第五章 數(shù)列 章末題型大總結(jié)（原題版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊）

第五章數(shù)列章末題型大總結(jié)

01知識導(dǎo)圖

題型總結(jié)

等差、等比數(shù)列基本量計(jì)算

等差數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用

等比數(shù)列的性質(zhì)

由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題

累加法與累乘法

裂項(xiàng)相消法

根據(jù)Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)

錯(cuò)位相減法

構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)

并項(xiàng)法

等差、等比數(shù)列的判斷

數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用

數(shù)列中的新定義問題

02題型精講

題型01數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用

解題錦囊

求數(shù)列最大（?。╉?xiàng)的方法

（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

（2）利用"B+1,求數(shù)列中的最大項(xiàng)4；

Na?-\

利用""+1,求數(shù)列中的最小項(xiàng)4.

〔%W%

當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定.

【典例1］（24-25高二上?河北滄州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=等三，則｛6｝中的項(xiàng)最

2n—7

大為（）

1

A.-B.0C.-1D.2

5

【變式1］（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式為。"=/（|）小，若對于任意正整數(shù)〃,

都有?！?lt;am成立，則m的值為（）

A.15B.16C.17D.18

2

【變式2】（24-25高二上?河北保定?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，若%=3,〃用=2-一,則下列數(shù)不是｛%｝

%

中的項(xiàng)的是（）

14

A.-1B.-C.-D.-2

【變式3】（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%二"’7

[a,〃>7

（77.N*）,若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

C.（2,3）D.[2,3）

，

【變式4】（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）在無窮數(shù)列｛%｝中，％=1,a?_1+2a?=0（n>2,neN）,數(shù)列｛%｝

的前n項(xiàng)和為斗，則S"的最大值與最小值的差為（）

A.-B.；

84

C.yD.無法確定

題型02由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)

解題錦囊

II由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

①各項(xiàng)的符號特征，通過（-1）”或來調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng).

②考慮對分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系.

II③相鄰項(xiàng)（或其絕對值）的變化特征.

④拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征.

II⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律.

1!===================================：

【典例1]（24-25高二上?江蘇南通?期中）已知數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)依次為0,2,0,2,則其通項(xiàng)公式可能為

（）

A.??=l-（-l）nB.a?=1+（-1）"

C.an=cosnn-1D.an=sin?7i+1

【變式1】（24-25高二上?山東荷澤?階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝的前四項(xiàng)依次為2,12,112,1112,則｛0“｝的

一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

H-1

A.an=10+2B.an=（?-1）（45/1-80）+2

【變式2】（24-25高二上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩

項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1,5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,6,5,第2次

得到數(shù)列1,7,6,11,5,依此類推，第〃次得到數(shù)列1,西戶2,…,5.記第〃次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為

S?,則｛SJ的通項(xiàng)公式S.=（）

A.3,,+,+3B.3"+1+1C.3"+3

【變式3】（24-25高三上?天津河西,期中）將數(shù)列｛3"-1｝與｛2'｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛《,｝,則知=

（）

A.237B.238C.239

【變式4]（24-25高二上?甘肅白銀?期中）已知數(shù)列L-3,5,-7,9,…，則該數(shù)列的第985項(xiàng)為（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

題型03累加法與累乘法

II解題錦囊

累加法適用于4+1—4=/（"）或%—川型，其解題恒等式為an=a1+（a2—ai）+（a3—a2）+...+（an—

IIan-i）（n>2,r?￡N*）求解

II〃〃

累乘法適用于&"=/（"）或2=/（〃）型，通常利用a尸四一1.....豈q,求出通項(xiàng)a”.

||anan-\Un-1On-2Ul

11===================================

【典例3】（24-25高二上?山東?期中）在數(shù)列｛。“｝中，％=1,。向=a”+ln[l+：）,則｛““｝的通項(xiàng)公式為.

