第3章 圓（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破（含答案）

第3章圓（單元測(cè)試?培優(yōu)卷）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個(gè)選

項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）

（24-25九年級(jí)上?黑龍江齊齊哈爾?期末）

1.在△NBC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,〃是N8的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，2為半徑

作。C,則（）

A.點(diǎn)M在0c上B.點(diǎn)M在OC外

C.點(diǎn)M在。C內(nèi)D.點(diǎn)初與OC的位置關(guān)系不能確定

（24-25九年級(jí)上?廣東東莞?期中）

2.如圖，在。。中，AB=CD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC-AC=BDD.AD=BD

（24-25九年級(jí)上?浙江溫州?期末）

3.如圖，己知。。的半徑為5,弦A8與弦CD位于圓心。的異側(cè)，AB//CD,CD=6,在

上取點(diǎn)E,連結(jié)并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)尸.若OE:。尸=1:2,則的長(zhǎng)為（）

E

A.12B.2VHD.V21

（24-25九年級(jí)上?浙江杭州?期中）

4.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的半圓中，4B是直徑，AD+BC^CD＞連接ZC,2D交于點(diǎn)

E,連接。。交RD于點(diǎn)尸，若=則CE:C4的值是（）

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

c

I).

2R6D.如

A.D.-------

323

（23-24九年級(jí)下?浙江杭州?開(kāi)學(xué)考試）

5.如圖，在△/BC中，/A4c=90。，AB=AC,E為/C邊上一點(diǎn)，連接BE,以48為直

則華（

徑的圓分別交8C,BE于D,漢兩點(diǎn)，連接DH,設(shè)NABE=a

A.1-tanaB.cosa-sinaC.tana-sinaD.1-coscr

（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）

6.如圖，43為圓。的直徑，延長(zhǎng)4B至點(diǎn)尸，尸。為圓。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。

作。交于點(diǎn)C,BC=1,CO=2,過(guò)點(diǎn)/作NEL48交尸。延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段PE

為（）

7V5

~T~

（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?期末）

7.已知正十邊形內(nèi)切圓的半徑是4,那么這個(gè)正十邊形的面積是（）

A.80sin36°B.160tanl8°C.80cos36°D.160cotl80

（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）

8.如圖，點(diǎn)C是。。的半徑上一點(diǎn)，將扇形沿/C折疊，使弧AB'恰好經(jīng)過(guò)圓心

0,其中8點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是夕，若4408=105。，則絲的值是（）

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

A.V3-V2B.V2-Ic.yD.V3-1

（24-25九年級(jí)上?浙江?期中）

9.如圖，直角三角板N8C疊放在量角器上，N4=30。,N8=66,43均落在量角器的外圓

弧上，A點(diǎn)在量角器上的讀數(shù)為30。,/。與圓弧交于點(diǎn)。，已知Z8||斯，則麗的長(zhǎng)為

（）

A.兀B.2兀C.371D.6兀

（2024?重慶渝中?二模）

10.如圖，。。的半徑是6,直線EF與。。相切于點(diǎn)尸，連接?！?、。廠分別交。。于點(diǎn)

B、點(diǎn)、C,若點(diǎn)/為圓周上一點(diǎn)且NA4c=37.5。，ZE=60°,則斯的長(zhǎng)為（）

A.3亞+&B.3G+3C.273+6D.3V2+6

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（23-24九年級(jí)上?江西贛州?期末）

11.如圖，已知。。的兩弦48、相交于E,且點(diǎn)A為也的中點(diǎn)，若ZOBA=32。，則ACEA

的度數(shù)為.

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

（23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）

12.如圖，已知矩形48cD的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓。上，且以,展=L2,則4408=

（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）

13.如圖，48為。。的直徑，眩CD〃AB,過(guò)圓心。作0EJ.48交于點(diǎn)尸，交半圓于

點(diǎn)E,連接4D,若點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，則NA4O=

（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中）

14.如圖所示，點(diǎn)A,B,C在。。上，其中A為A4c上異于點(diǎn)B和點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，若

ABAC=60°,平分/C,OFVAB,連接斯，若。。的半徑為6,則斯的長(zhǎng)為.

（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（0,-3）,0（九1）,連接。0,尸0.當(dāng)NOQP最大時(shí)，m

的值為.

