動態(tài)平衡和臨界、極值問題【三大題型】解析版-2025年高考物理專項復(fù)習(xí)（新高考）

第06講動態(tài)平衡和臨界、極值問題

熱點(diǎn)題型歸納

題型一動態(tài)平衡問題

題型二平衡中的臨界問題

題型三平衡中的極值問題

考情分析

課標(biāo)要求命題預(yù)測重難點(diǎn)

L學(xué)會用圖解法、解析法等

解決動態(tài)平衡問題。

索橋、千斤頂、刀、木楔的工(1)體會臨界和極值的物理含義。

作原理。(2)理解動態(tài)變化的過程。

2.會分析平衡中的臨界與

極值問題。

題型分類?舉一反三

題型一動態(tài)平衡問題

【典型例題剖析】

【例1】(多選)如圖所示，在傾角為a的斜面上，放一質(zhì)量為用的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦,

當(dāng)擋板繞。點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中()

A.斜面對球的支持力逐漸增大

B.斜面對球的支持力逐漸減小

C.擋板對小球的彈力先減小后增大

D.擋板對小球的彈力先增大后減小

【答案】BC

【詳解】對小球受力分析知，小球受到重力加g、斜面的支持力FNI和擋板的彈力FN2,如圖，當(dāng)擋板

繞。點(diǎn)逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和尺2的

合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小

球的支持力尸N1逐漸減小，擋板對小球的彈力尸N2先減小后增大，當(dāng)尸N1和尸N2垂直時，彈力風(fēng)2最小，

故選項B、C正確，A、D錯誤。

【高考考點(diǎn)對接】

動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方

法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

(1)一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形,

分析力的大小變化，如圖甲所示。

(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化,

在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力

構(gòu)成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所不

mg

mgFNFT

基本關(guān)系式:

H~R+r~L

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓心角不變,

根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

【解題能力提升】

分析動態(tài)平衡問題的流程

受力分析一一竺變上—＞畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形

—里竺%一根據(jù)矢量三角形邊長關(guān)系確定矢量的大小變化

__里絲史1一,三角函數(shù)關(guān)系

―上吧更T正弦定理一找關(guān)系求解

相似三角形

【跟蹤變式訓(xùn)練】

【變式1-1］如圖所示為一簡易起重裝置，/C是上端帶有滑輪的固定支架，5c為質(zhì)量不計的輕桿，桿

的一端。用錢鏈固定在支架上，另一端2懸掛一個質(zhì)量為加的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪/連接在卷

揚(yáng)機(jī)上。開始時，桿2c與/C的夾角乙8090。，現(xiàn)使乙BC4緩慢變小,直到N2C4=30。（不計一切阻

力）。在此過程中，桿8c所產(chǎn)生的彈力（）

A

///////B

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【答案】A

【詳解】以結(jié)點(diǎn)8為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)、網(wǎng)的合

力尸合與G大小相等、方向相反。

1

尸N

"7."，7匚口機(jī)

G

F八FFN巾BC

根據(jù)三角形相似得一=一=——，又F,=二G,得尸N=-G

ACABBCAC

乙5C/緩慢變小的過程中，AC、8C不變,則風(fēng)不變，故桿5c所產(chǎn)生的彈力大小不變，故選A。

【變式1-2］（多選）如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一

71

端N。初始時，豎直且被拉直，與九W之間的夾角為a（a>a）?，F(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起,

并保持夾角a不變。在0M由豎直被拉到水平的過程中（）

A.上的張力逐漸增大

B.上的張力先增大后減小

C.上的張力逐漸增大

D.O河上的張力先增大后減小

【答案】AD

【詳解】法一：以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、（W繩上拉力廠2、兒W上拉力尸1，由

題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，為、尸2的夾角不變，在月轉(zhuǎn)至水平的過程中,

矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，上的張力力逐漸增大，OAZ上的張力尸2先增大后減小，所

以A、D正確，B、C錯誤。

法二：正弦定理

meF\F?

