二次函數(shù)易錯(cuò)必刷題型專訓(xùn)（25個(gè)考點(diǎn)75題）原卷版-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

二次函數(shù)易錯(cuò)必刷題型專訓(xùn)（25個(gè)考點(diǎn)75題）

【易錯(cuò)必刷一二次函數(shù)的相關(guān)概念】

1.若函數(shù)尸（加-3）--3，"+2+蛆+1是關(guān)于尤的二次函數(shù)，則加的值是（）

A.0B.3C.0或3D.1或2

2.觀察：①＞=6x2；?y=-3x2+5；③y=200/+400x+200；（4）y-x3—2x；（5）j=x2--+3—；⑥

一.x2

y=（x+l）2-x2.這六個(gè)式子中，二次函數(shù)有.（只填序號(hào)）

3.已知函數(shù)＞=（"-2）x^2+2x-7是關(guān)于x的二次函數(shù).

⑴求滿足條件的m的值；

（2）判斷點(diǎn)-LT1）是否在該二次函數(shù)圖象上.

【易錯(cuò)必刷二y=ax2的圖象與性質(zhì)】

1.對(duì)于y=-2x2的圖象，下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.圖形是軸對(duì)稱圖形

B.對(duì)稱軸是直線x=0

C.圖象的最低點(diǎn)是原點(diǎn)

D.當(dāng)x＞l時(shí)，了隨x的增大而減小

2.若點(diǎn)（1/）,（2,%）在拋物線＞上，則%,％的大小關(guān)系為：乂%（填“＞或＜”）.

3.已知二次函數(shù)y=2一.

（1）點(diǎn)（-1,加）在此函數(shù)圖象上，求〃？的值；

（2）將此函數(shù)圖象沿y軸向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為.

【易錯(cuò)必刷三y=ax2+k的圖象與性質(zhì)】

1.拋物線歹=/+2的對(duì)稱軸是()

A.直線x=2B.直線x=-2C.直線》=應(yīng)D.y軸

2.與拋物線y=f2_l頂點(diǎn)相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線的解析式是

3.如圖所示，拋物線以=-/+加與直線%=2x+〃相交于點(diǎn)A,B.

(1)直接寫出實(shí)數(shù)加，〃的值，并求出點(diǎn)力,8的坐標(biāo);

⑵若%>%，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

_$【易錯(cuò)必刷四y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)】

1.對(duì)于二次函數(shù)y=-2(x+l)2,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.它的圖象的開口向下B.它的圖象的對(duì)稱軸是直線x=l

C.當(dāng)x=-l時(shí)，>取最大值D.當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而減小

2.如果二次函數(shù)y=a(x-l)2的圖象在它對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的，那么。的取值范圍是

3.已知拋物線y=(x+/)2經(jīng)過/(T")、8(3,〃)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)判斷點(diǎn)尸(-1,2)是否在此函數(shù)圖象上.

【易錯(cuò)必刷五y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì)】

1.關(guān)于二次函數(shù)y=(x+l『-4,下列結(jié)論不正確的是()

A.開口向上B.x<0時(shí)，V隨尤的增大而減小

C.對(duì)稱軸是直線x=-lD.頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2.已知二次函數(shù)>=-2(X+1)2+3,當(dāng)-2<x<3時(shí)，函數(shù)值》的取值范圍___.

3.探究二次函數(shù)y=2(x+l)2-3及其圖象的性質(zhì)，請(qǐng)?zhí)羁眨?/p>

(1)圖象的開口方向是；

(2)圖象的對(duì)稱軸為直線；

(3)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；

(4)當(dāng)尤為何值時(shí)，函數(shù)了有最小值，并出求最小值.

【易錯(cuò)必刷六y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)】

1.已知拋物線y=-f+2x+l,若點(diǎn)(0,弘),(1,%),(3,%),都在該拋物線上,則％,%，%的大小關(guān)系是

()

A.B.%<必<%C.%<%<%D.必<%<%

2.已知P(X1,3),。(X2,3)兩點(diǎn)都在拋物線y=x2-4x+l上，那么西+9=

3.已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.

(1)求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

（3）當(dāng)xWl時(shí)，〉隨x增大而（填"增大’或“減小”）.

