高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）原卷版+解析

第08講等差數(shù)列、等比數(shù)列(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)

［考情分析］1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列

求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn).

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

★等差數(shù)列、等比數(shù)列?考點(diǎn)二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

考點(diǎn)三二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

考點(diǎn)分類(lèi)講解

考點(diǎn)一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(neN*)

⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a?=ai+(n-l)d,

=

anam+(n—m)d.

⑵等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=aqnT,

—n—m

@n—*Q.

(3)等差數(shù)列的求和公式：

nai+ann-1

Sn=2n=nai+d.

(4)等比數(shù)列的求和公式：

ai1-qi11ai—aq,

in，qWl,

s0=Ji—qi—q

、nai,q=1.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略

⑴抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為S0=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a。

=p?qi(p,qWO)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.

⑶由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行

相關(guān)計(jì)算.

［例1］（23-24高三下?甘肅張掖?階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛風(fēng)｝滿(mǎn)足=3,4洶=匕，則的5=

)

A.39B.63C.75D.99

,、［4+2,〃=2左一1*

【變式1】（2024?廣東深圳?一模）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足卬=々=1，%+2=一”（左eN*）,若S“

為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則京。=（）

A.624B.625C.626D.650

【變式2］（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足=。/“+2,若%=；,%=2,則

45=?

【變式3］（2023?全國(guó)甲卷）設(shè)等比數(shù)列設(shè)J的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為權(quán)，若a1=l,S5=5S3-4,則S’

等于（）

1565

A.-B.-C.15D.40

oo

【變式4】（2023?安康模擬）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，

七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【變式5】（2023?河南聯(lián)考）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日

影長(zhǎng)之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，則春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為（）

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【變式6］（2023?石家莊質(zhì)檢）已知數(shù)列｛aj為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a】=4,S3=84,則logza^a2a3…血

的值為（）

A.70B.72C.74D.76

考點(diǎn)二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）,則對(duì)于等差數(shù)列，有aH+akap+aquZak；對(duì)于等

比數(shù)列，有Hma-nap@q@k.

2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：

⑴對(duì)于等差數(shù)列有Sm,s2m-sm,S31n—S-…成等差數(shù)列;對(duì)于等比數(shù)列有Sm,SZM—Sa,S3m-S2m,…成等比數(shù)

列（q=-1且m為偶數(shù)時(shí)除外）.

⑵對(duì)于等差數(shù)列有82?-1=（2n-l）a?.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題的求解策略

（1）抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.

（2）用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.

【例2】（2024?吉林白山?二模）記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若幾=483,a3=12,則｛%｝的公差

為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式1］（2024?安徽合肥?一模）數(shù)列｛%｝中，a?=an+l+2,%=18,則4+%+…+%（）=（）

A.210B.190C.170D.150

【變式2］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛4｝的公比為3,出+的=12,則%=（）

A.20B.24C.28D.32

【變式3］（多選）（2023?濟(jì)寧質(zhì)檢）已知等差數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為Sn,且ai>0,a-au〉。，a7a8〈0,則（）

A.數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列B.S6>S9

C.當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大D.當(dāng)S〉0時(shí)，n的最大值為14

【變式4】（2023?咸陽(yáng)模擬）已知等差數(shù)列｛aj,?｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,若（2n+3）S產(chǎn)nT“，則詈等

05

于（）

31911

732525

【變式5］（2023?滄州質(zhì)檢）已知等比數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S?,若S3=2,S6=6,則S24=.

【變式6］（2023?全國(guó)乙卷）已知｛aj為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,a9aio=-8,則a?=.

考點(diǎn)三：等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

等差數(shù)列等比數(shù)列

3-n+l/

定義法an+i-&!=d一q(qWO)x

Hn

_n—1

通項(xiàng)法an=ai+(n—l)dan=aiq

中項(xiàng)法2an=an-i+an+i(n22)an=an-iHn+i(n22,anWO)

2n

前n項(xiàng)和法Sn=an+bn(a,b為常數(shù))Sn=kq—k(k^O,qWO,1)

證明數(shù)列為等差仕匕）數(shù)列一般使用定義法.

