函數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題-2024高考數(shù)學(xué)壓軸大題（解析版）

函數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題

I考情分析

近年來(lái)同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過(guò)同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將

不同的式子通過(guò)變形,轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子,通過(guò)整體思想或換元等將問(wèn)題轉(zhuǎn)化的方

法,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對(duì)數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問(wèn)題中，或利

用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問(wèn)題大多屬于指對(duì)跨階問(wèn)題，比

如e°+,與2+Inc屬于“跨階函數(shù)"，而e'+ln,屬于“跳階函數(shù)”，對(duì)于指對(duì)跳階的函數(shù)問(wèn)題，直接求解,

一般是通過(guò)隱零點(diǎn)代換來(lái)簡(jiǎn)化，并且有很大局限性，有些題若采用指對(duì)跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，可將跳階函

數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問(wèn)題，從而使計(jì)算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類(lèi)：/(，)=跣',/(e)=

xlnx,f{x}=%+=x-\-Inx,=ex—x+a,/(a;)=In力一力+Q等，在一些求參數(shù)的取值范圍、

零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式證明、雙變量問(wèn)題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題中常通過(guò)構(gòu)造同

構(gòu)函數(shù)求解.利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見(jiàn)的湊形技巧，如；2=2=lne',,e'=/.=更=

題1(2024居陜西南西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)/⑺=Inx-姐-；

(1)當(dāng)a=2,求/(宏)的極值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)a=2時(shí)f(x)=\nx—2x—―,xE(0,+oo),

x

—2/+/+1_一（力一1）（2力+1）

則f'3）=-----2+—

所以在(0,1)上/3)>0,/3)單調(diào)遞增，在(l,+oo)±f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)力=1時(shí)/(力)取得極大值，/⑴=0—2—1=—3,故/(力)的極大值為一3,無(wú)極小值.

⑵由/(①)<—e-g，可得Inc—arc—工<-e-Iia:，則Inc—工《arc—，即Inc—里&Ine。，---.

xxxearr

令g(x)=Inx—1■,則g(力)《9(6與，

因?yàn)間(c)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以,《eH則乎

令九(為=皿，則〃(,)=上"，

XX21

在(0,e)上〃(力)>0,h(x)單調(diào)遞增，在(e,+8)上//(力)<0,無(wú)⑺單調(diào)遞減，即h(x)max=h(e)=十,

?1?

所以Q＞工，則Q的取值范圍為f—,+00

eLe

直12（2024屆宣慶市南開(kāi)中學(xué)商三上學(xué)期第一次質(zhì)式檢測(cè)）已知函數(shù)/Q）=T2+lnrr+a/在/=1處的切線(xiàn)

I和直線(xiàn)x-\-y=Q垂直.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若對(duì)任意的Xl,x2E（0,2］,的力g,都有＞機(jī)成立（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解析】（1）由函數(shù)/（力）=/+］11力+0/，可得/3）=2/+9+0,可得/'（1）=a+3

因?yàn)楹瘮?shù)在力=1處的切線(xiàn)I和直線(xiàn)x-\-y=0垂直,所以/'（1）=1,

即a+3=1,解得a=—2.

（2）解:不妨設(shè)0VgV◎W2,則2V0,

因?yàn)閷?duì)任意的X1,X2E（0,2］,①聲電，都有用」二嬖匚王遐＞m成立，

eJe2

可得/Qi）—/（62）—曷+冠Vm（ea：l—e^2）,即/（g）—就一m/V/（力2）—xl—meX2,

設(shè)g（rc）=/（2）—zne。,則gQJVg（力2）,故g（①）在（0,2］單調(diào)遞增，

從而有。'㈤=?-2—溫＞0,即m&ef（十一2）在（0,2］上恒成立，

設(shè)h（x）—"（!—2）,則m,&無(wú)（/）min，

因?yàn)椤á?—e-（工一2）+—?（一』=。一1?2/—：T（0V力42）,

'力'vx27x2

令h!（x）＞0,即2X2—X—1=（2x+1）（n—1）＞0,解得1V力＜2,

令h!（x）V0,即2x^—x—1=（2x+l）（rr-1）＜0,解得0＜/＜1,

所以陽(yáng)＞）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,2］單調(diào)遞增，

又因?yàn)?z（l）—-,故h（x）在（0,2］上最小值九（力）min=，所以館4-,

eee

實(shí)數(shù)?72的取值范圍是（一8,―

（二）跣/型同構(gòu)

吼&（2023屆吉林瘠長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校南三上學(xué)期才試）已知函數(shù)/（力）=1—Q/（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求/（%）的極值點(diǎn)；

（2）討論函數(shù)/（力）的單調(diào)性；

（3）若g（力）=ex（x—l）—alnx+/（a?）有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)a=l時(shí),/（力）=ex—x,則/'（力）=ex—l.