3【易錯(cuò)必刷七頂點(diǎn)式】

1.拋物線了=--8x+ll的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向分別是（）

A.（4,-5）,開口向上B.（4,-5）,開口向下

C.（-4,-5）,開口向上D.（-4,-5）,開口向下

2.已知二次函數(shù)y=/+4x+3,當(dāng)x＞加時(shí)，＞隨x的增大而增大，則〃z的值可以是（寫出一個(gè)即

可）.

3.已知二次函數(shù)了=2/-4》+6.

（1）將V=2/-4x+6化成y=a（x-〃r+k的形式；

2

⑵拋物線y=2尤2_4x+6可以由拋物線j=2x經(jīng)過平移得到，請(qǐng)寫出一種平移方式.

-31易錯(cuò)必刷八二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)】

1.已知二次函數(shù)歹二。/+fox+c（。。0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)＞二@與一次函數(shù)V=在同一平

X

面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）

2.一次函數(shù)了=辦+6("0)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)？=蘇+為+2的圖象一定不經(jīng)過第象限.

3.如圖，正比例函數(shù)%=x與二次函數(shù)竺=--8的圖象相交于。(0,0),A(4,4)兩點(diǎn).

⑴求b的值；

(2)當(dāng)州〈力時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

「51易錯(cuò)必刷九二次函數(shù)圖象與各系數(shù)關(guān)系】

1.已知二次函數(shù)y=辦2+fex+c(a/0)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①b<0；②2a+b=0；

③4*<心④其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

2.如圖，已知二次函數(shù)了=辦2+瓜+°("0)的圖象與工軸交于點(diǎn)/(-1,0),與'軸的交點(diǎn)2在(0,-2)和(0,-1)

（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線X=l.下列結(jié)論：①%>0；②4a+26+c>0；@4ac-b2<-4a；④

|<?<1.其中正確結(jié)論有.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

3.已知拋物線y=Y+bx+c的頂點(diǎn)在第四象限，請(qǐng)判斷6,c的符號(hào)并簡要說明理由.

【易錯(cuò)必刷十已知拋物線上對(duì)稱的兩點(diǎn)求對(duì)稱軸】

1.若拋物線了=依2+云+°（。力0）經(jīng)過/（-1,0）,3（5,0）,則它的對(duì)稱軸為（）

A.直線x=0B.直線x=lC.直線x=2D.直線x=3

2.已知二次函數(shù)y=a/+6x+c的x、y部分對(duì)應(yīng)值如下表，則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為

X-2-1012

y424712

3.二次函數(shù)了=辦2+瓜+。=0（。*0）中的自變量工和函數(shù)值〉滿足下表：

X012345

y30-10m8

（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線」

（2）m的值為_；

（3）當(dāng)0<冗<3時(shí)，則y的取值范圍為

_$【易錯(cuò)必刷十一根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值】

1.二次函數(shù)了="2+加:+<:（0彳0）的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)x=4時(shí)，y的值為（）

X-i0123

y1510767

A.15B.10C.7D.6

2.如圖，拋物線＞=以2+加+以。70)的對(duì)稱軸為》=-1,點(diǎn)尸，點(diǎn)。是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(-3,0),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

3.已知二次函數(shù)y=-x?+6x-5.

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)1?xV4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

⑶若點(diǎn)必)，N(5,%)均在該拋物線上，且必＜%，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)占的取值范圍.

【易錯(cuò)必刷十二二次函數(shù)的最值問題】

1.已知二次函數(shù)＞=-/+云+。.當(dāng)x＞l時(shí)，函數(shù)的最大值為2；當(dāng)xWl時(shí)，函數(shù)的最大值為1,則兒=

()

A.-2B.2C.0D.-8

2.已知二次函數(shù)y=x2-2x+w(加為常數(shù))，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為-3,則加的值為

3.已知二次函數(shù)y=/-4x+l,當(dāng)-14x44時(shí)，求y的最大值和最小值.

【易錯(cuò)必刷十三二次函數(shù)的平移問題】

1.將拋物線y=x2-4的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位，所得的圖象的解析式為

y-x2-bx-c,貝！|6+c的值是（）

A.1B.3C.-1D.-3

2.若拋物線y=2/先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線，則新拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)是.