易錯(cuò)提醒（l）￡=a-a0+i（n22,nGN*）是｛aj為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比

數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

（2）｛aj為等比數(shù)列，可推出a“az,as成等比數(shù)列，但如,as成等比數(shù)列并不能說(shuō)明｛4｝為等比數(shù)列.

（3）證明｛aj不是等比數(shù)列可用特值法.

【例3】（23-24高三下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?開(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S“滿(mǎn)足S“=/?+w+3,則

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

C.%,為，%為等差數(shù)列D.5-2總/,58-56為等差數(shù)歹!1

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球

傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概

率為匕，則

B.數(shù)列［匕為等比數(shù)列

D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種

【變式2】（23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛〃｝滿(mǎn)足下列條件：①qe｛-l,O,l｝,

b1

〃eN*；②"0,〃eN*；③$=（-1"。“-5見(jiàn)+","eN*,記數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)積為（.

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-l,aA=1,求心；

（2）是否存在q,a2,%，%,使得4，％，4，”成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組%,。2，。3，?4；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若4=1,求幾。的最大值.

【變式3](2023?日照模擬)已知數(shù)列｛aj滿(mǎn)足：a尸人〉0,a同+1=2^.

(1)當(dāng)入=擊時(shí)，求數(shù)列｛a/中的第10項(xiàng)；

(2)是否存在正數(shù)入，使得數(shù)列｛aj是等比數(shù)列？若存在，求出入值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4】.(2023?青島質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛詼｝的前幾項(xiàng)和為公差d手。,S2,S4,亂+4成等差數(shù)列，a2,

04,伍成等比數(shù)列.

⑴求亂;

(2)記數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和為心,2瓦f=審，證明：數(shù)歹共一不為等比數(shù)列，并求｛兒｝的通項(xiàng)公式.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

(2024?福建廈門(mén)?二模)已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S“，且

4s3=(4+以,4S4=(%+1)=則”=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024?湖北?二模)己知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若生，%，%是等比數(shù)列，則當(dāng)S.

取最大值時(shí)，n=()

A.2或3B.2C.3D.4

3.（2023?四川遂寧?三模）己知數(shù)列｛““｝為等比數(shù)列，的，%是方程爐-8x+4=0的兩個(gè)根，設(shè)等差數(shù)

列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S.,若…5,則怎=（）

A.-18或18B.-18C.18D.2

4.（2024?江蘇宿遷?一模）設(shè)S,是等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，若S3,Sg,$6成等差數(shù)列，％=-2,則%的

值為（）

A.-2B.—~C.—D.1

5.（2024?甘肅?一模）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，的+%+”6=6,%+。8+%=11，則陽(yáng)+%+%2=

（）

A.16B.19C.25D.29

6.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和為S“，4=1,%=2,且對(duì)于任意〃22,

〃cN*,S.+I+S"T=2（S“+1）恒成立，則（）

A.｛為｝是等差數(shù)列B.｛見(jiàn)｝是等比數(shù)列

C.S9=81D.幾=91

7.（2023?新疆?一模）記5”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛凡｝為等差數(shù)列，乙：2S,l=（al+a?）n（其

中〃eN*）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

8.（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域

都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛”"｝滿(mǎn)足q=a2=l,a“=%i+a,_2523,”eN*）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在meN*,使得a.,am+\，〃"?+2成等差數(shù)列；

②存在機(jī)eN*,使得am,am+i,am+2成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)/，使得對(duì)任意〃eN*,都有%,tan+2,%+4成等差數(shù)列；

④存在正整數(shù)2，…%,S.h<i2<-<im,使得綜+縱+…+”=2023.

