導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性法則的學(xué)習(xí)，提

1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.

升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

2.借助判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提

3.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

思維導(dǎo)圖

02一一二一

求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

已知函數(shù)遞增、遞減求參數(shù)

已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)致與函數(shù)的單調(diào)性

知識:―已知函數(shù)不單調(diào)求參數(shù)

函數(shù)圖象變化趨勢與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系1_______/

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系

利用導(dǎo)數(shù)比較大小

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)解不等式

03知識清單

知識點01導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

i.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

(1)如果在區(qū)間(a,6)內(nèi)，f(x)>0,則曲線y=/(x)在區(qū)間(a,3對應(yīng)的那一段上每一點處切線的斜率都

大于0,曲線呈上升狀態(tài)，因此次x)在(a,6)上是增函數(shù)，如圖(1)所示；

(2)如果在區(qū)間(a,6)內(nèi)，/(x)<0,則曲線y=/(x)在區(qū)間(a,6)對應(yīng)的那一段上每一點處切線的斜率都

小于0,曲線呈下降狀態(tài)，因此段)在(a,6)上是減函數(shù)，如圖(2)所示.

(1)(2)

【解讀】1.對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性概念理解；

(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(x)〉0(/(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件；

(2)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對VxeQb),都有/'(x)20(r(x)<0)且

/'(x)在(。力)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

(1)確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求/'(x)；

(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

【即學(xué)即練1］(24-25高二上?全國?課后作業(yè))下列函數(shù)中，在(2,+對內(nèi)為增函數(shù)的是()

A.3sinxB.(x-3)e*C.x3-I5xD.Inx-x

【答案】B

【分析】求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)在(2,+s)內(nèi)是否大于等于0恒成立即可.

【詳解】對A,(3sinx)-=3cosx,在(2,+勾內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故A錯誤；

對B,［。-3)打=口-3)&+(%-3乂1)'=@-2"在(2,+8)內(nèi)大于。恒成立，故B正確；

對C,(X3-15X)，=3X2-15=3(X2-5).在(2,+9)內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故C錯誤；

對D,(lnx-x)，=--1=」，在(2,+功內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故D錯誤.

xx

故選：B

知識點02函數(shù)圖象變化趨勢與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系

觀察函數(shù)圖象，分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕對值的大小與函數(shù)圖象的變化關(guān)系

y

函數(shù)圖象Ty

廠.

00h0*

~0

導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)為正，且絕對值導(dǎo)數(shù)為正，且絕對值導(dǎo)數(shù)為負，且絕對值越導(dǎo)數(shù)為負，且絕對值

越來越大越來越小來越大越來越小

函數(shù)值函數(shù)值變化越來越快函數(shù)值變化越來越慢函數(shù)值變化越來越快函數(shù)值變化越來越慢

圖象特點越來越陡峭越來越平緩越來越陡峭越來越平緩

【即學(xué)即練2】(24-25高二上?陜西西安?期中)若函數(shù)>=/)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間口，回上是增函數(shù),

則函數(shù)y=Ax)在區(qū)間［a,切上的圖像可能是()

0a

【答案】A

【解析】因為、=作)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間口，可上是增函數(shù)，則從左到右函數(shù)以)圖像上的點的切線斜率是遞增

的.

04題型精講

題型01求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例1](24-25高二上?全國,課后作業(yè))函數(shù)V=xlnx在(0,5)上的單調(diào)性是()

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.在(0,2)上單調(diào)遞減，在(L5)上單調(diào)遞增

ee

D.在(0」)上單調(diào)遞增，在(±5)上單調(diào)遞減

ee

【答案】C

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)值大于0、小于0的不等式即可得解.

【詳解】函數(shù)了=xlnx的定義域為(0,+w，求導(dǎo)得y'=lnx+l,

由y'<0,得0<x<!；由_/>0,得x>!，

ee

所以函數(shù)y=xlnx在(0,3上單調(diào)遞減，在(L5)上單調(diào)遞增.

ee

故選：c

【變式1](23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))函數(shù)了=吧InV」4-1的單調(diào)增區(qū)間為()

X

A.(-<?,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+oo)

【答案】B

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得答案.

【詳解】函數(shù)>=見出的定義域為(0,+8),

,(lnx+1)x-(]nx+l)xrl-(lnx+l)-Inx

由/>0得lnx<0,解得0<x<l,

所以>=——的單調(diào)增區(qū)間為(0,1).