【變式1】（24-25高二上?上海?期中）若數(shù)列｛叫滿足%=1,且。用=?！?2〃（其中”21,〃eN）,則｛叫

的通項(xiàng)公式是.

【變式2】（23-24高二下?海南?？?期中）已知數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S”,％=2且滿足S,,=/%,則數(shù)列

｛0“｝的通項(xiàng)公式為.

【變式3】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)歹3｛助｝滿足「向+氏=2”,即=1,則即破3=

?斗一Q”

【變式4】（24-25高二上?重慶?期中）將正奇數(shù)按照如圖排列，我們將3,7,13,21,31……，都稱為"拐角數(shù)"，則

下面是拐角數(shù)的為（）

2325272931

21

1933

1735

15537

39

13119

41

C.IllD.135

題型04根據(jù)S”與an的關(guān)系求通項(xiàng)

11解題錦囊

II

II（1）已知求斯

已知=/（〃）求通項(xiàng)，步驟可分為三步：（1）當(dāng)心2時(shí)％=s“-S"T；（2）當(dāng)〃=1時(shí)，q=S］；

II（3）檢驗(yàn)?zāi)芊窈蠈?，?=1和"22兩種情況能否合寫成一個(gè)公式，否則就寫為分段的形式.

（2）已知S"與的關(guān)系求許

II根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用%=S0—S-1（n>2）轉(zhuǎn)化為只含5n，Sn-1的關(guān)系式，再求解；

||（2）利用S〃一5-1=%（H>2）轉(zhuǎn)化為只含分，4一的關(guān)系式，再求解.

II_

【典例4】（24-25高二上?天津靜海?階段練習(xí)）已知S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且滿足S“=/+2〃+2,則

｛%｝的通項(xiàng)公式為.

【變式1】（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和S“=2向-2.則數(shù)列氏=.

【變式2（24-25高三上?天津?期中）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為1若％=2,%=2s,+2（〃eN*）,則

二?

【變式3】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足與+3S“S,T=。

（?>2J=L?eN*）,=1,貝！|S”=.

【變式4】（24-25高二上?河南?期中）記數(shù)列｛a｝的前。項(xiàng)和為邑,已知S,M+S"_I=2S"+2〃（?>2）

%=1,出=3,貝U%=.

題型05構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)

解題錦囊

用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如an+l=kan+p（匕p為常數(shù)，切片0）的數(shù)列，可用"待定系數(shù)法”將原等式變形為

an+l+m=k（a?+m）（其中：加=:一）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+加｝,先求出｛?！?加｝的通項(xiàng)，從而

k-1

求出數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式.

倒數(shù)法

形如冊+1=上」（?應(yīng)為常數(shù)，PqQ的數(shù)列，通過兩邊取"倒、從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列［工］,

P%+g［a?\

先求出的通項(xiàng)，即可求得斯.

【典例5］（23-24高二上?廣東深圳?期末）己知數(shù)｛斯｝滿足q=2,%+1=5。“+12,則數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式

【變式1］（23-24高一下?上海?期末）數(shù)列｛%｝滿足%=2,%=3%+2用，則數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為

/、6Z1

【變式2］（23-24高二下?河南?期中）數(shù)列｛%｝中，若％=1,%+1=77尸，則一=_____________

1十Zu

【變式3】在數(shù)列｛%｝中，已知q=2,。用=肅工，則｛%｝的通項(xiàng)公式為

題型06等差、等比數(shù)列的判斷

解題錦囊

?1.等差數(shù)列的定義

II

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)

II歹U,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

2.等比數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，第一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，

［這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（qWO）.

