高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱性特性以解析函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題（11大題型）講義-2025年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練

專題04高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱性特

性以解析函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................7

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用8

題型二：函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用10

題型三：已知人》）=奇函數(shù)+M11

題型四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題12

題型五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題13

題型六：奇偶性對(duì)稱偏移15

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性'周期性'對(duì)稱性16

題型八：雙對(duì)稱與周期性18

題型九：雙函數(shù)與對(duì)稱性19

題型十：類周期與倍增函數(shù)21

重難點(diǎn)突破：函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)23

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

從近五年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)

容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充

分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)計(jì)2025年高考中，題目

將更傾向于以小題（如選擇題

或填空題）的形式來(lái)考察學(xué)生，

這些小題將可能融合在解答題

2024年新高考I卷第8題，5分

的解答過(guò)程中，作為一個(gè)相對(duì)

2024年新高考II卷第11題，6分

獨(dú)立的考察點(diǎn)。具體來(lái)說(shuō)，可

2023年新高考II卷第4題，5分

掌握函數(shù)性質(zhì)，熟2023年新高考I卷第4題，5分以預(yù)見的是：

函數(shù)的性質(zhì)

練解題應(yīng)用2022年乙卷第12題，5分（1）題目將采用選擇題或填空

2022年新高考II卷第8題，5分題的形式，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的綜

2021年甲卷第12題，5分

合邏輯推理和解析能力。

2021年新高考II卷第8題，5分

（2）考試的熱點(diǎn)將聚焦于函數(shù)

的單調(diào)性、奇偶性以及對(duì)稱性

這三個(gè)特性的綜合應(yīng)用和分

析。

般地,設(shè)函數(shù)/(.v)的定義域?yàn)椤?,區(qū)間。SU：

如果對(duì)于Z)內(nèi)的任意兩個(gè)1rl變量的值MAv

當(dāng)XRM都有/(xJv/CJ，則/C汪區(qū)間0上是增函數(shù).

般地,設(shè)函數(shù)/(.v)的定義域?yàn)椋^(qū)間DG：

如果對(duì)于D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值

當(dāng)巧〈三時(shí)，都有/(.vj,則/(.?在區(qū)間0上是減函數(shù).

單調(diào)性

卜”里潤(rùn)區(qū)門的相如果函數(shù)產(chǎn)/W在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,

>產(chǎn)騎區(qū)㈣的足乂JI則函如-=/(.v)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間/ml做＞?=/(")的單調(diào)區(qū)間

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從"同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函

《復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性數(shù),內(nèi)層函數(shù)是熠(減)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù),內(nèi)層函

數(shù)是減(增)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

"圖像關(guān)門軸對(duì)稱

奇偶性

圖像關(guān)丁?原點(diǎn)對(duì)東:

對(duì)于函數(shù)/(2的定義域內(nèi)任意一個(gè)M都有/(-.V)=-/(A)

對(duì)于函數(shù)『=/“),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,

使得與V取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(、?+r)=f(x),

那么就稱函數(shù)r=/(、)為周期函數(shù)

高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期

性、單調(diào)性、奇偶性及f(x)=f(x+a)=^T=\a\

對(duì)稱性特性以解析函數(shù)/(工)=./口+〃)=7=2|倒)

周期性

性質(zhì)問(wèn)題

/(?*很萬(wàn)

人懺五兩S同

常用周期結(jié)論

人"")=逢=7=2間

叱小踹5■?同

/(.v+a)=l--=>T=3|

【(/(.v)=/(.v+a)+/(w〃)=T=6|a|J

若函即=/(K+Q)為偶函數(shù),則函數(shù)尸/(.V)關(guān)『x=a對(duì)稱

若函數(shù)尸/(.v+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)*/(*)而癡a,0)對(duì)稱

對(duì)稱性

若/")=/(2℃),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

若/(2/(2az)=2①則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)X1,z是/'(尤)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且占＜尤2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/⑺是增函數(shù)，則-/⑺為減函數(shù)；若/⑺是減函數(shù)，則-/(X)為增函數(shù)；

②若/⑺和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在八＞)和g(x)的公共定義域上/'(Xl+g(尤)為增(或減)函

數(shù)；

③若〃幻＞0且/(x)為增函數(shù)，則函數(shù)77函為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

f(x)

④若/(x)＞0且/(X)為減函數(shù)，則函數(shù)向6為減函數(shù)，,為增函數(shù).