X

故選：B.

【變式2】(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)函數(shù)/(x)=2x-4ku的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-co,2)B.(0,2)C.(2,+co)D.(e,+co)

【答案】B

【分析】求出函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式/'(幻<0即可得解.

【詳解】函數(shù)〃x)=2x-41nx的定義域為(0,+s),求導(dǎo)得/(幻=2-2,

x

f'(x)<0,得o<x<2,

所以函數(shù)=2x-41nx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).

故選：B

【變式3】(23-24高二下?新疆省直轄縣級單位?階段練習(xí))函數(shù)J=的單調(diào)遞減區(qū)間為(

A.(-1,1)B.(0,1)C.[1,+<?)D.(0,+s)

【答案】B

【分析】求出定義域以及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可

【詳解】由題意，x>0

在y=；x2_lnx中，y'=X——=——-,

當(dāng)了=0時，解得X=-1(舍)或x=l,

當(dāng)了'<0即0<x<l時，函數(shù)單調(diào)遞減，

二?=-Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

故選：B.

【變式4】(23-24高二下?吉林,期中)函數(shù)/(x)=xe-，的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(1,+<?)B.(-?,1)C.(-8,-1)D.(-1,+0,)

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/代)=疣-工的定義域為R,求導(dǎo)得八x)=(l-x)ef,

由_f(x)>0,得x<l,所以函數(shù)f(x)=xeT的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,的

故選：B

題型02求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例2](24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數(shù)/(x)=gax2-(24+l)x+21nx+4am>0).

求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點情況及函數(shù)單調(diào)性；

【詳角軍】由/(%)=一(2。+l)x+21nx+4。，x>0,

得/(x)=ax_(2a+1)+2=江一伽+D*+2=3T)(—).

XXX

令/'(x)=0,解得玉=工"2=2.

a

當(dāng)0<a<—時，一>2,

2a

當(dāng)工￡(0,2)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x42,；|時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)*'時，/(X)>°，“X)單調(diào)遞增?

當(dāng)時，4=2,/(x)N0恒成立，〃x)在(0,+對上單調(diào)遞增.

2a

當(dāng)時，0<工<2,

2a

當(dāng)xe(o,J時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xeg,2)時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(2,+s)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)0<a<1時，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和(L+s],單調(diào)遞減區(qū)間為(2,-

2\aJa

當(dāng)”=；時，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+co),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時，〃了)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,￡|和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

【變式1](24-25高三上?天津西青?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+2ax(aeR).

⑴當(dāng)。=e時，求函數(shù)“X)在(1,7(1))處切線方程；

(2)求函數(shù)7'(x)的單調(diào)區(qū)間；

[答案](l)(l+2e)x7_l=0；

⑵答案見解析；

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，討論參數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

【詳解】(1)當(dāng)a=e時，/(x)=lnx+2ex(x>0),貝！J/(x)=1+2e,

X

所以/⑴=2e,r(l)=l+2e,故在(1J⑴)處切線方程為歹-2e=(l+2e)(x-1),

所以(l+2e)x-歹-1=0.

(2)由題設(shè)/'(%)=，+2。，且%>0,

x

當(dāng)時，r(x)>0,即/(X)的遞增區(qū)間為(0,+8),無遞減區(qū)間；

當(dāng)4<o時，o<x<一-L有八%)>o,%〉--L有八%)<o,

2a2a

此時“X)的遞增區(qū)間為(0,-，-),遞減區(qū)間為(-1，+8).

【變式2】(24-25高二上?四川眉山?期中)已知函數(shù)〃x)=lnx+?(aeR).討論〃x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為(。,+e),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。)

【分析】求出原函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點把定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得

原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】⑴函數(shù)〃x)=lnx+0的定義域為(0,+8),則/⑴」-烏=—

XXXX

①當(dāng)aWO時，r(x)>0恒成立，/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0,由r(x)>0得xe(a,+8),由尸(乂)<0得xe(0,a),

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(凡+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,0).

【變式3］(24-25高二上?全國,課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=asin(l-x)+lnx.

(1)當(dāng)a=2時，求曲線>=〃x)在點(1,/■⑴)處的切線方程；

⑵討論函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.

［答案］(1/+”1=0.