3.把拋物線4：y=--2x+l先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線公

(1)請(qǐng)直接寫出拋物線4的表達(dá)式；

(2)對(duì)于拋物線4所對(duì)應(yīng)的函數(shù)，當(dāng)自變量x>-2時(shí)，其函數(shù)值是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

/3【易錯(cuò)必刷十四待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】

1.若一個(gè)拋物線與拋物線》=-3犬+1的開口大小相同，開口方向相反，且與x軸相交于點(diǎn)(-2,0),(1,0),

則該拋物線的解析式為()

A.y=3(x+2)(x-l)B.7=-3(^+2)(x-l)

C.y=3(x-2)(x+l)D.y=-3(x-2)(x+1)

2.如圖所示的拋物線過原點(diǎn)，將該拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的函數(shù)

表達(dá)式為.

3.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(1,6).

(1)試確定此二次函數(shù)的解析式；

⑵-24x43時(shí)，求了的取值范圍.

【易錯(cuò)必刷十五二次函數(shù)與方程】

1.若拋物線了=--2x+4aT與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

111C

A.aN—B.ci<—C.a>—D.Q>2

222

2.如圖，一次函數(shù)乂=丘+加與二次函數(shù)%=加+云+。的圖象相交于點(diǎn)4-2,5),8(7,2),則能使

成立的x的取值范圍是.

3.已知關(guān)于x的二次函數(shù)了=2/_(3+左)x+左.

(1)當(dāng)人=1時(shí)，求該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)比二次函數(shù)了=2/-(3+后)x+上的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

J【易錯(cuò)必刷十六二次函數(shù)與不等式】

1.函數(shù)了=--2》-2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使7之1成立的x的取值范圍是()

B.-1<x<3

C.%<-1或%>3D.x<-l^x>3

2.如圖，直線必=MX+”與拋物線%=必+&+。交于A,8兩點(diǎn)，其中點(diǎn)4(2,-3),點(diǎn)3(5,0),當(dāng)必〉力

時(shí)，x的取值范圍是

3.拋物線y=x2-4x+3與x軸交于/、2兩點(diǎn)，/在2左側(cè)，與y軸交于C點(diǎn).

(1)C點(diǎn)坐標(biāo)為,LABC的面積為；

(2)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并回答：不等式x2-4x+3>0的解集是

一、【易錯(cuò)必刷十七二次函數(shù)應(yīng)用之圖形幾何問題】

1.如圖，要圍一個(gè)矩形菜園ABC。，其中一邊ND是墻，且AD的長不能超過26m,其余的三邊4B,

BC,CO用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論:

2

AD

菜園

BC

①48的長可以為6m；

②AB的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2;

③菜園ABCD面積的最大值為200m2.

其中，正確結(jié)論的是（）

A.①②③B.①②C.②③D.③

2.如圖，在中，ZS=9O°,AB=6cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿48方向向點(diǎn)8勻速移

動(dòng)，速度為lcm/s,動(dòng)點(diǎn)。由點(diǎn)8出發(fā)沿8c方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為2cm/s.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).若動(dòng)點(diǎn)尸、。同時(shí)從/、3兩點(diǎn)出發(fā)，s時(shí)，APB。的面積最大，最大面積是

cm2.

3.如圖，在RtZX/BC中，N/C3=90。，/4=30。，3c=2cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，以2c加/s的速度沿4f3fC

向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線/C的垂線交NC于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P與/、C不重合時(shí)，作點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱

點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs（0<x<3）,△/尸。與△4BC重疊部分圖形的面積是yen?.

（1）48的長為；

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，求x的值；

（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【易錯(cuò)必刷十八二次函數(shù)應(yīng)用之銷售問題】

1.某商品每件進(jìn)價(jià)20元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為25元時(shí)，每天可售出120個(gè)，銷售單價(jià)每降價(jià)1元,

每天銷量增加10個(gè)，現(xiàn)商家決定降價(jià)銷售，每個(gè)降價(jià)x元（0<x<5）,設(shè)每天銷售量為了個(gè)，每天銷售商

品獲得的利潤w元，則下列函數(shù)關(guān)系式正確的是（）

A.y=10x-120B.y=-10x+120

c.w=(10x+120)(25-20-x)D.w=(-10^+120)(50-x)

2.某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂60元，每月可售出200頂.在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)

銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂.已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂40元，則該商店每月獲得

最大利潤時(shí)，每頂頭盔降了元.

3.某襯衫的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件，如果每件襯衫的售價(jià)上漲1元,

則每個(gè)月少賣2件（每件售價(jià)不能高于105元），設(shè)每件襯衫的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售

利潤為y元.

