二分法與求方程近似解（5種題型3個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)原卷版）

考點(diǎn)06二分法與求方程近做解

(5種題型3個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn))

【課程安排細(xì)目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、刷易錯(cuò)

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.填空題(共2小題)

flog(x+1),x>0

1.(2023?上海)己知函數(shù)/(x)=2A+l,且g(x)=<29，則方程g(x)=2的解

f(-x)，x<0

為.

2.(2020?上海)設(shè)“6R,若存在定義域?yàn)镽的函數(shù)無)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

(1)對(duì)任意的xoGR,f(xo)的值為xo或xo2；

(2)關(guān)于x的方程/(x)=a無實(shí)數(shù)解，

則a的取值范圍是.

二.解答題(共1小題)

3.(2022?上海)已知函數(shù)無)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對(duì)無)變換的操作：(p變換：/(尤)-f(x-t)；

3變換：，(x+r)-f(x)I，其中f為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)/(無)=2*,f=l,g(x)為f(x)做隼變換后的結(jié)果，解方程：g(尤)=2；

(2)設(shè)/(x)=/,h(x)為/(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)(x)；

(3)設(shè)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，/(無)先做<p變換后得到u(x),u(%)再做3變換后得到

hi(無)；f(x)先做3變換后得到v(x),v(x)再做(p變換后得到hi(x).若hi(x)=h2(x)恒成立，

證明：函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增.

口二、考點(diǎn)清單

一.函數(shù)的零點(diǎn)

一般地，對(duì)于函數(shù)y=/(x)(尤CR),我們把方程了(無)=0的實(shí)數(shù)根尤叫作函數(shù)丫=[(尤)(xGO)的零

點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值.函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).

【解法一一二分法】

①確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證/(a)*/(b)<0,給定精確度；②求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)xi；③計(jì)算尤i)；

④若/(X1)=0,則尤1就是函數(shù)的零點(diǎn)；⑤若/(a)/'(尤1)<0,則令》=尤1(此時(shí)零點(diǎn)xoe(a,xi))；

⑥若/(xi)/(6)<0,則令a=xi.(此時(shí)零點(diǎn)xOe(xi,6)⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)(2)?

(4)

【總結(jié)】

零點(diǎn)其實(shí)并沒有多高深，簡(jiǎn)單的說，就是某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個(gè)函數(shù)與無軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另

外如果在(a,b)連續(xù)的函數(shù)滿足/(.)?/?)<0,則(a,b)至少有一個(gè)零點(diǎn).這個(gè)考點(diǎn)屬于了解性的，

知道它的概念就行了.

二.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

一般地，如果函數(shù)>=/?(尤)在區(qū)間m，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有了(")?/?)<o,那么

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,6),使得/(c)=O,這個(gè)c也就是/(無)=0的

根.

特別提醒：

(1)根據(jù)該定理，能確定了(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一.

(2)并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在(。，6)

上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)/(x)=/-3x+2有(3)>0,但函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3)上有兩個(gè)零

點(diǎn).

(3)若/Xx)在[a,句上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f(a),f(/?)<0,則/(無)在(a,6)上

有唯一的零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：

(1)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)

找出零點(diǎn).

特別提醒：

①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程f-2x+l=0在［0,2］上有兩

個(gè)等根，而函數(shù)/(%)=--2尤+1在［0,2］上只有一個(gè)零點(diǎn)；

②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn).

(2)代數(shù)法：求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根.

三.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的.但是，他們

的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了.我們重

點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法(配方法).

例題：求函數(shù)/(X)=￥+5尤3-27/-101%-70的零點(diǎn).

解：,:于(x)=X4+5X3-27?-101x-70

=(.x-5)*(x+7)e(x+2)*(x+l)

函數(shù)/(x)=X4+5X3-27?-101x-70的零點(diǎn)是：5、-7、-2、-1.

通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次

函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可.

【考查趨勢(shì)】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

四.二分法的定義與應(yīng)用

二分法即一分為二的方法.設(shè)函數(shù)f(x)在團(tuán)，切上連續(xù)，且滿足<0,我們假設(shè)f(a)

<0,于(b)>0,那么當(dāng)劉=嶗時(shí)，若/(xi)=0,這說xi為零點(diǎn)；若不為0,假設(shè)大于0,那么繼續(xù)在

［xi,切區(qū)間取中點(diǎn)驗(yàn)證它的函數(shù)值為0,一直重復(fù)下去，直到找到滿足要求的點(diǎn)為止.這就是二分法的基本

概念.