【典例5］（24-25高三上?陜西?階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛6｝,也｝滿足尺=6也…且%+*=2%,則

（）

A.｛瓦｝為等差數(shù)列B.為等差數(shù)列

C.｛M｝為等比數(shù)列D.也｝為等比數(shù)列

【變式1］（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）"數(shù)列｛logs%｝是等差數(shù)列"是"數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列"的（）條

件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【變式2】（24-25高三上?江西南昌?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝,｛2｝的前"項(xiàng)和分別為S“，T”,則下列命題

正確的是（）

A.若。用-%=2（〃wN*）,則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

B.若6用=24（"eN*）,則數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列

C.若數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，則S“，S2ri-Sn,S3.-邑“，…（”eN*）成等差數(shù)列

D.若數(shù)列也｝是等比數(shù)列，則北，T2n-Tn,-耳,…（〃eN*）成等比數(shù)列

【變式3】（24-25高二上?河北保定?階段練習(xí)）記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，%+4=14,1=30.

⑴證明：數(shù)列｛S“-叫是等差數(shù)列.

⑵若數(shù)列也｝滿足q=2［,且%=4+%,求也｝的通項(xiàng)公式.

【變式4】（2024高三上?山東濟(jì)南?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為九?,=13,

（%-8,”為奇數(shù)

n+113%,〃為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列｛/“一「12｝為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的前2〃+1項(xiàng)和S2?+1.

題型07等差、等比數(shù)列基本量計(jì)算

11解題錦囊

II

||（1）在等差、等比數(shù)列｛%｝中，其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和兩個(gè)公式共涉及內(nèi),d,n,a“及S"五個(gè)基本量,

11它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)和前〃項(xiàng)和；、

（2）依據(jù)方程的思想，在數(shù)列前〃項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”。

0====================================

【典例7］（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛g｝的前3項(xiàng)和為28,%>0且。5-出=56,

則。6=（）

A.28B.56C.64D.128

【變式1］（23-24高三上?山東?期中）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且-％,\七，%成

等差數(shù)列，若%=1,貝1」邑=（）

A.9或15B.15C.2或—15D.-

888

【變式2］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,若％，&M+1成等比數(shù)列,

則為=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【變式3］（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.己知$7=幾,%=5,則％=

（）

A.10B.9C.-9D.-10

【變式4】（24-25高三上?湖北?期中）已知等比數(shù)列｛4｝滿足：+:+：=14,%=；,記S“為其前〃項(xiàng)

和，則邑=（）

777

A.-B.—C.—D.7

842

題型08等差數(shù)列的性質(zhì)

解題錦囊

II1.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

（1）若加+”=22，則%+%=2%,；

（2）若冽+”=夕+夕，則見“+?！?<+%；

11（3）下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)以，歿+,“，歿+2?,,…組成以加d為公差的等差數(shù)列

||2,與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)

［設(shè)等差數(shù)列｛%｝（公差為d）和低｝的前"項(xiàng)和分別為7；,

C1

II（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4,公差為一d.

n2

（2）Sk,S2k-Sk,s3k-Sik，…,Smk-S5T%,…構(gòu)成公差為％2〃的等差數(shù)列.

,、S^s.ci

⑶若數(shù)列｛4｝共有2〃項(xiàng)，則S偶一5奇=〃4,-=^~；

>偶a?+i

||若數(shù)列｛4｝共有2"—1項(xiàng)，則S奇一S偶=%,資==15奇="。“，S偶=（〃一1）。“）.

II偶

”,,、邑〃_］a〃^2m-1_2m~1。冽

（4）----=-----=---------

心tb〃'七一21bj

【典例8］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為色，已知。3+4=8,貝iJSg：

（）

A.28B.30C.32D.36

【變式1】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）（多選）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列,

m,n,p,qeN*.（）

A.若機(jī)+〃=p+q,則％“+%=<+4

B.若%+%=%+%,貝l|〃7+"=0+q

C.若m+n=p+q,則她=b也

D.若b,“bn=bpbq,則加+"=p+q

【變式2】（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）若等差數(shù)列｛%｝的前加項(xiàng)的和S,“為20,前3加項(xiàng)的和S3.為

90,則它的前2加項(xiàng)的和邑,“為（）

A.30B.70C.50D.60

c

【變式3】（24-25高二上?河北滄州?階段練習(xí)）已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若口―E=l（加22,

m

且…），則素F…）

A.1B.2C.-1D.-2

【變式4】（24-25高二上?陜西榆林?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝,｛4｝的前"項(xiàng)和分別為。，工，若

題型09等比數(shù)列的性質(zhì)

II解題錦囊

||若數(shù)列｛4｝是公比為9的等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為A，則有如下性質(zhì)：

（1）若加+"=夕+4,則a7A=%若加+"=2r,則％=a；（X〃,p,q/eN*）.

