函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性（5題型+限時提升練）-2025年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（原卷版）

重難點03函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性

明考情■知方向，

2025年考向預(yù)測：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值結(jié)合

新定義的解答題

重難點題型解讀

題型1函數(shù)的單調(diào)性

1.(2024?上海?三模)已知/(力=竽二1,函數(shù)y=〃可是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且

4—x3

⑴求“X)的解析式；

(2)判斷y=/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

2.(2023?上海?模擬預(yù)測)函數(shù)/(2=優(yōu)+雙。＞0),且/⑴=e+l.

(1)判斷了(x)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

(2)g(x)=/(x)-2x,且g(x)在(0,+動上有零點，求2的取值范圍.

3.(2023?上海青浦?二模)設(shè)y=/(x)、y=g(x)是定義域為R的函數(shù)，當(dāng)g(xj*g(%)時,

一〃4)

5(無i，%)=

g(公)-g(/)

⑴已知y=g(尤)在區(qū)間/上嚴(yán)格增，且對任意占,%e1,無產(chǎn)％，有證明：函數(shù)y=〃x)在區(qū)

間/上是嚴(yán)格增函數(shù);

(2)已知g(x)=gV+ax2_3x,且對任意小々eR,當(dāng)g(%)#g(3)時，有5(%,當(dāng))>0,若當(dāng)x=l時，函數(shù)

'=/(*)取得極值，求實數(shù)。的值；

⑶已知g(x)=sinxjS)=l,/b?=-l,且對任意加々wR,當(dāng)g(xjwg(x2)時，有卜(占,々)歸1,證明:

/(x)=sinx.

4.(2023?上海長寧?一模)若函數(shù)y=〃x)與y=g(x)滿足：對任意Xi，3eR,都有

|/(%)-/⑸|之山(玉)一仇)|，則稱函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=g(尤)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)y=f(尤)是函數(shù)

y=g(尤)的“約束函數(shù)

⑴若〃力=/,判斷函數(shù)〉=8(同的奇偶性，并說明理由：

⑵若/(x)=ax+x3(a>o),g(x)=sinx,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若y=g(x)為嚴(yán)格減函數(shù),/(0)</(1),且函數(shù)y=〃x)的圖像是連續(xù)曲線,求證：y=〃x)是(0,1)上

的嚴(yán)格增函數(shù).

5.(2024?上海楊浦.一模)已知y=/(x)是定義域為［0』的函數(shù)，實數(shù)p<0,l),稱函數(shù)

'=（1_0）/（。）+/#'（彳）_/（。*），*€［。，1］為函數(shù),=/（耳的“0-生成函數(shù)”，記作y=5（x）,xe［O,l］.

⑴若/（X）=COS2TU,求函數(shù)、=々（力的值域；

2

⑵若/（力=加+皿1+力，函數(shù)yY（無）滿足飛（小°對任意的ovxvi恒成立，求實數(shù)”的取值范圍；

⑶若y=/（x）滿足：①/（。）=0；②y=/（x）在（。,1）上存在導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）,且y=/'（x）在（0,1）上是嚴(yán)

格增函數(shù)；③對于任意?QO,l）,y="x）的"P-生成函數(shù)"y=g,（x）,xe［O,l］的圖像是一段連續(xù)曲線，求證:

函數(shù)y=?在（0,1）上是嚴(yán)格增函數(shù).

題型2函數(shù)的最值

1.（2023?上海黃浦?一植己知集合A和差義士萩R適函數(shù)y=〃x）,若對任意feA,xeR,,有

/（x+f）—/（x）eA,則稱/（x）是關(guān)于A的同變函數(shù).

⑴當(dāng)4=（0,—）與（。,1）時，分別判斷〃同=2"是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說明理由；

⑵若是關(guān)于｛2｝的同變函數(shù)，且當(dāng)xe［0,2）時，〃司=岳，試求〃尤）在［2k2%+2）（丘2）上的表達

式，并比較/（X）與x+g的大??；

（3）若〃為正整數(shù)，且〃x）是關(guān)于［2二2~］的同變函數(shù)，求證：既是關(guān)于｛機2"｝（meZ）的同變函數(shù)，

也是關(guān)于［0,”）的同變函數(shù).

2.（2023?上海金山?一模）網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務(wù).小金正在配送客

戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計示意圖.

Si圖2

(1)為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角a不能超過1,

且底面至少有兩個頂點與地面接觸.外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形A2CD,

7T

AD=0.8m,AB=2Am,而客戶家門高度為2.3米，其他過道高度足夠.若以傾斜角a=：的方式進客戶家

4

門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由.