（1）求月利潤為7000元時(shí)，每件襯衫的售價(jià)；

（2）求每件襯衫的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？

【易錯(cuò)必刷十九二次函數(shù)應(yīng)用之拱橋問題】

如圖，搭建一座蔬菜大棚，橫截面形狀為拋物線了=；

1.-/+8（單位：米），施工隊(duì)計(jì)劃在大棚正中搭建

則腳手架高?！隇?)

C.5米D.4米

其解析式為了=-//.當(dāng)水面離橋拱頂

2.趙州橋的橋拱橫截面是近似的拋物線形，其示意圖如圖所示,

的高度。。為4m時(shí)，水面寬度力B為—m

3.如圖為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度了（單位:

m）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系了=一0.02/+0.3工+左的圖象，點(diǎn)

8（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD=4m,高?！?1.8m的矩形,

圖1

(1)k=:

（2）可判定貨車完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）.

31易錯(cuò)必刷二十二次函數(shù)應(yīng)用之投球問題】

i.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，小明同學(xué)進(jìn)行了投實(shí)心球比賽，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)心球在空中飛行的軌跡可以近似看作是拋

物線，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，已知實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系是

14

y=-x2+^x+2,則該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績是（）

2.一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度了（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系式是

125

J^=--X2+-X+-,則他將鉛球推出的距離是m.

3.如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中，從球門正前方8m的/處射門，已知球門高03為2.44m,球射向

球門的路線可以看作是拋物線的一部分.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度

為3m.現(xiàn)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

N（m）

（i）求拋物線的解析式（不必寫出自變量的取值范圍）;

（2）通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）.

一、【易錯(cuò)必刷二十一二次函數(shù)應(yīng)用之噴水問題】

1.如圖，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米.當(dāng)

噴射出的水流距離噴水頭2米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離。7是（）

2.昆明某公園擬增建噴泉景觀，在一個(gè)柱形高臺(tái)上裝有噴水管，水管噴頭斜射出水柱，經(jīng)過測(cè)量水柱在不

同位置到噴水管的水平距離和對(duì)應(yīng)的豎直高度呈拋物線型，若要使水柱在離噴水管水平距離3米處離地面

豎直高度最大，最大高度為5米，水柱落地處離噴水管水平距離為8米，則噴水管要離地面______米噴水.

3.為了美化校園，某校準(zhǔn)備在校園廣場(chǎng)中心安裝一個(gè)圓形噴水池，噴水池中央設(shè)置一柱形噴水裝置。/高2

米，點(diǎn)A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.。位于圓形噴水池中心的

水面處，按照如圖所示建立直角坐標(biāo)系，該設(shè)計(jì)水流與04的水平距離為1米處時(shí)，噴出的水柱可以達(dá)到最

大高度3米.

（1）求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)為了使噴出的水流不至于濺落在圓形噴水池外，需要在水流落回水面處的外側(cè)預(yù)留1米距離，則該圓形

噴水池的半徑至少設(shè)計(jì)為多少米合理？

一31易錯(cuò)必刷二十二二次函數(shù)應(yīng)用之存在性問題】

1.點(diǎn)尸(見〃)在二次函數(shù)夕=-；/-3x的圖象上，小明在探究〃取不同值，點(diǎn)P的存在性問題時(shí)，得到如下

三個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)〃=10時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為0；

②當(dāng)“=4.5時(shí)，點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為1；

③當(dāng)〃=4時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.

下列判斷正確的是()

A.①錯(cuò)，②③對(duì)B.①對(duì)，②③都錯(cuò)C.①②對(duì)，③錯(cuò)D.①②③對(duì)

2.對(duì)某一函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿足那么稱這個(gè)函數(shù)是

有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界.例如函數(shù)y=-(x+l)2+2/42,

因此是有上界函數(shù)，其上確界是2.如果函數(shù)了=-x?-2x+加的上確界是5,則加的值為.

3.如圖，已知二次函數(shù)y=/+2x-3的圖象與x軸交于42兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C.若在拋物線上存在一

點(diǎn)尸，使S.ABP:S/BC=4：3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

rc

一31易錯(cuò)必刷二十三二次函數(shù)的角度旋轉(zhuǎn)問題（45°）］

1.如圖，拋物線＞=/+瓜+。與x軸交于點(diǎn)A、B,與歹軸交于點(diǎn)C,/OBC=45。，則下列各式成立的是

（）

A.b+c+1=0B.6—c+l=OC.b—c—1=0D.6+c—1=0

2.如圖，已知拋物線歹=-1—3壯4,點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸在