河北省某中學(xué)2025屆高三年級(jí)下冊(cè)一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省鹽山中學(xué)2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7b/={2,3,4,5},5={2,3,6,7},則8口&/

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

2.已知x>l,y<0,且3”1-司=尤+8,貝ijx-3y的最小值為（）

1513

A.6B.8C.—D.—

22

3.復(fù)數(shù)（l+i）i的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.—B.—C.-D.一

3535

5.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的

人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列也“}：4=1+5，

6=1+—!—4=1+-------—

2%+——「，…，依此類推，其中%eN*（左=1,2,…）.則（）

1a2%+一

%

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<Z>7

6.在△48。中，角4伐。所對(duì)的邊分別為q,b,c,S表示的面積，若

ccosB+bcosC=asinA,s=手僅？+/一/）,貝［j=

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)。處.已知庫(kù)底與水壩所成的

二面角為150。，測(cè)得從。。到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為。/=20扃i,C5=40m,若

AB=20m,則甲，乙兩人相距（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.10mB.20V14mC.70mD.20廊m

8.設(shè)/,8為雙曲線--(=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

二、多選題

9.已知直線4"+毆+1=0,l2:(a-l)x+y+a=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)“=1時(shí)，直線4的傾斜角為135。B.當(dāng)4^/2時(shí)，?=1

C.若〃4,貝1。=一1D.直線《始終過(guò)定點(diǎn)(-1,0)

10.已知圓。：/+/=4,點(diǎn)尸(X。,為)是圓。上的點(diǎn)，直線/：丫-、+￡=0,則()

A.直線/與圓。相交弦長(zhǎng)2右

B.圓。上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

C.的最大值是百

D.過(guò)點(diǎn)尸向圓M:(x-3)2+(y-4『=1引切線，A為切點(diǎn)，則陷|最小值為2行

11.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(48)=max{|x]-4回-%|}為兩點(diǎn)/(國(guó),必)、^仁,力)的

“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)尸及/上任意一點(diǎn)。，稱"(P，。)的最小值為點(diǎn)尸到直線/的“切比雪

夫距離"，記作"P,/),給出下列四個(gè)命題，正確的是()

A.對(duì)任意三點(diǎn)4民C,都有d(C,4)+d(C,B)2d(a8)；

Q

B.已知點(diǎn)尸(2,1)和直線/:x-2y-2=0,則明尸,/)=]；

C.到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

D.定點(diǎn)片(-c,0)、8(c,0),動(dòng)點(diǎn)P(x/)滿足h(尸,片)-4(尸,乙)|=2a(2c>2a>0),則

點(diǎn)尸的軌跡與直線夕=左(左為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.若斜率為百的直線與y軸交于點(diǎn)A,與圓/+5-1『=1相切于點(diǎn)3,則

.

13.若五40,2］,使不等式(e-l)lnaNaef+e(x-l)-x成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則

實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

14.已知函數(shù)/1(x)=f+3x-4,設(shè)曲線V=/(x)在點(diǎn)(?！?/(%))處的切線與x軸的交點(diǎn)為

8

(?！?1，0)(〃eN"),%>1,a2=~,則％=；設(shè)否,％(再>%)是函數(shù)/(X)的零點(diǎn)，

〃二10g6」一則數(shù)列料｝的前〃項(xiàng)和,=.

an-X\

四、解答題

15.已知函數(shù)〃x)=1,點(diǎn)/(1,5),8(2,4)是/(x)圖象上的兩點(diǎn).

(1)求。，6的值；

(2)求函數(shù)/(》)在［1,3］上的最大值和最小值.

16.已知角。的終邊為射線歹=-

(1)求sin。，cos。，tan。的值；

⑵求sin［2e+^］的直

17.如圖，長(zhǎng)方體44GA中，/8=/。=1,/4=2,點(diǎn)p為。2的中點(diǎn).

⑴求證：直線平面P/C;

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(2)求異面直線BDt、AP所成角的大小.

18.已知拋物線工2=2抄(0>0)上一點(diǎn)R(%，2)到它的準(zhǔn)線的距離為3.若點(diǎn)4B,C分別在

拋物線上，且點(diǎn)/、C在y軸右側(cè)，點(diǎn)2在y軸左側(cè)，△/8C的重心G在y軸上，直線42

交y軸于點(diǎn)M且滿足3HM<2出”|，直線3c交y軸于點(diǎn)N記△48。，叢AMG,△(?△心的面

積分別為S,&,S3.

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

(2)求不三的取值范圍.

?2+?3

19.設(shè)函數(shù)/(x)=f-+lnx(x>0).

2x

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知d,曲線歹=/0)上不同的三點(diǎn)(再,/(再)),(%2，/(%2))，卜3J(%3))處的切線都經(jīng)

過(guò)點(diǎn)(a，b).證明:

(i)若Q>e,則0<<，［弓一1)；

一八2e-a112e-a

(ii)右0<a<e,毛</<X3'貝！J-r+,2<—1--<------TT-

e6e再吃a6e

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《河北省鹽山中學(xué)2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CBACDDBDABDAD

題號(hào)11

答案AD

1.C

【分析】先求2/，再求8c24.

【詳解】由已知得C「4={1,6,7},所以8門(mén)的4={6,7},故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查交集、補(bǔ)集的運(yùn)算.滲透了直觀想象素養(yǎng).使用補(bǔ)集思想得出答案.

2.B

/、X+8r+89

【分析】由3"一)=x+8,得到昨加，則f…刀=1+有+2,再利用

基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)?y(1—%)=x+8

x+8

所以

x+819c

所以x—3y=x+--------X—IH-----------F2

x-1x-1

邛1)3+2=8,

9

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=—7=3,即x=4取等號(hào)

x-1

所以％-3歹的最小值為8

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3.A

【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.