(2)由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收.為了省力，小金選擇將冰

箱水平推運(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面).推運過程中遇到一處直

角過道，如圖2所示，過道寬為1.8米.記此冰箱水平截面為矩形EFGH,EH=L2m.設(shè)乙PHG=/3,當(dāng)

冰箱被卡住時(即點H、G分別在射線尸R、P。上，點。在線段跖上)，嘗試用夕表示冰箱高度跖的長，

并求出跖的最小值，最后請幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？(結(jié)

果精確到0.1m)

3.(23-24高三上.上海浦東新?階段練習(xí))若存在使得〃力(”%)對任意xeD恒成立，則稱與為函

數(shù)/(x)在。上的最大值點，記函數(shù)在D上的所有最大值點所構(gòu)成的集合為M

(1)若/(%)=-%2+2x+l,￡)=R,求集合M；

⑵若〃引=笆不小刀=R,求集合M;

⑶設(shè)。為大于1的常數(shù)，若/(H=x+asinx,O=[0,R,證明，若集合M中有且僅有兩個元素，則所有滿足

條件的6從小到大排列構(gòu)成一個等差數(shù)列.

4.(2023?上海閔行?一模)定義：如果函數(shù)了=〃%)和〉=8(同的圖像上分別存在點M和N關(guān)于x軸對稱,

則稱函數(shù)y=和y=g(x)具有C關(guān)系.

⑴判斷函數(shù)〃x)=log2(8/)和g(x)=logiX是否具有c關(guān)系；

⑵若函數(shù)"X)=TT萬和g(x)=-x-l不具有C關(guān)系，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃x)=xev和g(x)=msin<0)在區(qū)間(0,兀)上具有C關(guān)系，求實數(shù)機的取值范圍.

5.(2023.上海黃浦?二模)三個互不相同的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與y=〃(x)在區(qū)間D上恒有

/(%)>/?(%)>§(%)或恒有f(x)</?(x)<g(x),則稱y=〃(X)為y=y⑺與y=g(X)在區(qū)間。上的“分割函

數(shù)”.

⑴設(shè)4(X)=4X,，4(X)=X+1,試分別判斷y=A(x),y=為(x)是否是y=2丁+2與y=-7+4x在區(qū)間

(-00,+00)上的“分割函數(shù)”，請說明理由；

⑵求所有的二次函數(shù)y=or2+cx+d(aw0)(用。表示c,d),使得該函數(shù)是>=2/+2與y=4x在區(qū)間

(-00,+00)上的“分割函數(shù)”；

⑶若［m,〃仁［-2,2］,且存在實數(shù)k,b,使得y=丘+6為y=--4/與y=4/-16在區(qū)間［m,n\上的“分割函

數(shù)”，求〃一機的最大值.

6.(2023?上海普陀?二模)已知a/eR,設(shè)函數(shù)y=〃無)的表達式為了(尤)=夕/一人皿丫(其中%>())

⑴設(shè)。=1,b=0,當(dāng)/(x)>尤一時，求x的取值范圍；

(2)設(shè)。=2,b>4,集合D=(O,l］,記g(x)=2cx-：(ceR),若y=g(x)在。上為嚴(yán)格增函數(shù)且對。上的

任意兩個變量s,f,均有/(s)之g(。成立，求c的取值范圍；

(3)當(dāng)a=0,b<0,尤>1時，記門(幻="(刈"+1,其中〃為正整數(shù).求證：［%(x)r+2N/z"(x)+2".

LU)」

題型3函數(shù)的奇偶性

1.,22-23高三市.王溫浦東新?階段練為)-gaeR，7(x)=sin2x+ocosx.

⑴是否存在。使得y=/(x)為奇函數(shù)？說明理由;

⑵當(dāng)a<T時，求證：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).

2.(2023?上海普陀?一模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的表達式為〃尤)=ae，+e—x.

⑴求證：“。=1”是“函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)”的充要條件；

⑵若°=1,且〃租+2)<"2?7-3),求實數(shù)加的取值范圍.

3.(2023?上海?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=『+(%+1"+ceR)

x+a

(1)當(dāng)。=0時，是否存在實數(shù)c,使得“X)為奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)過點(L3),且函數(shù)f(x)圖像與x軸負(fù)半軸有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?上海浦東新?模擬預(yù)測)設(shè)y=是定義在R上的奇函數(shù).若y=3(x>0)是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱

X

y=為“。函數(shù)”.