其中所有正確的個(gè)數(shù)是（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題

1.（2023?湖北武漢?三模）已知實(shí)數(shù)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.若數(shù)列｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，則q+。3+%=24恒成立

B.若數(shù)列｛4,｝為等差數(shù)列，則S3,S6-S3,既-用，…為等差數(shù)列

7

C.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且生=7,邑=21,則

D.若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則S3,S6-S3,反-%…為等比數(shù)列

2.（2024?海南海口?模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若

（S15-SH）（S15-S12）<0,則（）

A.a13+a14>0

B.S[]<S[5<S]2

C.當(dāng)〃=14時(shí)，S“取最大值

D.當(dāng)S“<0時(shí)，〃的最小值為27

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為2.、2萬(wàn)和2c的橢圓。，點(diǎn)A是橢圓。與其

長(zhǎng)軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)8是橢圓。與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)與和F?為其焦點(diǎn)，AB1BF,.點(diǎn)尸在橢圓。上,

7T

若則（）

A.a,b,c成等差數(shù)列

B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率6=有+1

D.AAB片的面積不小于鳥(niǎo)的面積

三、填空題

1.（2024?四川南充?二模）已知數(shù)列｛?！埃?滿(mǎn)足％=1,且4口"+1=2",則"7+。8=.

2.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列抄“｝是等比數(shù)列，若的+%+4=5兀，

b由b°=3上,貝IJtan亡盂=.

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）用卜]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：％=g,

若f=l'則2024恪i——.

%+i—1），〃EN*.若丸=。，4=-2,貝lj〃"=

四、解答題

1.(2024?廣東深圳?一模)設(shè)S,,為數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和，已知的=4,邑=2。，且為等差數(shù)列.

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列;

⑵若數(shù)列也｝滿(mǎn)足4=6,且誓=詈，設(shè)T”為數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和，集合”=｛7；%eN*｝,求M(用列

UnUn+2I)

舉法表示).

2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝(〃eN*)的前n項(xiàng)和為S"，若"jS,=3/+6〃+3,

4=2.記勿=?！?。2判斷｛2｝是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))記等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S"，等比數(shù)列也“｝的前〃項(xiàng)和為T(mén),,且

卬=4=1鄧“=(4+1)2,隹=(2+1)2.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛￡｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹！1｛4山,｝的前”項(xiàng)和.

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：4=2,a?+1=2a?+4?-4.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛"+3%”｝的前n項(xiàng)和S「

5.（2024?安徽黃山?一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛.差分和差分方程是

描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)列｛4｝,規(guī)定｛A%｝為數(shù)列｛為｝的一階差分?jǐn)?shù)

列，其中△%=1-4（衣江），規(guī)定百見(jiàn)｝為數(shù)列｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中

⑴數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為q=〃3（〃eN*）,試判斷數(shù)列｛△%,｝,｛△4｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？

⑵數(shù)列｛log/”｝是以1為公差的等差數(shù)列，且。>2,對(duì)于任意的“eN*,都存在機(jī)eN*,使得個(gè)%=粼，

求。的值；

⑶各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為S"，且｛△4｝為常數(shù)列，對(duì)滿(mǎn)足機(jī)+〃=2乙相X”的任意正整數(shù)

見(jiàn)屋,才都有jh%,且不等式黑+s,>-E恒成式,求實(shí)數(shù)2的最大值.

第08講等差數(shù)列、等比數(shù)列(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)

［考情分析］L等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列

求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn).

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

★等差數(shù)列、等比數(shù)列?考點(diǎn)二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

考點(diǎn)三二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

考點(diǎn)分類(lèi)講解

考點(diǎn)一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(ndN*)

⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a?=ai+(n-l)d,

an=am+(n—m)d.

n_1

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a?=aiq,

n—m

an=am,q.

⑶等差數(shù)列的求和公式：

nai+annn-1

Sn=2=nai+d.

(4)等比數(shù)列的求和公式：

ai1-qnai—aq

i=-；n，qW1,

Sn=ji—qi—q

、nai,q=1.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略

(1)抓住基本量，首項(xiàng)出、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為S0=a/+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a.

=p?qi(p,qWO)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.

⑶由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行

相關(guān)計(jì)算.

【例1】(23-24高三下?甘肅張掖?階段練習(xí))已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛風(fēng)｝滿(mǎn)足4出=3,出/=15,則。洶=

()

A.39B.63C.75D.99

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

、Fata2=3、%(%+d)=3

因?yàn)樗?％+d)(%+2d)=15，

a=l

解得1(舍去),

d=2

所以a4a5=(1+3X2)X(1+4X2)=63.

故選：B.

，、f+2,〃=2左一1*

【變式1】(2024?廣東深圳?一模)已知數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足％=%=1,%+2=_9,(ZeN*),若S“

為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則$5。=()

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類(lèi)求和即得.

,、+2,〃=2左一1*

【詳解】數(shù)列出中，卬=々=1，%+2=2(左?N*),

-a,n=2k

當(dāng)〃=24-1/eN*時(shí)，an+2-an=2,即數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公差為2,

25x24

貝%+/+%+,??+。49=25x1H-----——x2=625,

當(dāng)〃=2%?eN*時(shí)，—=-1,即數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為-1,

an

e1X[1-(-1)25]]

=

貝U出+〃4+。6+…+〃5O=,~~1，

1一(一1)

以S50—(%+“3+05+,,,+〃49)+(“2+〃4+〃6+，，，+〃50)=626.

故選：C

【變式2】（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。3=%?！?2,若q=；，?3=2,貝U

?5=?

【答案】8

【分析】判斷數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，求出4。結(jié)合。5=%/，即可求得答案.

【詳解】由于數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足1A+2,故數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，

又q=萬(wàn)，％=2,故/xq-=2,=4,

%==8，

故答案為：8

【變式3］（2023?全國(guó)甲卷）設(shè)等比數(shù)列設(shè)J的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為S”，若索=1,S6=5S3-4,則S4

等于（）

1565

A.—B.-C.15D.40

OO

【答案】C

【解析】方法一若該數(shù)列的公比q=l,代入Ss=5S3—4中，

有5=5義3-4,不成立，

所以qWL

化簡(jiǎn)得q*—5/+4=0,

所以q2=l(舍)或q?=4,

由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，

1—q4

所以q=2,所以S4=-j=15.

1-Q

方法二由題知l+q+q2+q3+q4=5(l+q+q2)-4,

即q3+q4=4q+4q2,

即q3+q2—4q—4=0,

即(q—2)(q+1)(q+2)=0.

由題知q〉0,所以q=2.

所以S4=l+2+4+8=15.

【變式4】（2023?安康模擬）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，

七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【答案】D

【解析】設(shè)該馬第n(n￡N*)天行走的里程數(shù)為%,

由題意可知，數(shù)列｛aj是公比為1的等比數(shù)列，

ad

127aiA”口27X350

所以該馬七天所走的里程為封=700,觸倚

-5

口、?r12X35012800

故該馬第五天仃走的里程數(shù)為a=ai?X-4=~—y^22.05.

5乙J.乙/乙_L乙/

【變式5](2023?河南聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日

影長(zhǎng)之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，則春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為()

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影

長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛aj,設(shè)公差為d,由題意得

ai+az+a3=28.5,

.aio+an+ai2=1.5,

所以an=ai+(n—l)d=ll.5—n,

所以@7=11.5—7=4.5,

即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為4.5尺.

【變式6】(2023?石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列a｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=4,S3=84,則log2@ia2a3…a8

的值為()

A.70B.72C.74D.76

【答案】B

22

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,則q>0,S3=ai(1+q+q)=4(l+q+q)=84,

整理可得q?+q—20=0,解得q=4(負(fù)值舍去)，

所以8=21廣|=4",

1238

所以1og2aia2a3,,,a8=1og2(4X4X4X???X4)

2x1+8X8

=2X(1+2+3+-+8)=一=72.