⑵答案見解析

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，結(jié)合切點坐標(biāo)由點斜式得出切線方程；

(2)求導(dǎo)，分類討論分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時，/(x)=2sin(l-x)+lnx,有/⑴=0,

/f(x)=-2cos(l-x)+—,/f(l)=-1,

又所以曲線y=/(x)在點處的切點坐標(biāo)為(i,o),切線斜率為-1,

得切線方程為x+y-i=o.

(2)函數(shù)/(x)=asin(l-x)+Inx,f(x)=「^cosO-x),

因為xe(O,l),所以cos(l-x)>0,

①當(dāng)a40時，對任意xe(O,l),均有_f(x)>0,此時〃尤)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)0<aWl時，因為xe(O,l),所以0<cos。-x)<1,所以/(x)>0,此時〃x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a>1時，^-r(x)=l-axcos(l-x),則T'(x)=-a[cos(l-x)+xsin(l-x)],

因為a>l,cos(l-x)>0,sin(l-x)>0,所以T<x)<0,T(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

XT(0)=l>0,T(l)=l-a<0,所以存在唯一x°e(O,l)使得T(x°)=0,即分0cos(1-x0)=l,

當(dāng)xe(O,x0)時，T(x)>0/(x)>0J(x)單調(diào)遞增，當(dāng)尤e伉,1)時，7(x)<0,〃x)<0J(x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，/(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)。>1時,/(x)在區(qū)間(0,%)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(龍。/)內(nèi)單調(diào)遞減,其中％為T(x)=l-"cos(l-x)在

(0,1)上的唯一零點.

【變式4](23-24高二上?河北石家莊?期末)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+(a-2)x-alnx(4eR).

(1)若“=1,求/(無)的導(dǎo)數(shù)；

(2)討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性.

【答案】(1)r(x)=2x-l-1,其中x>0；(2)見解析

【解析】(1)若。=1,貝U/(x)=x2-x—lnx,^/(x)=2x-l-1,其中x>0.

(2)r(xi+(”2卜:(2x+?(l),

當(dāng)a20時，當(dāng)無e(o,l)時，/'(x)<0；當(dāng)xe(l,+oo)時，/,(x)<0.

故〃無)的減區(qū)間為(0/)，增區(qū)間為0,+⑹.

當(dāng)好0時，若a<_2,則當(dāng)時，/'(x)>0；

當(dāng)時，/'(x)<0,故的減區(qū)間為11,-?，增區(qū)間為(0,1)1_會+，|.

若一2<a<0,則當(dāng)工€，,一。11(1,+⑹時，/'(x)>0；

當(dāng)時，/'(x)<0,故/(x)的減區(qū)間為1會11,增區(qū)間為〃，-f,。,+8).

若a=-2,/'(x"。恒成立(不恒為零)，故〃x)的增區(qū)間為(0,+8),無減區(qū)間.

綜上：當(dāng)時，故〃x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+⑹.

當(dāng)”-2時，故/'(x)的減區(qū)間為卜J增區(qū)間為(0,1),卜|,+沙

若一2<〃<0,故/(x)的減區(qū)間為(一■!」］,增區(qū)間為(0,~|)(1,+8).

若。=-2,/(X)的增區(qū)間為(0,+”),無減區(qū)間.

題型03已知函數(shù)遞增、遞減求參數(shù)

【典例3］(24-25高二上?浙江寧波?期中)若函數(shù)/(x)=罟在［2,+8)上單調(diào)遞增，則上的取值范圍為

()

44

A.kN—B.左4—1C.左<1D.kW—

33

【答案】D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可

jcx_i_1\—kx2—2x+k

【詳解】由/X="，得/痛=/丁

X+Ilx+1)

又在［2,+動上單調(diào)遞增，

所以廣⑶N0在［2,+co)上恒成立，即米2+2x_人(0在［2,+8)上恒成立,

22

即*——在［2,+8)上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

-----X----X

XX

1321

又f=--X在［2,+動單調(diào)遞減，所以三二，則一4-<0,

x23，

424

所以一二<一<0,故后

3t3

故選：D

【變式1】(23-24高二下?山東煙臺?期末)已知函數(shù)〃x)=；x3+辦2+無在(0,+的上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的

取值范圍為()

A.B.［-1,1］C.［1,+<?)D.［-l,+oo)

【答案】D

【分析】由題設(shè)可得r(x)20在(0,+8)上恒成立，分離參數(shù)后利用基本不等式可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=gx3+a/+x,則/''(x)=/+2辦+1,

因為/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故r(x)>0在(0,+8)上恒成立，

_-Y2-1

即x2+2ax+120在(0,+8)上，恒成立，BP2ax>-x2-1,即“2------,

2

-x2-l-x-lX1X1

設(shè)〃(x)=，%e(0,+8),//(%)=+<-2

2x2x22x22x

當(dāng)且僅當(dāng)x;=1，即X=1時等號成立，

22x

所以Q2—1.