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

（2024?江蘇常州?二模）

16.如圖，N8為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，BD平濟(jì)/4BC,與過(guò)點(diǎn)/的。。的切線

交于點(diǎn)。，與。。交于點(diǎn)尸，與/C交于點(diǎn)E.記△/￡>￡的面積為H，的面積為S2,

若要=2,貝tanNABC=_________.

?2

（2024九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）

17.如圖，正六邊形的半徑為1,點(diǎn)〃在邊上運(yùn)動(dòng)，連接NM,則NM的長(zhǎng)度可以是—

（只寫出一個(gè)滿足條件的值即可）.

18.如圖，以銳角△NBC的三條邊為直徑作圓.如果三角形外的陰影部分總面積為450,而

三角形內(nèi)部的深色陰影部分面積為90,則△/2C的面積為.

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

H

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）

19.如圖，是。。的直徑，。是弦/C的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，S.CD=AC,的延長(zhǎng)線交。。

于點(diǎn)￡.

⑴求證：CD=CE；

（2）連接/E,若4>=26。,求/歷1E的度數(shù).

（24-25九年級(jí)上?福建福州?期末）

20.如圖所示，某果園形狀為一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形.為更好的表示該

果園中地點(diǎn)位置，如圖建立直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)/、8、C、。分別是該果園與坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)，若4（-1,0）,且。。=。3=3。4,42為半圓的直徑，

⑴求該拋物線的解析式；

（2）求這個(gè)果園被y軸截得的線段。的長(zhǎng).

（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）

21.如圖，以/。為直徑的與△ABC的邊8C相切于點(diǎn)。，分別與AB、NC交于點(diǎn)￡、

F,連接跖、DF、DE.

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

A

⑵若/。=4,8=3,BD=6,求EF的長(zhǎng).

（24-25九年級(jí)上?廣西貴港?期末）

22.如圖1,△48C中，點(diǎn)。為NC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，0C為半徑作圓與相切于

⑴求證：3c是。。的切線；

（2）若。。的半徑為2vLON=46,求8C;

⑶在（2）的條件下，如圖2,點(diǎn)E在①上，若8=6,求NCED的度數(shù).

（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期末）

23.如圖CD是。。的直徑，A是。。上異于C、。的一點(diǎn)，點(diǎn)8是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連

接N8、AC,AD,S.ZBAC=ZADB.

【認(rèn)識(shí)圖形】

（1）求證：直線是。。的切線；

【探索關(guān)系】

（2）若tan/ND3=g,探求8c與C。的數(shù)量關(guān)系；

【解決問(wèn)題】

（3）在（2）的條件下，作的平分線4P交。。于P,交CD于E,連接PC、PD,

若AB=2娓,求尸足夕力的值.

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

(23-24九年級(jí)上?陜西渭南?期末)

24.【問(wèn)題背景】

如圖，△NAD內(nèi)接于O。，是。。的直徑，點(diǎn)C為優(yōu)弧48。的中點(diǎn)，連接

AC,CD,OC.

【問(wèn)題探究】

(1)如圖1,求證：CO平分N/CD；

(2)如圖2,延長(zhǎng)NC,相交于點(diǎn)求證：BA=BE；

【拓展提升】

(3)在(2)的條件下，若CE=4后，BD=6,求的長(zhǎng).

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.B

【分析】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題

的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí).利用勾股定理求出42,再結(jié)合直角三角形性質(zhì)得到CM,

最后根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系判斷到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，即可解題.

【詳解】解：；NC=90。，AC=2,BC=4,

AB=ylAC2+BC2=275，

是的中點(diǎn)，

:.CM=-AB=4i,

2

:以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作。C,且2〈石，

.?.點(diǎn)M在OC外，

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可求解，

掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：A>■-AB=cb，

AB=CD,該選項(xiàng)正確，不合題意；

B、'-AB=CD，

CD—AD=AB—AD，

-AC=BD^

.-.AC-BD,該選項(xiàng)正確，不合題意；

■■AB=CD>

■■CD-ADAB-AD

■-AC=BD，該選項(xiàng)正確，不合題意；

D、由已知條件無(wú)法判斷彳B與曲相等，故無(wú)法判斷4。與8。相等，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題

思；

故選：D.

