第二十三章 旋轉(zhuǎn)（易錯28題5個考點）解析版-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊

第3單元旋轉(zhuǎn)（易錯28題5個考點）

一.利用軸對稱設(shè)計圖案（共1小題）

1.如圖1所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，

小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9

個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形的總長度是a+勖（結(jié)果用含a,b

代數(shù)式表示）.

……

I—a-I|----------------------總長---------------------1

圖1圖2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：方法1、如圖，由圖可得，拼出來的圖形的總長度=5a+4[a-2

（o-b）]=a+8Z?

故答案為：a+8b.

方法2、?.?小明用9個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形

，口朝上的有5個，口朝下的有四個，

而口朝上的有5個，長度之和是5a,口朝下的有四個，長度為4g-（?-/；）]

=8。-4a,

即：總長度為5a+80-4a—a+8b,

故答案為a+8b.

二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共20小題）

2.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°至AADE,點B、C的對應(yīng)點分別為

點。、E,下列結(jié)論中不一定正確的是（）

BDC

A.ZBAD=40°B.ZB=70°C.ND4c=40°D.ZADE=70°

【答案】C

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)得：ZBAD=ZEAC=40°,ZB=ZADE,AB=AD,

：.ZB=ZADB=X(180°-ZBAD)=70°,

2

AZADE=ZB=70°,

故4B、。都不符合題意；

「ND4c不一定等于40°,

選項C符合題意；

故選：C.

3.邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG如圖所示，若將正方形OEFG繞點0

按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分四邊形

0A的面積()

A.先增大再減小B.先減小再增大

C.不斷增大D.不變

【答案】D

【解答】解：?.?四邊形A5CD是正方形，

AZAOB=90°,ZDAO=ZABO=45°,OA=1AC,OB=XBD,AC=BD,

22

：.OA=OB,

旋轉(zhuǎn)得：四邊形F'G'是正方形，

AAE'OG'=90°,

AZE'OG'=ZAOB=9Q°,

：.ZE'OG'-4AON=/AOB-/AON,

NBON=ZAOM,

:AAOM/ABON(ASA),

???四邊形OMAN的面積=△AON的面積+ZXAOM的面積

=AAON的面積+Z\50N的面積

=AAOB的面積

=工正方形ABCD的面積，

4

...在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分。跖4N的面積不變，

故選：D.

4.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△?!￡>￡若NC4E=65

ZE=70°,S.AD±BC,NB4c的度數(shù)為()

A.65°B.70°C.75°D.85°

【答案】D

【解答】解：設(shè)A。與相交于點R

由旋轉(zhuǎn)得：ZBAD^ZCAE^65°,NE=NC=70°,

'：AD±BC,

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF=9Q°-ZC=20°,

ZJBAC=ZBAF+ZCAF=85°,

故選：D.

5.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZB=1Q°,將Rtz\ABC繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)角度a（0°<a<180°）得到RtAAiBiC,使得Ai、5、A三點共線,

則a的度數(shù)為（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】D

【解答】解：,??NAC3=90°,ZB=70°,

ZBAC=9Q°-NB=20°,

由旋轉(zhuǎn)得：ZBAC=ZBiAiC=20°,AC=AiC,

：.ZCAAi=ZB\AiC=20°,

AZACAi=180°-ZC4A1-ZBiAiC=140°,

???則a的度數(shù)為140°,

故選：D.

6.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到若NE=70°且A。，

3c于點E則NB4c的度數(shù)為（）

【答案】D

【解答】解：?.?ADL3C,

AZAFC=9Q°,

由旋轉(zhuǎn)得：ZBAD=60°,ZC=ZE=10°,

：.ZCAF=9Q°-NC=20°,

AZBAC^ZBAD+ZCAF^SQ0,

故選：D.

7.如圖，在△ABC中，AB=2,將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

60°,得到△AFC,連接38,貝I]3b等于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)得：AB^AB'=2,ZBAB'=60°,

AAABB'是等邊三角形，

：.BB'=AB=AB'=2,

故選：B.