推廣：若加+〃+/=?+夕+「，則%=4%%.

（2）若見〃，夕成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

||（3）若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝|]”=夕，若項(xiàng)數(shù)為2〃+1,則一一=q.

。奇》偶

11

（4）當(dāng)"-1時(shí),連續(xù)加項(xiàng)的和^nSm,S2m-Sm,S3m-S2m,-）仍組成等比數(shù)列（公比為自加,

||m>2）.注意：這里連續(xù)％項(xiàng)的和均非零.

II________________________________________________________________________________________________

ab

【典例9]（24-25高二上?山西晉城?階段練習(xí)）定義2x2行列式，-瓦，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

ca

列｛叫,其前"項(xiàng)和為%則;:卜|：

）

A.-1B.0C.1D.2

【變式1】（23-24高三上?江蘇揚(yáng)州?期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$3=5,$6=20,貝1］工=

（）

A.66B.67C.65D.63

【變式2］（24-25高二上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，〃；+2〃6〃8+〃；=100,貝I

a5+a9=.

【變式3］（24-25高二上?全國?隨堂練習(xí)）若等比數(shù)列｛%｝共有2〃項(xiàng)，其公比為2,其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)

和少100,則數(shù)列｛《｝的所有項(xiàng)之和為.

題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題

11解題錦囊

II

||思路1：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特性求最值；

?思路2：結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性找變號項(xiàng)進(jìn)而求出最值.

11_

【典例10］（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）己知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,,若％,

%，%是等比數(shù)列，則當(dāng)S,取最大值時(shí)，?=（）

A.2或3B.2C.3D.4

【變式1］（24-25高二上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）若｛%｝是等差數(shù)列，S,表示｛七｝的前〃項(xiàng)和，%+%>0,

及<0,則6，｝中最小的項(xiàng)是（）

S5

A.53B.C.'D.S6

【變式2］（24-25高二上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）（多選）已知S”是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，%>0,且

S10=$16，貝U（）

A.公差d<0B.?16>0

c.S?6=0D.當(dāng),z=13時(shí)，s,最大

【變式3］（24-25高二上?福建龍巖?階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和為S,，公差為d,若%=30,幾=幾,

貝U（）

A.d=-2

B.Sn<Sl5

C.《5=2

D.S3Q=0

題型11裂項(xiàng)相消法

【典例11］（24-25高二上,福建龍巖?階段練習(xí)）（多選）設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為已知y=2。a-1,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.S2=2

B.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

n

C.an=2

D.若”---------'----------,則數(shù)列也,｝的前10項(xiàng)和為詈

log2a?+llog2a?+211

【變式1】（24-25高二上?重慶,期中）已知｛4｝為等差數(shù)列，其公差為d,前〃項(xiàng)和為S“，抄,｝為等比數(shù)列,

其公比為4,前”項(xiàng)和為北，若d=qwl,a5=T3,S9=T6,4=6.

⑴求公差d和4;

bn

⑵記的=（不屈f證明：+。2-----<1.

【變式2】（24-25高三上?河北,期中）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且%=4,54=20.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列也｝滿足b?=g+右_］）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T1t.

【變式3】（24-25高三上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛與｝前"項(xiàng)和為S"，滿足6s“=（3〃+2”“+2.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=If回!）,求數(shù)列也｝的前100項(xiàng)和%.