2

考點(diǎn)二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m+n=p+q=2k(ni,n,p,q,k￡N*),則對(duì)于等差數(shù)列，有am+an=ap+aq=2ak；對(duì)于等

比數(shù)列，有cincinciptiqelk*

2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：

⑴對(duì)于等差數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3B-S2?…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有S.,S2m-Sm,S加一S2m，…成等比數(shù)

列(q=—1且m為偶數(shù)時(shí)除外).

⑵對(duì)于等差數(shù)列有Szn-i=(2n-l)a?.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題的求解策略

(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.

(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.

【例2】(2024?吉林白山?二模)記等差數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為S"，若見(jiàn)=483,a3=U,則｛%｝的公差

為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式表示S”，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得出=57,進(jìn)而求解公差d.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛凡｝的公差為d,依題意，4=(4+；4”4=7儂+率)=483,

得生+/=69,故生=57,則［=^^=5.

12—3

故選：A.

【變式1】(2024?安徽合肥?一模)數(shù)列｛〃〃｝中，an=an+i+2,a5=lSf則4+%+…+%o=()

A.210B.190C.170D.150

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義知公差為-2,然后利用求和公式結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)求和即可；

【詳解】由2=為+i+2知數(shù)列｛為｝是公差為-2的等差數(shù)列,

所以％+為H---1~q0=5(%+4)=5x(18+16)=5x34=170.

故選：C.

【變式2］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為3,%+%=12,則生-卬=（）

A.20B.24C.28D.32

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知q+a3=%=4,%+%=3（a2+a4）=36,

所以％=（生+%）—（q+/）=36—4=32.

故選：D.

【變式3】（多選）（2023?濟(jì)寧質(zhì)檢）已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,且a>0,a-aQO,a7a8<0,則（）

A.數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列B.S6>S9

C.當(dāng)n=7時(shí)，S"最大D.當(dāng)S“>0時(shí)，n的最大值為14

【答案】BCD

【解析】???在等差數(shù)列｛aj中，ai>0,

a4+aii=a7+a8>0,a7a8<0,

a7>0,a8<0,

???公差d<0,數(shù)列｛aj是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；

?Sg-S6=a7+a8+a9=3a8<0,

.?.S6>S9,B正確；

Va7>0,a8<0,數(shù)列｛aj是遞減數(shù)列,

???當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大,C正確；

*/a4+an>0,a7>0,as<0,

.14ai+ai414a4-Fan

Su-2=2〉0，

15ai+ais15X2a

S―2=-2—8<0,

???當(dāng)S，0時(shí)，n的最大值為14,D正確.

【變式4】（2023?咸陽(yáng)模擬）已知等差數(shù)列｛aj,?｝的前n項(xiàng)和分別為S°,L,若（2n+3）Sn=nL,則守等

b5

于

31911

--c-

7B.3I).25

25

【答案】A

【解析】（2n+3）Sn=nT,

T?-2n+3,

又S9=5(ai+a9)=]X2a5=9a5,

99

T9=5(bi+b9)=]X2b5=9b5,

所以一，

1905

又&

人Tg2X9+3T

所以海

b57

【變式5](2023?滄州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列知J的前n項(xiàng)和為Sn,若Ss=2,S辭=6,S24=

【答案】510

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛劣｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，

S3,Se—S3,Sg—Se,…，S24—S21,…構(gòu)成首項(xiàng)為$3=2,

公比為q=弋自廠=2的等比數(shù)列，且S24是該等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，

034

21—28

所以$24=\Q-510.

1-乙

【變式6】(2023?全國(guó)乙卷)已知｛aj為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,a9aio=—8,則劭=

【答案】一2

【解析】方法一瓜｝為等比數(shù)列，，a4a5=a3a6,

??a2=1,

又，a2a9aio=a7a7a7,

3

.,.lX(-8)=(a7),

@7=—2.

