方程與不等式（14大題型+高分技法+限時提升練）-2025年廣東中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

熱點02方程與不等式

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中《方程與不等式》部分主要考向分為五類：

一、一元一次方程（每年1~2道，3~6分）

二、二元一次方程（組）（每年1~2道，3~6分）

三、一元二次方程（每年2~4道，6~12分）

四、分式方程（每年2~4題，6~12分）

五、不等式（組）（每年1~4題，3~12分）

方程（組）與不等式（組）在數(shù)學(xué)中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以

考察。其中，一元一次方程與二元一次方程（組）一般出在選擇題，難度不大，一元一次方程多考察其在

實際問題中的應(yīng)用，；二元一次方程組則以計算和應(yīng)用題為主占分較多。一元二次方程單獨出題時多考察

其根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及在實際問題中提煉出一元二次方程；一元二次方程的計算則主要出現(xiàn)

在幾何大題中，輔助解壓軸題。分式方程的考察內(nèi)容不多，但基本屬于必考考點，可以是一道小題考察其

解法，也可以是應(yīng)用題。不等式組是這四個考點中占分最多的一個，考察難度也是可大可小，其解法、含

參數(shù)的不等式組問題、和方程結(jié)合的應(yīng)用題都經(jīng)?？嫉?。雖然該熱點難度中等，一般不會失分，但是組合

出題時，難度也可以變大，復(fù)習(xí)時需要特別注意。

熱點題型解讀

題型1-元一次方程解法

考向一：一元一次方程題型2實際問題與一元一次方程

題型3二元一次方程組及其求解

題型4實際問題與二元一次方程組

方題型05一元二勸程JIM求解

程題型06一元二次方程的判別式

與

題型07一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

不

題型08實際問題與一元二次方程

等

式

題型09分式方期其求解

考向一：一元一次方程

【題型1一元一次方程及其解法】

-0

1.一元一次方程的定義，一個未知數(shù)，次數(shù)為1的方程。

2.方程的解與等式的基本性質(zhì)。

3.牢記一元一次方程的解法，移項需要變號，注意系數(shù)化為1。

1.（2025?廣東?模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元一次方程x+2〃z=3的解為尤=5,則根的值為（）

A.-1B.1C.4D.-4

【答案】A

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把x=5代入一元一次方程，得到關(guān)于血的一元一

次方程，即可得到答案.

【詳解】解：團關(guān)于X的一元一次方程X+2機=3的解為％=5,

團把x=5代入％+2加=3得：

5+2m=3,

解得：m=—l.

故選A.

2.（2024?廣東佛山?三模）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+；=2x+■電話詢問老師后知道：方

程的解x=l且被墨水遮蓋的是一個常數(shù).則該常數(shù)是（）

3311

A.-B.——C.-D.——

2222

【答案】A

【知識點】方程的解、解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】此題考查了一元一次方程的解.設(shè)被污染的常數(shù)回是。，把x=l代入計算即可求出。的值.

【詳解】解：設(shè)被污染的常數(shù)團是a,

才巴x=1代3xH——2%+a,得1：3H—=2+Q,

22

3

解得。=2，

故選A.

3.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）下面各式的變形正確（）

2%4x—8

A.由——=------5,得6x=4x-8-5B.由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-l=3x+35

39

C.由2x-7=3x+2,得2x—3x=2+7D.由5x+33=—6（x+5）,得5x+33=-6x+30

【答案】C

【知識點】等式的性質(zhì)

【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一

個數(shù)或式子，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)或字母，等式仍成立.

根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項進(jìn)行分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：解：4由號=弓上-5,得18x=12x-24-135,原變形正確，故此選項符合題意；

B、由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-10=3x+3.5,原變形錯誤，故此選項不符合題意；

C、由2x—7=3x+2,得2x—3x=2+7,原變形正確，故此選項符合題意；

D、由5x+33=-6（x+5）,得5x+33=-6x-30,原變形錯誤，故此選項不符合題意.

故選：C

4.（2024?廣東廣州?一模）方程4+2x=0的解為.