根據(jù)正弦定理----=-----=—―,mg與sin仇保持不變，sin仇變大，尸i變大，sin。2先增大后減小,

sin伍sin0\sinO2

尸2先增大后減小，故選A、D,

【變式1-3］（2023?江蘇南京市模擬）如圖甲所示，筆記本電腦支架一般有多個卡位用來調(diào)節(jié)角度，某

人將電腦放在該支架上，由卡位4緩慢調(diào)至卡位1（如圖乙），電腦與支架始終處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，貝女）

4

乙

A.電腦受到的支持力變大

B,電腦受到的摩擦力變大

C.支架對電腦的作用力減小

D.電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和等于其重力大小

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，電腦始終處于平衡狀態(tài)，對電腦受力分析，如圖所示，由平衡條件可得，電腦受

到的支持力大小為FN=GCOSe

電腦受到的摩擦力大小Ff=Gsin0

由卡位4緩慢調(diào)到卡位1,0減小，故&增大，居減小，故B錯誤，A正確。

支架對電腦的作用力即為電腦受到的支持力與摩擦力的合力，支持力與摩擦力的合力大小等于電腦的重

力，保持不變，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和大于

其重力大小，C、D錯誤。

題型二平衡中的臨界問題

【典型例題剖析】

【例2】（2023?河南洛陽市期末）如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角。=

60°,光滑球體的質(zhì)量為加，支架的質(zhì)量為2加，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止,

則支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為（）

A.—B；

9

【答案】D

【詳解】對光滑球體受力分析如圖所示，根據(jù)平衡條件可得/，N2COs0=mg,對支架受力分析如圖所示

根據(jù)牛頓第三定律可知FN3=FN2,

對支架由平衡條件可得FN4=2mg+FN3cos0,

Ff=R^sin仇

又達(dá)到最大靜摩擦力時bN4，

聯(lián)立以上各式解得〃=號，可知支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少為、故選D。

【高考考點(diǎn)對接】

1.臨界問題

當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出

現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：

(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好繃緊，拉力尸=0。

(3)剛好離開接觸面，支持力尺=0。

2.解題方法

(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在

變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。

(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像),

用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。

(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定

則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。

【跟蹤變式訓(xùn)練】

【變式2-1】制作木器家具時，工人師傅常在連接處打入木楔，如圖所示，假設(shè)一個不計重力的木楔

兩面對稱，頂角為a,豎直地被打入木制家具縫隙中。已知接觸面的動摩擦因數(shù)為〃，且最大靜摩擦力

等于滑動摩擦力。要使木楔能自鎖而不會自動滑動，a與〃應(yīng)滿足（）

a

A.//>tan—B.//>tana

D.[L>

【答案】A

【詳解】由于存在對稱性，僅對木楔的一個側(cè)面受力分析，如圖所示，當(dāng)木楔能自鎖而不會自動滑出

aaa

時，一定滿足尸Nsin戶，尸NCOS鼻，整理得〃〉tan5,故選A。

【變式2-2]（2024?重慶市七校開學(xué)考）小李發(fā)現(xiàn)小區(qū)的消防通道被一質(zhì)量為加的石墩擋住了，為了移

開石墩小李找來一根結(jié)實(shí)的繩子，將繩的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖拽石墩。

設(shè)繩子與水平方向的夾角為仇小李對繩施加的最大拉力為0.6mg,g為重力加速度，石墩與水平地面間

的動摩擦因數(shù)為苧，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則下列說法正確的是（）

A.無論。取何值，小李都不可能拖動石墩

71

B.小李能拖動石墩，且當(dāng)6=-時最省力

3

71

C.小李能拖動石墩，且當(dāng)6=-時最省力

71

D.小李能拖動石墩，且當(dāng)。=-時最省力

4

【答案】C

【詳解】對石墩進(jìn)行受力分析如圖所示

y

X

mg

Feos0—[iF^

F^+Fsin0=mg

Q]

解得ZFL^-cos0+-sin6）=mg

m27171

即/=------——,可解得，當(dāng)夕=-時，尸最小為0.5冽g,故小李能拖動石墩，且當(dāng)夕=-時最省力，故

2sinD^+0D‘6

選Co

【變式2-3】如圖所示，豎直面內(nèi)固定一光滑大圓環(huán)軌道，。為圓心，在大圓環(huán)軌道最高點(diǎn)N固定一

個光滑的小滑輪，一輕繩繞過小滑輪，一端連接套在大圓環(huán)軌道上的小球，用力尸拉輕繩另一端，在小

球從2點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，有（）

A.拉力尸逐漸增大

B.拉力少先減小后增大

C.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變

D.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力先增大后減小

【答案】C

[詳解】對小球進(jìn)行受力分析如圖所示，根據(jù)相似三角形法可得F一=——FN=*me

ABOBOA

在小球從3點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過程中，重力大小、方向均不變，AB變小，04、。2不變，則拉力?