故選：D.

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）己知函數(shù)/（x）=2d-6--18x+1在區(qū)間（私療_2機）上單調(diào)遞減,

則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.（-3,0）B.［-1,0）C.（3,5）D.（5,7）

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/'（x）的減區(qū)間，根據(jù)題意可得出區(qū)間的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實數(shù)加的不等式,

解之即可.

【詳解】由題意，得/'（X）=6/-12X-18=6（X-3）（X+1）.

令得T<x<3,即函數(shù)〃無）的減區(qū)間為（T3）,

因為/（x）在區(qū)間（心，蘇-2m）上單調(diào)遞減，所以（私/-2m）c（-l,3）,

m>-\

所以（加2_2加〉加，解得-1<加<0.

m2-2m<3

故選：B.

【變式3】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)〃x）=l-嚏-限在區(qū)間［1-。,2-可內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取

值范圍是.

【答案】［。,1）

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可知/（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2］,結(jié)合題意列式求解即可.

【詳解】由題意可知：“X）的定義域為（0,+8）,且=

令尸⑴20,得0<xV2,可知/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2］,

/\r1f1—6Z>0

若函數(shù)“X）在區(qū)間［1-凡2-4內(nèi)單調(diào)遞增，依題意°八,解得0Wa<l,

2—tzS2

所以。的取值范圍是［0,1）.

故答案為：［0,1）.

2

【變式4】（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）若函數(shù)/（幻=§工3-2尤2+依+10在區(qū)間上具有單調(diào)性，則

實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-8,T6]U[2,+8)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，再由分離參變量求參數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】由已知求導(dǎo)得：/(X)=2x2-4x+a,

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，

所以八x)=2x2-4x+a40或f\x)=2x2-4x+a20在[-1,4]上恒成立，

22

則在區(qū)間[-1,4]±,?＜(-2x+4x)mm或。z(-2x+4^)_,

因為g(x)=-2x2+4x在上遞增，在[1,4]上遞減,

且g(T)=-6,g⑴=2,g(,4)=-16,

所以g(x)的最大值為2,g(x)的最小值為-16,

所以a4-16或。22.

故答案為：(-8,-16]U[2,+8)

【變式5】(23-24高二下?四川德陽?期末)氣用武。,〃?)，x尸x”都有印%rJ%＞-1,則實數(shù)加的取

馬一再

值范圍為.

【答案】(0,e1

【分析】把不等式弛三戶＞T成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于。在(0即)內(nèi)恒成立，進而即可求解.

【詳解】不妨Vx”乙?0,〃7),再＜z,由題意分式^—“'J叫＞-1轉(zhuǎn)化為r風(fēng)-三間＞%-x2,

尤2-M

則則竺二五＞巫二三，即則二1＞西二1,故函數(shù)〃x)=電匚lxe(O,⑼單調(diào)遞增，

X|X2XxX2x2XjX

—xx-(lnx-l)

又因為小)2-lwc,解得xe(0,e2),

n/U

xe(0,e2),/'(x)＞OJ(x)單調(diào)遞增，所以O(shè)vmWe?.

故答案為：(0,e2].

題型04已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

3

【典例4](23-24高二下?山東荷澤?期末)己知函數(shù)〃x)=ax2+(的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+動，貝|a的值為

()

33

A.6B.3C.一D.

24

【答案】C

【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分。＜0、。＞0兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，從而得到

方程，解得即可.

3

【詳解】函數(shù)〃x）=ax2+；的定義域為{x|xwO},

又/'（x）=2辦-3="衛(wèi)，

XX

當(dāng)aWO時/'（x）＜0恒成立，所以/（x）沒有單調(diào)遞增區(qū)間，不符合題意;

]_

當(dāng)。＞0時，＞=2辦3-3單調(diào)遞增，令/''（x）＞。，解得x＞三,3

■LyfL\

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（或），

.7\7

依題意可得解得

故選：C

nInv-L1

【變式1］（23-24高二下?湖北孝感?階段練習(xí)）函數(shù)/（%）=---------2的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+8）,則。=

()

A.—B.1C.eD.e2

e

【答案】B

【分析】根據(jù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+功，而〃x）的定義域為（。,+勾），〃x）的一個極值點為1,利用

/'⑴=0即可得解。=1,然后再代入“X）驗證是否滿足題意即可.