【答案】%=-2

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】根據(jù)解方程的基本步驟解答即可，本題考查了解方程的基本步驟，熟練掌握步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】4+2x=0,

2x=Y,

解得％=-2,

故答案為：%=—2.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）定義新運算：a?b=\a例如：-2⑥4=（-2）2-4=。，

[一〃+瓦〃>0,

3

2區(qū)3=—2+3=1.若%（8）1=——,則1的值為_____.

4

17

【答案】或了

24

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項、解一元二次方程一一直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運算的定義.根據(jù)

新定義運算法則列出方程求解即可.

【詳解】解：^\a?b=[a

[-a+b,a>0,

3

而x（8）l=——,

4

回①當(dāng)尤40時，貝|有》2-1=一工，

解得，x=-1；

（2）當(dāng)尤>0時，-x+l=-I，

7

解得，x

4

17

綜上所述，x的值是或：，

24

17

故答案為：-彳或了.

24

3T-1

6.（2024?廣東廣州?一模）解方程：

2

【答案】x=3

【知識點】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程的步驟解方程即可求解.

【詳解】解：f-l=x,

去分母得，3x-l-2=2x,

移項得，3x-2x=l+2,

解得：x=3.

【題型2實際問題與一元一次方程】

1、解一元一次方程應(yīng)用題，遵循5個步驟，其各個步驟的注意事項如下：

步驟要點

“審”（即審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；

“設(shè)”（即設(shè)未知數(shù)）一般原則是：問什么就設(shè)什么；或未知量較多時，設(shè)較小的量，表示較

大的量

“列”【即列方程】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程

“解”【即解方程】根據(jù)一次方程（組）的解法解出方程，注意解方程的過程不需要在解答

中體現(xiàn)

“驗”（即檢驗）檢驗分兩步，一是檢驗方程是否解正確；二是檢驗方程的解是否符合題

非題目要求，此步可以不寫音

“答”（即寫出答案）最后的綜上所述

2、中考中對于一元一次方程的應(yīng)用題并不會考這么多，多以選擇題出題，也就只考到列方程這步就可以

了。

1.（2024?廣東深圳?三模）粽子作為中國歷史文化積淀最深厚的傳統(tǒng)食品之一，傳播甚遠(yuǎn)，最初是用來是祭

祀祖先神靈的貢品.某家庭制作的粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽和4個堿水粽組成.用1千克糯米可做24

個蛋黃肉粽或16個堿水粽，現(xiàn)要用6千克糯米制作粽子，設(shè)用x千克糯米制作蛋黃肉粽，恰好使制作的蛋

黃肉粽和堿水粽配套，則可列方程為（）

A.6x24^=4x16（6—x）B.4x24%=6x16（6—x）

C.24x=16（6-x）D.16x=24（6-x）

【答案】B

【知識點】配套問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系成為解題的關(guān)鍵.

設(shè)用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用（6-力千克糯米制作堿水粽，然后根據(jù)“粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽

和4個堿水粽組成.用1千克糯米可做24個蛋黃肉粽或16個堿水粽”列方程即可.

【詳解】解：設(shè)用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用（6-力千克糯米制作堿水粽，

根據(jù)題意得4x24x=6*16（6—x）.

故選：B.

2.（2024?廣東廣州?中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去

年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛.設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.1.2x+1100=35060B.1.2x-l100=35060

C.1.2（x+1100）=35060D.x-1100=35060x1.2

【答案】A

【知識點】和差倍分問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)該車企去年5月交付新

車x輛，根據(jù)"今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛"列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，

根據(jù)題意得：1.2x+1100=35060,

故選：A.

3.（2024,廣東中山?三模）中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，其中《孫子算經(jīng)》

中有個問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？其大意是：今有若干人乘車，

每三人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘?問共有輛車?

【答案】15

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，設(shè)共有x輛車，根據(jù)人數(shù)相等，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)共有尤輛車，由題意，得：3（x-2）=2x+9,

解得：》=15；

答：共有15輛車；

故答案為：15.

4.（2024?廣東肇慶?二模）如圖，在VA3C中，=90°,AB=6cm,BC=12cm,動點P以1cm/s的速度從A

向8移動，（不與8重合），動點。以2cm/s的速度從8向C移動，（不與。重合），現(xiàn)P,Q同時出發(fā)，則經(jīng)

過秒后，是等腰三角形.

