勾股定理（單元復(fù)習(xí) 6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類(lèi)題型突破）解析版-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

勾股定理(6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類(lèi)題型突破)

01思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明勾股定理知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理知識(shí)點(diǎn)06平面展開(kāi)圖-最短路徑問(wèn)題

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.V

如圖：直角三角形N2C的兩直角邊長(zhǎng)分別為“b,斜邊長(zhǎng)為c,那么直角邊。7^

a2+b2=c2.c------1,一

直角邊

注意：(1)勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線(xiàn)段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b^-2ab.

運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；

3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線(xiàn)段

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中;;k2工產(chǎn)2-8°=L讓?zhuān)?+/=1?

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中￡,”^3=1=（七。尸+4x1油，所以d=『+乩

（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

當(dāng)<3=---------=2x-a6+-<;,所以

知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)。，b,c,滿(mǎn)足/+〃=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如C）.

（2）驗(yàn)證。2與/+〃是否具有相等關(guān)系.若/=/+〃，則△/5C是NC=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則△NBC不是直角三角形.

注意:當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)/+〃〉02時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中。為

三角形的最大邊.

知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①滿(mǎn)足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)

知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在

具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)06平面展開(kāi)圖-最短路徑問(wèn)題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

2

圓柱階梯問(wèn)題長(zhǎng)方體

基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短確定最短路線(xiàn),構(gòu)造直角三角形，利用

勾股定理求解

03題型歸納

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)

例題：（23-24八年級(jí)上?福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則斜邊的長(zhǎng)是.

【答案】13

【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,

???該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，5?+12?=13，

故答案為：13.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?吉林松原?期中）如圖，原來(lái)從“村到2村，需要沿路Cf3（ZC=90°）繞過(guò)兩

地間的一片湖，在/、8間建好橋后，就可直接從/村到8村.若/C=5km,8c=12km,那么建好橋后從月

村到B村比原來(lái)減少的路程為km.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理求出42的長(zhǎng)，再和以前的距離作比較即可得出答案.

【詳解】解：由勾股定理得，

AB=ylAC2+BC2=A/52+122=13（km）

???建好橋后從/村到3村比原來(lái)減少的路程為（5+12）-13=4（km）,

3

故答案為4.

2.（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期中）在直角。3C中，AB=8,AC=6,則8C的長(zhǎng)為

【答案】10或2將

【分析】本題考查了勾股定理.分43=8是直角邊或/3=8是斜邊兩種情況討論，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)/8=8是直角邊時(shí)，

貝1BC=V62+82=10-

當(dāng)4B=8是斜邊時(shí)，

貝1BC=782-62=2不，

故答案為：10或2⑺.

3.（23-24七年級(jí)下?安徽馬鞍山?期中）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為9和12,則這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為—.

【答案】12或15

【分析】本題考查了勾股定理.注意12可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論.

【詳解】解：當(dāng)9和12都是直角邊時(shí)，

斜邊=49?+12?=15；

當(dāng)9是直角邊，12是斜邊時(shí)，

斜邊為12.

故答案為：12或15.

題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積

例題：（23-24八年級(jí)下?湖南湘西?期中）如圖所示，如果正方形N的面積為625,正方形8的面積為400,

則正方形C的邊長(zhǎng)為.

【答案】15

【分析】設(shè)/的邊長(zhǎng)為。，2的邊長(zhǎng)為6,C的邊長(zhǎng)為c,根據(jù)題意，得力=625,b2=400,c2=a2-b2,

計(jì)算即可.

4

本題考查了勾股定理，正確理解定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)/的邊長(zhǎng)為a,8的邊長(zhǎng)為6,C的邊長(zhǎng)為c,

根據(jù)題意，得/=625,b2=400,c2=a2-b2,

c2=625-400=225.

解得c=15.

故答案為：15.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形4瓦。的邊長(zhǎng)分別為直角三角形的三邊長(zhǎng)，若正方形48

的邊長(zhǎng)分別為4和8,則正方形C的面積為.

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用.由正方形48的邊長(zhǎng)分別為4和8可得中間的直角三角形的一直角邊

和斜邊分別是4和8,再用勾股定理可求另一直角邊，即可得出答案.

?.?正方形43的邊長(zhǎng)分別為4和8,

:,PN=4、MN=&

尸兒W是直角三角形，

PM2=MN2-PN2=64-16=48

二正方形C的面積=PM2=48.

故答案為：48.

2.（23-24八年級(jí)下?黑龍江大慶?期中）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,分別以4B、BC、/C為直徑作

半圓，圖中陰影部分圖形稱(chēng)為“希波克拉底月牙”.當(dāng)/8=13,BC=5時(shí)，則陰影部分的面積為一.

5

c

AB

【答案】30

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)勾股定理求出力C=K二芯=13,然后根據(jù)陰影部分面積等于以/C,3C為直徑的2個(gè)半圓的面

積加上邑”c減去AB為半徑的半圓面積即冬期；，然后代數(shù)求解即可.

【詳解】解：：在中，ZC=90°,

：.AC2+BC-=AB2

■■■AB=13,BC=5

AC=ylAB2-BC2=13

+7IX5C-7IXJS

'S陰影部分=+；兀1Q^IQ^]

=-AC-BC+-TIX-（AC2+BC2-AB2]

224''

=-AC-BC

2

=-xl2x5

2

=30.

故答案為：30.

3.（2024?四川成都?二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形4B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關(guān)鍵是勾股定理的正確應(yīng)用.

由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據(jù)勾股定理得S，+SB=SE=S0-SC，

6

由正方形A、B、Z）的面積依次為5、13、30,得5+13=30-Sc，故正方形C的面積為12.

【詳解】解：由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據(jù)勾股定理得

SA+SB=SE=SD-SC，

由正方形A、B、。的面積依次為5、13、30,得5+13=30-5-

故正方形C的面積為12.

故答案為：12.

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題

例題：（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期中）在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,4B、C三點(diǎn)均在正方

形格點(diǎn)上，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是.

【答案】2

【分析】本題考查了網(wǎng)格圖的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用勾股定理.用割補(bǔ)法求出。5c的面積，用勾股定

理求出3C的長(zhǎng)，然后利用面積法求解即可.

【詳解】解:t^ABCM^R=4x4--x1x2--x2x4--x3x4=5,

由勾股定理得8C=出二百=5，

設(shè)點(diǎn)/到直線(xiàn)3c的距離是d,

得'x5x4=5,

2

解得d=2.

故答案為：2.

鞏固訓(xùn)練

7

1.（23-24八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，“3C的頂點(diǎn)4B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，于點(diǎn)。.則CO的長(zhǎng)為.

13

【答案】y

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，利用勾股定理求出N3的長(zhǎng)，利用網(wǎng)格求出。BC的面積，再根

據(jù)面積法即可求出CD的長(zhǎng)，利用割補(bǔ)法求出"BC的面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由勾股定理可得，/8=斤1=5,

由網(wǎng)格可得，^sc=4x4-1x4xl-lx3xl-|x3x4=y,

VCD1AB,

S=—AB-CD=—x5xCD=—CD,

“ABRC222

5“13

,,嚴(yán)=5，

.-.cr>=y,

13

故答案為：—.

2.（23?24八年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)

A,B,C都在格點(diǎn)上，求3C邊上的高長(zhǎng)=.

【答案】2收

【分析】本題主要考查三角形面積公式，運(yùn)用分割法求出“BC的面積，運(yùn)用勾股定理求出5C的長(zhǎng)，再運(yùn)

用等積法即可求出3C邊上的高

111253

【詳解】解：^^ABC—5x6——x2x6——x5x5——xlx3=30—6-——=10；

8

由勾股定理得，BC=后備=5后，

所以，2C邊上的高長(zhǎng)=1*=2收，

故答案為：2板.

3.（23-24七年級(jí)上?山東泰安?期末）如圖所示，的頂點(diǎn)/、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

8D14C于點(diǎn)。，則2。的長(zhǎng)為.

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為c,那么

.根據(jù)題意求出“3C的面積，根據(jù)勾股定理求出/C,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：由圖形可知，BC=5,8c邊上的高為3,

.".LABC的面積='X5X3=,

由勾股定理得，AC=y/32+42=5.

貝|J5x5xBD=；,

解得，BD=3,

故答案為：3

題型四勾股數(shù)的判斷

例題：（23-24八年級(jí)下?廣東湛江?階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù).解題的關(guān)鍵是理解勾股數(shù)的定義：有。，b,c三個(gè)正整數(shù)，滿(mǎn)足/+/=02,

稱(chēng)為勾股數(shù).想要判定是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩條較短邊的平方和是否

等于最長(zhǎng)邊的平方.

【詳解】解：A.52+122=169=132,能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)正確；

B.42+52=41^62,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.2?+52=29片62,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

9

222

D.l+2=5^3,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選4

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名

的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若三個(gè)正整數(shù)。、b、c滿(mǎn)足/+"=02,則

稱(chēng)b、c為勾股數(shù).根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：/、72+82^92,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

B、52+122=13\是“勾股數(shù)”，符合題意；

C、42+52^62,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

D、22+32^42,不是“勾股數(shù)”，不符合題意;

故選：B.

2.（23-24八年級(jí)下?廣西來(lái)賓?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0,4,0.5D.9,40,41

【答案】D

【分析】本題考查勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)是滿(mǎn)足的三個(gè)正整數(shù)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：4:132+142/152,??.13,14,15不是勾股數(shù)，不符合題意;

8、:42+5%62,4,5,6不是勾股數(shù),不符合題意；

C、?.?0.3,0.4,0.5都不是整數(shù)，.?.0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)，不符合題意；

￡（、???92+402=4f，.?.9,40,41是勾股數(shù),符合題意；

故選：D.

3.（23-24八年級(jí)下?江西新余?期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.2,yD百，"，,

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)

的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：/、?.-92+402=81+1600=1681=412,,9,40,41是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

10

3、?.?52+6*=25+36H7之，，5,6,7不是勾股數(shù),故此選項(xiàng)不符合題意；

C、3|5■不是正整數(shù)，3二萬(wàn)，52,|■不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、5在，石不是正整數(shù)，.1e，貶,若不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

題型五判斷能否構(gòu)成直角三角形

例題：(23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期中)在中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別是a,b,c.下列條件

不能說(shuō)明“8C是直角三角形的是()

A.NA=NC-NBB.a:6:c=5:12:13

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=3+k,b=4+k,c=5+k(k>0)

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.判

斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

【詳解】/、?.Z=NC-N3,

:.N4+/B=NC,

ZA+ZB+ZC=180°,

.■,2ZC=180°,

.-.ZC=90°,

:“BC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、設(shè)。=5x,貝!j6=12x,c=13x,

.?./+〃=(5x)2+(i2x>=169/=02,

:aABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、'''(b+c)(b-c)=a2,

b2-c2=a2,

a2+c2-b2i

：.^ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

11

D、a=3+k,b=4+k,c=5+k（k>0）,

:.cT+b2,

不是直角三角形，

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選D

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?四川成都?期中）滿(mǎn)足下列條件的。BC,其中是直角三角形的為（）

A.ZA:ZB:ZC=34:5B.AB：BC：AC=3:4:5

C.AB=\BC=4,AC=5D.N/=30。，ZS=75°

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題

的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：/、N/：NB：NC=34:5,ZC+ZB+ZA=1SO°,

???最大角為NC=房dx180°=75°,

：.^ABC不是直角三角形，

故該選項(xiàng)不符合題意；

B、設(shè)45、BC、4。分另ij為3匕4左,5左，

???（3左）？+（4左）2=25左2=（5左『，

AB2+BC2=AC2,

:"BC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

C、■-AB=1,BC=4,NC=5,1+4=5,

???不符合三角形三邊關(guān)系，

故本選項(xiàng)不符合題意；

D、■.■ZA=30°,4=75°,/C+〃+//=180°,

ZC=75°,

??.A/BC不是直角三角形,

故該選項(xiàng)不符合題意；

12

故選:B.

2.（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）下列條件中，不能判斷。3c為直角三角形的是（）

A.a2=2,b2=3,c2=5B.。：b:c=5:12:13

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵，

N、根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可，

2、根據(jù)比值并結(jié)合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀，

C、根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，即可計(jì)算出-C的值，

。、根據(jù)角的比值求出各角的度數(shù)，便可判斷出三角形的形狀.