于(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)o函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)是奇函數(shù)。函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù)＞=/(尤)在彳=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=f(x)必滿足/(x)=/(|.x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(%)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形

式?記g(x)=："(尤)+/(-X)］，h(x)=g"(尤)-/(-X)］，則/(x)=g(x)+h(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得

的函數(shù)，in/(X)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)-g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶士偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇、(十)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=m("+1)(無(wú)力0)或函數(shù)f(x)=m("I.

a-1a+1

②函數(shù)/(尤)=±(爐一尸).

③函數(shù)f{x}=log"=log"(1+或函數(shù)/(x)=log"=loga(l--^-)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)f(X)=lOga(J%2+1+X)或函數(shù)f(X)=lOga(J%2+1-.

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(x)=m+2l(無(wú)/0)或函數(shù)/(x)=?7-2L(meR).

ax-1ax+1

偶函數(shù)：①函數(shù)f(x)=±(ax+a~x).

②函數(shù)/(xhlogKaE+l)-修?

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/U+r)=-l-；/(x+T)=--l-

2T

/(無(wú))于(x)

f(x+T)=fm2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

(f(a+x)=f(a-x)

2(。-a)

\f(b+x)=f(b-x)

\于(a+x)=f(a-x)

[/(尤)為偶函數(shù)2a

f(a+無(wú))=-/(a-x)

23—a)

1f{b+x)=-f{b-x)

f(a+尤)=-f{a-x)

2a

!/'(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=f(a-x)

4(。一〃)

If(b+x)=-f(Jj-x)

\f{a+x)=f{a-x)

[/(x)為奇函數(shù)4。

f(a+無(wú))=-/(fl-x)

4〃

為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(%)有兩條對(duì)稱軸％="，x=b(a<b),則函數(shù)/(%)是周期函數(shù)，且7=23-〃)；

(2)若函數(shù)y=/(%)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心3c),("c)(av。)，則函數(shù)y=/(兀)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸x=〃和一個(gè)對(duì)稱中心S,O)(a<b),則函數(shù)y=/(%)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(%)關(guān)于直線尤=丁對(duì)稱,則/(〃+%)=/(〃-%).

(2)若函數(shù))=/(%)關(guān)于點(diǎn)(〃,6)對(duì)稱，JUOf(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(〃+%)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=/(〃+%)與y=-/(々一%)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

0

//真題研析?精準(zhǔn)頸測(cè)N

1.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)

/(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B.”20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

2.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2尤3-3加+1,則()

A.當(dāng)。>1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)“<0時(shí)，》=0是/(尤)的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)為曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

3.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知/(x)=&-是偶函數(shù)，則。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

4.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/3)=y2〃x)+x2〃y),

則(),

A.f(0)=0B./(1)=0

C.“X)是偶函數(shù)D.x=0為的極小值點(diǎn)

5.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若，(無(wú))=("l)2+ax+sin]x+3為偶函數(shù)，貝匹=.

6.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且

22

f(x+y)+f(x-y)^/(I)=1,則￡/(幻=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

7.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則住卜()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

8.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/Xx)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R,記

g（x）=f'（x）,若/1-2尤），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）

A./(0)=0B.gf-|j=OC./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

9.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若/（x）=lna+丁匚+b是奇函數(shù)，則。=_,b=____

I-X

10.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,/（X+1）為奇函數(shù)，/'（x+2）為偶

2

函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，f（x）=ax+b.若/（0）+〃3）=6,貝廳（|1=（）

5_

AD.

-42

11.（2021年全國(guó)新高考n卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃%）的定義域?yàn)镽,〃％+2）為偶函數(shù)，〃2%+1）為奇

函數(shù)，則（）

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D."4)=0

1

12.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/'（l+x）=〃-x）.若/

則/)

5115

A.B.C.D.