8.如圖，直線c與直線。相交于點A,與直線人相交于點3,Zl=130°,Z2

=60°,若要使直線則將直線。繞點A按如圖所示的方向至少旋轉(zhuǎn)()

A.10°B.20°C.60°D.130°

【答案】A

【解答】解：?.?N2=60°,

若要使直線a〃。，則N3應(yīng)該為60°,

.?.N3=50°,

直線。繞點A按順時針方向至少旋轉(zhuǎn)：60°-50°=10°,

故選：A.

9.如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6,。是3c上一點，且3C=33D,AABD

繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE,則CE的長度為（）

【答案】D

【解答】解：?.?在等邊三角形ABC中，43=6,

.\BC=AB=6,

■;BC=3BD,

：.BD=1BC=2,

3

：AABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE,

AABD^AACE,

：.CE=BD=2.

故選：D.

10.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點。，點。又是正方形All。。的一

個頂點，且這兩個正方形的邊長都為2.若正方形AbBiCi。繞點。轉(zhuǎn)動，則

兩個正方形重疊部分的面積為（）

C,

A.16B.4C.1D.2

【答案】C

【解答】解：?.?四邊形ABC。為正方形，

：.ZOAB=ZOBF=45°,OA=OB

BO±AC,即NAOE+NEOB=90°,

又,??四邊形ALBCI。為正方形，

AZAiOCi=90°,^ZB0F+ZE0B=9Q°,

ZAOE=ZBOF,

在△AOE和△8。/中，

，ZA0E=ZB0F

<OA=OB

,Z0AE=Z0BF

(ASA),

?S兩個正方形重疊部分=S/\BOE+SAB。尸，

又SMOE=S&BOF,

=

S兩個正方形重疊部分=S^ABO—x2X2=1.

4

故選：C.

11.如圖，點A、B、C、D、。都在方格紙的格點上，若△C。。可以由△A03

旋轉(zhuǎn)得到，則合理的旋轉(zhuǎn)方式為（)

O-

A.繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°B.繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°

C.繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°D.繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)135°

【答案】C

【解答】解：A、根據(jù)圖形可知：ZDOB^ZCOA^9Q°,

以。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°后。和3重合，C和A重合，。和。重

口，

即△C。。可以由△AOB旋轉(zhuǎn)得到,合理的旋轉(zhuǎn)方式是繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

故本選項錯誤；

B、繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45度時，。才和B重合，故本想象錯誤；

C、繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,C和A重合、3和。重合，故本選項正確；

D、繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)135。，A不和C重合，故本選項錯誤；

故選：C.

12.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將△ABC繞

點3順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BDE,連接DC交A3于點E則△4。歹與4

BDF的周長之和為42cm.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：?.?將△ABC繞點5順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△5DE,

AAABC^ABDE,ZCBD=60°,

：?BD=BC=12cm,

：.△BCD為等邊三角形，

CD=BC=CD=12cm,

在RtAACB中，AB=寸AC?+BC2=V5+122=13,

△ACF與ABDF=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=

5+13+12+12=42(cm),

故答案為：42.

13.如圖，△ODC是由△Q43繞點。順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點。

恰好落在A3上，且NAOC=105°,則NC的度數(shù)是45°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???N49C的度數(shù)為105°,

由旋轉(zhuǎn)可得NAOD=NBOC=40°,

AZAOB=105°-40°=65°,

,.,△AOD中，AO=DO,

.,.NA”(180°-40°)=70°,

2

...△A3。中，ZB=180°-70°-65°=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得，NC=NB=45°,

故答案為：45°.

14.如圖，在平面直角坐標系中，將△AB。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，

點3、。分別落在點5、C處，點囪在x軸上，再將△AB。繞點Bi順時針

旋轉(zhuǎn)到△4B1C2的位置，點C2在x軸上，將△4B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到

△A252c2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去….若點A(旦，0),3(0,

【解答】解：?.N(1,0),B(0,2),

2

...RtA4OB中，AB=1,

2

OA+AB1+B1C2-—+2+^-=6,

22

.?.歷的橫坐標為：6,且52c2=2,即及(6,2),

.?.34的橫坐標為：2X6=12,

...點比018的橫坐標為：2018+2X6=6054,點及oi8的縱坐標為:2,

即&018的坐標是(6054,2).