【詳解】/、當(dāng)/=1,b2=2,c2=3>

.?./+〃=5=/,故“3C是直角三角形；

B、當(dāng)a:6:c=5:12:13時(shí)，設(shè)a=5x,b=12x,c=13x,

則a2+/=（5x）2+（12x）2=（13x）2=02,故是直角三角形,

C、當(dāng)人+/8=/（7時(shí)，

■-ZA+ZB+ZC=180°,

.?./C+/C=180°,則/C=90。，故。3c是直角三角形，

D、當(dāng)乙4:48:/。=3:4:5時(shí)，

???//+Z8+/C=180°,

則最大角為NC=180。x：=75°,故dBC不是直角三角形，

故選：D.

3.（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）"BC中，NA、NB、/C的對(duì)邊分別為b、c,下列條

件中，不能判定“8C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.（a+b）（a-b）=c2

C.AA+AB=ZCD.a:b:c=l：4^>:2

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷/、C；

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足/+/=°2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形，據(jù)此可判斷8、D.

13

【詳解】解：A.vZA+ZB+ZC=180°fZA:ZB:ZC=3:4:5,

345

,-.ZA=180°x----------=45。，NZ=180°x-----------=60。，NZ=180°x-----------=75°,

3+4+53+4+53+4+5

不是直角三角形，符合題意；

B、,.,（4+6）（〃-6）=02,

2

???Q2-b=02,

222

???a=c+bJ

是直角三角形，不符合題意；

C、???NA+/B=/C,且4+Z8+/C=180。，

.?.ZC=90°,

??./BC是直角三角形，不符合題意；

D、?:a：b:c=l：6：2,

.??設(shè)〃=x,b=y/ix,c=2x,且%?+（6%）=x2+3x2=4x2=（2x）2,

是直角三角形，不符合題意；

故選：A,

題型六在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（23?24八年級(jí)下?云南昭通?期中）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.的面積為5

C.44=90。。.點(diǎn)A到3c的距離為g

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.熟練掌握

勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

利用勾股定理求出8C長(zhǎng)可判定4利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定反利用勾股定理及其逆定理判定

14

C；利用面積公式求出A/BC邊3c的高，即可利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離判定。.

【詳解】解：4■■■SC2=32+42=：25，

.■.BC=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

B.邑,=4x4-gxlx2-；x2x4-gx3x4=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意;

C.???AC2=12+22=5,AB2=22+4-2=20,BC2=32+42=25，

AC2+AB2=BC2,

:./B4c=90°,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

D.點(diǎn)/到3c的距離=2%BC+3C=2X5+5=2,本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

故答案為：D

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四個(gè)均由十六個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角

形，那么這四個(gè)三角形中，不是直角三角形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)。，b,。滿(mǎn)足/+/=°2,那么這

個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理及其逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：/、如圖:

AC2=12+32=10,BC-=12+22=5,/4=F+42=17,

.?.AZBC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意;

B、如圖：

15

■.■AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,/爐=32+42=25,

.??△/BC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、如圖:

AC2=22+22=8,BC2=16,

.??△/BC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、如圖:

BC2=12+32=10,=22+42=20,

.??△/BC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

2.(23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中)如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

⑴求的周長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P為直線(xiàn)/C上任意一點(diǎn)，則線(xiàn)段AP的最小值為

【答案】⑴36+5

(2)2

【分析】此題考查了勾股定理與網(wǎng)格、勾股定理逆定理等知識(shí)，準(zhǔn)確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)

16

鍵.

(1)利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，求和即可得到"3C的周長(zhǎng)；

(2)過(guò)8作3尸_L/C,證明“8C是直角三角形，/C為斜邊，利用等積法即可求出答案.

【詳解】(1)解：AB=W+2?=2石,BC=7F+F=V5-2C=打+42=5,

“8C的周長(zhǎng)=2后+6+5=36+5；

(2)過(guò)B作

???AB2+BC2=(2廚+(可=25=3,

是直角三角形，/C為斜邊，

AABC的面積=-ABBC=-ACBP,

22

B|J-X2A/5XV5=-X5-BP,

22

解得8P=2,

即線(xiàn)段AP的最小值為2.

3.(23-24八年級(jí)下?廣東珠海?期中)如圖，四邊形/BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

⑴求四邊形/BCD的面積；

(2)判斷線(xiàn)段5c和CO的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴17.5

(2)BCLCD,理由見(jiàn)解析

17

【分析】本題考查了四邊形的面積，三角形的面積，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)四邊形Z3CD的面積等于長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積和一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積計(jì)算即

可；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】（1）解：四邊形Z3C。的面積為：

7x5x4x2——xlx7x4x3xlx2—1x3

2222

=35-4-3.5-6-1-3

=17.5；

（2）解：BCLCD,

理由：如圖，連接AD,

5C2=42+22=20,CD-=22+12=5,BD-=32+42=25.

