函數(shù)模型及其應(yīng)用（原卷版）

專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,。為常數(shù)且。。0)

反比例函數(shù)模型k

/(%)=—+優(yōu)左，6為常數(shù)且4工。)

二次函數(shù)模型/(%)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且〃wO)

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c(a,b,。為常數(shù)，bwO,a>0,awl)

對數(shù)函數(shù)模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，6w。，a>0,awl)

幕函數(shù)模型/(x)=axn+b(a,Z?為常數(shù)，

2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

(1)審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

⑶解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

⑷還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

【題型歸納目錄】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

題型二：對勾函數(shù)模型

題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

【典例例題】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

例1.（2022.黑龍江?哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次

小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的尸點(diǎn)處接球，此時(shí)tanZAM=W，假設(shè)甲沿著平行

邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)Q處射門，為獲得最佳的射門角度（即NAQ3最大），則射門時(shí)甲離上

方端線的距離為（）

C.10A/2D.106

例2.（2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測（文））如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P

沿著邊BC、C。與"運(yùn)動(dòng)，記=將鉆的面積表示為關(guān)于x的函數(shù)f（x）,則〃x）=

（）

A.當(dāng)時(shí)，/(x)=2tanx

八23兀

B.當(dāng)尤i|o,—w,/(x)=-tanx

一3九\

C.當(dāng)工￡時(shí)，/(x)=-tanx

D.當(dāng)xw彳,》)時(shí)，/(x)=tanx

例3.（2022.上海交大附中高三開學(xué)考試）2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海

舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進(jìn)博會(huì)讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際

采購、投資促進(jìn)、人文交流，開放合作四大平臺(tái)作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費(fèi)品展

區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬

元，每生產(chǎn)1萬臺(tái)需另投入380萬元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入為

500-2x,0<x<20

R（x）萬元,且尺（九）=\"214062502.

370+.................-,x>20

、xx

（1）寫出年利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量X（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入一成本）

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

例4.（2022.全國?高三專題練習(xí)）某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固

定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)

,、400X--X2,（0<X<400）

刈無尸2I',其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

80000,（x>400）

（1）將利潤Hx）表示為月產(chǎn)量尤的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

例5.（2022.河北.模擬預(yù)測）勞動(dòng)實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會(huì)、回

報(bào)社會(huì)的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x

件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計(jì)為600+20x元，請你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為

件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【方法技巧與總結(jié)】

1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別

找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2.構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數(shù)模型

例6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，

此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一

年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

例7.（2022.全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電

話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意

3

圖，其中A8=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲線段8是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的

面積為S,周長為乙則^的最大值為.（本題中取"=3進(jìn)行計(jì)算）

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)矩形438（鉆＞4。）的周長為20加，把ABC沿AC折

疊，4?折過去后交。C于點(diǎn)P,設(shè)AB=xcm,AD-ycm.

B'

（1）建立變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/（%）,并寫出函數(shù)y=/（%）的定義域;

（2）求△ADP的最大面積以及此時(shí)的X的值.

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、

氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形3S所得部分.已知扇環(huán)

周長=300cm,大扇形半徑OZ）=100cm,設(shè)小扇形半徑Q4=xcm,=6弧度，貝！]

①。關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式8（尤）=.

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于X的解析式為以x）=10x+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為

【方法技巧與總結(jié)】

1.解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

2.利用模型/（%）=ax+b巳求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號成立的條件.

x

題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

例10.（2022?全國?模擬預(yù)測）天文學(xué)上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強(qiáng)度，用目視星等衡量觀測者看到的天

體亮度，可用加=相-51gq■近似表示絕對星等“、目視星等機(jī)和觀測距離d（單位：光年）之間的關(guān)

系.已知織女星的絕對星等為0.58,目視星等為0.04,大角星的絕對星等為-0.38,目視星等為-0.06,則

觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（）

A.10幺2B.10。172c.IO-0044D.1O-0172

例11.（2022.河南?模擬預(yù)測（文））金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時(shí)

需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度場與其采摘后時(shí)間f（天）滿足的函數(shù)解析式為

〃=加ln?+a）,（a>0）.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%,采摘后3天，金針菇失去的新鮮度

為80%.那么若不及時(shí)處理，采摘下來的金針菇在多長時(shí)間后開始失去全部新鮮度（已知左。1.414,結(jié)

果取一位小數(shù)）（）

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

例12.（2022.陜西西安?三模（理））2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的

中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關(guān)鍵是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間獲得

速度增量的公式刈=匕比%，其中為火箭的速度增量，匕為噴流相對于火箭的速度，砥和%分別代

表發(fā)動(dòng)機(jī)開啟和關(guān)閉時(shí)火箭的質(zhì)量，在未來，假設(shè)人類設(shè)計(jì)的某火箭以達(dá)到5公里/秒」，從100提高到

mx

600,則速度增量增加的百分比約為（）（參考數(shù)據(jù)：1112=0.7,ln3~l.l,ln5~1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