當(dāng)力e（—co,0）時(shí)，/㈤〈0,此時(shí)函數(shù)/（%）遞減，當(dāng)/e（o,+oo）時(shí)，/'（力）＞0,此時(shí)函數(shù)/（力）遞增，

所以/（力）極小值點(diǎn)為x=0,無(wú)極大值點(diǎn).

?2?

⑵求導(dǎo)/(劣)=ex—a

①當(dāng)a<0時(shí)，/'0)>0,/(力)在R上遞增

②當(dāng)a>0時(shí)，

當(dāng)力G(—00,Ina)時(shí)，/'(力)<0,f(x)在(―oo,lna)上遞減,

當(dāng)力e(Ina,+00)時(shí)，/'(力)>0,此時(shí)函數(shù)/(力)在(lna,+oo)上遞增.

⑶等價(jià)于g(x)=xex—a(lnx+力)=xex—aln(xex)(x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，

x

令力=xef(T>0),則￡=(N+1)1>0在力>0時(shí)恒成立，所以力=力/在力>0時(shí)單調(diào)遞增，故力>0,

所以g⑸=xex—aln(xex)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于h(t)—t—alnt有兩個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)椤á?1-半=/生，

①當(dāng)a40時(shí)，〃⑶>0,拉⑴在力>0上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意舍去，

②當(dāng)a>0時(shí)，令”⑴>0,得力>a,h(t)單調(diào)遞增，令h!(t)V0,得0VtVQ,h(t)單調(diào)遞減,

所以九⑴min=h(a)—a—alna.

若拉(a)>0,得0VaVe,此時(shí)h(t)>0恒成立，沒(méi)有零點(diǎn);

若無(wú)(Q)=0,得。=6,此時(shí)h(t)有一個(gè)零點(diǎn).

若h(a)VO,得a>e,因?yàn)榫泞?1>0,h⑹=e—aV0,/z(e100a)=e100a—100a2>0,

所以九⑴在(l,e),(e,/。。)上各存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，

綜上，a的取值范圍為(e,+8).

(三)(/+a)Ina:型同構(gòu)

皿￡(2023屆福篁唐寧健市博雅培文學(xué)校高三高考前最后一卷)已知函數(shù)/(工)=等(機(jī)eR).

(1)討論函數(shù)/(①)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)m=0時(shí)，若對(duì)任意，>0,恒有弋+1)^^)(^+1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)令/(,)=3蟲(chóng)+m=0,則期色=—m,

XX

記。(工)=等，則g'(/)=號(hào)匕

當(dāng)力>e時(shí)，g(x)V0,此時(shí)g(力)在(e,+oo)單調(diào)遞減,

當(dāng)0V力Ve時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)g{x)在(0,e)單調(diào)遞增，

故當(dāng)/=e時(shí)，g(/)取極大值也是最大值g(e)=2，

又g(l)=0,而當(dāng)1<%時(shí)，g(力)>0,故當(dāng)0V力VI時(shí)，g(x)V0,當(dāng)1V6時(shí)，g{x}>0，作出g(rc)的圖

象如下：

?3?

因此當(dāng)一山〉T"時(shí)，即mV—―,g(力)=—恒無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)/(/)無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)—m=1或一mW0時(shí)，即7n=—―或0,g(力)=-m有一^個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)f(x)有一^個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)0V—MV」時(shí)，即一|-<m<0,g(x)=-m有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)/(力)有2個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知：當(dāng)m,V—^時(shí)，/(劣)無(wú)零點(diǎn)，

e

當(dāng)m=—―或m^0f(x)有一^零點(diǎn)，

e

當(dāng)一?|■V7nV0,/O)有2個(gè)零點(diǎn)，

(2)當(dāng)加=0時(shí)，若對(duì)任意c>0,恒有°(工+1)9/(為(/+1)等價(jià)于：

對(duì)任意X>0,恒有Q力(6。宓+1)>InR2(/2+1),

令FQ)=0+l)lna;,則不等式等價(jià)于F(eax)>F(/),

由于Fr(x)=Ina;+“+1,

x

令仇⑸=Inx+二+1,加(力)=-----1=力丁1,

xxxx

當(dāng)0V力Vl.rn(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，當(dāng)力>1,加(力)>0,771(力)單調(diào)遞增，所以F\x)—m(x)>nz(l)

=2>0,故尸(%)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

由F(eax)>F(T2)得eax>/對(duì)任意力>。恒成立，

兩邊取對(duì)數(shù)得ax>21nx=>3對(duì)任意/>0恒成立,

2x

故_|L>g(c)max，所以

故a的范圍為a>2

e

(四)e，+ac+6型同構(gòu)

阿15(2024屆福童盾漳州市高三上學(xué)期第一次收學(xué)質(zhì)式檢測(cè))已知函數(shù)/(工)=aex+x+1.