15.如圖，在△ABC中，AB=6,將△ABC繞點3按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得

到△AiBCi,則陰影部分的面積為9

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：?在△ABC中，AB=6,將△ABC繞點3按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°

后得到△48。,

AABC^AAiBCi,

/.A\B=AB=6,

...△4B4是等腰三角形，ZAiBA=30°,

如圖，過4作AiDLAB于。，則ALD=LLB=3,

2

.,.SAAIBA=1X6X3=9,

2

又"：S陰影=SAAIBA+SAAIBCI-SAABC,

SAAIBCI—SAABC,

??S陰影=SAAIBA=9.

故答案為：9.

16.如圖，直線PQ〃MN,點A在PQ上，直角△BER的直角邊BE在MN上,

且NE3R=90°,ZBEF=3Q°.現(xiàn)將繞點3以每秒1°的速度按逆時

針方向旋轉(zhuǎn)（E,R的對應(yīng)點分別是E',P）,同時，射線AQ繞點A以

每秒4。的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（。的對應(yīng)點是。'）.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒

（0WW45）.

(1)ZMBF'=(90-f)°(用含f的代數(shù)式表示)

(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線A0與邊E'F'平行時，則f的值為6秒

或42秒.

p42

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖1,由題意得：ZFBF=t°,ZFBM=90°,

：.ZMBF=9Q°-t°=(90-r)°,

故答案為：(90-f)°；

(2)①如圖2,AQ//EF,

延長BE交A。'于C,則/尸EB=/ACB=30°,

由題意得：ZEBE'=t°,ZQAQ,=4t°,

.,"+4f=30,

f=6；

②如圖3,AQ//EF,

延長BE,交PQ于D,交直線A2于C,則/斤EB=N4CD=30°,

由題意得：ZNBE=t°,ZQAQ'=4t°,

：.ZADB=ZNBE'=t°,

■:ZADB=ZACD+ZDAC,

.\30+180-4t=t,

t=42,

綜上，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線A。與邊EF1平行時，貝卜的值為6秒或

42秒;

故答案為：6秒或42秒.

17.如圖，長方形ABCD中A3=2,BC=4,正方形AERG的邊長為1.正方形

AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，線段CF的長的最小值為，芯二、介

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接ARCF,AC,

:長方形A3CD中A3=2,BC=4,正方形AERG的邊長為1,

:.AC=2如,AF=?

'：AF+CF^AC,

：.CF^AC-AF,

當點A,F,。在同一直線上時，CT的長最小，最小值為2&-加,

故答案為：2下＞-V2.

18.閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點43、C的距離分別為3,

4,5,求NAP3的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△A3P繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，止匕時△ACP

SABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段以、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三

角形中，從而求出NAPB=150°；

（2）基本運用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，ZkABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、R為上的點且NE4R

=45°,求證：EF2=BE1+FC2^

（3）能力提升

如圖③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點。為RtA

ABC內(nèi)一點，連接AO,BO,CO,且NAOC=NCO3=N3O4=120°,求

OA+OB+OC的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）VAACP'^AABP,

：.AP'=AP=3、CP'=BP=4、ZAP'C=/APB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角NB4P=60°,

P為等邊三角形，

PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

易證C為直角三角形，且NPPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150。；

(2)如圖2,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAE'=/BAE,AACE'=N

B,ZEAE'=90°,

VZEAF=45°,

：.ZE'AF^ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°

二45。，

AZEAF=ZE'AF,

在歹和AR中，

'AE=AE'

，ZEAF=ZEyAF

AF=AF

A△￡4F^AE,AF(SAS),

：.E'F=EF,

VZC4B=90°,AB=AC,

：.ZB=ZACB=45°,

：.ZE1C尸=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,

即EF2=BC+Fd

(3)如圖3,將△AOB繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60°至AA'O'3處，連接。?！?，

：在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=3Q°,

：.AB=2,

.*.BC=^AB2_AC2=^3,

；AAOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,

.,.△A'O'3如圖所示；

ZA'BC=NABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

：.AB=2AC=2,

,.,△A05繞點3順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到O'B,

：.A'B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO,

：.△BOO/是等邊三角形，

：.BO=OO',ZBOO'=ZBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=/BO'A'+ZBOO'=120°+60°=180°,

...C、0、A'、O'四點共線，

在Rt^A'BC中，A'C=7(V3)22,

VBC2+A^B2=+2=

：.OA+OB+OC=A'O'+00'+OC=A'C=47-

19.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AER點E落在3C邊上,

ER與AC交于點G.