方法二設(shè)凡｝的公比為q(qWO),

貝Ia2a4a5=a3a6=azq,asq,

顯然dnWO,

32

則a4=q\即aiq=q,

貝！Jaiq=l,

因?yàn)閍9aio=18,

貝Uaiq8?aiq9=-8,

則q』(q5)3=—8=(—2”,

555

貝Uq=—2,則a7=aiq?q=q=—2

考點(diǎn)三：等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義法a-n+i-an=d—=q(q^0)

Hn

_n-1

通項(xiàng)法%=ai+(n-1)d&n=3.1Q

中項(xiàng)法2an=an-i+an+i(n22)a：=an-ian+i(n22,@nW0)

2

前n項(xiàng)和法Sn=an+bn(a,b為常數(shù))Sn=kq“一k(kW0,qWO,1)

證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.

易錯(cuò)提醒(l)￡=a-ae(n22,nGN*)是凡｝為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比

數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

⑵｛aj為等比數(shù)列,可推出a“a2,as成等比數(shù)列，但a”as成等比數(shù)列并不能說(shuō)明顯｝為等比數(shù)列.

(3)證明｛須｝不是等比數(shù)列可用特值法.

【例3】(23-24高三下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?開(kāi)學(xué)考試)若數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“滿(mǎn)足S“=〃2+〃+3,則

()

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列

C.為等差數(shù)列D.S「S2，S6-S4，S8-S6為等差數(shù)列

【答案】D

(5IT—1

【分析】降次作差即可得到%一、C，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷A,根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可判B,

\2n,n>2

求出相關(guān)值結(jié)合等差數(shù)列定義即可判斷CD.

2

【詳解】當(dāng)2時(shí)，cin=Sn-Sn_1=n+n+3—(n—1)1)-3=(2〃-1)+1=2〃，

[5,〃二1

當(dāng)〃=1時(shí)，q=5,/.a=<,

n[2n,n>2

對(duì)于A：4=5不滿(mǎn)足%=2〃，故A不正確；

對(duì)于B：q=5>％=4,故B不正確；

對(duì)于C,4=5,4=6,“5=1。，不滿(mǎn)足2a3=4+%，故C不正確；

對(duì)于D：54-S2=a4+a3=14,S6-S4=a6+a5=22,S8-S6=a^+aJ=30,三項(xiàng)可構(gòu)成等差數(shù)列，且公差

為8,故D正確；

故選：D.

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球

傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概

率為匕，貝U（）

A.呂=工

34

B.數(shù)列,匕-;1為等比數(shù)列

D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，可得數(shù)列［匕-g1是以-;為首項(xiàng)，以-;為公比的等比數(shù)列，即可判斷ABC,然后逐

一列舉，即可判斷D.

【詳解】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第小-1）次球必定不在甲手中，

所以勺=：。一心），即匕T=［上-「J，

p-1

因?yàn)?=0,則片1=15—1W。所以，—〃2：=一1

則數(shù)列,匕是以為首項(xiàng)，以-g為公比的等比數(shù)列，故B正確；

則匕即故,錯(cuò)誤；

11

且月二XI故A正確;

32134

若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中,

設(shè)甲，乙，丙對(duì)應(yīng)。力,。,

貝！］a->h—>a―>b―>a，

a->b->Q->c->a,

a->c->a->b-》a,

CL->c—>ci―>c―>a,

a—>c—>a,

所以一共有六種情況，故D正確；

故選：ABD

【變式2](23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝滿(mǎn)足下列條件：①a“e｛-l,O,l｝,

Z?1

〃eN*；②〃eN*；③，=(一1)""?！耙?%1,“cN*,記數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)積為人

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-1,a4=1,求心；

(2)是否存在4,a2,a3,%,使得仿，b2,b3,4成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組%,電，的，為；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若4=1,求幾。的最大值.

【答案】(1)看=?3;

O

⑵不存在，理由見(jiàn)解析；

⑶(|嚴(yán)。.

【分析】(1)利用已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得.

(2)假定存在，分兩種情況討論即得.

⑶設(shè)%=1%I，分析出區(qū)名尸聞=(滬<(\尸\b2\<(步.綱=.步,再求出小

的最大值即可.