(1)討論/(。)的單調(diào)性；

(2)當(dāng),>1時(shí)，于⑸>In2二1+，,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a

【解析】(1)依題意，得/(力)=aex+l.

當(dāng)a>0時(shí)，/(N)>0,所以/(力)在(一8,+co)單調(diào)遞增.

?4?

當(dāng)aVO時(shí)，令/'(/)>0,可得力<—111(—O);

令/'(/)V0,可得力>—ln(—a),

所以/(力)在(一8,—ln(—a))單調(diào)遞增，在(一ln(—a),+8)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，/(力)在(一8,+8)單調(diào)遞增；當(dāng)aV0時(shí)，/(劣)在(―co,—ln(-a))單調(diào)遞增，在(

—ln(—a),+co)單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)楫?dāng)力>1時(shí)，/(力)>In——-+力，所以0/+?+1>In———-+x,

aa

即e^^+rc+1>InQ—1)—Ina+x,

即ex+lna+lna+為>ln(￡c—1)+力一1,

ln(-1)

即1+1球+力+Ina>e"+ln(x-1).

令九(/)=e'+力,則有h(x+Ina)>h(ln(x—1))對(duì)V力e(1,+co)恒成立.

因?yàn)閔!⑸=ex-\-l>0,所以九(力)在(—00,+oo)單調(diào)遞增，

故只需力+Ina>ln(T—1),

即Ina>In(/—1)一力對(duì)VIG(1,+8)恒成立.

令F(力)=ln(x—1)一力,則F\x)=—―1=——f■，令F'(力)=0,得力=2.

x—1x—1

當(dāng)ce(1,2)時(shí)，F(xiàn)\x)>0,當(dāng)cC(2,+00)時(shí)，F(xiàn)'{x)<0,

所以FQ)在(1,2)單調(diào)遞增，在(2,+oo)單調(diào)遞減，

所以9Q)WF⑵=-2.

因此Ina>—2，所以a>

e

(五)ln/+QN+b型同構(gòu)

題6已知f(x)=e'+一?，g(x)=。+*j足生)aE^

(1)當(dāng)/E(l,+oo)時(shí),求函數(shù)g(c)的極值；

(2)當(dāng)a=0時(shí),求證：f(x)>g(x).

【解析】(1)/(必)=(1-a)Tn「,當(dāng)&時(shí)，或?yàn)?lt;o,即g⑸在(i,+oo)上單調(diào)遞減，

X

故函數(shù)g(rc)不存在極值；

當(dāng)aV1時(shí)，令g'(力)=0,得力=e1-a,

X(1"e1-a(ei,+s)

g'O)+0—

g(2)增函數(shù)極大值減函數(shù)

故g(c)極大值=g(e-")=巴匕^—￥—―=1+:=e"T+l,無(wú)極小值.

ee

綜上，當(dāng)Q>1時(shí)，函數(shù)g(力)不存在極值；

?5?

當(dāng)a<l時(shí)，函數(shù)g(z)有極大值，g⑺極大值=6。—+1,不存在極小值.

(2)顯然2>0,要證：f⑸^g(x),

即證：e—>立+2+In，，即證：//+>lnx+x+2,

X

即證：eln'+a:+1>(In/+力+1)+1.

令力=ln%+/+1,故只須證：e%>力+1.

設(shè)h(x)—ex—x—1,則h'(x)=ex—l,

當(dāng)力>0時(shí)，”(力)>0,當(dāng)力V0時(shí)，//(x)<0,

故以力)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—oo,0)上單調(diào)遞減，

即九(6)min=無(wú)(0)=0,所以//(力)>0,從而有eX^X+1.

故e”>1+1,即fQ)>g(宓).

典例展示

22

吼工(2024屆江蘇盾徐州市邳州市新世紀(jì)學(xué)校高三上學(xué)期月才)已知函數(shù)/(2)^(x+l)lnx-x-ax.