3333

㈤5

H核心精講?題型突破\\

題型一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

【典例1-1]若函數(shù)/（x）=V-2國(guó)在區(qū)間（"2㈤內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

A.（-1,3）B.[-1,3]C.[-1,3）D.[2,3]

【典例1-2】已知函數(shù)V=/（X+2）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意再,々e[2,+8）,且占RN都有＞。成

立.若々=/（log318）,b=f\Inc，則。，仇。的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

函數(shù)單調(diào)性常與奇偶性、對(duì)稱性結(jié)合，用于求解最值、解不等式、證明數(shù)列單調(diào)性等。通過(guò)導(dǎo)數(shù)法或

定義法判斷單調(diào)性，結(jié)合圖像直觀分析，可簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題，提高解題效率。

【變式1-1]定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足條件：①對(duì)任意的%，%>0,恒有]〃占)-〃%)](占-々)>。；

②“力―〃—力=0；0/(-3)=0,則不等式獷(x)<。的解集是()

A.(^o,-3)0(0,3)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)IJ(3,+oo)D.(F,-3)“3,+CO)

【變式1-2】已知函數(shù)〃x+l)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，[〃孑)-"Z)](網(wǎng)-々)>°恒成立，設(shè)。=/I

b=f（2）,c"⑶,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

\命題預(yù)測(cè)1

、--------------------------

1.已知函數(shù)/■(尤)=ln|x-l|,若占<%<1，且玉+鼻>2,則()

A./(W)</(占)</(當(dāng))B./(x,)</(x,)<f(^)

C./(%)</(%)</(玉)D./(^2)</(^)</(%3)

2.設(shè)函數(shù)/(元)=111|工-4|在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.(-℃,3]B.(-℃,2]C.[2,+00)D.[3,+oo)

3.已知/(x),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且〃尤)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足/⑺+g(x)=ax2+x+2,

若對(duì)任意的1<占<%<2,都有g(shù)(-%)-g(")>_3成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

石-x2

A.［。,+8）B.

33

—,+<x>一,+%

44

題型二：函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

【典例2-1】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知"x）=x31n—,則〃*+2）>〃3彳-2）的解集為（）

3-x

【典例2-2】（2024?陜西商洛?一模）已知函數(shù)7?（尤）=-2尤3-3x+2,若不等式f+>4成立,

則。的取值范圍是（）

A.(ro,—2)u(3,+oo)B.(-2,3)C.y,-3)U(2,+<?)D.(-3,2)

函數(shù)的奇偶性是一個(gè)強(qiáng)大的工具，它能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算，快速求解問(wèn)題。通過(guò)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足奇

函數(shù)或偶函數(shù)的定義，我們可以利用這一性質(zhì)來(lái)預(yù)測(cè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的行為，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。此外，

奇偶性還可以用于求解參數(shù)、判斷函數(shù)圖像的對(duì)稱性、輔助求解最值問(wèn)題。掌握函數(shù)的奇偶性，不僅能使

我們的解題過(guò)程更加高效，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)直覺和邏輯推理能力。

【變式2-1]（2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（》）為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,y）上單調(diào)遞減，

滿足/（bg2”）一7Q°gja）42/（3）,則實(shí)數(shù)q的取值范圍為（）

2

A.B.于8C.（0,8]D.[8,+co）

【變式2-2]（2024.海南海口.模擬預(yù)測(cè)）已知定義在卜3,3]上的函數(shù)/（力=3-1-2%+1,若

/（覆）+"〃7—2）42,則機(jī)的取值范圍是（）

A.[—2,1]B.[―1,2]

C.[-1,73]D.[-1,1]

命題預(yù)測(cè)D

1.已知函數(shù)〃x)=ln(x+GT)+x3_2,若/(1嗚。)+/(1。8丁)"4,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.[§,3]B.(0,—][3,+co)

C.[1,DU(1,3]D.(0,+?)