【二分法的應(yīng)用】

我們以具體的例子來說說二分法應(yīng)用的一個(gè)基本條件：

例題：下列函數(shù)圖象均與無軸有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是

解：能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，

有圖象可得，只有③能滿足此條件，

故答案為③.

在這個(gè)例題當(dāng)中，所要求的能力其實(shí)就是對(duì)概念的理解，這也是二分法它慣用的考查形式，通過這個(gè)例

題，希望同學(xué)們能清楚二分法的概念和?？碱}型.

【二分法求方程的近似解】

二分法在高中主要屬于了解性的內(nèi)容，拿二分法求近似解思路也比較固定，這里我們主要以例題來做講

解.

例：用二分法求方程lnx=」在［1，2］上的近似解，取中點(diǎn)c=L5,則下一個(gè)有根區(qū)間是［1.5,21.

X

解：令函數(shù)/(%)=lnx--,由于/(1.5)=ln(1.5)-(ZH1.52-2)<AQIne1-2)=0,

x1.533

BP/(1.5)<0,

而7(2)=ln2-^-=ln2-lny/e—ln-^=-=—ln—>—lnl=0,即/(2)>0,

2Y/Q2e2

故函數(shù)尤)在口.52］上存在零點(diǎn)，故方程inx=」在［L5,2］上有根，

x

故答案為口.5,2］.

通過這個(gè)例題，我們可以發(fā)現(xiàn)二分法的步奏，第一先確定了(")?/?)<0的。，b點(diǎn)；第二，尋找區(qū)

間(a,b)的中點(diǎn)，并判斷它的函數(shù)值是否為0；第三，若不為0,轉(zhuǎn)第一步.

五.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入

手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過

解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的

目的.笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題一數(shù)學(xué)問題一代數(shù)問題一方程問題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.

B三、題型方法

函數(shù)的零點(diǎn)(共3小題)

1.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)xER,求方程|x-2|+|2x-3|=|3x-5|的解集.

2.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知常數(shù)aWO,定義在R上的函數(shù)無）=cos2x+asinx.

（1）當(dāng)。=-4時(shí)，求函數(shù)y=/（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值；

（2）已知常數(shù)“6N,且函數(shù)y=/（x）在（0,mt）內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)°及〃的值.

3.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)y=/（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤＞0時(shí)，f⑺=（尤-2）

（%-3）+0.02,則關(guān)于y=/（x）在R上零點(diǎn)的說法正確的是（）

A.有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（-3,-2）內(nèi)

B.有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（-3,-2）內(nèi)，兩個(gè)在（2,3）內(nèi)

C.有5個(gè)零點(diǎn)，都不在（0,2）內(nèi)

D.有5個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（0,2）內(nèi)，一個(gè)在（3,+8）

二.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共4小題）

4.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）若a〈b〈c,則函數(shù)/（無）=（尤-a）（x-b）+（x-b）（尤-c）+（x-c）（x

-a）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）

A.（a,b）和（b,c）內(nèi)B.（-°°,a）和（a,b）內(nèi)

C.（b,c）和（c,+8）內(nèi)D.（-8,a）和（c,+co）內(nèi)

5.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)/（%）=/+/-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：

則方程i+f-Zx-Zu。的一個(gè)近似根（精確到0.1）（）

/⑴=二-2/(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984

f(1.375)=二-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

6.(2022秋?崇明區(qū)期末)函數(shù)/(x)=/+5尤-7的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.(2023春?虹口區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(%)=|sinx|+|cosx|,函數(shù)g(%)=Z+4sinxcosx,函數(shù)尸(x)=f

（x）-g（x）.

（1）求證：手是函數(shù)/（x）的一個(gè)周期；

（2）當(dāng)左=0時(shí)，求F（x）在區(qū)間[號(hào)-,冗]上的最大值；

（3）若函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,n）內(nèi)恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的值.

三.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共5小題）

8.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的方程F=a|x|恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。=.

9.（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)aGR,若關(guān)于尤的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍

為.

10.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)尤，定義區(qū)表示小于等于x的最大整數(shù)，例如[L8]=l,[-1.8]

=-2,則方程/-[x]-1=0的解的個(gè)數(shù)是.