(1)若Q=l,求/(力)的最小值；

(2)若方程/(力)=。溺2加—小有解,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),/(%)=(x2+l)lna;—x2—x,

f(x)=2xlnx—x+——1,

設(shè)gQ)=f⑸，則9(%)=1+21n力-,

x

g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g'(l)=0,

所以力e(0,1)時(shí)，g[x)<0,f\x)單調(diào)遞減,

xE(l,+oo)時(shí)，或力)>0,/(力)單調(diào)遞增，

所以/(N)min=/'(1)=-1；

(2)/(力)=axe^^—x2即2(x2+l)lna;=20N(皆”+1),

即(rc2+l)W=(e2ax+l)lne2a\

設(shè)h{x}=(6+l)ln2(力>0)，則九(劣之)=ft,(e2ax),

K{x)=Inx+1+工，設(shè)7n(6)=Ina?+1+—(a?>0),貝4m(x)=x,

xxx

所以1G(0,1)時(shí)，m'3)<0,m(x)單調(diào)遞減，

xE(l,+oo)時(shí)，m'⑺>0,m(x)單調(diào)遞增，

所以m(x)^m(l)=2>0,即K{x)>0,h{x}在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以方程/(力)二0既2如一62有解即/=已2如在(o,+oo)上有解，

2QN=21IIT有解，即Q=上些有解，

X

,6,

設(shè)？1(力)=比匹■Q>0),則n'Q)=-一空'，

xxz

xE(0,e)時(shí)，n(x)>0,n(x)單調(diào)遞增，

xE(e,+oo)時(shí)，n(x)<0,n{x}單調(diào)遞減，所以n⑸<n(e)=十,

當(dāng)力—0時(shí)，n(T)t—oo,

所以°&工，即實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(一00,工].

e\6」

初2(2024居安徽看六校載方研究會(huì)高三上學(xué)期素質(zhì)測(cè)試)已知函數(shù)/⑺=溫—雄是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(力)的單調(diào)性；

(2)若g(力)=aex(x—1)—Ina;+f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴因?yàn)?(re)=ae”—/，所以/'(力)=aex—l,

當(dāng)a&O時(shí)，13)V0,所以/(力)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(/)>0得力>—Ina;令/(優(yōu))<0得/<—1110,

所以/(1)在(—00,—Ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a&0時(shí)，/(力)在R上單調(diào)遞減,無(wú)增區(qū)間；當(dāng)Q>0時(shí)，/(力)在(-00,-Ina)上單調(diào)遞減,在

(―lna,H-oo)上單調(diào)遞增.

(2)由題意g(力)=aex(x—1)—Inrc+/(x)=axex—lnx—x=axex—ln(xex)(x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，

令力=跣、(N>0),則￡=(l+a;)e*>0在(0,+8)上恒成立，所以力=/8"在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故力>0,所以g⑸=axex—ln(xex)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于T(t)=at—Int有兩個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于a=有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于g=a與h(t)—有兩個(gè)交點(diǎn)，

則h'(t)=——,ti(t)>0得0V力Ve,h\t)V0得力>e,

t

所以h(t)=在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，又九(e)=九⑴=0,

當(dāng)力趨向于0且為正時(shí)，九⑴趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)力趨向于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)⑴趨向于0,如圖：

由圖可知，要使y=a與h(t)—有兩個(gè)交點(diǎn),K'J0<a<—,

te

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍為OVQ〈L.

吼3(2024居宣慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)/(劣)=J/+aln(⑦—1),g(力)=/(%)+[—=/

4e4

?7?

+力.

⑴當(dāng)Q=-l時(shí)，求函數(shù)/（力）的極值；

（2）若任意的、電€（l,+oo）且0力g，都有93-2）＞1成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

力1一力2

【解析】（1）當(dāng)a=—l時(shí)，/（力）=|宓2—］口（2—1）,其中xe（l,+oo）,

則/'（力）=-^-x---^―-=XX~~|■，令/'（/）=0,解得/=—1或力=2,

2x-12（^-1）

又因?yàn)榱Γ?,所以力=2,

列表如下：

X（1.2）2(2,+co)

f'3)—0+

f3單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因此/（力）有極小值/（2）=1,無(wú)極大值.

（2）解：因?yàn)間（c）=/（re）+士一^x2+x，/（2）=；/+aln（，-1）,

e44

所以g（x）—a\n（x—1）+—十力，其中xG（l,+oo）,

e工

對(duì)VT1＞（l,d-GO）且力1W/2,不妨設(shè)了1＞電，則力1—力2＞0,

得到g（?）—g（＞2）＞/1一力2,化為gQi）—g＞g（g）—的，

設(shè)無(wú)（力）=gQ）—力且函數(shù)八（劣）的定義域?yàn)椋?,+8）,

所以九（力）=aln（x—1）+工在（1,+8）為增函數(shù)，

ex

即有〃（力）——上＞0對(duì)力＞1恒成立，即0＞之二!對(duì)任意的力＞1恒成立,

x-1exex

設(shè)0（劣）="二1，其中xE（L+°o）,貝"0,（力）=2丁,

ee

令0’（力）＞0,解得1VrcV2,令夕'（%）＜0,解得x＞2,

所以0（劣）在（1,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減，

所以0（力）最大值0⑵=±,因此實(shí)數(shù)Q的取值范圍是Q＞」7.