⑴分別判斷y=-4x^Dy=sin%是否為。函數(shù)，并說明理由;

（2）若y=是。函數(shù)，求正數(shù)〃的取值范圍；

優(yōu)+12

（3）已知奇函數(shù)y=F（x）及其導(dǎo)函數(shù)y=廠'（%）定義域均為R.判斷“y=/在（0,+。）上嚴(yán)格減”是

“丫=/（力為。函數(shù)”的什么條件，并說明理由.

5.（2025?上海.模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=的定義域是。.對于fe。，定義集合當(dāng)⑺=付〃尤）2"川.

（D/（x）=log2X，求~6）；

⑵對于集合A,若對任意xeA都有-xeA,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明："函數(shù)>=〃》）是偶函

數(shù)”的充要條件是“對任意feD,S加是對稱集“；

（3）若xeR,f[x）=e-\>nx2.求機的取值范圍，使得對于任意=<4e。，都有S也）=S%）.

6.（2024?上海靜安?二模）已知ZeR,記/（》）=。*+人j*（〃>（）且。*1）.

⑴當(dāng)”=e（e是自然對數(shù)的底）時，試討論函數(shù)y=/（尤）的單調(diào)性和最值；

（2）試討論函數(shù)y=/（%）的奇偶性；

（3）拓展與探究：

①當(dāng)人在什么范圍取值時，函數(shù)>=/（尤）的圖象在x軸上存在對稱中心？請說明理由;

②請?zhí)岢龊瘮?shù)y="x）的一個新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號語言表達出來.（不必證明）

7.（2023?上海楊浦?一模）設(shè)函數(shù)〃x）=x+Asin^,xeR（其中常數(shù)AiR,A>0）,無窮數(shù)列｛%｝滿足:

首項為>0,a”+i=f(a“).

⑴判斷函數(shù)y=的奇偶性，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛《,｝是嚴(yán)格增數(shù)列，求證：當(dāng)A<4時，數(shù)列｛?！埃皇堑炔顢?shù)列；

(3)當(dāng)A=8時，數(shù)列｛4｝是否可能為公比小于0的等比數(shù)列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，請說

明理由.

8.(2024?上海虹口二模)若函數(shù)y=f(x)滿足：對任意再?R，再+尤―。，都有〃>0,則稱

項+x2

函數(shù)y=f(尤)具有性質(zhì)P.

⑴設(shè)〃x)=e*,g(x)=x3+x,分別判斷>="冷與〉=8(#是否具有性質(zhì)P?并說明理由；

⑵設(shè)=x+asin2x函數(shù)y=〃尤)具有性質(zhì)P,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知函數(shù)J=f(x)具有性質(zhì)P,且圖像是一條連續(xù)曲線，若y=/(X)在R上是嚴(yán)格增函數(shù),求證：y=/(x)

是奇函數(shù).

題型4函數(shù)的周期性

一、單選題

1.(2023?上海青浦?一模)已知函數(shù)y=/(x)定義域為R,下列論斷：

①若對任意實數(shù)“，存在實數(shù)6,使得〃“)=FS),且則/(?是偶函數(shù).

②若對任意實數(shù)a,存在實數(shù)6,使得/(“)</(",且。<6,則是增函數(shù).

③常數(shù)T>0,若對任意實數(shù)。，存在實數(shù)6,使得/(。)=/(力，且|。-6|=7，則/(*)是周期函數(shù).

其中正確的論斷的個數(shù)是().

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.(2022.上海黃浦.模擬預(yù)測)已知定義在［0,10)的函數(shù)〃x),滿足：“x+2)=〃x)+a,/(x)在［0,2)上

-^+1,0<%<1

的解析式為“％)=：+2,設(shè)的值域為A.若存在實數(shù)匕，使得A=他6+3］,貝匹的可

—x+l,l<x<2

13

能取值為()

A.L

BcD

12-?--I-4

二、填空題

3.(2023?上海寶山三模)函數(shù)y=〃x)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在xe［-2,0］時，/(x)=2x+l,若

存在占,馬,…,尤“滿足04%且|/a)-f(X2)k|/(X2)-/(W)|+?一+|/(%)-/(x")|=2023,則

"+x“最小值為.

4.(2023?上海松江?二模)已知函數(shù)y=〃x)為R上的奇函數(shù)；且/(x)+〃2r)=0,當(dāng)-l<x<0時，

〃x)=Q,則/(2023)+/1等)=.

5.(2022?上海虹口?二模)已知y=f⑺是定義域為R的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線尤=1對稱，當(dāng)無目0,2］時，

〃x)=x(2-x)對于閉區(qū)間/,用監(jiān)表示y=/(x)在/上的最大值，若正實數(shù)%滿足叫財=2叫上網(wǎng)，貝必

的值是.

6.(2022.上海金山二模)已知數(shù)列｛叫的前〃項和為3，滿足2s“=3a“-,函數(shù)定義域為R,

對任意xeR都有/(x+l)=:+夕.若〃2)=1—夜，則/)的值為

1一」⑴

7.(2022?上海寶山?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2+x)=/(x),當(dāng)xe［0,2］時，f(x)=-x(x-2),

則方程/W=|lgx|有個根.

三、解答題

8.(2023?上海徐匯?一模)若函數(shù)V=f(x),無?R的導(dǎo)函數(shù)>=/'(x),xeR是以T(TwO)為周期的函數(shù)，則稱函

數(shù)y=/(x),xeR具有“T性質(zhì)”.

⑴試判斷函數(shù)y=f和丫=$皿》是否具有“2兀性質(zhì)”，并說明理由；

⑵已知函數(shù)y=〃(x),其中/z(x)=加+樂+2sinte(O<6<3)具有“兀性質(zhì)”，求函數(shù)y=h(x)在［0,兀］上的極小值點;

⑶若函數(shù)>=/(元)"eR具有“T性質(zhì)”，且存在實數(shù)M>0使得對任意xeR都有I1<“成立，求證：

y=/(x),xeR為周期函數(shù).

(可用結(jié)論：若函數(shù)y=/(x),xeR的導(dǎo)函數(shù)滿足了'(x)=0,xeR,則/(x)=C(常數(shù)).)

9.(2022.上海閔行.二模)對于定義域為R的函數(shù)y=〃x),若存在實數(shù)。使得〃x+a)+/(尤)=2對任意

xeR恒成立，則稱函數(shù)y=f(尤)具有P(。)性質(zhì).

⑴判斷函數(shù)［(x)=f與力(x)=l+sinx是否具有P(“)性質(zhì)，若具有P(a)性質(zhì)，請寫出一個。的值，若不具

有尸(。)性質(zhì)，請說明理由；

⑵若函數(shù)y=〃x)具有尸⑵性質(zhì)，且當(dāng)無目0,2］時，=解不等式/(x"1

⑶已知函數(shù)y=〃x),對任意xeR,/(x+l)=/(x)恒成立，若由“y=〃x)具有性質(zhì)”能推出“

恒等于1”，求正整數(shù)〃的取值的集合.

10.(2022?上海松江?一模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,若存在常數(shù)％和A,對任意的xeR,都有

|/(力-對VA成立，則稱函數(shù)為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組化A)稱為函數(shù)〃x)的擬合系數(shù).

(1)數(shù)組(2,1)是否是函數(shù)g(x)=上的擬合系數(shù)？

⑵判斷函數(shù)s(x)=xsinx是否是“擬線性函數(shù)”，并說明理由；

(3)若奇函數(shù)/i(x)在區(qū)間[0,p](p>0)上單調(diào)遞增，且h(x｝的圖像關(guān)于點(p,q)成中心對稱(其中P，4為常數(shù)),

證明：是"擬線性函數(shù)”.

題型5函數(shù)的對稱性

一、單選題

1.(2023?上海浦東新?模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)y=/(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的定義域均為R,且

/。)=/(9一%)對一切工€1i成立.關(guān)于數(shù)列/"'⑴，/'(2),…，/'(2023)有以下兩個論斷：①存在/(x),

使得數(shù)列尸中恰有112項為1；②存在/。)，使得數(shù)列尸中恰有448項為0.則()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

2.(22-23高三上?上海閔行?期中)定義域為R的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)xe[0,1]時，=x,

且對任意尤eR只有〃x+2)=-〃x),§(%)=_；7,則方程g(x)-g(-x)=0實數(shù)根的個數(shù)

10g2025(--V),X<\J

為()

A.2024B.2025C.2026D.2027

3.(2022.上海崇明.一模)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線Ux2+y2=i+|x|y就是其中之一

(如圖)，給出下列兩個命題:命題心:曲線C上任意一點到原點的距離都不超過夜；命題%:曲線C所圍成的

“心形”區(qū)域的面積小于3,則下列說法正確的是()

A.命題/是真命題，命題%是假命題B.命題處是假命題，命題%是真命題

C.命題小,%都是真命題D.命題價,％都是假命題

二、填空題

4.（2023?上海金山?一模）若函數(shù)〃尤）=|（1-尤2）（爐+依+6）|-c（cw0）的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，且該函

數(shù)有且僅有7個零點，則a+b+c的值為.