11.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)無）=sin2x+2sin%-1,則/（無）在底[0,2023川上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

，TVx

12.（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知八了）滿足/00=/^+8）,當(dāng)疣[0,8],￡6）=<4'111-^-'"），

2x-8,x€[4,8）

若函數(shù)g（x）=/（x）+af（x）-a-1在xH-8,8]上恰有八個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

四.二分法的定義與應(yīng)用（共2小題）

13.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）用“二分法”求方程/-2x-5=0在區(qū)間（2,4）內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)

間中點(diǎn)無0=3進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)有根區(qū)間是.

14.（2022秋?閔行區(qū)期末）已知函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式為/（x）=x-41og”，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間

[1,3]上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算/（I）、/（3）的值，第二次計(jì)算/（xi）的值，第三次計(jì)算/（無2）的

值，則尤2=.

五.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用（共7小題）

15.(2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模)已知函數(shù)/(x)=些2,其中aeR.

x+2

(1)解關(guān)于x的不等式y(tǒng)(x)w-1；

(2)求。的取值范圍，使/(無)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù).

333

16.(2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬)若實(shí)數(shù)。使得存在兩兩不同的實(shí)數(shù)x、y、z,有=曳=匚^_=『生=_3,

y+zz+xx+y

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

17.(2023?徐匯區(qū)三模)已知函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱中心為(0,1),若函數(shù)y=1+siirv的圖像與函數(shù)y=/(x)

6

的圖像共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為(XI,yi),(12,>2),…，(X6,>6),則￡(Xj+y.)=.

i=l11

18.(2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模)設(shè)無)=/(x2l),g(無)=(x-2)2+b(x23),A、。為曲線y=/(x)

上兩點(diǎn)，2,C為曲線y=g(x)上兩點(diǎn)，且四邊形ABC。為矩形，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為.

19.(2023?徐匯區(qū)三模)若函數(shù)>=/(%)滿足/(xo)=猶，稱xo為y=/(x)的不動(dòng)點(diǎn).

(1)求函數(shù)>=4-3%的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)設(shè)g(x)-1.求證：y=g(g(x))恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

(3)證明：函數(shù)y=/(x)有唯一不動(dòng)點(diǎn)的充分非必要條件是函數(shù)y=/(/(%))有唯一不動(dòng)點(diǎn).

20.(2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模)定義如果函數(shù)》=/(%)和y=g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)

稱，則稱函數(shù)y=/(x)和y=g(%)具有C關(guān)系.

(1)判斷函數(shù)無)=10g2(8?)和g(x)=log]X是否具有C關(guān)系；

~2

(2)若函數(shù)/(x)=。江1和g(x)=-x-l不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)=x，和g(x)—msinx(zn<0)在區(qū)間(0,TT)上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)相的取值范

圍.

21.(2023?黃浦區(qū)二模)三個(gè)互不相同的函數(shù)y=/(尤)，y=g(無)與(尤)在區(qū)間￡)上恒有/(無)

(無)(x)或恒有/(x)W/z(x)Wg(x),則稱y=/z(x)為y=/(x)與y=g(x)在區(qū)間。上的“分

割函數(shù)

(1)設(shè)歷(%)=4尤，hi(x)—x+1,試分別判斷y=/?i(尤)、y—hi(x)是否是y=27+2與y=-尤?+以

在區(qū)間(-8,+8)上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說明理由；

(2)求所有的二次函數(shù)y=a/+cx+d(cz#0)(用a表示c,d),使得該函數(shù)是y=2?+2與y=4x在區(qū)間

(一8,+8)上的“分割函數(shù)”；

(3)若向，?]￡[-2,2],且存在實(shí)數(shù)上b,使得y=fcc+b為>=￥-4/與產(chǎn)4/-16在區(qū)間[相，川上

的“分割函數(shù)”，求w-機(jī)的最大值.

u四、刷易錯(cuò)

一.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理(共2小題)

1

1.(2022秋?松江區(qū)校級(jí)期末)函數(shù)f(x)=x2.(/)"的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考)若函數(shù)f(x)=ax+」~在區(qū)間口，2]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

x+1

為.(結(jié)果用區(qū)間表示)

二.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系(共4小題)

3.(2023春?松江區(qū)校級(jí)期中)若方程Jx2+]=a(x-1)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

4.(2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(%)=|x|-1,關(guān)于x的方程/(%)-，(尤)|+%=0,給出下列四

個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)%,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)上使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中真命題的序號(hào)為.

5.(2022秋?松江區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=[x2'x為無理數(shù)，有下列兩個(gè)結(jié)論：

U，x為有理數(shù)

?f(x)的值域?yàn)镽；

②對(duì)任意的正有理數(shù)a,g(無)=f3-a存在奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)

則下列判斷正確的是(