例13.（2022.貴州?模擬預(yù)測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對入侵地

的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為Q,一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相

鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型K5）=21n〃（4為常數(shù)）來描述該物種累

計(jì)繁殖數(shù)量〃與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且。=；+1,在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)

得出Q=6,7=50.據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量比初始累計(jì)繁殖數(shù)量增加11倍所需要的時(shí)間為

（ln2?0.69,ln3~1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

例14.（2022.四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號

召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補(bǔ)

貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：

VL82?1.22,1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

例15.（2022?廣西?模擬預(yù)測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系

通常以基函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率,與其體重x滿足＞=履"，其中人和a為正常數(shù)，

該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則&為（）

A.-B.1C.-D.-

4234

例16.（2022?貴州貴陽?二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級地震，所幸的是沒有

人員傷亡和較大財(cái)產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結(jié)構(gòu)工程師提出：由于實(shí)測地震記錄的缺乏，且考慮到強(qiáng)震

記錄數(shù)量的有限性和地震動(dòng)的不可重復(fù)性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計(jì)特征的非平穩(wěn)

地震波時(shí)程，其中地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)/（。=L（單位：秒）分別為控制強(qiáng)震

1

平穩(wěn)段的首末時(shí)刻；f,（單位：秒）表示地震動(dòng)總持時(shí)；。是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次

抗震分析中，地震動(dòng)總持時(shí)是20秒，控制強(qiáng)震平穩(wěn)段的首末時(shí)刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,

則當(dāng)/=15秒時(shí)，地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)值是（）

A.e-B.1C.9D.e-2

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、

銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2.在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求

解最值問題.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)

收集了7組觀測數(shù)據(jù)（%,y）［=l,2,L,7）得到下面的散點(diǎn)圖：

350

300

250

200

150

100

50

?02224262830323436

溫度/°C

由此散點(diǎn)圖，在20℃至36℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方

程類型的是（）

b

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+blnx

x

2.（2022.全國.模擬預(yù)測）影響租金的因素有設(shè)備的價(jià)格、融資的利息和費(fèi)用、稅金、租賃保證金、運(yùn)

費(fèi)、各種費(fèi)用的支付時(shí)間、租金的計(jì)算方法等，而租金的計(jì)算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表達(dá)式為R=+（其中尸為租賃資產(chǎn)的價(jià)格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半

N

年、年計(jì)；i為折現(xiàn)率；r為附加率）.某小型企業(yè)擬租賃一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，租金按附加率法計(jì)算，每年年末

支付，已知設(shè)備的價(jià)格為84萬元，折現(xiàn)率為8%,附加率為4%,若每年年末應(yīng)付租金為24.08萬元，則

該設(shè)備的租期為（）

A.4年B.5年C.6年D.7年

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻

繁，這對信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量

損耗滿足傳輸公式：￡=32.44+201g￡>+201gF,其中。為傳輸距離，單位是km,P為載波頻率，單位是

MHz,L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸距

離增加了約（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.3,34。0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.（2022?全國?模擬預(yù)測）施工企業(yè)承包工程，一般實(shí)行包工包料，需要有一定數(shù)量的備料周轉(zhuǎn)金，由建

設(shè)單位在開工前撥給施工企業(yè)一定數(shù)額的預(yù)付備料款，構(gòu)成施工企業(yè)為該承包工程儲(chǔ)備和準(zhǔn)備主要材料、

結(jié)構(gòu)件所需的流動(dòng)資金.確定工程預(yù)付款起扣點(diǎn)的依據(jù)是：未完施工工程所需主要材料和構(gòu)件的費(fèi)用等于

工程預(yù)付款的數(shù)額.計(jì)算公式為：7=尸-三（r：工程預(yù)付款起扣點(diǎn)，尸：承包工程合同總額，M：工

N

程預(yù)付款數(shù)額，N：主要材料及構(gòu)件所占比重）.某施工企業(yè)承接了一個(gè)合同總額為208萬元的新工程，

該工程預(yù)付款起扣點(diǎn)為160萬元，主要材料及構(gòu)件所占比重為65%,則建設(shè)單位應(yīng)預(yù)付給施工企業(yè)的金額

為合同總額的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%

5.（2022.北京.二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）

與時(shí)間單位：h）間的關(guān)系為尸=4片,其中玲，人是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）某污水處理廠為使處理后的污水達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，需要加入某種藥劑，加入該藥

劑后，藥劑的濃度C（單位：mg/m3）隨時(shí)間單位：h）的變化關(guān)系可近似的用函數(shù)

100(7+1)

c。＞0）刻畫.由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達(dá)到最大值，需經(jīng)過