三、解答題

5.（2022?上海長寧?一模）已知函數(shù)/（X）："1—（xeR）.

2+1

⑴求證：函數(shù)/（X）是R上的減函數(shù)；

（2）已知函數(shù)/（%）的圖像存在對稱中心3?的充要條件是g（尤）=f（x+“）-6的圖像關(guān)于原點中心對稱，判

斷函數(shù)F（x）的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

（3）若對任意為㈤，都存在％及實數(shù)機，使得/（I-叫）+/（%％）=1,求實數(shù)〃的最大值.

6.（2024.上海靜安.二模）已知ZeR,記/（為二優(yōu)+入了工（a>0且awl）.

（1）當(dāng)。=e（e是自然對數(shù)的底）時，試討論函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性和最值；

（2）試討論函數(shù)y=/（元）的奇偶性；

⑶拓展與探究：

①當(dāng)人在什么范圍取值時，函數(shù)>=〃尤）的圖象在x軸上存在對稱中心？請說明理由;

②請?zhí)岢龊瘮?shù)y=/（x）的一個新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號語言表達出來.（不必證明）

7.（2023?上海嘉定二模）已知〃x）=x+2sinx,等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，記7；=￡/（?.

1=1

⑴求證：函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于點（1,萬）中心對稱；

⑵若q、%、%是某三角形的三個內(nèi)角，求心的取值范圍；

（3）若%。=1007，求證：4。=1007.反之是否成立？并請說明理由.

8.（2022?上海黃浦?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（*）=走了+空.

3x

⑴寫出函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求證：函數(shù)的圖像關(guān)于直線〉=百.七對稱；

（3）某同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)/（%）的圖像為雙曲線，x=O和y=@x為其兩條漸近線，試求出其頂點、焦點

3

的坐標(biāo)，并利用雙曲線的定義加以驗證.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、填空題

1.（2023?上海青浦?二模）己知函數(shù)y=VXV的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)e（oweV萬）弧

度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則?？扇≈档募蠟?

2.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測）若關(guān)于X的方程1=。|乂恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)。=.

3.（2023?上海黃浦?三模）已知/（%）=1+1哈尤（1（尤49）,設(shè)g（x）=r（尤）+/（尤）則函數(shù)y=g（x）的值

域為.

r<0

4.（2023?上海普陀?三模）已知函數(shù)={2/一八，若/（%）=/（動（不），則%+%的最大值為___.

[e,x>0

[xex-1+1,x>0

5.（2023?上海虹口?三模）已知函數(shù)/（x）=I--點M、N是函數(shù)/（%）圖象上不同的兩個點，貝IJ

[A/1+X,x<0

tanZMON（。為坐標(biāo)原點）的取值范圍是.

x2-2x+2,x>0

6.（2023?上海青浦?一模）已知函數(shù)丁二a的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍為__________

XH---F3d，尤<0

12023

7.（2023?上海寶山?一模）已知函數(shù)〃x）=（x+l）3+l,正項等比數(shù)列｛4｝滿足@12=京，則

1。k=l

8.（2023?上海嘉定?一模）函數(shù)y/f-3X+5在3上的最大值和最小值的乘積為_______

X-1|_2_

9.（2023?上海嘉定?一模）對于函數(shù)/（x）=V-2“x+b,在x=l處取極值，且該函數(shù)為奇函數(shù)，求a-b=

10.（2024.上海徐匯.一模）已知定義域為A=｛1,2,3｝的函數(shù)y=/（無）的值域也是A,所有這樣的函數(shù)y=/⑺

形成全集8.設(shè)非空集合CuB且心中的每一個函數(shù)都是C中的兩個函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函數(shù)，則集合C

的元素個數(shù)的最小值為.

11.（2023?上海長寧?一模）^/（x）=|log2x+ar+/?|（a>0）,記函數(shù)y=/（x）在區(qū)間上,f+l]0>0）上的最大值

為若對任意。eR,都有+則實數(shù)/的最大值為.

12.（2023?上海?模擬預(yù)測）/⑺在R上非嚴(yán)格遞增，滿足〃x+l）=〃x）+l,g⑴=[",.Q,若存

在符合上述要求的函數(shù)"尤）及實數(shù)%,滿足g5+4）=g（x0）+l,則。的取值范圍是.