【詳解】仆）一一嗎x+D="l-"X,

XX

因為“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+8）,而/'（X）的定義域為（0,+與,

所以"X）的一個極值點為工,

所以/'⑴Q=—*1=。，解得“=1.

所以〃x）=X-2,,⑴，-（嗎川）=當(dāng)

XXX

令八x）＜0,*＜0,解得無＞1,

X

所以/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+8）,符合題意，

綜上，a=\

故選：B.

【變式2】（23-24高二下?山東臨沂?期中）函數(shù)"X）=2x3+7的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,2）,貝匹=（）

A.6B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)x=2是/''（》）=6x2-2G=0的實數(shù)根即可求解.

[詳解]由/（x）=2--+7可得/（x）=6x2-lax,

由于/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,2）,故工=0和》=2是/＞'3=6/-2辦=0的兩個根,故24-4°=0,故4=6,

故選：A

【變式3】（24-25高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=°無_x+l恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值

可以是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】BD

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個零點問題，由判別式可解.

【詳解】當(dāng)。=0時，/（X）=+3X2-X+1,顯然不滿足題意；

當(dāng)awO時，依題意知，/'（工）=3,+6x-l有兩個不相等的零點,

aw0

所以解得a>-3且aw0,

A=36+12a>0

故選：BD.

【變式4】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（%）=/+辦2+],aeR.

⑴討論函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/（X）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶若函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是1-g,o）,求實數(shù)a的值.

【答案】（1）答案見解析

⑵口,+°0）

（3）a=\.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分。=0,。＞0,。＜0三種情況得出函數(shù)的單調(diào)性;

（2）由（1）知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求參；

（3）由（1）知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列等式求參；

【詳解】（1）由題意知/'（x）=3x2+2ax=3x[x+^].

①當(dāng)a=0時，/'（無）=3,20恒成立，

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,+切；

②當(dāng)。＞0時，令/'（x）＞o,得X（一?或x＞o,

令"x）＜0,得T＜x＜0,

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為卜8,一1［，（0,+對，單調(diào)遞減區(qū)間為卜，,0）

③當(dāng)。＜0時，令/'（x）＞0,得尤＜0或x＞-斗，令八無）＜0,得0＜"-胃,

.J。

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-叱0）,（一彳，+也），單調(diào)遞減區(qū)間為,，-彳）

（2）由（1）知，若"X）在，go1內(nèi)單調(diào)遞減，

貝U-gw-g,解得

即。的取值范圍是口,+8）.

（3）由（1）知，若〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間是1-1,0）

則一g=-|，解得。=L

題型05已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【典例5］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)〃x）=liu+"2一2在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

1

A.——,十。B.一--,+oo

3232

1

C.一展+8D.--,+00

2

【答案】C

【詳解】函數(shù)/⑴=欣+"2—2的定義域是（0,+。）,

2ax2+1

所以fr(x)=—+2tzx=

x

當(dāng)〃＞0時，r（x）＞0,則/（X）在（0,+。）上單調(diào)遞增，符合題意.

-］（負根舍去）,

當(dāng)。＜0時，由2辦2+1=0,得X

/

所以當(dāng)xe0,時，_r（x）＞oj（x）單調(diào)遞增;

時，/'（x）＜0J（x）單調(diào)遞減.

依題意，函數(shù)/⑺=Inx+江-2在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

所以解得一:<。<0.

\2a2

綜上，a>——.

故選：C.

【變式1】(23-24高二上?浙江寧波?期中)若函數(shù)〃》)=(無-叫2+班在區(qū)間(1,2)上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實

數(shù)加的取值范圍是.

【答案】,哈

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為/'(對>0在az上有解，分離參數(shù)后求函數(shù)最值即可得解.

