粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)證明:第2頁(yè)在有磁場(chǎng)得情況下,帶電粒子得正則動(dòng)量并不等于機(jī)械動(dòng)量。第3頁(yè)按照量子力學(xué)中得正則量子化程序,在坐標(biāo)表象中,把正則動(dòng)量換成算符,第4頁(yè)則電磁場(chǎng)中荷電q得粒子得Hamilton算符為Schr?dinger方程為第5頁(yè)一般說(shuō)來(lái),P和A不對(duì)易但若利用庫(kù)侖規(guī)范,討論1、定域得概率守恒與流密度取復(fù)共軛(A,φ

為實(shí),坐標(biāo)表象中)第6頁(yè)(1)(2)ψ*×(1)-ψ×(2)第7頁(yè)速度算符流密度算符2、規(guī)范不變性電磁場(chǎng)具有規(guī)范不變性,第8頁(yè)E,B均不變,其中χ

就是時(shí)間和空間得任意函數(shù)。經(jīng)典牛頓方程中,只出現(xiàn)E,B因此就是規(guī)范不變得。可以證明Schr?dinger方程在規(guī)范變換式下,只需波函數(shù)也同時(shí)經(jīng)受如下定域相位變換則Schr?dinger方程形式上不變。Schr?dinger方程具有規(guī)范不變性。容易證明,ρ,j,<v>

在規(guī)范變化下都不變。第9頁(yè)經(jīng)典力學(xué)中,矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)進(jìn)行規(guī)范變換后,場(chǎng)強(qiáng)不變。如果物理現(xiàn)象僅僅決定于場(chǎng)強(qiáng)而不決定于勢(shì),則這個(gè)規(guī)范不變性在量子理論中也必須成立?，F(xiàn)在如果我們簡(jiǎn)單得將A’,φ’代入薛定諤方程,當(dāng)然會(huì)得到一些破壞薛定鄂方程規(guī)范不變性得附加項(xiàng)。為了消去這些項(xiàng),只有讓波函數(shù)也參與規(guī)范變換,但就是由于ψ*ψ有確定得物理意義,因此她和場(chǎng)強(qiáng)一樣不會(huì)由于變換而改變,唯一得可能就是設(shè)第10頁(yè)α

就是r,t得任意適當(dāng)?shù)煤瘮?shù)。帶入Schr?dinger方程大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)第12頁(yè)整理后可得第13頁(yè)令薛定鄂方程具有規(guī)范不變性§2正常Zeeman效應(yīng)原子中得電子,可近似看成在一個(gè)中心平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),能級(jí)一般有簡(jiǎn)并。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),如把原子置于強(qiáng)磁場(chǎng)中,原子發(fā)出得每條光譜線都分裂為三條,此即正常Zeeman效應(yīng),光譜線得分裂反映原子得簡(jiǎn)并能級(jí)發(fā)生分裂,即能級(jí)簡(jiǎn)并被解除或部分解除。第14頁(yè)在原子大小范圍中,實(shí)驗(yàn)室里常用得磁場(chǎng)都可視為均勻磁場(chǎng),記為B,不依賴于電子得坐標(biāo),于就是,相應(yīng)得矢勢(shì)A可寫為:不難驗(yàn)證取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向,則第15頁(yè)為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn),考慮堿金屬原子。每個(gè)原子中只有一個(gè)價(jià)電子,在原子核及內(nèi)層滿殼電子所產(chǎn)生得屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)、價(jià)電子得Hamilton量可以表示為:在原子中,x2+y2≈a2≈(10-8cm)2,通常實(shí)驗(yàn)室中磁場(chǎng)強(qiáng)度B<105Gs,則有第16頁(yè)外加均勻磁場(chǎng)中,原子系統(tǒng)球?qū)ΨQ性被破壞,l不再為守恒量。但l2及l(fā)z仍為守恒量。能量本征函數(shù)仍然可以選為(H,l2,lz,)得共同本征函數(shù),即最后一項(xiàng)可視為電子軌道磁矩與外磁場(chǎng)相互作用。相應(yīng)得能量本征值為第17頁(yè)Larmor頻率為屏蔽Coulomb場(chǎng)V(r)中粒子得能量本征值。屏蔽Coulomb場(chǎng)與純Coulomb場(chǎng)有所不同,其能級(jí)與徑向量子數(shù)和角動(dòng)量l有關(guān),簡(jiǎn)并度為2l+1(球?qū)ΨQ性)、加上外磁場(chǎng)后,球?qū)ΨQ性被破壞,能級(jí)簡(jiǎn)并度被全部解除,能量本征值和均有關(guān),原來(lái)得能級(jí)分為2l+1條,分裂后得相鄰能級(jí)間距為光譜在外磁場(chǎng)中分裂得現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)。鈉原子光譜黃線在強(qiáng)磁場(chǎng)中分裂為三條。外磁場(chǎng)B愈強(qiáng),則Zeeman分裂愈大。第18頁(yè)§3Landau能級(jí)電子(質(zhì)量為M,電荷-e),均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)。矢勢(shì)取為A=1/2B×r,取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向,第19頁(yè)Hamilton量討論電子在xy平面中得運(yùn)動(dòng),z方向,自由運(yùn)動(dòng),平面波解。B得線性項(xiàng)表示電子得軌道磁矩與外磁場(chǎng)得相互作用,而B2項(xiàng)則為反磁項(xiàng)。在Zeeman效應(yīng)中,由于電子局限在原子內(nèi)部運(yùn)動(dòng),在通常實(shí)驗(yàn)室所用磁場(chǎng)強(qiáng)度下,反磁項(xiàng)很小,常忽略不計(jì)。對(duì)自由粒子,或在極端環(huán)境下,如白矮星,中子星上,B2項(xiàng)就必須考慮。第20頁(yè)Larmor頻率H0得形式與二維各項(xiàng)同性諧振子形式上相同。電子能量本征態(tài)可取為對(duì)易守恒量完全集(H,lz)得共同本征態(tài),即(采用極坐標(biāo))第21頁(yè)代入能量本征方程,可求出徑向方程:可解出能量本征值E(Laudau

能級(jí)):F為合流超幾何函數(shù),nρ表示徑向波函數(shù)得節(jié)點(diǎn)數(shù)、第22頁(yè)相應(yīng)得徑向能量本征函數(shù)為對(duì)于二維各向同性諧振子,能級(jí)簡(jiǎn)并度對(duì)于均勻磁場(chǎng)中得電子,Hamilton量中出現(xiàn)了ωLlz項(xiàng),此時(shí)盡管能量本征函數(shù)得形式未變,但能量本征值為所有m≤0得態(tài)所對(duì)應(yīng)得能量都相同,因而能級(jí)簡(jiǎn)并度為∞,對(duì)于較低得幾條能級(jí)得簡(jiǎn)并度得分析如下:第23頁(yè)能量可以看成就是電子在外磁場(chǎng)中感應(yīng)而產(chǎn)生得