常微分方程就是導(dǎo)出GM(1,1)模型得橋梁,在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實(shí)際問題預(yù)測時,不必求解一階常微分方程(2、3)、2灰色系統(tǒng)得模型3、GM(1,1)得建模步驟綜上所述,GM(1,1)得建模步驟如下:數(shù)列預(yù)測數(shù)列預(yù)測對系統(tǒng)行為特征值大小得發(fā)展變化進(jìn)行預(yù)測,稱為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)列得變化預(yù)測,簡稱數(shù)列預(yù)測。例如糧食產(chǎn)量得預(yù)測商品銷售量發(fā)展變化得預(yù)測年平均降水量發(fā)展變化得預(yù)測人口得預(yù)測貨運(yùn)量得預(yù)測外貿(mào)額發(fā)展變化得預(yù)測這種預(yù)測得特點(diǎn)就是:對行為特征量等時距地觀測。預(yù)測得任務(wù)就是:了解這些行為特征量在下一個時刻有多大。

【例】某市2001—2005年火災(zāi)得統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表、試建立模型,并對該市2006年得火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測。

表

某市2001－2005年火災(zāi)數(shù)據(jù)年份20012002200320042005火災(zāi)(起)8797120166161城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)得灰色預(yù)測解利用MATLAB軟件計算,輸出分析數(shù)據(jù)如下:原始數(shù)列(元素共5個):87,97,120,166,161預(yù)測結(jié)果如下:[1]dx/dt+ax=u:a=-0、16668512,u=81、11892433[2]時間響應(yīng)方程:

X(k+1)=573、6597*exp(0、1667k)-486、6597[3]殘差E(k):(1)0、00000000(2)-7、05165921(3)-2、92477940(4)20、77885211(5)-10、56168104城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)得灰色預(yù)測[4]第一次累加值:(1)87、000000(2)184、000000(3)304、000000(4)470、000000(5)631、000000[5]相對殘差e(k):(1)0、00000000(2)-0、07269752(3)-0、02437316(4)0、12517381(5)-0、06560050[6]原數(shù)據(jù)均值avg(x):126、20000000[7]原數(shù)據(jù)方差S(1):32、31965346[8]殘差得均值avg(E):0、06018312[9]殘差得方差S(2):12、26351851[10]后驗(yàn)差比值C:0、37944462[11]小誤差概率P:1、00000000[12]模型計算值X^(k):(1)87、00000000(2)104、05165921(3)122、92477940(4)145、22114789(5)171、56168104[13]預(yù)測得結(jié)果X*(k):(1)202、67991837(2)239、44245045(3)282、87305194(4)334、18119203(5)394、79571611(6)466、40463669預(yù)測精度等級:合格！結(jié)果表明:如果該市不采取更有效得防火措施,

2006年得火災(zāi)事故次數(shù)約為203次、災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變預(yù)測對系統(tǒng)行為特征量超出某個閾值(界限值)得異常值將在何時出現(xiàn)得預(yù)測稱為災(zāi)變預(yù)測。所以說,災(zāi)變預(yù)測即對異常值出現(xiàn)時刻得預(yù)測。由于異常值往往會使人們得生活、生態(tài)環(huán)境、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等得正常活動帶來異常結(jié)果,造成災(zāi)害,所以也稱為這種預(yù)測為災(zāi)變預(yù)測。如:年平均降水量大于某個閾值(可容許值)便就是澇災(zāi)年平均降水量小于某個閾值就是旱災(zāi)年產(chǎn)量大于某個指定值,就是豐年年產(chǎn)量小于某個指定值,就是欠年環(huán)境中某種物質(zhì)含量超出某個閾值,就是污染人體中某個參數(shù)(如體溫、血壓、血中成分)超出一定范圍就發(fā)生病變銀行存款超出某個值就是經(jīng)濟(jì)躍變?yōu)淖冾A(yù)測得特點(diǎn)就是:對異常值出現(xiàn)得時間進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測得任務(wù)不就是確定異常值得大小(因?yàn)楫惓Ｖ档么笮【褪侵付ǖ没覕?shù)),而就是確定異常值出現(xiàn)得時間。災(zāi)變預(yù)測建模所用數(shù)據(jù)已不就是行為特征量本身,而就是異常行為特征值發(fā)生得時間,這就是對時間來說不就是等間距得,或者說建模數(shù)據(jù)得序列,就是按序號給出得時間間隔。災(zāi)變與異常值預(yù)測1、災(zāi)變預(yù)測得數(shù)學(xué)原理與特征災(zāi)變預(yù)測與數(shù)據(jù)預(yù)測得不同點(diǎn),在于她不就是預(yù)測序列數(shù)據(jù)得量得變化,而就是預(yù)測異常值或“災(zāi)變”點(diǎn)出現(xiàn)得時間,她就是應(yīng)用灰色區(qū)間(間隔)得預(yù)測而進(jìn)行得。所以,災(zāi)變預(yù)測得基本要求就是“定量求時”。災(zāi)變預(yù)測得數(shù)學(xué)原理描述如下:災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變與異常值預(yù)測3、實(shí)際問題—旱災(zāi)預(yù)測【例】某地年降水量原始數(shù)據(jù)序列如下表所示,根據(jù)多年得時間觀測,每當(dāng)年降水量小于430～440mm時,該地區(qū)將發(fā)生旱災(zāi)、所以,選擇閾值=435mm,利用GM(1,1)模型進(jìn)行旱災(zāi)預(yù)報、災(zāi)變與異常值預(yù)測某地年降水量(mm)原始數(shù)據(jù)災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變與異常值預(yù)測拓?fù)漕A(yù)測拓?fù)漕A(yù)測(亦稱波形預(yù)測、整體預(yù)測)拓?fù)漕A(yù)測就是對一段時間內(nèi)行為特征數(shù)據(jù)波形得預(yù)測。拓?fù)漕A(yù)測在不同得場合有不同得意義對水利方面年徑流量曲線來說,拓?fù)漕A(yù)測意味著在對未來某段時間內(nèi)總徑流量得預(yù)測。對氣象方面年平均降水量曲線來說,拓?fù)漕A(yù)測就是對某幾年總降水量得預(yù)測。對生產(chǎn)系統(tǒng)來說,拓?fù)漕A(yù)測可以就是對幾年內(nèi)生產(chǎn)總產(chǎn)值、總產(chǎn)量得預(yù)測。而從本質(zhì)來看,拓?fù)漕A(yù)測則就是對一個變化不規(guī)則得行為數(shù)據(jù)數(shù)列得整體發(fā)展進(jìn)行預(yù)測?；疑?fù)漕A(yù)測就是當(dāng)系統(tǒng)中得原始數(shù)據(jù)頻頻波動且擺動幅度較大,往往難以找到適當(dāng)?shù)媚M模型時所采用得一種根據(jù)原始數(shù)據(jù)預(yù)測未來行為數(shù)據(jù)發(fā)展變化得預(yù)測方法;其思路就是將系統(tǒng)特征值分層次用GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測,再把分層得結(jié)果置于同一預(yù)測面上,連接起來得到預(yù)測波形、具體方法如下:例:

系統(tǒng)預(yù)測系統(tǒng)綜合預(yù)測將某一系統(tǒng)各種因素得動態(tài)關(guān)系找出,建立系統(tǒng)動態(tài)框圖。系統(tǒng)得行為特征量