4已知于⑸=x2ex—a(x+21nx)

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求/(宏)的單調(diào)性；

(2)討論/Q)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】⑴解：因?yàn)閍=e,x>0,于(x)=x2ex—e(x+21nx)

x

所以/'(力)=(/+2/)e—e(l+?)=力(/+2)e*--°(力+2)一二(^x_p2)(^xe—^^,/(l)=0

令g(力)=xex—-—,g(x)=(力+1)6/+得>0,所以g(力)在(0,+oo)單增，且g⑴=0,

xx2

?8?

當(dāng)％e(0,1)時(shí)g(x)=xex——V0,當(dāng)力e(l,+oo)時(shí)g(x)=xex—~—>0,

XX

所以當(dāng)(0,1)時(shí)/O)vo,當(dāng)/e(i,+oo)時(shí)/'0)>o,

所以/O)在(o,i)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增

(2)解：因?yàn)?(rr)=eW?ex-a(x+21nM=ex+21nx-a(x+21n⑼=0

令力=c+21nx,易知力=力+21n6在(0,+GO)上單調(diào)遞增，且力ER,

故/(力)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f(x)=ex+2inx—a(x+21nx)=^—at=0即e"=at,t￡R,

設(shè)g(力)=e”一Q力，則g{t)—e*一a,

當(dāng)a=0時(shí)，g(t)=e"無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)aVO時(shí)，g(t)=e"—Q>0,故g("為_(kāi)R上的增函數(shù)，

而5(0)=1>0,)=e"-l<0,故g(t)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a>0時(shí)，若力€(—co,Ina)，則g'⑴<0;/；E(lna,+oo)，則。'⑴>0;

故g(0min=g(lna)=Q(1—Ina),

若Q=6,則g?)min=0,故g⑴在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

若OVaVe,則。⑴min>。,故g⑴在五上無(wú)零點(diǎn);

若a>e,則g(力)min<0,此時(shí)Ina>1,

而g(。)=1>0,g(21na)=a2—2alna=a(a—21na),

設(shè)無(wú)(a)=a—21na,a>e,則H(a)=————>0,

故/Z(Q)在(e,+co)上為增函數(shù)，故九(Q)>h(e)=e—2>0即g⑵HQ)>0,

故此時(shí)g⑴在R上有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

綜上：當(dāng)04aVe時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=e或aVO時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；Q>e時(shí)，2個(gè)零點(diǎn);

015已知函數(shù)/(力)=ex—alnx,aER.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若曲線(xiàn)沙=/(力)與直線(xiàn)g=相切于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明：/(/)>e；

(3)若對(duì)任意力6(0,+8),不等式/(力)>alna恒成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)a=0時(shí),/(6)=ex,f\x)=e\

設(shè)P(g,6°),則切線(xiàn)斜率k=e°.

由切點(diǎn)性質(zhì)，得，解得g=L

(e=KXQ

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(Le).

(2)當(dāng)a=e時(shí)，/(力)ne。一elnrc,其中力>0,則/'(/)=ex——,

令g(力)=e'—￡■，其中①>0,則g'Q)=已。+多>0,

xx

故函數(shù)/(劣)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且/(I)=0,

?9?

當(dāng)力變化時(shí)，力,/'（劣）,/（N）變化情況如下表:

X（o，i）1(L+8)

f'3)—0+

f⑺單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由上表可知，/Q)min=/(l)=e.所以/(%)>6.

(3)顯然Q>0,在(0,+8)上/(%)=6,—alni>alna恒成立，即e31-1110—Inx>Ina恒成立即

e--lna_lna>lna，恒成立，

所以ex~Xna+x—Ina>T+Inx=elnx+lna;恒成立，

x

構(gòu)造函數(shù)g(x)—e+x9xE(0,+oo),易知g(z)在(0,H-oo)上是增函數(shù)，

所以％—Ina>Inx恒成立,即Ina<(re—lmj)min,

令八(力)—x—lnx,hf(x)=———(rc>0),

x

當(dāng)力e(o,i)時(shí)，"(力)vo,所以無(wú)(力)在(o,i)上單調(diào)遞減，

當(dāng)力e(l,+oo)時(shí)，"(2)>o,所以九(為)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

所以九3)min=無(wú)⑴=1,所以Ina<1,解得0<a<e,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(0,e).