【答案】2

【知識點】等腰三角形的定義、幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義;可用尤表示出AP=x，P3=6-2x,8Q=2x,

由于/3=90。，當(dāng)qPBQ是等腰三角形，則只有=一種可能，據(jù)此列出一元一次方程，解方程，即

可求解.

【詳解】解：設(shè)x秒后，陽。是等腰三角形，則AP=xcm,PB=（6-x）（cm）,8Q=2xcm,

6—x=2x

解得：x=2

故答案為：2.

5.（2024,廣東廣州?二模）某班去研學(xué)，有兩種套票可供選擇，已知甲種套票每張80元，乙種套票每張70

元，如果每人只購買其中一種，40名學(xué)生恰好用去2900元，那么該班購買甲種套票的張數(shù)是.

【答案】10

【知識點】和差倍分問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)甲種套票買了x張，則乙種套票買了（40-冷張，根據(jù)“40

名學(xué)生恰好用去2900元”列出方程并解答即可.

【詳解】解：設(shè)甲種套票買了x張，則乙種套票買了（40-x）張，

依題意得：80x+70（40-尤）=2900,

解方程得：x=10.

即甲種套票買了10張.

故答案為：10.

6.（2024?廣東肇慶?二模）某件商品進(jìn)價10元，標(biāo)價15元，為了迎接國慶節(jié)的到來，商店準(zhǔn)備打折出售，

計劃每件獲利2元，則該商品應(yīng)打折出售.

【答案】8

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)打無折，用含x的式子表示出售價，再減去進(jìn)價就是利潤，列出

方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)打x折，根據(jù)題意得

15x--10=2

10

解得x=8

即打8折出售.

故答案為：8.

7.（2024?廣東潮州?一模）把9個整數(shù)填入3x3方格中，使每一橫行、每一堅列以及兩條斜對角線上的數(shù)之

和都相等，就得到一個三階幻方（即九宮格）.題圖是一個不完整的三階幻方，則其中尤的值是.

X50

【答案】-2

【知識點】數(shù)字問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到正確的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)第2列第二

個數(shù)為x,由每一橫行，每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)之和都相等，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)第2列第二個數(shù)為y,

由題意可得：x+y+4=5+y-3,

解得：x=-2,

故答案為：-2.

8.（2024?廣東云浮?一模）某商場以110元的價格購進(jìn)某種商品進(jìn)行銷售，銷售過程中發(fā)現(xiàn).以原售價銷售

5件該商品與打8折銷售9件該商品所獲得的利潤相同，求該商品的原售價.

【答案】該商品的原售價為200元.

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)該商品的原售價為x元.利用以原售價銷售5件該商品與打

8折銷售9件該商品所獲得的利潤相同，再建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)該商品的原售價為x元.

根據(jù)題意,#5（x-110）=9（0.8%-110）,

解得x=200.

答：該商品的原售價為200元.

考向二：二元一次方程組

【題型3二元一次方程組及其求解】

—?

解二元一次方程組有2種方法一一帶入消元法和加減消元法

不管是帶入法還是加減法，目的都在于利用等式的基本性質(zhì)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，所

以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯點。

f3x+4y=19

1.（2024?廣東江門?模擬預(yù)測）二元一次方程組c,。的解是（）

[x-2y=3

x=3x=lx=7x=5

A.B.C.D.

y=0y=4y=27=1

【答案】D

【知識點】加減消元法

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，運用加減消元法求解即可

3元+4y=19①

【詳解】解:

尤_2y=3②

②義2+①得，5x=25,

解得，x=5,

把x=5代入②得，5-2>=3,

解得，y=i,

[x=5

團方程組的解為1，

U=i

故選：D

f2x—=2Azz-1

2.（2024?廣東汕頭?一模）若關(guān)于尤，y的方程組/的解滿足無+>=-4,則4"+2"的值為（

[x—2y=n

A.8B.-C.6D.-6

8

【答案】B

【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、已知二元一次方程組的解求參數(shù)

【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵，利用①-②得:

x+y=2m-n-l,即可得到2租_〃=-3,再將4'"+2"=2?"'+2"=2?%",代入即可得到答案.