二、單選題

13.（2023?上海楊浦?一模）已知定義在R上的函數(shù)y=/（x）對任意玉<%,都有"王）一"一>。成立且滿

xl-x2

足〃0）=-a?（其中。為常數(shù)），關(guān)于X的方程：〃a+x）=ar的解的情況.下面判斷正確的是（）

A.存在常數(shù)a,使得該方程無實數(shù)解B.對任意常數(shù)a,方程均有且僅有1解

C.存在常數(shù)a,使得該方程有無數(shù)解D.對任意常數(shù)a,方程解的個數(shù)大于2

14.（2024?上海徐匯?一模）已知函數(shù)y=〃x）與它的導(dǎo)函數(shù)y=T（x）的定義域均為R.若函數(shù)y=〃x）是偶

函數(shù)且>=/'（%）在（3,。）上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為y=〃無）取值的是（）

A.

X/W

12.8188

21.0000

30.3644

40.2468

B.

15.(2024?上海?模擬預(yù)測)設(shè)正數(shù)。，4c不全相等，abc=l,函數(shù)〃x)=(l+*(l+b)(l+c)關(guān)于說法

①對任意a,"c,都為偶函數(shù)，

②對任意a,b,c,f(x)在［0.01,0.02］上嚴(yán)格單調(diào)遞增，

以下判斷正確的是()

A.①、②都正確B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確D.①、②都錯誤

16.(2024.上海.模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x)具有以下的性質(zhì)：對于任意實數(shù)々和6,都有

/(?+Z7)+/(?-&)=2f(fl)./(&),則以下選項中，不可能是了⑴值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

三、解答題

17.(2023?上海黃浦?一模)某展覽會有四個展館，分別位于矩形A8C。的四個頂點A、B、C、。處，現(xiàn)要

修建如圖中實線所示的步道(寬度忽略不計，長度可變)把這四個展館連在一起，其中AB=8百米，AD=6

百米，S.AE=DE=BF=CF.

DC

6

(1)試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量無，并求出步道的總長y(單位：百

米)關(guān)于龍的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求步道的最短總長度(精確到0.01百米).

18.(2023?上海寶山三模)記、=/'(%),y=g'(x)分別為函數(shù)">(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在為eR,

滿足/優(yōu))=g(%)且/'(X。)=g'5),則稱X。為函數(shù)y"(%)與y=g(x)的一個“s點”.

⑴證明:函數(shù)述=%與y==+2尤-2不存在“S點”;

⑵若函數(shù)>=以2-1與y=lnx存在“S點”，求實數(shù)。的值；

(3)已知“力=-爐+4,g(x)=".若存在實數(shù)a>0,使函數(shù)y=/(x)與y=g(x)在區(qū)間(2,+8)內(nèi)存在“5

點”，求實數(shù)6的取值范圍.

19.(2024?上海金山.二模)已知函數(shù)y=F(x)與v=g(x)有相同的定義域D.若存在常數(shù)a(aeR),使得對

于任意的％eD,都存在馬€。，滿足了(%)+g(%)=。，則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=關(guān)于a的“S函數(shù)”.

(1)若/(x)=lnx,g(x)=/,試判斷函數(shù)y=g(x)是否是y=/(x)關(guān)于。的"S函數(shù)"，并說明理由；

(2)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)y=g(x)是y=f(x)關(guān)于a的"s函數(shù)"，

>=/(尤)又是'=8。)關(guān)于。的"函數(shù)"，證明：［/(初出+國⑴京會；

⑶已知/(x)=|x-l|,g(x)=?,其定義域均為［0,4.給定正實數(shù)/,若存在唯一的。，使得y=g(x)是

>=/(尤)關(guān)于。的"函數(shù)"，求/的所有可能值.

20.(2023?上海浦東新?一模)已知定義域為R的函數(shù)y=/(尤).當(dāng)aeR時，若g(x)="對一〃")(x>a)是

X—u

嚴(yán)格增函數(shù)，則稱“X)是一個“7(a)函數(shù)”.

⑴分別判斷函數(shù)工(x)=5x+3、力(x)=2/+x+2是否為7。)函數(shù)；

QX%<0

⑵是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)〃(x)=,',c，是T(-l)函數(shù)？若存在，求實數(shù)b的取值范圍；否則，

ta+l,x>0

證明你的結(jié)論；

(3)已知J(x)=e"(q/+1),其中qeR.證明：若J'(x)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對任意“wZ,J(x)都是T(")

函數(shù).

21.(2023?上海崇明