6已知函數(shù)/(力)=x—alnx,(aGR)

(1)請(qǐng)討論函數(shù)/(劣)的單調(diào)性

⑵當(dāng)cC[5+8)時(shí)，若《(InQnc+2+1)+1)恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍

【解析】(1)/(2)=1-且=^^(2>0)

XX

當(dāng)aW0時(shí)，fQ)>0,/(x)在(O,+c?)上遞增

當(dāng)a>0時(shí)，在(0,a)上『㈤<0,y(z)單調(diào)遞減

在(a,+oo)上『Q)>0,/(z)單調(diào)遞增

,nx+x

(2)原式等價(jià)于我'=e>4(ln(lnc+,+1)+1)

設(shè)力=Inc+x,xE[L,+oo)

由(1)當(dāng)a=-L時(shí)，/3)=ln/+N為增函數(shù)，?,?力6]!-1,+8),

等式等價(jià)于/i(ln(t+1)+1),力E[1—1,+8)恒成立，

1=時(shí)，「一>0成立，力6(--l,+oo)時(shí)，————,

evefIn。+1)+1

設(shè)g(f)=]—(工一1,+8),

ln(t+1)+1ve)

?10?

=，(ln(t+l)+l)-e*(母)=、In(%+1)+1一擊

9~(ln(t+l)+l)2-e，(ln(t+l)+l)2’

設(shè)h(t)=ln(t+1)+1--,

0I-J.

h\t)=']+(J])2>0所以h(t)在(十-1,+8)上為增函數(shù)，

又因?yàn)?z(0)—0,所以在—1,0)上，h(t)V0,?，.g'(土)<0,g(力)為減函數(shù),

在(0,H-oo)上,h(t)>0,g(t)>0,g(t)為增函數(shù)，

g(0min=g(0)=1,?.?441.

2x-t

蜃1兀（2023屆廣東篇深圳市光明區(qū)南三二模）已知函數(shù)/（工）=矢二1的圖象在（1,/（1））處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（2,2e2）.

（1）求a的值及函數(shù)/（2）的單調(diào)區(qū)間；

21

（2）設(shè)9（工）=詈”，若關(guān)于力的不等式加g（04e2^-l在區(qū)間（1,+<?）上恒成立，求正實(shí)數(shù)4的取值范

圍.

2a;_-I

【解析】（1）函數(shù)/（/）=---的定義域是｛力I力W0｝,

2xx

2axe-（ae-l）2

f⑺=---------------'于⑴=ae+1，?

所以/（力）在點(diǎn)（Lae,—1）處的切線(xiàn)方程為y—（ae2-1）=（ae2+l）（x—1）,

切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2e?）,則Q=1.

f（x）—+1,設(shè)力）=（2力-1）已2I+1,0'（力）=4跣2）

x

力=0是9（力）的極小值點(diǎn)，且0（0）=0,

因此/'（力）>0在｛/IN#0｝恒成立，

2x_-1

所以函數(shù)/（2）=且口的單調(diào)增區(qū)間為（一8,0）,（0,+00）,無(wú)單調(diào)減區(qū)間.

X

2-12-I2Ax-1

⑵1>0,a=l,/lzQf-We?加一1在區(qū)間（l,+oo）上恒成立，即胃二!■<e,

InxmxAx

2t_-i2^a;_-i

令t=lnrc（t>0）,則且三<且/1,即/⑴&/（&）.

tAx

由（1）,只需要土4/ke,也就是4>①■在區(qū)間（1,+8）上恒成立.

x

設(shè)八（力）力）=1-？力,〃（e）=0,.

xxz

l<x<e,//（N）>0;力>e,"（/）<0,

故/z（e）=工是h｛x）—的最大值，

ex

?11?

所求A的取值范圍是［十,+8

〔題目〔2〕(2023居海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學(xué)高三一模)己知函數(shù)/(C)=普^+1.

(1)討論函數(shù)/(，)的單調(diào)性；

(2)已知4>0,若存在土e(l.+oo),不等式—>(④J>Inc成立，求實(shí)數(shù)4的最大值.

(遍產(chǎn)+1x-1

【解析】(1)函數(shù)/(①)的定義域?yàn)?0,1)U(l,+oo),

1--------In力1-1_?

所以f(x)=',???令g(c)=1--------In力，則。(力)=——,

z

(劣一1)xx

：.函數(shù)g(c)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+oo)上單調(diào)遞減.

又,.,g(l)=0,?,?當(dāng)cG(0,1)U(1,+8)時(shí)，g(x)V0,."(%)<0,

函數(shù)/(力)在(0,1),(l,+oo)上單調(diào)遞減.

(2)V——>(為I>Inc,且4>0,c>1,(Ve)^-l>0,

(g產(chǎn)+1x-1

二筆"與，，好+1>匕+1，"(/)河⑺?

eAxE(L+oo),由⑴知，函數(shù)/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

只需e&《力在(1,+8)上能成立，

兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得MWlmc,即4W至”在(1,+8)上能成立.