(0=/+41+19

)

A.3hB.4hC.5hD.6h

7.（2022?云南曲靖.二模（文））某大型家電商場，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售A、8兩種電器，已知這兩種電器

每臺(tái)的進(jìn)價(jià)都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進(jìn)貨B的臺(tái)數(shù)不高于A的臺(tái)數(shù)的2倍，且進(jìn)貨8至少2臺(tái)，

而銷售A、8的售價(jià)分別為12000元/臺(tái)和12500元/臺(tái)，若該家電商場每周可以用來進(jìn)貨A、8的總資金為

6萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場在一個(gè)周內(nèi)銷售A、B電器的總利潤（利潤=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）的

最大值為（）

A.1.2萬元B.2.8萬元C.1.6萬元D.1.4萬元

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一

個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數(shù)模型：/?）="描述累計(jì)感染病例數(shù)/?）隨時(shí)間f（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率廠與4,T

近似滿足&=1+".有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出&=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)

感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（ln2,0.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km（不超過

3km按起步價(jià)付費(fèi)）；超過3km但不超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時(shí)，超過部分

按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費(fèi)8元

B.出租車行駛4km,乘客需付費(fèi)9.6元

C.出租車行駛10km,乘客需付費(fèi)25.45元

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費(fèi)用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間f（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲

線.據(jù)進(jìn)一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為6小時(shí)

C.注射該藥物1小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

、_31

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為5魚時(shí)

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“雙H”購物節(jié)中，某電商對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總

額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過

50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過100元但不超過300元，則按標(biāo)

價(jià)給予9折優(yōu)惠；（4）如果購物總額超過300元，其中300元內(nèi)的按第（3）條給予優(yōu)惠，超過300元的部

分給予8折優(yōu)惠.某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（）

A.如果購物總額為78元，則應(yīng)付款為73元

B.如果購物總額為228元，則應(yīng)付款為205.2元

C.如果購物總額為368元，則應(yīng)付款為294.4元

D.如果購物時(shí)一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元

2

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某一池清里浮萍面積了（單位：m）與時(shí)間r（單位：月）的關(guān)系為

y=2"下列說法中正確的說法是（）

A.浮萍每月增長率為1

B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過30m2

C.浮萍每月增加的面積都相等

D.若浮萍蔓延到2m2,Bn?,6m?所經(jīng)過時(shí)間分別為6,則

三、填空題

13.（2022.全國?模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效，而低于500mg病人就有

危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時(shí)10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮

藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過小時(shí)內(nèi)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附：

lg2?0.3010,lg3?0.4771,精確至iJO.lh）

14.（2022.遼寧丹東?模擬預(yù)測）某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年利潤

增長4%,則2026年的利潤是萬元.（結(jié)果精確到1萬元）

15.（2022?北京?二模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限廠（廠>0）,勞累程度

HO<T<1）,勞動(dòng)動(dòng)機(jī)儀1<6<5）相關(guān),并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10T為如".

己知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長,勞累程度弱，則甲比乙工作效率高;

②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長,勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高;

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng):

④甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號是

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了

重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量

的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實(shí)際蓄水量）-（水庫總蓄水量）X100）來

衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：

（i）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間［。,100］;

（ii）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；

（iii）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記彳為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：

①,=一萬廠+6%；?y=lOyfx；③y=而；@y=lOOsin——x.

乙U乙uu

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是.

四、解答題

17.（2022?上海交大附中高三期中）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞

性和挑戰(zhàn)性極強(qiáng).如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線〃尤）=-相二，（-6《尤40）滑

到臺(tái)端點(diǎn)8起跳，然后在空中沿拋物線g（x）=62-20④->（尤>0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線段BC

的長度稱作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績.已知8（力=加-206在區(qū)間［0,30］上的最大值為

-30,最小值為-70.

/（起滑門）

助滑道

7、、空中飛翔

8（臺(tái)端）\

。（著陸點(diǎn)）

⑴求實(shí)數(shù)。，6的值及助滑道曲線A8的長度.

（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米,

75?2.236）.

18.（2022.上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）有一條長為120米的步行道。4,A是垃圾投放點(diǎn)?，以。為

原點(diǎn)，為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)以x,0）,現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點(diǎn)e&0）,函數(shù)￡（x）

表示與點(diǎn)B距離最近的垃圾投放點(diǎn)的距離.

⑴若7=60,求啟。0）、江（80）、啟（95）的值，并寫出啟⑺的函數(shù)解析式；

（2）若可以通過f（x）與坐標(biāo)軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：垃圾投放點(diǎn)？

建在何處才能比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利？

19.（2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試）某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立

了一個(gè)預(yù)測該市一天中的大氣污染指標(biāo)與時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系的函數(shù)模型：

“f）=g（t）+g