2x-y=2m-1①

【詳解】解:

x-2y=n?

①一②得：x+y=2m-n-\,

：.x+y=-4f

???2m—n—1=-4,

2m—H=—3,

n1

.47.2〃—22%?2〃—22%一〃

8

故選：B.

+=1

3.（2023?廣東潮州?模擬預(yù)測）關(guān)于x,y的方程組[心坨的解為

x=-1

【答案】6+i

y=—

【知識點】加減消元法

【分析】①-②，消去.求出X，再把X的值代入②得y值即可.

后+2y=1①

【詳解】解:

x+2y=若②

①-②得：

(6-1卜=1-6

解得：x=-l

把x=—l代入②得：

一l+2y=B解得：y=避土!■

x=-1

團方程組的解為：]6+1

y=--------

12

x=-1

故答案為：，6+1

y=^~

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解.消元法是求解關(guān)鍵.

[x=l[ax+by=l

4.（2024?廣東河源?一模）已知.是二元一次方程組.；。的解，貝的值為一.

[y=3\2ax—by=6

【答案】7

【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，把。代入原方程組得C二令，②-①得:

[y=3-3b=8（2）

a-66=7即可.注意整體思想的應(yīng)用.

x=la+3b-1①

【詳解】解：將代入原方程組得

y=32。-36=8②

②—①得：a—66=7,

回的值為7.

故答案為：7.

x=y+4

5.（2024?廣東廣州?三模）解下列方程組:

4尤+3y=23

x=5

【答案】

y=l

【知識點】代入消元法

【分析】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握方程組的解法是解本題的關(guān)鍵.

方程組利用代入消元法求出解即可;

x=y+4①

【詳解】解:

4x+3y=23②'

把①代入②得：4（y+4）+3y=23,

解得：y=i,

把y=i代入①得：尤=5,

x=5

則方程組的解為

y=l

2x-y=-4

6.（2024?廣東廣州?二模）解二元一次方程組:

x+2y=3

x=-l

【答案】

y=2

【知識點】加減消元法

【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組.利用加減消元法解二元一次方程組進(jìn)行求解即可.

2x-y--40

【詳解】解:

x+2y=3②'

①x2+②得：2(2x-"y)+x+2y=2x(-4)+3,

解得：x=-l,

將％=一1代入①得：2x(-1)-y=-4,

解得：y=2,

x=-l

故原方程組的解為

y=2

7.（2024?廣東?模擬預(yù)測）解方程組:

2x+y=-5

(1)

4x-5y=11

x—25—y

-----------二1

23

(2)

了y+iv

〔0.20.3

x=-l

【答案】⑴

y=-3

9

x=—

2

(2)

17

【知識點】加減消元法

【分析】本題考查了解二元一次方程組.

（1）利用加減消元法進(jìn)行計算即可；

（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得.

2尤+y=-5①

【詳解】（1）解:

4x—5y=ll②

①x5+②，14%=-14,

解得x=-1,

把％=-1代入①，-2+y=-5,

解得產(chǎn)-3,

(X=-1

回原方程組的解是

8-3

%-25-y

----------------=1

23

(2)解：,，

xy+i_5

.0.20.3

3%+2y=22①

化簡方程組可得,

3x—2y=5②

①+②得，6%=27,

9

解得％=

917

將X、代入②，得,=子,

x=—9

2

團方程組的解為

17.

8.（2024?廣東中山?模擬預(yù)測）已知I；［］是方程組的解，求代數(shù)式（^與（。一切的值.

【答案】8

【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解求參數(shù)、已知字母的值，求代數(shù)式的值

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，以及代數(shù)式求值，先根據(jù)二元

一次方程組的解得出新的二元一次方程組，再根據(jù)加減消元法求出mb的值，然后代入求值即可.

2。-36=3①

【詳解】解:依題意得方程組

26-3。=-7②

①x3+②x2得-56=-5,

回6=1,

把1Z?=1代入①得。=3；

貝ij（a+b）（a叫=（3+l）（3—l）=4x2=8.