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

3.B

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解

題的關(guān)鍵；

連接0D,根據(jù)可得AMEOs八NFO,即可得到空="=!，進(jìn)而求得

ONOF2

OM、ON的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求解

【詳解】解：連接05,OD,作MN1CD于點(diǎn)、N,

?.?皿|CD,

:△MEOsxNFO,MN1AB,

.OMOE

'~ON~~OF~2'

-MNLCD,

ND=-CD=3,

2

在RUOND中，ON=yjOD--ND2=752-32=4，

：.0M=-ON=2,

2

在RtA〃3O中，

MB=y]OB2-OM2=V52-22=而，

AB=2MB=2V21,

故選：B

4.D

【分析】本題考查圓周角定理，連接證明ACEB是等腰直角三角形，得到

BC=CE=^AB,勾股定理得到力。=石8。，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接02BC,

■■AD+BC=CD>

ZCOD=ZAOD+ZBOC,

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

?：/COD+ZAOD+ZBOC=180°,

???/CO￡>=90。，

.?.NCBD=L/COD=45°,

2

???48為直徑，

：.NACB=90°,

.?.△BCE為等腰直角三角形，

：.BC=CE=-AB,

2

?1?AC=^AB2-BC2=yf3BC=辰E，

5.B

【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于

這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)

的弦是直徑.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形.

連接如圖，先根據(jù)圓周角定理得到//。3=90。，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到

BD=CD,/曰。=ZC=45°,再證明力加5ABeE得到第;的，接著利用等線段代

ECBE

DH4RAF4RAJ7

換得到加二族然后根據(jù)正弦和余弦的定義得到5=蕨，sma=而，從而得

到里=cosa—sino.

DC

【詳解】解：連接如圖,

是直徑,

:.NADB=9。°,

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

ADYBC,

vABAC=90°,AB=AC,

BD=CD,/曰O=AC=45°,

丁/BHD=/BAD,

/BHD=ZC,

???/HBD=ZCBE,

.MHDS^CE,

PH_BD

正一版

PHEC

DH_ZC-ZE_AB—AE_AB4E

~DC~BE"~BE

.AE

在RdABE中，cosa=——，sma=----

BEBE

DH

二.---=coscr-sma.

DC

故選：B.

6.B

【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是證明三角形相似.

連接。。，根據(jù)PD為圓。的切線，得到NODP=90。，設(shè)圓。的半徑為八則OC=r-1,

根據(jù)勾股定理的戶=（一琰+2?,解得：尸=2.5,得出。。=2.5,。。=1.5,證明△。。。-△。噂，

算出ORPD,CP,AP,證明尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

【詳解】解：連接。。，

???尸。為圓。的切線,

??.ZODP=90°,

設(shè)圓O的半徑為r,貝?。?。。=尸-1,

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

-DCLAB,

'-OD2=OC2+CD2,即/=(—lf+22,

解得：r=2.5,

.??。。=2.5,。。=1.5,

?"DOC=/DOP,ZDCO=ZODP=90°,

XODCS^OPD,

OPPCCD

''~OP~~OD~~PD"

：,OP=—,PD=—,

63

o20

??.CP=OP—OC=—,AP=——，

33

???ZDCP=ZEAP=90°,

XDCPSREAP,

PE_AP

''~PD~~CP'

.-.PE=—.

3

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的概念是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫(huà)出

圖形，可得正十邊形的半徑4。=4,并求出C8的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得到的面積，將A/BC

的面積乘以10即可得到答案.

【詳解】解：由題可得圖如下：點(diǎn)。為切點(diǎn)，連接力。，

正十邊形的中心角/氏4。=360。+10=36。，

："BAD=ACAD=18。，BD=CD,

???正十邊形內(nèi)切圓的半徑是4,

??.AD=4,CB=2BD=2x4tanl8°=8tan18°,

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

：.S△ABRC=—2xADxBC=16tanl8°，

.?.正十邊形的面積=lOx16tanl8°=160tanl8°.

故選：B.

8.B

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性

質(zhì).過(guò)點(diǎn)。作ODL/C并延長(zhǎng)交懿于點(diǎn)O',設(shè)扇形/O8的半徑為「，根據(jù)折疊的性質(zhì)得

出OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,則△/OO，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)得出乙4。0'=60。，CD=OD=^r,根據(jù)角的和差求出/COD=45。，根據(jù)等腰直角三角

形的判定與性質(zhì)求出OC=亞C0="r,根據(jù)線段的和差求出=據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OD1/C并延長(zhǎng)交就于點(diǎn)。，

設(shè)扇形NO8的半徑為「，

由折疊的性質(zhì)可得，AC1OO',OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,

■■是等邊三角形，

ZAOO'=60°,

■.■ZAOB=105°,

NCOD=45°,

AC±OO',OD=O'D,

:.OD=-OO'=-r,ZDCO=45°=ZCOD,

22

:.CD=OD=-OO'=-r

22

OC=42CD=—r

2

BC=OB-OC=r-—r=2~^r,

22

2-0

生二百91,

OCV2

-----r

2

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

故選：B.

9.B

【分析】連接。4。尻?！ǎ?8與。。相交于點(diǎn)H,由等腰三角形性質(zhì)得到

Z0AB=Z0BA=30。,由圓周角定理得出ZDOB=2/DAB=60。,再由。4=OB，得出

AH^AB=3石，從而求出OA=6,最后由弧長(zhǎng)公式可得結(jié)果.

【詳解】解：連接。4。民。。，08與QD相交于點(diǎn)H,

???OA=OB,

NOAB=/OB4=3Q°,

ZAOB=120°

???/DOB=2ZDAB=60°,

???ZDOB=ZDOA=60°9

???OA=OB,

???AH=-AB=3y/3,

2

?AH36,

OA=---------=—j=r~=6

sin600-73

V

OA=OB=6,

cr?60萬(wàn)x6-

/.BD=----------=271,

180

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形及平行線的

性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式及圓周角定理.

10.C

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，連接OP,利用切線的性質(zhì)得

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

OP

到。尸，即，利用解直角三角形得到尸E=——,利用圓周角定理得到尸=75。，進(jìn)

tan60°

而得到NPOb=45。，再利用解直角三角形得到P方=OPtan45。，結(jié)合斯=尸￡+尸尸求解,

即可解題.

【詳解】解：連接。尸，

???直線斯與OO相切于點(diǎn)尸，OO的半徑是6,

/.OP1EF9

：.PE=3~匚=26

tan60°tan60°

?;BC=BC，/A4c=37.5。，

/EOF=75°,

?.?NEOP=90°—NE=30。，

/尸。尸=75。-30。=45。，

PF=OP-tan45°=6,

EF=PE+PF=2A/3+6,

??.EF的長(zhǎng)為2退+6,

故選：C.

11.58。##58度

【分析】本題主要考查運(yùn)用垂徑定理求值，連接。/交CD于點(diǎn)尸，則由垂徑定理得

OAYCD,由。/=。8得/。42=/。衣4=32°,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求值.

【詳解】解：連接CM交8于點(diǎn)R如圖，

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

,?,點(diǎn)/為①的中點(diǎn)，

0A±CD,

：./FAE+NAEF=90。,

■■■OA=OB,

NOAB=NOBA=32°,

NAEF=90°-ZFAE=90°-32°=58°,

即/CE/=58°,

故答案為：58°.

12.120°##120度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓心角和所對(duì)弧的關(guān)系.

連接根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/8/。=90。，則AD為直徑，點(diǎn)。、B、。三點(diǎn)共線，再根

據(jù)2：/虎=1：2,得出4OD://O3=1:2，即可解答.

【詳解】解：連接8,

???四邊形/3C。是矩形，

ABAD=90°,

??.2D為直徑，點(diǎn)。、B、。三點(diǎn)共線，

,；/茄：展=1：2，

ZAOD:ZAOB=1:2,

...ZAOB=180°x2=120。，

1+2

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

13.15°##15度

【分析】在Rt^OED中，由銳角三角函數(shù)得到b=30。，再根據(jù)平行得到N2=30。，再

結(jié)合等邊對(duì)等角以及三角形的外角定理即可求解.

【詳解】解：連接則OE=OD

?:弦CD〃AB,OELAB

■.OFLCD,

???點(diǎn)廠為OE的中點(diǎn)，

.-.OF=-OE^-OD,

22

./「A八OF1

sinZFDO=-----=—,

OD2

???/0。/=30。，

???CD//AB,

；?/ODF=/2=30。

OD=OA

???/l=N3,

???Z2=Z1+Z3,

.-.2Z1=3O°,

??.N1=15。，

故答案為：15。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三

角形的外角性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.3>/3

【分析】連接BC，利用垂徑定理得出E,尸分別為NC,中點(diǎn)，進(jìn)而得出族=：8C,

再連接。8,OC,利用圓周角定理求出N8OC的度數(shù)，最后結(jié)合。。的半徑為6即可解決

問(wèn)題.

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】解：連接8C,

?.??！昶椒?，

.?.點(diǎn)E為/C中點(diǎn)，

尸是ZX/BC的中位線，

:.EF=-BC.

2

連接。5,0C,過(guò)點(diǎn)。作2C的垂線，垂足為M,

ABAC=60°,

NBOC=120°.

■：OB=OC,OMA.BC,

ZBOM=-NBOC=60°,BC=IBM,

2

.-.ZOW=900-60°=30°.

又BO=6,

OM=3,

BM=V62-32=373，

BC=60，

:.EF=-BC=343.

2

故答案為：35/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線、垂徑定理及勾股

定理，熟知圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

15.2或-2

【分析】題目主要考查坐標(biāo)與圖形，直線與圓的關(guān)系及勾股定理解三角形，理解題意，作出

輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵

根據(jù)題意得出點(diǎn)0在直線丁=1上，OP=3,作出相應(yīng)圖形得出當(dāng)△OPQ的外接圓。Q與直

答案第11頁(yè)，共26頁(yè)

線y=i相切時(shí)/。。尸最大，結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】解：???。（相,1）,

.??點(diǎn)。在直線y=i上.

???0尸=3,

當(dāng)△。尸0的外接圓。。與直線y=l相切時(shí)（如圖）,

此時(shí)N。。尸最大.設(shè)直線＞=1交y軸于點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)Q作"GLOP于點(diǎn)G,

13

則尸G=—OP=—,

22

連接OQOJ,則四邊形0QMG是矩形,

MQ=Ofi=m,MG=OXQ=0聲=g,

.,.在RtAOjG尸中，加=O[G=J。]尸2一尸G?=2.

由對(duì)稱性知，7"=-2符合題意,

.?.加=2或機(jī)=一2,

故答案為：2或-2.

16.2亞

【分析】方法一：根據(jù)其=蕓=2得到。E=23E,則助=3BE,再證明

o26乜

△ABDs^CBE,得到空=萼=［，設(shè)8C=x,AB=3x,則/C=^AB2-BC2=2⑸，

ADBD3

ATi—

即可得到tan/ABC=—=2V2；

BC

方法二：如圖所示，連接/尸，根據(jù)稱=弓|=2得至=

S^ABD~3$./班，再證明

d2DEj

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

ND=NAED,得到=則EF=；DE=BE；證明△/￡尸口力比，得到

AE-CE=BE-EF；如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG,4s于G,可得4D=3￡G,由角平分線的性

質(zhì)得到EC=EG,則/￡>=/￡=3CE,進(jìn)而得到4C=4CE,BE=mCE,有勾股定理得到

BC=^BE--CE1=垃CE，貝1JtanZABC=-==272.

【詳解】解：方法一：???要=警=2,

d2￡>JD

*'?DE=2BE,

BD=3BE,

???為。。的直徑，

:.ZAFB=ZAFB=90°,

???力。是OO的切線，

ABAD=90°,

???ZZ>+ZABD=/CBE+/CEB=90°,

?；BD平分/ABC,

??.AABD=ZCBD,

ZAED=/CEB,

???Z\ABDs/\CBE,

BCBE

BD~3J

設(shè)5C=x,AB=3x,

■■AC-sjAB2-BC2=2及x，

ATi—

tanzL45C=—=2<2；

BC

方法二：如圖所示，連接,尸，

?.。=匹=2

"S?BE，

*',DE=2BE，S/BD=3S“BE，

???48為（DO的直徑，

.??/AFB=/AFB=90。,

???4D是。O的切線，

???/BAD=90°,

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

???ND+ZABD=ZCBE+ZCEB=90°,

,；BD平分NABC,

:?/ABD=/CBD,

???ND=/CEB,

???ZAED=/CEB,

/D=/AED,

AD=AE,

：,EF=-DE=BE,

2

NEAF=NEBC,

AAEFS^BEC,

AE_EF

??耘一布，

AECE=BEEF-

如圖所示，過(guò)點(diǎn)七作￡6_145于G,

D

AD=3EG,

?；BD平分/ABC,EG.LAB,ZC=90°,

:.EC=EG,

??.AD=AE=3CE,

???3C￡2=5￡2,AC=ACE,

???BE=CCE,

???BC=YIBE2-CE2=41CE，

…cAC4CEc氏

tanN/5C*—-----——7=—=2/2?

BCgCE

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，

直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)等等，正確作出輔助

線構(gòu)造相似三角形，直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.1.8

【分析】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

勾股定理等知識(shí)，設(shè)正六邊形的中心為。，連接。4,OF,OE,AE,AD,根據(jù)正六邊

形的性質(zhì)得A/O尸和A。跖為等邊三角形，然后可由勾股定理求出/T,進(jìn)而得=再

求出40=2,根據(jù)4W在邊研）上運(yùn)動(dòng)得最后在這個(gè)的范圍內(nèi)取一個(gè)值即可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為。，連接。尸，OE,AE,AD,

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：4。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，乙4。尸=360。+6=60。，OA=OF=OE=OD=1,

.4/0尸為等邊三角形，

...AF=OA=OF^1,ZOFA=60°,

同理：AOER為等邊三角形，

ZOFE=60°,

ZOFA=ZOFE=60°,

又4F=EF,

AELOF,

.-.FT=OT=-OF,AT=EF,

2

在RtA/RT中，4F=1,FT=0.5,

由勾股定理得：AT=^AF2-FT2=^-,

2

AE=2AT=y/3,

又,.Q=OD=1,

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

AD=2,

?.?NM在邊ED上運(yùn)動(dòng)，

AE<AM<AD,

即：<AM<2,

4〃=1.8.

故答案為：1.8（答案不唯一）.

18.180

【分析】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，圓的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形找出各圖形之間

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.設(shè)△/BC外的6個(gè)小弓形的面積和為S弓形

,觀察圖形得到$弓*外的3個(gè)半圓的面積和一三角形外的陰影部分總面積=A/2C外

的3個(gè)半圓的面積和-450,得到的面積=；（另外3個(gè)半圓的面積和S弓衫-三角形內(nèi)

部的深色陰影部分面積），于是得到答案

【詳解】解：設(shè)△/呂。外的6個(gè)小弓形的面積和為S號(hào)形，

s弓彩外的3個(gè)半圓的面積和-三角形外的陰影部分總面積=A/8C外的3個(gè)半圓的面

積和-450,

??.△4BC的面積=；（另外3個(gè)半圓的面積和-S弓形-三角形內(nèi)部的深色陰影部分面積）

=；[另外3個(gè)半圓的面積和-（“SC外的3個(gè)半圓的面積和-450）-90]

=1（450-90）

=180；

故答案為：180.

19.（1）見(jiàn)解析

（2）NB/E=38°

【分析】（1）連接3c.首先證明=推出a4=ND=NE即可解決問(wèn)題；

（2）連接根據(jù)N84E=9（F-N/3E,只要求出//BE即可.

【詳解】（1）證明：連接3C,

答案第16頁(yè)，共26頁(yè)

E

B

Q^\；是OO的直徑,

"yeZ)

:.ZACB=90°,即3C_L4D,

VCD=AC,則BC垂直平分/Z),

/.AB—BD,

/A=/D,

???ZA=/E,

ZD=ZE,

CD=CE；

(2)解：連接/E,

???NABE是A4BD的一個(gè)外角，

ZABE=ABAC+ZD=52°,

；AB是。。的直徑，

NAEB=90°,

ZBAE=90°-52°=3S°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角

形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

20.(1)y=x~—lx—3；

(2)CD=V3+3.

【分析】本題考查了拋物線與圓的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直徑所對(duì)圓周角為

90°,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

答案第17頁(yè)，共26頁(yè)

（1）根據(jù)題意求得8（3,0）,。（0,-3）,設(shè)拋物線的解析式為y="x+l）（x-3）,利用待定

系數(shù)法求解即可；

（2）由直徑所對(duì)圓周角為90。，可證A/COSACB。，可得CO=右，由CD=OC+OD即可

求解.

【詳解】（1）解：???/（-：!,0）,且。。=08=30/,

:.OD=OB=3,

???5（3,0）,。（0,-3）,

二設(shè)拋物線的解析式為>=。（》+1）（》-3）,

把。（0,-3）代入得-3=a（0+1）（0-3）,

解得a=1,

???設(shè)拋物線的解析式為〉=（X+：1）（X-3）=X2-2X-3；

（2）解：如圖所示，連接NC,BC,

???/8是半圓的直徑，

ZACB=90°=ZCOA=ZCOB,

ZACO=90°-ZBCO=ZCBO,

.MACOSACBO,

AOCO

"CO）

■■CO2=OAOB=M=3,

CO-^3（負(fù)值舍去），

■■CD=OC+OD=y/3+3.