X

令瞰X)=—{X>1),則<p\x)=1—乎,

Xx

1?當(dāng)re(l,e)時(shí)，p'O)>0,/.函數(shù)少⑸在(l,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)力E(e,+oo)時(shí)，/(力)<0,函數(shù)口(力)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

?“(力)max=?(e)=十,???/!W!，

1

又X>0,???0V442，

e

/.實(shí)數(shù)1的最大值為—.

e

畫(huà)1H(2024屆山東省部分學(xué)校南三上學(xué)期裂者)已知函數(shù)/(c)=aln(c+l)—az.

(1)當(dāng)aWO時(shí)，討論/(,)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)①>-1時(shí),/(c)>空——：+a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)/(力)=aln(力+1)—ax定義域?yàn)?―l,+oo),f'⑸=——a=—等~,

?27IJ.27Ii-

①當(dāng)a>0時(shí)，令/(力)>0,得TV力V0,此時(shí)/⑺單調(diào)遞增，

令/(力)<0,得力>0,此時(shí)于(x)單調(diào)遞減；

②當(dāng)aVO時(shí)，令/'(力)>0,得力>0,此時(shí)/(力)單調(diào)遞增，

?12?

令/'(/)<0,得一1〈力〈0,此時(shí)/(劣)單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)Q>0時(shí)，/(①)在(—1,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，/(力)在(0,+oo)單調(diào)遞增，在(—1,0)單調(diào)遞減.

(2)記力=(/+1)—ln(T+1),

由(1)知，當(dāng)Q=1時(shí)，/(/)=ln(N+1)一/</(0)=0,

則比一In(力+1)>0,則力=(力+1)—In(6+1)>1,

當(dāng)x>—1時(shí)，/(⑦)=aln(x+1)—QN>―—:=ae恒成立，

eZ7_I_L<Z/I-L

①+1

即aln^x+1)—a(x+1)>—]對(duì)x>—1恒成立，

即a[(x+1)—ln(T+1)]ve^+D-inQ+D對(duì)力>—1恒成立，

t

則出;Ve",即aV%對(duì)方>1恒成立，

tee

令無(wú)⑴〃(力)--2―――對(duì)力>1恒成立，

xtt

則h(t)在(1,+00)單調(diào)遞增，所以九?)>九(1)=e,

所以QVe,即實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(―oo,e).

題目可已知函數(shù)/(%)=「*,g(宏)=simr.

(1)求gQ)=sin/在力=0處的切線(xiàn)方程；

(2)求證：g[x},g'(宏)+l<.x,/(比)—Inx.

(3)當(dāng)力€[0,7u]時(shí)，g(劣)—2[/(T)—1]<mln(T+1)，求實(shí)數(shù)nz的取值范圍.

【解析】⑴因?yàn)間(宏)=sinrc,則(力)=cos/,g'(0)—cosO=1,g(0)=0,

所以，g(力)—sinrr在力=0處的切線(xiàn)方程為y—x.

(2)要證明g(x)?g(x)+l<x-f(x)—Inx,

即證：sinrr?cosa:+1—力?e*+ln/<0,

證：si：2%+i—力?y+lnTv0,(*)

設(shè)F⑸=sin2①—2/，則F\x)=2cos2/—2=2(COS2T-1)&0,

所以，F(xiàn)(T)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，故尸O)<F(0)=0,

所以，當(dāng)力>0時(shí)，sin2/V2x,

所以要證(*)成立，只需證力+1—力?e"+ln/&0,

設(shè)H(x)=ex—x—1,則H'(B)=ex—l,

當(dāng)力>0時(shí)，攵(力)=ex-l>0,故函數(shù)H⑸在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)力V0時(shí)，H'Q)=ex-l<0,故函數(shù)HQ)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，

故H(x)>H(0)=0,則1+1,

x+lnx

則e^x+m6+1,即x+Inx+1,故力+1—1?e*+ln140成立，

所以原命題得證.

?13?

(3)由題得sin/—2(1—1)WmlnQ+l)在力E［0,7t］上恒成立，

即h(x)—2e°+mln(力+1)—sinx—2>0,⑦G［0,兀］恒成立,

因?yàn)榫?(力)=2ex-\—-COST,

①若?n>0,h!(x)>2e“一cos/>0,h(x)在［0,7u］上單調(diào)遞增，h(x)>%(。)=0,符合題意;

②若7n<0,令p(力)=hf(x)=2ex-\——COST,力E［0,兀］,

x+1

則(p(x)—2e”....-—r+sin6>0,所以K(x)在［0,兀］單調(diào)遞增，且//(0)=1+m,

(力+1)

(i)若—14館V0,H(x)■//(€))>0,h(x)在［O,TT］上單調(diào)遞增,h(x)>九(0)=0,符合題意;

(n)若?nV—1,“(0)<0,

當(dāng)力>0時(shí)，0V―^―-V1,則K(x)=2ex-\—%—COST>2ex+m—1,

x+1x+1

取力=In1>0,則//(inij771)>2已“2+m—1=0,

f

則存在gg(0,lnl「館)，使得當(dāng)RG(O,xo)時(shí)，h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

此時(shí)h(x)<h(0)=0,不合題意;

綜上，771>—1.