【題型4實際問題與二元一次方程組】

二元一次方程組的應(yīng)用題解決步驟同一元一次方程應(yīng)用題解題步驟及注意事項差不多，審題和找等量關(guān)

系都是方程類應(yīng)用題解題的關(guān)鍵。通常難度不大，個別時候，二元一次方程組的應(yīng)用題也可以用一元一

次方程來解。

1.（2024?廣東深圳,模擬預(yù)測）九年級女生外出社會實踐，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住

7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍.設(shè)該年級女生有x人，預(yù)安排給女生宿舍有y間，則下列方程組

正確的是（）

6y+4=x6y—4=尤

A<*17（y_8）+2=x

'17（y-8-l）+2=x

6x+4=y[6x-4=y

C.8T+2=尤?17（y-8）-2=x

【答案】A

【知識點】根據(jù)實際問題列二元一次方程組

【分析】根據(jù)總?cè)藬?shù)相等構(gòu)造方程組解答即可.本題考查了方程組的應(yīng)用，熟練掌握方程組的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)題意，得￡-8-1）+22

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?三模）如圖1,"幻方"源于我國古代夏禹時期的“洛書".把"洛書"用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯

出來，就是一個三階幻方、三階幻方中，要求每行、每列及對角線上的三個數(shù)的和都相等，小明在如圖2

的格子中填入了代數(shù)式，若它們能滿足三階幻方要求，則x+y-3=.

4

H

32x-\

Ml圖2

【答案】-4

【知識點】古代問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)每行、每列及對角線上的三個數(shù)的和都相等.列出二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】由題意得:

—l+x+x—y=y—4+x—y

—1+2%—\—x—4

x=-2

解得:

y=l

x+y—3=—2+1—3=—4,

故答案為：-4.

3.（2024?廣東佛山?一模）中國古代以算籌為工具來記數(shù)、列式和進(jìn)行各種數(shù)與式的演算.《九章算術(shù)》第

八章名為“方程"，其中有一例為：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程

中未知數(shù)x,y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程x+4y=23,表示

的方程是.

【答案】x+2y=32

【知識點】古代問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查根據(jù)圖意列方程，解題的關(guān)鍵是讀懂圖的意思.

【詳解】解：根據(jù)題知：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)尤，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，

一個豎線表示一個，一條橫線表示一十，

所以該圖表示的方程是：x+2y=32.

故答案為：x+2y=32.

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）某公司積極響應(yīng)節(jié)能減排號召，決定采購48兩種型號的新能源汽車.已知每

輛A型汽車的進(jìn)價是每輛B型汽車的進(jìn)價的1.5倍,購進(jìn)100輛A型汽車和120輛B型汽車共需5400萬元.每

輛A型和2型汽車的進(jìn)價分別為多少萬元？

【答案】每輛A型汽車的進(jìn)價為30萬元，每輛8型汽車的進(jìn)價為20萬元.

【知識點】其他問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)每輛A型汽車的進(jìn)價為x萬元，每輛8型汽車的進(jìn)價為y

萬元，根據(jù)題意列出方程組，求解即可，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組.

【詳解】解：設(shè)每輛A型汽車的進(jìn)價為尤萬元，每輛2型汽車的進(jìn)價為y萬元，

依題意—，得:"f-Ox=y1.5y』。。,

1=30

解得：仙

答：每輛A型汽車的進(jìn)價為30萬元，每輛8型汽車的進(jìn)價為20萬元.

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測）（綜合與實踐）如圖，某綜合實踐小組在課后利用小球和水做實驗，根據(jù)圖中給

出的信息，解答下列問題：

32cm

⑴放入一個小球水面升高一cm,放入一個大球水面升高—Cm；

⑵如果放入10個球且使水面恰好上升到52cm,應(yīng)放入大球、小球各多少個？

【答案】⑴2,3

（2）應(yīng)放入大球6個，小球4個

【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用、其他問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查了二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法，解答時理解圖的含義是

解答本題的關(guān)鍵.

（1）水面升高量除以球的個數(shù)即可求解；

（2）可設(shè)應(yīng)放入大球x個，小球y個，根據(jù)要使水面上升到26cm,列出方程組，再求解即可.