:.BC2+CD2=BD2,

,△BCD是直角三角形且ZBCD=90°,

即BC±CD.

題型七利用勾股定理的逆定理求解

例題：（23-24八年級(jí)下?江西吉安?階段練習(xí)）在四邊形48CD中，已知4B=4D=8,ZA=60°,SC=10,

CD=6.

（1）連接2。，試判斷△48。的形狀，并說(shuō)明理由;

（2）求，ADC的度數(shù).

【答案】（1）△加為等邊三角形，理由見(jiàn)解析.

18

(2)ZADC=150°.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì).

(1)連接AD,根據(jù)/8=4D=8,44=60。，得出△血)是等邊三角形即可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形8OC是直角三角形，從而求得44。。=150。.

【詳解】(1)解：是等邊三角形.

?1-AB=AD,ABAD=60°,

:.^ABD是等邊三角形；

(2)解：是等邊三角形，

ZADB=60°,BD=AB=8,

在中，CD2+SZ)2=62+82=100,8c2=1()2=100,

:.CD2+BD1=BC2,

ZBDC=90°,

NADC=NBDC+ZADB=90°+60°=150°.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中)如圖，在“8C中，AD1BC,垂足為D,BD=9,AD=12,CD=16.

(1)求/C的長(zhǎng)；

(2)判斷A/BC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴20

(2)“8C是直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關(guān)鍵.

(1)在直角△4DC中利用勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷.

【詳解】(1)-：AD1BC,

??.”O(jiān)C是直角三角形，//DC=90。.

AC=y]AD2+CD2=V122+162=20.

(2)"8C是直角三角形，理由如下：

AD1BC,

.?.△408是直角三角形，乙408=90。.

AB^ylAD2+BD2=7122+92=15，

:.BC=BD+CD=9+16=25.

■,-152+202=252,

48c是直角三角形，N2/C是直角.

2.(23-24八年級(jí)下?重慶長(zhǎng)壽?期中)如圖，在四邊形Z8CD中，已知/3=90。，ZACB=3Q°,AB=3,

AD=10,CD=S.

(1)求線(xiàn)段2C的長(zhǎng)；

(2)求證：A/。是直角三角形.

【答案】(1)36

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理：

(1)先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出/C=2/3=6,再根據(jù)勾股定理得出答案即可;

222

(2)得出6?+8?=1()2,^AC+CD=AD,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???/8=90°,zL4C5=30°,AB=3,

AC=2AB=6,

22

???BC=yjAC-AB=373；

(2)證明：-：AD=\G,CD=8,AC=6,

22

.-.6+8=10\即4。2+?！?gt;2=必，

：.ZACD=9Q°,

20

.?.A/CA是直角三角形.

3.（23-24八年級(jí)下?湖北黃石?期中）如圖，四邊形48CD中，zJB=90°,/C為對(duì)角線(xiàn)，DEIAC^E,

AB=8,5C=6,CD=2瓜AD=2A/W.

⑴確定-4OC的度數(shù);

（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng).

【答案】（1）90。；

（2）26.

【分析】（1）由勾股定理求出/C的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（2）利用等面積法即可求解.

本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握等積法是關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：在直角。5c中，NB=9Q°,48=8,BC=6,

AC=yjAB2+BC2=782+62=10.

CD=2y/15,AD=2VH）,

CD2+AD2=（2A/15）2+（2廂爐=60+40=100=y4C2,

.?.△/CO是直角三角形，且/4）C=90。.

（2）W：■-S^ACD=^AC-DE=^AD-DC,

:.DE=理0=①但6=2a.