/、tan。一tan(%+6)「兀兀

2.已知函數(shù)/尤=?是一石7,而f上的奇函數(shù)，則tan，=()

l-2?tan(xJ+6>〃)?20242024J

A.2B.-2C.gD.—

22

3.已知〃x)=dg(x)為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的解析式可以為()

A.g(x)=ln1^B.g(x)=l-

C.g(x)=]；+：；j：D.g(x)=|x-2|-|x+2|

題型三：已知/(%)=奇函數(shù)+M

【典例3-1］［新考法］已知函數(shù)/■(尤)=|尤2+H+2W，當(dāng)x4_2,2］時(shí)，記函數(shù)”X)的最大值為兇⑷，則/(4)

的最小值為.

丫3

【典例3-2】已知函數(shù)=+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為M,最小值為機(jī)，則加+相=.

已知/(x)=奇函數(shù)+A/,a,a］,則

⑴f(-x)+f(x)^2M

⑵fMimx+f(x)min=2M

【變式3-1］［新考法］函數(shù)〃尤)=卜2-6%卜印%-3)+*+。卜€(wěn)［0,6］)的最大值為加，最小值為加，若

M+/"=8,貝.

【變式3-2］已知函數(shù)〃X)=加+6sinx-2(a6w。)，若/(〃。=2,貝.

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)函數(shù)小)=2°23(尤1I)]+「必㈠<xv3)的最大值為M,最小值為m，則M+m=

2枕2+Sin[%￡卜x

2.若關(guān)于x的函數(shù)，(、/八、的最大值和最小值之和為4,則t=

〃力=c0)

2x2+cosx

3.函數(shù)/(x)=(X?-6@sin(x-3)+x+。(xe[0,6])的最大值為M,最小值為加，若A/+機(jī)=10,則。=

題型四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題

【典例4-1】已知偶函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的x滿足〃T)=〃X+2),且〃x)在區(qū)間(TO)上單

調(diào)遞減，若。=1叫3,6=l°g3變，c=；log應(yīng)2應(yīng)，則/⑷，f(b),/(c)的大小關(guān)系為()

814

A./(c)>/(a)>/(/?)B./(c)>/(&)>/(a)

C./(fl)>/(&)>/(c)D./(a)>/(c)>/(&)

【典例4-2】(2024?遼寧.一模)已知函數(shù)/(尤+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)xN2時(shí)，“耳=1。8』(/一4》+7),若

7

f(a)>f(b),則()

A.(〃+。一4)(〃一份<0B.(〃+〃一4)(〃一。)>0

C.(a+Z?+4)(a—Z7)<0D.(Q+6+4)(Q—Z?)>0

軸對(duì)稱的特性表現(xiàn)為：等式兩側(cè)的外部符號(hào)保持相同；其求解方法是：通過(guò)計(jì)算兩側(cè)的平均值

來(lái)找出對(duì)稱軸。

⑴已知函數(shù)“X)滿足/(-x)=/(x),則/(%)的對(duì)稱軸為直線x=0.

⑵已知函數(shù)/(%)滿足/(a-x)=/(a+x),則/(x)的對(duì)稱軸為直線x=a.

⑶已知函數(shù)外力滿足了(a-x)=/0+x),則〃力的對(duì)稱軸為直線x=i.

【變式4-1］(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(彳)=2023口“加(-0)的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱,且函數(shù)/(x)

的最小值為1,則不等式f(x)>2023的解集為()

A.{x|0<x<4}B.{x\xN4或％vO}

C.{x|0<x<4}D.{x|%N4或％40}

【變式4-2】函數(shù)"x)=(f+2x)(尤2+辦+“滿足：對(duì)VxeR,都有〃l+x)=x),則a+b為()

A.0B.1C.2D.3

命題預(yù)測(cè)

1.已知函數(shù)/(X)=3M+2,且滿足〃5+X)=〃3—X),則〃6)=().