【詳解】（1）解：（32-26）+3=6+3=2（cm）,

（32-26）+2=6+2=3（cm）；

答：放入一個小球水面升高2cm,放入一個大球水面升高3cm；

（2）解：設(shè)應(yīng)放入大球尤個，小球y個，依題意有

fx+y=10

13%+2y=52-26

x=6

解得:

y=4

答：應(yīng)放入大球6個，小球4個.

6.（2024?廣東?模擬預(yù)測）某校七年級10個班師生舉行傳統(tǒng)詩詞進(jìn)校園文藝表演，每班2個節(jié)目，有詩詞

吟誦與詩詞吟唱兩類節(jié)目，學(xué)校統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)詩詞吟唱類節(jié)目是詩詞吟誦類節(jié)目數(shù)的一半多2個.

⑴七年級師生表演的詩詞吟誦與詩詞吟唱類節(jié)目數(shù)各有多少個？

⑵該校八年級學(xué)生有詩詞編舞節(jié)目參與，在詩詞吟誦、詩詞吟唱、詩詞編舞三類節(jié)目中，每個節(jié)目的演出

用時分別是5分鐘，6分鐘，8分鐘，預(yù)計所有演出節(jié)目交接用時共花16分鐘.若從14:30開始，17:00之

前演出結(jié)束，問參與的詩詞編舞類節(jié)目最多能有多少個？

【答案】⑴詩詞吟誦節(jié)目有12個，詩詞吟唱節(jié)目有8個

⑵3個

【知識點】其他問題（二元一次方程組的應(yīng)用）、用一元一次不等式解決實際問題

【分析】本題考查了二元一次方程組與不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方

程或不等式是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)七年級師生表演的詩詞吟誦節(jié)目有》個，詩詞吟唱節(jié)目有y個，根據(jù)"兩類節(jié)目的總數(shù)為20個、詩

詞吟唱類節(jié)目是詩詞吟誦類節(jié)目數(shù)的一半多2個"列方程組求解可得；

（2）設(shè)參與的詩詞編舞節(jié)目有。個，根據(jù)"三類節(jié)目的總時間+交接用時<150”列不等式求解可得.

【詳解】（1）解：設(shè)七年級師生表演的詩詞吟誦節(jié)目有x個，詩詞吟唱節(jié)目有y個，

x+y=10x2

根據(jù)題意，得：

y=—x+2

2

x=12

解得:

y=8

答：七年級師生表演的詩詞吟誦節(jié)目有12個，詩詞吟唱節(jié)目有8個；

（2）設(shè)參與的詩詞編舞節(jié)目有。個，根據(jù)題意，得：12x5+8x6+8a+16<150,

13

解得：

"為整數(shù)，

二。的最大值為3,

答：參與的詩詞編舞節(jié)目最多能有3個.

7.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）食品安全是民生工程、民心工程.2024年的3?15報道了多家預(yù)制菜制作不

規(guī)范，存在使用未經(jīng)嚴(yán)格處理的槽頭肉來制作菜品，嚴(yán)重侵害了消費者權(quán)益.某食品網(wǎng)店以此為警鐘，準(zhǔn)

備從正規(guī)渠道購進(jìn)48兩種類型的速食餐進(jìn)行售賣.已知每份A類速食餐比每份B莢速食餐進(jìn)價多5元,

購進(jìn)40份A類速食餐與購進(jìn)60份8類速食餐的價格相等.

⑴求A、8兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份多少元？

（2）該網(wǎng)店計劃購進(jìn)A類速食餐若干份.試銷時發(fā)現(xiàn)，A類速食餐銷售量y（份）與每份售價相（元）的關(guān)系

為丫=-10優(yōu)+800,若要求A類速食餐每份的利潤率不低于20%,那么該公司將A類速食餐售價為多少時，

獲得的利潤為W最大？最大值為多少？

【答案】⑴48兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份10元和15元

（2）W的最大值為10562.5元

【知識點】銷售問題（實際問題與二次函數(shù)）、和差倍分問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確列出二元一次方程組與二次

函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)每份A類速食餐的進(jìn)價是。元，每份8類速食餐的進(jìn)價是6元，根據(jù)每份A類速食餐比每份B物