5j已知函數(shù)后(劣)=xex—mx,g(x)-InN+力+1.

(1)當(dāng)772=1時(shí)，求函數(shù)無(wú)(力)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若無(wú)(力)>g(x)在16(0,+oo)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

x

【解析】⑴當(dāng)7n=1時(shí)h(x)=xe—xfh\x)=(劣+l)e°—1

設(shè)〃(力)=/(6)=(%+l)e,一1,則〃'(力)=(6+2)e*>0=>力>—2

〃'(6)=(6+2)e①V0=>x<-2

:.〃(%)即h!(x)在(—oo,—2)遞減，在［—2,+oo)遞增，

當(dāng)力e(―8,—2),//(力)=(c+1)?ex—ivo,當(dāng)力e［—2,0)13)v-(0)=o

而當(dāng)/e［o,+00)/(6)>//(o)=0所以當(dāng)%e(—8,o),//(/)<o,/i(x)遞減;

xE［0,+00)/(%)>0,無(wú)(%)遞增.

故函數(shù)增區(qū)間為［0,+8),減區(qū)間為(—00,0)

x

⑵m+1We---—=溫—lna;—1，2e(0,+8)

XXX

令f(x)=溫-In/-1，/⑸=些1e(0,+oo)

xX

令p(c)=x2ex+lnx,p(x)=ex(x2+2x)+—>0,xE(0,4-oo)

:.p(宏)在(0,+oo)遞增,而0(工)=ee2—1<0,p⑴>0,

：.B6住(jl),使pQi)=0,即-e的+lna；i=0(*)

?14?

當(dāng)比e(O,a;i)時(shí)，/'(力)<0,/(力)在(0,3；i)遞減，當(dāng)⑦G(如+8)時(shí)，/'(力)>O,/(rc)在(力i,+oo)遞增

??J(2)min=/(g)=--

a?iXi

因?yàn)?，亮?皿2尸0(*)可變形為,追5=—上Inc產(chǎn)—In—=eIn^ln—(**)

XiXiX\Xi

又???g=/e：J=(力+1)1>0,???。=力/在(0,+oo)遞增，

由(**)可得力i=lnL=—ln/i,e'"=L

XiXi

：./(/)min=/(61)=一刈———=-+1——=1m+K1m<0

故m取值范圍為(—oo,0]

題目回已知函數(shù)了(0=x^—ax—alnx.

(1)若。=6,求/(力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)Q,使對(duì)力e(0,+8)恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【解析】(1)因?yàn)?(比)=%e”一ar—alnrr,

所以/(力)=(6+l)ex—a——(x>0),

即/(re)=8+1(d—a).

x

當(dāng)a=e時(shí)，/(%)=n+1Qe^-e),

令gQ)=二'—e,則g'Q)=(比+l)e*>0,

所以g(力)在(0,+oo)單調(diào)遞增，因?yàn)間⑴=0,

所以，當(dāng)0V%V1時(shí),gQ)<0,f\x)V0;當(dāng)/>1時(shí)，g(x)>0,/'(力)>0,

所以/(力)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8).

(2)設(shè)h[x)=x+Inrc,xG(0,+co),易知九(名)在(0,+co)單調(diào)遞增.又當(dāng)力G(0,1)時(shí)，力+Inx<1+In%

所以U=1+lnx(xG(0,1))的值域?yàn)?—oo,l)；

當(dāng)力G[1,+co)時(shí)，y—x-\-In力(力G[l,+oo))的值域?yàn)閇1,+8).

所以h(x)=x-\-Inx的值域?yàn)镽.

故對(duì)于R上任意一個(gè)值班,都有唯一的一個(gè)正數(shù)g,使得g0=g+lng.

因?yàn)閤ex—ax-alnx—1>0,即e^^—a^x+In/)—1>0.

x+Xnx

設(shè)F(t)=^-at-1,tGR,所以要使e-a(x+In/)—1>0,只需F(^)min>0.

當(dāng)aWO時(shí)，因?yàn)镕(—1)二工+a—lVO,即/(一1)<1,所以a&O不符合題意.

e

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)力G(—8,Ina)時(shí)，F(xiàn)'(t)=e"—a<0,F(t)在(—co,Ina)單調(diào)遞減；

當(dāng)力G(Ina,+oo)時(shí)，尸⑴=e%—a>0,F(t)在(lna,+oo)單調(diào)遞增.

所以F?)min=F(lna)—a—alna—1.

?15?

設(shè)m(a)=a—a\na—1,aE(0,+oo),

則m'(a)=—Ina