逐漸減小，大圓環(huán)軌道對小球的支持力樂大小不變，由牛頓第三定律知小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小

保持不變，故選C。

題型三平衡中的極值問題

【典型例題剖析】

【例3】如圖所示，質(zhì)量m=5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力尸作用下，向右以

%=2.0m/s的速度做勻速直線運(yùn)動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)〃=0.2,g=10m/s2o求所需拉

力廠的最小值。

【答案】2而N

【詳解】設(shè)拉力與水平方向夾角為0,根據(jù)平衡條件有Feos0=武加g—尸sin6),整理得cos6+〃sin6=

J1+/?sin(a+0)=/&其中sina=-^===),當(dāng)0=：-a時廠最小，故所需拉力廠的最小值尸min=

患=2"

【解題能力提升】

在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用“摩擦角”將四力

平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力尸作用下做勻速直線運(yùn)動，改

變6大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力/代替支持力與摩擦力，F(xiàn)min=mgsin6,其中

Ft

FN與吊的合力斤方向一定，“摩擦角滿足tan6=—。

斤N

【跟蹤變式訓(xùn)練】

【變式3-1](2023?江蘇揚(yáng)州市質(zhì)檢)如圖所示，在質(zhì)量為加的物塊甲上系著兩條細(xì)繩，其中長30cm的

細(xì)繩另一端連著輕質(zhì)圓環(huán)，圓環(huán)套在水平棒上可以滑動，圓環(huán)與棒間的動摩擦因數(shù)〃=0.75。另一細(xì)繩

跨過光滑定滑輪與重力為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環(huán)50cm的地方，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),

0/與棒的夾角為仇兩繩夾角為小當(dāng)G=6N時，圓環(huán)恰好開始滑動。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,

g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8o求：

B50cm.

(1)04繩與棒間的夾角仇

⑵物塊甲的質(zhì)量加。

【答案】(1)53。(2)1kg

【詳解】(1)當(dāng)圓環(huán)恰好要開始滑動時，設(shè)此時水平棒對圓環(huán)的支持力大小為尸N，細(xì)繩對圓環(huán)的拉力

大小為后，對圓環(huán)受力分析，如圖甲所示，根據(jù)平衡條件有〃尸N=FTCOS0①

FN=FTsin。②

……14

聯(lián)立①②解得tan6=-=-，即6=53°。

(2)由題意，根據(jù)幾何關(guān)系可知9=90°

按如圖乙所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xQy直角坐標(biāo)系，對物塊甲受力分析，根據(jù)平衡條件有Geos0+

FTsin。一"zg=O③

mg

乙

FTCOS0—Gsin0=0④

聯(lián)立③④解得加=1kgo

【變式3-2］（多選）（2023?安徽安慶市三模）如圖所示，把傾角為30。的粗糙斜面體C置于粗糙水平地面

上，質(zhì)量為的物塊/通過跨過光滑輕定滑輪的輕繩與質(zhì)量為m的小球3連接，。點(diǎn)為輕繩與定滑輪

的接觸點(diǎn)，初始時，小球2在水平向右的拉力廠作用下，使輕繩。5段與水平拉力廠的夾角為8=120。,

4、B均保持靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)改變拉力F,并保持夾角Q大小不變，將小球B向右上方緩慢拉起至0B水平，

物塊/始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。g為重力加速度，下列關(guān)于該過程的說法正確的是（）

A.拉力廠一直變大

B.拉力廠最小為

C.斜面體C所受地面摩擦力一直變小

D.斜面體C所受地面摩擦力先變小后變大

【答案】AB

【詳解】對小球3受力分析，將尸T、尸、，〃g組成矢量三角形，由于bT和尸的夾角始終不變，作輔助

圓如圖所示

拉力廠一直變大，初始狀態(tài)時最小，為與ng,A、B正確；拉力廠的水平分力先變大后變小，對A、

B、C整體進(jìn)行受力分析知斜面體C所受地面摩擦力大小等于拉力廠的水平分力大小，也是先變大后變

小，故C、D錯誤。

【變式3-3】如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過跨過光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個