/?9,1,,Z?o,1,11

【詳解】(1)由工■=—&一不％1=一1，得人2=-1，由丁=1〃2-不。31=不，得瓦=-入,

422222

,b4?1.33

由7=一修3_不&1=_不，得力4=:，

b3224

3

所以也./?3也=%.

O

(2)不存在.

假設(shè)存在,設(shè)耳也也也公比為0，

若々>0,則&<。也<0也>。，公比4=，<。應(yīng)=，>。，矛盾，

若a<o,則a>o,4>。，a<。，公比，矛盾，

因此假設(shè)不成立，所以不存在.

(3)依題意，4=1>0,且“"3>°，%-2<0,%_1<0&>0,甌-3?%-20"「原?>。，笈eN*,

設(shè)%=憶-卜"+"，則4“€｛0,：,1,；｝,品=%，得|%|=置?也I,

2zz\^n\

931

于是Ibn+2|=qn-qn+l-\b?\,顯然q?-qn+l的值從大到小依次為：,,1,；,

若以Vm=：，則以=1且4M=；，當(dāng)數(shù)列｛%｝為1，T/，T，L或T,L-M,…，可以取得，

顯然當(dāng)qjq,+i=；時(shí)，⑴最大，此時(shí)1%1蕓也1,則也“"“：尸141=(：產(chǎn)，

也“嗚尸也區(qū)(:尸?|國(guó)1=|?(：尸，

bb

從而I工001=14也3?,…*1001=曲也4?,…99I?電也也??…偽00I

[1X|x(^)2X...X(1)49]X(|)50X[1XX(1)2X?..X令9]

50

=(1)X弓產(chǎn)“2+3++49)=(|)4950,又幾。>0,

所以(%:u=(|嚴(yán).

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通

項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.

【變式3](2023?日照模擬)已知數(shù)列｛aj滿(mǎn)足:由=A>0,anHn+1==2.

(1)當(dāng)入時(shí)，求數(shù)列｛a2n｝中的第10項(xiàng)；

(2)是否存在正數(shù)入，使得數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列？若存在，求出入值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由己知須加+1=2-"

所以當(dāng)n與2時(shí)，a1aliT=2f

相除得

又ai=a.，a2al=25,

OCi

所以也=2叱

==

loG)?256-

所以a2o=2X

(2)存在.假設(shè)存在正數(shù)入，使得數(shù)列｛8｝是等比數(shù)列，由azai=25得a?=丁,

A

由a2a3=8,得的=彳，

因?yàn)椋鸻j是等比數(shù)列，所以aia3=a；,

即入2=64,解得人=8.

下面證明當(dāng)入=8時(shí)數(shù)列｛劣｝是等比數(shù)列，

由⑴知數(shù)列｛皿_｝和⑸,｝都是公比是:的等比數(shù)列，所以a"_=8?^'=25-2"；

a如=4-=

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，4=247

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2-n,

所以對(duì)一切正整數(shù)n,都有％=2「"，

所以2±1=]nGN*,

所以存在正數(shù)入=8使得數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.

【變式4].(2023?青島質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”,公差d#0,S2,S4,N+4成等差數(shù)列，a2,

a4,制成等比數(shù)列.

⑴求S"；

(2)記數(shù)列｛父｝的前"項(xiàng)和為〃,2兒一。=耍，證明：數(shù)歹標(biāo)一不為等比數(shù)列，并求｛仇｝的通項(xiàng)公式.

S+4+S2=2S4,

(1)解由512,S4,S5+4成等差數(shù)列，。2,〃4,。8成等比數(shù)列，可得，?

=—,

5〃i+10d+4+2〃i+d=2(4〃i+6J),

即

+3<7)2=(〃]+①(〃]+7為，

=2,

解得，

d=2,

Sn=2〃+秋\1)X2=/+〃.

(2)證明由2bn—Tn——工-得

33

2b\~bx=y解得加=￡,

.〃+221

2bn=2+〃(w+l)=7"+n-^+T,

21

故2b〃+i=G+i+f—后工’

212111

--+bn+1-+

兩式相減可得