【詳解】r(x)=2(x-m)+1(x>0),由題意/'(x)>0在(1.2)上有解，

即加<x+,在(1,2)上有解,

2x

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x+L在(1,2)上單調(diào)遞增，所以在x=2時取最大值，

故心<2+>：‘故實數(shù)機的取值范圍是一哈9

4

故答案為：［-00］］

【變式2】(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數(shù)Mx)=lnx-；a/-2x在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實

數(shù)a的取值范圍是

7

【答案】CL<---

16

【分析】求導(dǎo)得〃(無)=’-辦-2,轉(zhuǎn)化為力'(無)>0在［1,4］上有解，最后分離參數(shù)即可.

【詳解】函數(shù)/z(x)=一2、，則/z'(x)二,一辦一2,

因為以%)在［1，4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以1(、)>0在［1,4］上有解，

1?

所以當(dāng)［1,4］時，(2<-......有解，

XX

1211

令g(x)=T--，而當(dāng)。?1，4］時,令/=_叱,1］,

xxx4

19

g(x)=7—(即為9?)=?_2/=?T)7T，

此時M)max=。4)=二(此時％=4),所以二,

41616

7

故答案為：a<-.

16

【變式3](24-25高三上?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(》)=/+(x-2)e，-2x+5在區(qū)間(2俏-1,3"?+2)

上不單調(diào)，則加的取值范圍是.

【答案】

【分析】由函數(shù)f(x)的單調(diào)性結(jié)合題設(shè)即可列出關(guān)于加的不等式，解不等式即可得解.

【詳解】由題得定義域為R,f(x)=2x+(x-l)e-2=(x-l)(e*+2)，

所以xe(l,+co)時，/,(x)>0；xe(-8,1)時，/(x)<0,

所以函數(shù)“X)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減，

又函數(shù)在區(qū)間(2加-1,3〃?+2)上不單調(diào)，

所以2n+2=故機的取值范圍是

故答案為：

題型06已知函數(shù)不單調(diào)求參數(shù)

2

【典例6](22-23高二下?北京海淀?期中)若函數(shù)=hu在(0㈤上不單調(diào)，則實數(shù)左的取值范圍是

()

A.[1,+0>)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性求解實數(shù)人的取值范圍即可.

【詳解】因為〃x)的定義域為(0,+8),且/(回=苫-工=±i,

令_f(x)>0,解得x>l；令/''(x)<0,解得0<x<l；

可知/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

若函數(shù)〃x)在(0㈤上不單調(diào)，即le(0,k),可得左>1,

所以實數(shù)上的取值范圍是。,+⑹.

故選：B

【變式1](24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃元)=/一21nx在區(qū)間化2T左+1)上不單調(diào),

則上的取值范圍是()

A.(1,2)B.(V2,2)C.[l,&)D.--,V2

I2)

【答案】C

【分析】求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到不等式，求出左的取值范圍.

【詳解】???/'(X)=2X_2=2(X+1)(XT),又函數(shù)〃x)的定義域是(0,+8),

XX

當(dāng)0<x<l時，f'(x)<0,當(dāng)x>l時，fr(x)>0,

故函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

■■■,,,，解得14左

[斤+1>1

故選：C

【變式2】(23-24高二下?山東荷澤?期中)若函數(shù)〃x)=e=alnx+l在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實數(shù)。的取

值范圍為()

A.(e,e2)B.(e,2e2)C.(-℃,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

【答案】B

【分析】對〃x)求導(dǎo)并將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)ga)=xe、-a在(0,1)上存在變號零點，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,

結(jié)合零點存在性定理列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)，/6)=1，=貯^,又洋x)在(1,2)上不單調(diào),

XX

所以函數(shù)y=xe*-a在(1,2)上存在變號零點,

設(shè)g(x)=%e—ci9x￡(1,2),

則/(%)=(X+l)ex>0,則g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

fg(l)<0fe-a<0

所以二、八，即一、八，解得e<a<2e2,

[g(2)〉0[2e-a>0

則。的取值范圍是(e,2e2)

故選：B.

【變式3】(23-24高二上?江蘇南通,階段練習(xí))函數(shù)/(x)=x3-質(zhì)在區(qū)間(-3,-1)上不單調(diào)，則實數(shù)人的取值

范圍是.

【答案】(3,27)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布

問題求解.

【詳解】函數(shù)求導(dǎo)f'(x)=3x2_3

因為在區(qū)間(-3,-1)上不單調(diào)，所以rQ)在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)有零點.

又因為/■'(x)=3f-左為偶函數(shù)，所以/'(x)=0在上最多只有1個根.

r(-3)r(-l)<0,因為/(-3)=27_后,「(-1)=3-左,

所以(27-左)(3-左)<0n("27)("3)<0=>3<上<27.

故答案為：(3,27)

題型07原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系

【典例7](24-25高二上?全國?課后作業(yè))己知函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，那么y=/Q),

y=g(x)的圖象可能是()

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)圖象的關(guān)系，結(jié)合排除法確定滿足要求的圖象即可.

【詳解】從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在無。處斜率相同，可以排除B、c.

由于導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小，明顯y=/(x)導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)的斜率慢

慢變小，排除A.

故選：D

【變式1】(23-24高二下?福建龍巖?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)與其導(dǎo)函數(shù)r(x)的圖象的一部分如圖所示，則

關(guān)于函數(shù)g(無)=有的單調(diào)性說法錯誤的有()

B.在（0,2-百）單調(diào)遞減

C.在［2-匝1］單調(diào)遞減D.在［1,2］單調(diào)遞減

【答案】B

【分析】由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系可確定兩個圖象的分屬，由此可得g'（x）在不同區(qū)間內(nèi)的正負，進而判

斷單調(diào)性，得到結(jié)果.

【詳解】時,f（x）單調(diào)遞減;r（x）>0時，/（x）單調(diào)遞增,

已知圖象中在（口⑼上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增，

且有兩個零點x=-1和x=1的是（0）,

由圖象可知：當(dāng)xe卜1,2-網(wǎng)時，f［x}>f'［x}.當(dāng)xe［2-上,2］時，f{x}>f（x）.

,

.?.當(dāng)xe[-l,2-G]時，g[x)<0；當(dāng)xe[2-百,2]時,g(x)>0;

???g（x）在上不單調(diào),A錯誤；

在（0,2-上）上單調(diào)遞減，B正確；

在［2-e,1］,［1,2］上單調(diào)遞增，CD錯誤.

故選：B.

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為（（久），且r（x）的圖象如圖

所示，則/'（x）的圖象可能是（）

【分析】利用排除法，根據(jù)(0)的符號判斷了(X)的單調(diào)性，可排除A,D；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義排除C.

【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象可知f'(X)在區(qū)間(-雙。)先正后負，在區(qū)間(0,+8)先負后正，

故函數(shù)在區(qū)間0)內(nèi)先遞增后遞減，在區(qū)間(0,+8)內(nèi)先遞減后遞增，

結(jié)合4個選項的圖象，可排除A,D；

由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值是變化的，即函數(shù)/(x)在遞減區(qū)間的斜率也是變化的，排除C,

故選：B.

【變式3】(24-25高二下?全國?課前預(yù)習(xí))已知/(x)的導(dǎo)函數(shù)(Q)的圖象如圖所示，那么/(x)的圖象最有

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)廣(無)正負與函數(shù)/(x)的單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

【詳解】由題意可知，當(dāng)x<0和x>2時，導(dǎo)函數(shù)r(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<2時，導(dǎo)函數(shù)/'卜)>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增，故選項D正確.

故選：D.

【變式4】(23-24高二下?四川成都?期中)函數(shù)y=/(x)在定義域卜|,3)內(nèi)可導(dǎo)，記丫=/(久)的導(dǎo)函數(shù)為

則y=/CO的單調(diào)增區(qū)間為（）

B.

D.

【答案】B

【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

【詳解】若要y=/'（x）>0,則由圖可知xejlg

故>=/（x）的單調(diào)增區(qū)間為

故選：B.

題型08利用導(dǎo)數(shù)比較大小

【典例8］（23-24高二下?湖北?期末）已知5$>e8,q=3：b=5；c=e!，則。、久。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】對于。、6，Ac擴大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)變?yōu)檎麛?shù)幕的形式比較即可；對于構(gòu)造函數(shù)比較大小即可

【詳解】對于。、6,同時12次方可得3,與53,易知34<5',所以。<6；

對于6、c,同時4e次方可得5,與e。由題干可知5%>5,>e?,所以歹八3即6>c；

對于a、c,同時取對數(shù)可得乎與/（x）=—,/。）=匕止=0,解得X=e,

3exx

易得/（》）=叱在（0?單調(diào)遞增，（e,+⑹單調(diào)遞減，易知里<電±='，所以。<c.

x3ee

綜上可得a<c<6,

故選：B.

【變式1］（24-25高二下?浙江杭州?期中）已知。=曲也/=曲3,c=-!-,則。也。的大小為（）