系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)對小球乙施加一個水平力尸，使小球乙緩慢上升一小段距離，整個過程中物體甲

保持靜止，甲受到地面的摩擦力為”，則該過程中（）

A.bf變小，尸變大B.4變小，尸變小

C.Ff變大,尸變小D.Ff變大，尸變大

【答案】D

【詳解】以小球乙為研究對象受力分析，設(shè)繩與豎直方向的夾角為a,根據(jù)平衡條件可得，水平拉力尸

=mgtana,夾角a逐漸增大，則水平拉力尸逐漸增大，繩子的拉力為尸丁=」鷺，故繩子的拉力逐漸增

cosa

大；以物體甲為研究對象受力分析，根據(jù)平衡條件可得，物體甲受到的地面的摩擦力與繩子拉力水平方

向的分力等大反向，尸f=FrCOSo='"gc°s°,逐漸增大，故選D。

cosa

綜合過關(guān)檢測】

1.（2023?山東煙臺市模擬）如圖所示，用一個質(zhì)量不計的網(wǎng)兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的/點(diǎn)，足球與墻

壁的接觸點(diǎn)為瓦若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，關(guān)于懸繩對球的拉力尸和墻壁對球的

支持力FN，下列說法正確的是（）

A.E和風(fēng)都增大B.尸增大，F(xiàn)N減小

C.尸減小，尺增大D.尸和FN的合力不變

【答案】D

【詳解】對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Feos。=摩，墻壁對球的支持力滿足tan。

F

=——N，所以當(dāng)增大懸繩的長度時，夾角e減小，貝Ucos。增大，tan?減小，所以尸和尺都減小，故A、

mg

B、C錯誤；因為足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，所以尸和尸N的合力始終與加g等大反向，故D正確。

2.（2024?重慶市渝中區(qū)期中）如圖甲所示，用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設(shè)瓦片時，屋頂結(jié)構(gòu)可

簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的模條正中間，若瓦片能始終靜止在楝條上。已

知模條與水平面夾角均為0,瓦片質(zhì)量為m,橡條間距離為d,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.瓦片共受到4個力的作用

B.橡條對瓦片作用力方向垂直楝條向上

c.緩慢減小楝條的傾斜角度e時，瓦片與楝條間的摩擦力變大

D.緩慢增大楝條間的距離d時，兩根楝條對瓦片的彈力都增大

【答案】D

【詳解】瓦片受重力、兩根棵條的支持力和摩擦力，共5個力，A錯誤；楝條對瓦片作用力應(yīng)為支持

力與摩擦力的合力，方向豎直向上，B錯誤；摩擦力等于加gsinO,減小模條的傾斜角度6時，摩擦力減

小，C錯誤；檄條對瓦片的兩個彈力等大，合力等于機(jī)geos仇當(dāng)增大檄條間的距離d時，兩彈力與豎

直方向的夾角增大，則兩彈力增大，D正確。

3.（2024?云南省聯(lián)考）如圖所示，晾曬衣服的繩子（可視為輕繩）固定在兩根豎直桿A、B上，繩子的質(zhì)量及

衣架掛鉤之間的摩擦均可忽略不計，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)。保持A桿及A桿上繩子的結(jié)點(diǎn)位置不動，則

下列說法正確的是（）

A.若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動，繩子上的拉力大小逐漸減小

B.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向上移動，繩子上的拉力大小逐漸

增大

C.若保持繩子的長度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向下移動，繩子上的拉力大小保持

不變

D.若保持繩與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，只改變繩子的長度，繩子上的拉力大小可能保持不變

【答案】C

【詳解】若保持繩子的長度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動，繩子與豎直方向之間的

夾角增大，繩子上的拉力逐漸增大，故A錯誤；若保持繩子的長度、B桿的位置不變，只移動繩子與B

桿的結(jié)點(diǎn)，繩子與豎直方向