AC10

題型八勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

例題：（23-24八年級(jí)下?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)

取水點(diǎn)A,B,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取

21

水點(diǎn)H（A,H,8）在同一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH,測(cè)得C8=L5千米，S=L2千米，HB=Q9

千米.問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊最近的路？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】是，理由見(jiàn)解析

【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、垂線(xiàn)段最短，熟練掌握勾股逆定理是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)

勾股定理的逆定理驗(yàn)證ACAS為直角三角形，進(jìn)而得到再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短即可

解答；

【詳解】解：是，理由如下：

在ACHB中，：CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2,

^CH2+BH2=BC2,

為直角三角形，且NC7仍=90。，

CHLAB,

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短可知，CH是從村莊C到河邊4B的最近路；

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?陜西西安?期中）如圖，陽(yáng)光中學(xué)有一塊四邊形的空地/BCD,為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)

劃在空地上種植草皮.經(jīng)測(cè)量N/=90。，AB=9m,DA=Um,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要

100元，種植這塊草皮需要投入多少資金？（其他費(fèi)用不計(jì)）

【答案】11400元

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵.連接8。，在Rt△板

中，利用勾股定理求出再利用勾股定理的逆定理判斷得到RtaOBC,最后利用

S四邊形4BCD=S&BAD+S&DBC即可解答.

22

【詳解】解：解：如圖，連接8。,

在RtA4S。中，BD2=AB2+AD2=92+122=152,

在△CBD中,CD2=172,BC-=8\

而82+152=172,

即BC2+BD-=CD2,

.?.△DBC為直角三角形，

NDBC=90°,

2

^?a>=^+^c=|-^-^+1z)5.5C=1xl2x9+lxl5x8=114(m),

所以需費(fèi)用114x100=11400(元).

2.(23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中)如圖，在筆直的公路48旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停

靠站/的距離為NC=15km,與公路上另一停靠站8的距離為3c=20km,?？空?,8之間的距離為

48=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路N8上的。處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，且CZ)d.48.

(1)求證：N4CB=9Q°；

(2)求修建的公路CD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)12km

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握這兩個(gè)

定理是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理，由4c2+BC2=N長(zhǎng)得到A43C是直角三角形，進(jìn)而得解；

(2)利用AA8C的面積公式可得，CD-AB^ACBC,從而求出8的長(zhǎng).

23

【詳解】（1）解：證明：15km,BC=20km,AB=25km,152+202=252,

-AC2+BC2=AB2,

：.AACB=9Q°.

（2）vCDLAB,

.-.S△^A4zB>cC=2-ABCD=-2AC-BC,

iACBC15x20…\

：.CD=----------=----------=12（km）.

AB25''

答：修建的公路CD的長(zhǎng)是12km.

3.（23-24八年級(jí)下?河北衡水?階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地/BCD,N3=15m,CD=8m,

AD=\lm.從點(diǎn)/修了一條垂直3c的小路4E1（垂足為E）,E恰好是3c的中點(diǎn)，且/E=12m.

(1)求邊2c的長(zhǎng)；

(2)連接/C,判斷△/OC的形狀;

(3)求這塊空地的面積.

【答案】⑴18m

(2)Z\/DC是直角三角形

(3)這塊空地的面積為168m②

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積計(jì)算，掌握勾股定理和三角形面積公式是解題關(guān)

鍵.

(1)利用勾股定理以及線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)即可.

(2)通過(guò)計(jì)算三條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)判斷三角形的形狀.

(3)把四邊形的面積分割成兩個(gè)三角形的面積來(lái)計(jì)算.

【詳解】(1)VAE±BC,

：.NAEB=90°.

在比中，

---AB=15m,AE=12m,

24

BE=ylAB2-AE2=A/152-122=9m-

E是BC的中點(diǎn)，

BC=2BE=l8m.

(2)W：VAE1BC,E是3c的中點(diǎn)，

，AC=AB=15m.

vAD=llm,CD=8m,

CD2+AC2=AD2,

?-.ZACD=90°,

???△/DC是直角三角形.

(3)解：由(2)可知，△ZOC是直角三角形，AC=l5m,

11,

2

.■.S^ACD=-AC-CD=2xl5x8=60m,

由(1)可知，BC=18m,

11,

2

S4A,B?Lr=-2SC^￡=-2xl8xl2=108m

這塊空地得面積為：SMC+$△,=108+60=168m2.

題型九應(yīng)用勾股定理解決汽車(chē)是否超速與受影響問(wèn)題

例題：（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）某段公路限速是27m/s.“流動(dòng)測(cè)速小組”的小王在距離此公路400m

的/處觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車(chē)在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，可疑汽車(chē)從C處行駛10s后到達(dá)

8處，測(cè)得48=500m,若ACJLBC.求出速度并判斷可疑汽車(chē)是否超速？

【答案】30m/s,超速了

【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方.