食餐進(jìn)價多5元，購進(jìn)40份A類速食餐與購進(jìn)60份8類速食餐的價格相等，列出方程組,求

[40。=606

解即可；

（2）根據(jù)利潤=每份利潤x銷售量，列出w關(guān)于根的函數(shù)關(guān)系式W=（15）,=（相-15）（-10加+800）,再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)每份A類速食餐的進(jìn)價是。元，每份B類速食餐的進(jìn)價是b元，

依題意得：

[a=b+5

140a=60/

[tz=15

解得一n，

答：A、8兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份10元和15元.

（2）解：依題意：獲得的利潤

W=（ZU-15）y

=（m-15）（-10/w+800）

=-10m2+950〃z—1200

--10（m-47.5）2+10562.5,

由于A類速食餐每份的利用率不低于20%,那么

七絲220%,

15

回機218,

X0y>0,Bp-10m+800>0,

0m<80,

018<m<8O,

0-10<0,

回當(dāng)機=47.5時，W有最大值，最大值為10562.5,

答：W的最大值為10562.5元.

考向三：一元二次方程

【題型05一元二次方程及其求解】

一元二次方程的解法有4種，重點記憶配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事項：

配方法一一需要加上的數(shù)字是一次項系數(shù)一半的平方的系數(shù)為1）,并且先移項，再配方；

因式分解法---重點掌握十字相乘法（常用公式：x2+（^p+q）x+pq=（x+p\x+q））;

公式法一一使用這種解法，必須先分析a、b、c的值，求出/-4“c的值，再帶入公式

1.（2024,廣東廣州?二模）關(guān)于y的一元二次方程V=6y的解為（）

A.y=0B.y=6C.必=3,%=6D.%=0,%=6

【答案】D

【知識點】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查一元二次方程的解，解一元二次方程.掌握用因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

先把方程轉(zhuǎn)化成一般形式，然后提取公因式y(tǒng)分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解

即可.

【詳解】解：/=6y,

y2—6y=0,

y（y-6）=。，

7i=o,%=6,

故選：D.

2.（2024?廣東中山?模擬預(yù)測）如果-3是方程Y+2X+左=0的一個根，則上的值為（）

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】C

【知識點】一元二次方程的解

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，將x=-3代入方程/+2x+左=0,求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：（-3）2+2x（-3）+左=0,

k=—3，

故選：C.

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如果關(guān)于尤的一元二次方程62+法+1=。的一個解是尤=i,那么代數(shù)式

2023-。-6的值為（）

A.-2023B.2023C.-2024D.2024

【答案】。

【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值等知識點，掌握方程的解是方程成立的未知數(shù)的值成

為解題的關(guān)鍵.

由題意知，a+b+l=0,則根據(jù)2023-。-6=2023-（4+6）,然后代入計算即可.

【詳解】解：回關(guān)于尤的一元二次方程以2+法+1=。的一個解是彳=1,

回0+6+1=0,貝l]a+b=-l,

回2023-a-6=2023-（a+6）=2023-（-1）=2023+1=2024.

故選：D.

4.（2024?廣東深圳?中考真題）已知一元二次方程/一3尤+5=0的一個根為1,則心=.

【答案】2

【知識點】一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=l代入原方程，列出關(guān)

于優(yōu)的方程，然后解方程即可.

【詳解】解：「關(guān)于x的一元二次方程三-3犬+根=0的一個根為1，

,x=1滿足一元二次方程尤2一3%+加=0,

1—3+7%=0，

解得，m=2.

故答案為：2.

5.（2024?廣東肇慶?一模）二次項系數(shù)為2,且兩根分別為%=1,%=；的一元二次方程為.（寫成

ax2+/zx+c=0的形式）

【答案]2x2—3%+1=0

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的一般形式

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的一般形式，根據(jù)題意得出

31

%+%2=5，%%2=5,進(jìn)而根據(jù)二次項系數(shù)為2,求得dC的值，即可求解.