—

題型12錯(cuò)位相減法

【典例12］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛6｝的前“項(xiàng)和為邑，且其=453，%=9.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足g+*+…+"+*=5"，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和Tn.

【變式1】（24-25高二上?福建廈門?階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S.，且2s,=3為-等差

數(shù)列也｝滿足4=3%,鳥=%+4.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，=/，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

【變式2】（23-24高三下?四川攀枝花?階段練習(xí)）已知公差為"（">（））的等差數(shù)列｛。"｝中，％+%=8,

%?。3=15.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若6,=3"7,令c“=a?b?,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S..

【變式3】（24-25高二上?江蘇淮安?期中）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，a“+i=2a“+2"（〃eN*）,%=1.

⑴證明：數(shù)列［墨｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S“；

⑶若S,42%-4〃-九對任意〃eN*恒成立.求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

題型13并項(xiàng)法

【典例13］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,前〃項(xiàng)和為

$“嗎+「%=2"（〃€曠），則邑必等于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3x21012-2D.3x21012-3

【變式1】（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為y，若q=1,an+an+l=2n+l,

則$29=.

【變式2】（24-25高二上,江蘇南京?階段練習(xí)）設(shè)｛%｝的前"項(xiàng)和為S“=g（l+a“），且出+%=5.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式為a，求其前"項(xiàng)和凡；

［2〃,〃為偶數(shù)

3

⑶記c.=一K，｛c“｝的前"項(xiàng)和為北，求證：Tn<-.

【變式3】（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，已知S“=2a“-"+1.

⑴證明：數(shù)歹U｛%+1｝是等比數(shù)列；

a，，，n'0叫/里將，求數(shù)列也｝的前2"項(xiàng)的和?

%〃為偶數(shù)

【變式4】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛叫滿足2s“=3-%.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足加=嚏/〃，求數(shù)列［（-1）"的前〃項(xiàng)和T?.

題型14數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【典例141（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下,

海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候水位就會異常的高.某地發(fā)

生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機(jī).經(jīng)測算，需要調(diào)用20臺某型號抽水機(jī)，

每臺抽水機(jī)需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機(jī)需要從其他施工現(xiàn)場抽

調(diào).若抽調(diào)的抽水機(jī)每隔20min才有一臺到達(dá)施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共

需要抽調(diào)這種型號的抽水機(jī)（）

A.25臺B.24臺C.23臺D.22臺

【變式1】（24-25高三上?湖南?期中）為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣，小張11月1日運(yùn)動(dòng)了2分鐘，從

第二天開始，每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長比前一天多2分鐘，則從"月1日到11月15日，小張運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長為

（）

A.3.5小時(shí)B.246分鐘

C.4小時(shí)D.250分鐘

【變式2】（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的

總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長方臺形

垛積，第一層有一=6+1）個(gè)小球,第二層有（。+1）0+1）個(gè)小球,第三層有-+2）0+2）依此類推,

最底層有〃個(gè)小球，共有〃層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長方臺形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168,則該垛積

的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3】（24-25高三上?江西上饒?期中）復(fù)印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為A系列、8系列、C

系列，其中A系列的幅面規(guī)格為4，4，4,…，4,所有規(guī)格的紙張的長度（以x表示）和幅寬（以了

表示）的比例關(guān)系都為x:y=8:l；將4紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為4規(guī)格；將4紙張沿長度

方向?qū)﹂_成兩等分，便成為4規(guī)格；…，如此對開至4規(guī)格.現(xiàn)有4，4，4，...，4紙各一張，若4紙的

幅寬為1dm,則這9張紙的面積之和為（）

△255722255憶2

A.------dmB.------dm

42

511氏2511包2

Cr------dmD.-----dm

84

題型15數(shù)列中的新定義問題

【典例15］（24-25高二上?廣東?階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列｛r｝因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（Leonard。

F

Fibonacci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列".因"趨向于無窮大時(shí)，音無限趨近于黃金分割數(shù)，