A.29B.HC.3D.5

2.已知函數(shù)/(x)=ln%+ln(a-%)的圖象關(guān)于直線1=1對(duì)稱，則函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間為

A.(0,2)B.[0,1)C.(-00,1]D.(0,1]

3.已知A是方程loga%+x=2018(a>0,〃wl)的根，x2是方程《'+%=2018。1)的根，則須+%的

值為()

A.2016B.2017C.2018D.1009

題型五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題

(,1\2016(女、

【典例5-。⑵24.廣東廣州一模)已知函數(shù)—R-〒，則“赤的值為()

A.2016B.1008C.504D.0

【典例5?21［新考法］已知：定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。"(。))對(duì)稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)

/'(%)的圖象關(guān)于直線犬=〃對(duì)稱.任給實(shí)數(shù)加，〃滿足根3_3m2+5根—1=0,〃3_3/+5〃_5=0,貝11加+〃=

()

A.1B.2C.3D.4

點(diǎn)對(duì)稱的特性是：等式兩邊外部的符號(hào)不相同；其求解方法是：通過(guò)計(jì)算等式兩邊的中點(diǎn)(即

平均值)來(lái)確定對(duì)稱中心的位置。

(1)已知函數(shù)/⑺滿足〃-%)=-/(%),則〃％)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(0,0).

(2)已知函數(shù)滿足〃a-x)=-/(a+力,則/(尤)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(a,0).

(3)已知函數(shù)滿足〃a-x)+/(a+x)=2Z?,則/(X)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(a,b).

(4)已知函數(shù)/(%)滿足/(a-X)+/3+X)=2C,則/(%)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)1寸,C)

【變式5-1](2024.四川宜賓.一模)已知函數(shù)〃》”口€夫)滿足〃力=〃4一”，若函數(shù)了=52+4%一3|與

y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(%,%)(與力)-，(%，%)，則￡玉=

i=]

A.加B.2mC.3mD.4m

【變式5-2](2024.高三.山西.期中)已知函數(shù)〃x)=(x+L+：in龍,其中/'⑺為函數(shù)〃尤)的導(dǎo)數(shù)，貝I]

/(2020)+f(-2020)+f(2019)-f(-2019)=()

A.0B.2C.2019D.2020

【變式5-3](2024?寧夏石嘴山?一模)設(shè)函數(shù)＞=/(無(wú))的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意的Ax?e。，且占+x?=2a,

恒有)(占)+/(々)=2%,則稱函數(shù)/(x)具有對(duì)稱性，其中點(diǎn)(。*)為函數(shù)y=/(尤)的對(duì)稱中心，研究函數(shù)

/(x)=x+l+^—+tan(x-l)的對(duì)稱中心，求了1354043

+/)

x-l2022202220222022

A.2022B.4043C.4044D.8086

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)函數(shù)'句的定義域?yàn)?。，若?duì)于任意為、x^D,當(dāng)國(guó)+%=2a時(shí)，恒有〃占)+/(9)=?，則

稱點(diǎn)(。力)為函數(shù)y=/(%)圖象的對(duì)稱中心.研究函數(shù)，(％)=x+sinG-3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱

12340304031

中心的上述定義，可得到了+于+/+/的值為()

20162016201620162016

A.-4031B.4031C.-8062D.8062

1240244025

2.已矢口函數(shù)—一sin〃x,貝!+/+/)

2013201320132013

A.4025B.-4025C.8050D.-8050

3.若函數(shù)/Q)=sinx{lg(2'+l)+g[的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.-1g2B.-lgV2C.-4D.-2

題型六：奇偶性對(duì)稱偏移

【典例6-1】(2024?高三?浙江?期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/[gx+lj是偶函數(shù)，是奇函

數(shù)，貝U()

A.f(0)=0B.佃=。C./(1)=0D.八3)=0

【典例6-2】已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,若/(1-力為奇函數(shù)，/(xT)為偶函數(shù).設(shè)"-2)=1,則〃2)=

()

A.-1B.0C.1D.2

(1)若/(尤)為奇函數(shù)，則=

(2)若/(x+a)為奇函數(shù)，貝U/(x+a)=-/(-x+a).

(3)若/(%)為偶函數(shù)，則/(x+a)=f(-x-a).

(4)若/(x+a)為偶函數(shù)，則/(x+a)=/(—x+a).

【變式6-1]已知〃尤-1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)=〃2x+3)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，貝。()

A.g⑵=0B.g⑶=0C.43)=0D.45)=0

【變式6-2]已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)0<xW2時(shí)，/?=log22%,則

“2022)=()

A.2B.-2C.-1D.1

【變式6-3](多選題)已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且/(2)=10,則()