答案第18頁(yè)，共26頁(yè)

21.(1)見(jiàn)解析

672V13

⑵*

【分析】(1)由切線的性質(zhì)得//。。=44刃=90。，從而尸+/C。尸=90。，由圓周角

定理得N4FD=Na叨=90。，從而NC+/CQ/=90。，得到進(jìn)而可證

△AEFs"CB；

9

(2)由勾股定理求出/C=5,AB=2灰,證明△CEDs^c。/,求出。/二^,然后根據(jù)

△/￡尸s"C5即可求解.

【詳解】(1)證明：???0。與△/3C的邊相切，

NADC=/ADB=90°,

；"ADF+/CDF=9。。.

???40為OO的直徑，

：.ZAFD=ZCFD=90°,

.-.ZC+ZCDF=90°,

???ZC=ZADF.

,-AF=AF^

；,NC=NADF=NAEF.

?：/EAF=/CAB,

AAEFSDCB.

(2)解：vAD=4,CD=3,BD=6,ZADC=ZADB=90°,

???/C=舟+42=5,45=用+42=2屈.

???ZC=ZC,ZCFD=NADC,

nCFDs^CDA,

CFCD

??五一就‘

CF_3

二亍一丁

.AF_8^/13

,^B~65

答案第19頁(yè)，共26頁(yè)

由(1)得AAEFs"CB,

.EF_AF_8V13_EF

"BC~AB~65-3+6’

,皿72V13

??EF=-----?

65

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，靈活

運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

22.(1)證明見(jiàn)解析;

(2)8C=6；

(3)ZCED=120°.

【分析】(1)連接根據(jù)切線的性質(zhì)可得乙4。。=90。，則有44+44?！?gt;=90。，又

ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,ZABC=2ZACD,ti^ZAOD=ZABC,所以

ZA+ZABC=90°,再通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理可得44c8=90。，從而求證；

(2)連接。D,由正弦可得sin/4=^=￥=L,求出4=30。，再通過(guò)

OA4g2

tanNA=tanZ30°=—=即可求解；

AC3

(3)在優(yōu)弧也上取一點(diǎn)尸，連接CF、DF,由三角形的外角性質(zhì)求出/。。。=120。，通

過(guò)圓周角定理可得/尸=g/COD=60。，最后由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接。。，

???OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D,

??.ODLAB,

???//。0=90。，

.^ZA+ZAOD=90°,

?：OC=OD,

???/ACD=/ODC,

??.NAOD=ZACD+ZODC=2NACD,

答案第20頁(yè)，共26頁(yè)

???/ABC=2/ACD,

??.ZAOD=/ABC,

ZA+ZABC=90°,

：.ZACB=90°f

ACLBC,

??,oc為OO的半徑,

???6C是oo的切線;

圖1

???oc為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D,

???ODLAB,

.^ZADO=90°,

???O。的半徑為2百，OA=4也,

./,0。2Gl廠

sinZ-A=——=--r==—,AC=OA+OC=6J3,

OA4732

ZA=30°,

由（1）得：ZACB=90°,

tanZ.A=tanZ30°=，

AC3

BC43

FF

BC=6；

（3）解：如圖，在優(yōu)弧歷上取一點(diǎn)尸，連接CRDF,

答案第21頁(yè)，共26頁(yè)

：.zcoD=no0,

,-.ZF=-ZCOD=60°,

2

?.?四邊形CEZ）廠是。。內(nèi)接四邊形，

.?./CEA+N尸=180°,

：.ZCED=12.0o.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定與性質(zhì),

三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

23.（1）見(jiàn)解析；（2）CD=3BC理由見(jiàn)解析；（3）PE-PA=21.

【分析】（1）連接04,由等邊對(duì)的等角的性質(zhì)，得出=根據(jù)直角所對(duì)的圓

周角是直角，得到NC4D=90。，進(jìn)而推出。4,N8,即可證明結(jié)論；

（2）證明A/BCSA。詡，得到喋=啜=及二，從而得出8。=4改7,即可得到結(jié)論；

BDABAD2

（3）由（2）可得。）=加，利用同弧所對(duì)的圓周角相等以及直角所對(duì)的圓周角是直角，

得出CD2=2尸。2=54,則PC?=27,再證明^ACP^CEP，得出尸￡.尸/=PC2