先根據(jù)勾股定理求出=300m，再根據(jù)速度公式求出速度，即可解答.

【詳解】解：???/C/3C,AB=500m,AC=400m,

25

???根據(jù)勾股定理可得：BC=y)AB2-AC2=300m,

???該汽車(chē)的速度為那=30(m/s),

v27m/s<30m/s,

???可疑汽車(chē)超速了.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)下?廣西玉林?期中)某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車(chē)在此路段上的行駛速度不得超過(guò)

75km/h,如圖，一輛小汽車(chē)在該筆直路段/上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面的車(chē)速檢測(cè)儀A的正前方

30m的點(diǎn)C處，2s后小汽車(chē)行駛到點(diǎn)B處，測(cè)得此時(shí)小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀A間的距離為50m,

/ACB=90°.

7Z

車(chē)速檢測(cè)儀

(1)求3c的長(zhǎng).

(2)這輛小汽車(chē)超速了嗎？并說(shuō)明理由.

【答案】(l)40m

(2)這輛小汽車(chē)不超速，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出8C的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.(1)由勾股定理求出3c的

長(zhǎng)即可；(2)求出這輛小汽車(chē)的速度，即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：乙4cB=90。,AC=30m,AB=50m,

BC=y]AB2-AC2=A/502-302=40(m),

答：BC的長(zhǎng)為40m；

(2)解：這輛小汽車(chē)不超速，理由如下：

該小汽車(chē)的速度為40+2=20(m/s)=72(km/h)<75km/h,

這輛小汽車(chē)不超速.

2.(2024?湖南永州?模擬預(yù)測(cè))如圖某貨船以20海里/h的速度將一批重要的物資由A處運(yùn)往正西方向的B處,

經(jīng)16%的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí)，接到氣象部門(mén)的通知，一臺(tái)風(fēng)中心、以40海里/〃的速度

由A處向北偏西60。方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里以?xún)?nèi)的圓形區(qū)域會(huì)受到影響.(內(nèi)土1.73)問(wèn)：

26

(1)B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如果3處受到臺(tái)風(fēng)影響，那么求出影響的時(shí)間.

【答案】(1)會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析

(2)6小時(shí)

【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

相關(guān)知識(shí).

(1)B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，其實(shí)就是5到/C的垂直距離是否超過(guò)200海里，如果超過(guò)則不會(huì)影響，反

之受影響，過(guò)點(diǎn)8作30,4c交4C于點(diǎn)。，求出8。即可求解；

(2))結(jié)合題意可得在點(diǎn)。右側(cè)相同的距離內(nèi)點(diǎn)B也受影響，即可求出時(shí)間；將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,

構(gòu)造出與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

43=20x16=320海里,

8O=；A8=160海里，

??1160<200,

???會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響;

(2)如圖2,

27

圖2

如圖，3￡=200海里,

在Rt/\BDE中，DE=4BE--BD1=72002-1602=120海里，

同時(shí)在點(diǎn)D右側(cè)相同的距離內(nèi)點(diǎn)3也受影響，

120x2+40=6小時(shí)，

影響的時(shí)間為6小時(shí).

3.（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞

力.如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向由/向8移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線(xiàn)上的兩點(diǎn)

/、3的距離分別為NC=300km,BC=400km,又48=500km,經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以?xún)?nèi)的

地區(qū)會(huì)受到影響.

⑴海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎?為什么？

（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)?

【答案】（1）會(huì)受到影響，理由見(jiàn)解析

（2）10小時(shí)

【分析】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用

勾股定理解答.

（1）利用勾股定理的逆定理得出“3C是直角三角形，進(jìn)而得出N/C5的度數(shù)；利用三角形面積得出CD

的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；

（2）利用勾股定理得出以及防的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間.

【詳解】（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：

AC=300km,BC=400km,AB=500km,

28

：.AC2+BC-=AB~,

48c是直角三角形，/4C5=90。；

過(guò)點(diǎn)C作于。，

?.?△4BC是直角三角形，

:.ACBC=CDAB,

.■.300X400=500XCD,

CD=240km,

以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?60km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域,

海港C受臺(tái)風(fēng)影響；

(2)如圖，