(1)求證：AABE是等邊三角形；

(2)若NACB=28。，求NRGC的度數(shù).

/

G

BE

【答案】(1)見詳解過程.

(2)88°.

【解答】(1)證明：?.,將△A3C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AER

：.AB=AE,/BAE=60°,

ZXABE是等邊三角形.

(2)解：?.,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至

AZBAE=ZCAF=60°,ZACB=ZAFE=28°,

ZFGC是AAGF的外角，

AZFGC=ZCAF+ZAFE=88°.

20.如圖，在等邊△ABC中，點。為△ABC內(nèi)的一點，ZADB=120°,ZADC

=90°,將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE,連接DE.

(1)求證：AD=DE；

(2)求NDCE的度數(shù)；

(3)若3。=1,求AD,CD的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)?.?將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE,

AABD力AACE,NA4C=ZDAE,

：.AD=AE,BD=CE,ZAEC=ZADB=120°,

△ABC為等邊三角形，

ZBAC=60°,

AZDAE=60°,

...△ADE為等邊三角形，

：.AD=DE；

(2)ZADC=90°,ZAEC=120°,ZDAE=60°,

AZDCE=360°-ZADC-ZAEC-ZDAE=90°；

（3）?..△ADE為等邊三角形，

AZADE=60°,

ZCDE=ZADC-ZADE=30°,

又,.?NDCE=90°,

:.DE=2CE=2BD=2,

：.AD=DE=2,

在RtZXDCE中，℃=?202=五

21.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點，且以=5,PB=4,PC=3,將△AP3繞

點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△CQB.

（1）旋轉(zhuǎn)角為60度;

（2）求點P與點Q之間的距離；

【答案】（1）60；

（2）4；

（3）150°.

［解答］解：（1）：將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),

/PBQ=/ABC,

,：ZVLBC為等邊三角形，

：.ZPBQ=ZABC=60°,

旋轉(zhuǎn)角度為60°,

故答案為：60；

（2）連接P0,

：△ABC是等邊三角形，

B

AC

：.ZABC=60°,BA=BC,

'：△QCB是△拼B繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，

:.AQCB出ARAB,

：.BP=BQ,ZPBQ=ZABC=60°,CQ=AP=5,

,:BP=BQ=4,ZPBQ=60°,

...△PB。是等邊三角形，

:.PQ=PB=4；

即點P與點。之間的距離是4；

(3)'：QC=5,PC=3,PQ=4,

而32+42=52,

.，.PC2+PQ2=CQ2,

??.△PCQ是直角三角形，且NQPC=90°,

是等邊三角形，

AZBPQ=60°,

AZBPC=ZBPQ+ZQPC^60°+90°=150°.

三.中心對稱圖形(共3小題)

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

B.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

23.下列圖形中，繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°后可與本身重合的是（）

A.平行四邊形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.正五邊形

【答案】A

【解答】解：平行四邊形能繞某個點（平行四邊形的對角線的交點）旋轉(zhuǎn)180°

后與自身重合，等邊三角形、等腰直角三角形、正五邊形不能繞某個點旋轉(zhuǎn)

180°后與自身重合.

故選：A.

24.在①平行四邊形、②正方形、③等邊三角形、④等腰梯形、⑤菱形、⑥圓、

⑦正八邊形這些圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是②⑤⑥⑦

（填序號）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是：②正方形、⑤菱形、

⑥圓、⑦正八邊形，

故答案為：②⑤⑥⑦.

四.關(guān)于原點對稱的點的坐標（共2小題）

25.在平面直角坐標系中，點P（-3,m2+l）關(guān)于原點的對稱點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限