【詳解】解：團二次項系數(shù)為2,兩根分別為王=1,x2=1

,3b1c

團Q=2,X,+X=_=—=-二-

?2222f

團Z?=-3,c=l

回這個方程為：2尤2-3尤+1=0,

故答案為：2x?-3元+1=0.

6.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)若a,b是關(guān)于x的方程％2-2獷2026=0的兩個實數(shù)根，則/7。-爐.

【答案】2024

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解

【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系定理，方程根的定義解答即可.

本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：13a,b是關(guān)于x的方程f-2尤-2026=0的兩個實數(shù)根，

回<7+6=2,ab=-2026,a2-2a-2026=0，

回儲—3d—b=cr—2a-a—b=cr—2a—(a+b)

=2026-2=2024,

故答案為：2024.

7.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)解方程：f-7x-8=0.

【答案】占=一1,%=8

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：f_7x_8=0，

(x+l)(x-8)=0,

回％+1=0或x-8=0,

解得：項=-1,々=8.

8.(2024?廣東廣州*二模)解方程：X2-2X-35=0.

【答案】工=7,X2=-5.

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń?/p>

方程.

【詳解】解：x2-2^-35=0,

(x-7)(x+5)=0,

x-7=0或x+5=0,

回玉=7,3=-5.

9.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)解方程：2/+4.丫-11=0.

【答案】占=一1一穹，尤2=一1+與

【知識點】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：2X2+4X-11=0

2

團a=2,0=4,c=-11,A=Z?—4ctc=16+88=104

2

向-b±y]b-4ac-4±2^/5^

2a4

冷刀汨1^26V26

角牛得：X.=—1--------,=—1H-------

1222

10.（2024?廣東廣州二模）已知兩個多項式4=2尤一3,8=/-工+1.

⑴化簡2B-A；

(2)若2B—A=21,求尤的值.

【答案】⑴214x+5

(2)%=4,%=-2

【知識點】整式的加減運算、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了整式的加減，解一元二次方程；

（1）根據(jù)整式的加減進(jìn)行計算即可求解；

（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【詳解】（1）解:S\A=2X-3,B=X2-X+1

回2B-A=2（x?-x+1）-（2x-3）

=2元~—2x+2—2x+3

=2x?—4x+5

(2)02B-A=21

Bi2x2-4x+5-21

回龍？—2x—8=0

I3(X-4)(X+2)=0

解得：xt=4,x2=-2

【題型06一元二次方程的判別式】

a

對于一元二次方程的一般形式：奴2+6x+c=0（aw0）,

⑴Z?2-4ac>。一方程有兩個不相等的實數(shù)根

（2）b2-4ac=0—方程有兩個相等的實數(shù)根

⑶〃_4acV0—?方程沒有實數(shù)根

注意：在應(yīng)用根的判別式時，若二次項系數(shù)中含有字母，注意二次項系數(shù)不為0這一條件；

當(dāng)尸-4ac20時，可得方程有兩個實數(shù)根，相等不相等未知

1.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）關(guān)于一元二次方程/+5尤+3=0根的情況，下列說法中正確的是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

【答案】A

［知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程依2+法+。=0（。中0）,若

A=b2-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若A=〃-4a=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，若

A=/?2-4GC<0>則方程沒有實數(shù)根.

利用一元二次方程根的判別式求解即可.

【詳解】解：Elx2+5x+3=0

團a=l,b=5,c=3,

團A=Z?2-4tzc=52-4x1x3=13>0,

團方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

2.（2024?廣東汕頭?模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程/2+3尤_1=（）有實數(shù)根，則加的取值范圍是（）

9

A.m<——B.m>——

44

9

C.m>—,m^OD.m>—,mwO

44

【答案】C

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系成為

解題的關(guān)鍵.

由于關(guān)于x的一元二次方程如2+3%_I=O有實數(shù)根，由此可以得到機。0,并且方程的判別式20,由此

即可求出加的取值范圍.

【詳解】解：「關(guān)于工的一元二次方程如2+3尤_1=0有實數(shù)根，

切w0且,二—=9+4m>0,

9

:.m>一一且機wO.

故選C.

3.（2024?廣東云浮?一模）關(guān)于x的一元二次方程d—（2%-l）x—2m=0（其中〃?豐-1）的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根