【詳解】解：,.?(l+i)i=T+i,

，復(fù)數(shù)(l+i)i的虛部為1.

故選：A.

4.C

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

若2個(gè)0相鄰，則有G=5種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有C；=10種排法，

102

所以2個(gè)0不相鄰的概率為二丁二不.

5+103

故選：C.

5.D

【分析】根據(jù)%￡N*(左=1,2,…)，再利用數(shù)列｛"｝與許的關(guān)系判斷｛〃｝中各項(xiàng)的大小,即

可求解.

【詳解】［方法一］:常規(guī)解法

因?yàn)閝eN"(>=l,2,…),

,11

-1-->-------

所以%v%+—,a1,得到。>62，

%x%'

a2

11

CCy~\—〉aH-----；-

同理%a可得％<&，\>b3

a3

1111

-->--------J,%■1-----j-<%-1--------1----

又因?yàn)椋2+—%+履%+p,

CC3H---%H---

故仇<“，白〉”；

以此類推，可得4>%>&>4〉…，故A錯(cuò)誤;

故B錯(cuò)誤；

11

屋〉I

2%+丁，得仇<4,故c錯(cuò)誤；

%+…——

4

11

a、H--------1--->CZjH-----------1---

%+-----「&2+…一［,得”<&,故D正確.

%---a6---

%a7

［方法二］:特值法

不妨設(shè)%=1,則瓦=2必=1,b3=|,b4=1,b5=^-,b6b7=--,\=|j,

23Jo1JZ134

“<4故D正確.

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

6.D

【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得siM=l,即4=90°,由余

弦定理、三角形面積公式可求角C,從而得到5的值.

【詳解】由正弦定理及ccosB+bcosC=〃siiL4,得sinCcosB+sin&x)sC=sin2A,

nsin(C+8)=sin2/=>siii4=l,因?yàn)?。，所以4=90。；

由余弦定理、三角形面積公式及S="儼+/一/),得加inC="-2"cosC,

41724

整理得tanC=6，又0°<<7<90°,所以。=60°,故8=30°.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合

應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

7.B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得模長(zhǎng).

【詳解】由已知可得4048==90°，石與瑟的夾角為150。，

B^/DC=DA+AB+BC，

uuir2/Uuruuruuorx2uuor2uur2口皿UUTuurutnruuruuruuor

所以。C=\DA+AB+BC\=DA+AB+BC+DA-AB+UABC+2ABBC,

因W=20后x20xcos90°=0，DA-BC=20V3x40xcos(180°-150°)=1200,

LlULflUUUL

A8-8C=20x40xcos90°=0，

uuir,l、

故DC2=(20j3『+2()2+402+2x1200=5600,

所以國(guó)=Afi?=75600=20714.

故選：B

8.D

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得KBM=9,對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐

項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)/(巧,力),2(%,力)，則N3的中點(diǎn),

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

可得如二皿1,左=詈二

項(xiàng)-9一十%2X1+x2

2

2_2

因?yàn)?5在雙曲線上，貝叫2兩式相減得（X；-X；）-"產(chǎn)=0,

卜-,

所以3屋左=芝"=9

對(duì)于選項(xiàng)A：可得4=1,左小=9,則48：了=9x-8,

y=9x—8

聯(lián)立方程12V,消去歹得72——2X72X+73=0,

[9

止匕時(shí)A=（—2x72了―4x72x73=—288<0,

所以直線45與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左二—2,左=—,,則/慶）二—/工—,，

95

V=——X----

22,

聯(lián)乂方程12,消去》得45%2+2x45x+61=0,

X丫2---）----—11

[9

此時(shí)A=（2x45『-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3也8=3,則45:y=3x

由雙曲線方程可得。=1]=3,則45:>=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線45與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

9Q7

對(duì)于選項(xiàng)D：k=4,k=—,則48:歹=:工一了，

AB444

’97

y=—x——

44

聯(lián)立方程12，消去y得63/+126x-193=0,

尤2-乙=1

I9

此時(shí)A=126?+4x63xl93>0，故直線48與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確;

故選：D.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

9.ABD

【分析】由直線4的方程得斜率，從而求得傾斜角可判斷A；根據(jù)直線垂直或平行的條件求

得參數(shù)值可判斷B和C；把方程作為參數(shù)的恒等式求解得定點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=1時(shí)，直線4：x+〉+l=0,斜率左=-1,則傾斜角為135。，故A正

確；

對(duì)于B,等價(jià)于。-1+。=0，解得。=)，故B正確；

對(duì)于C,若〃4,則。("1)T=O且故"=上正，故C錯(cuò)誤；

.2

對(duì)于D,4：x+@+1=0,當(dāng)戶0時(shí)x=-l,所以直線4恒過(guò)(-1,0),故D正確.

故選：ABD.

10.AD

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷弦長(zhǎng)及圓上的點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)』J的幾何意義可

X。一4

得最值，再根據(jù)切線長(zhǎng)的計(jì)算公式可得最值.

【詳解】

如圖所示,

由已知圓。：/+/=4,則圓心。(0,0),半徑,=2,

|0-0+V2|

A選項(xiàng)：圓心O至L|直線/:x-y+后=0的是巨離d=

則弦長(zhǎng)為21，一/=2也2—F=2/,A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)：d+r=3,d-r=l,所以圓。上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：可表示點(diǎn)尸(%,%)與點(diǎn)N(4,0)連線的斜率，

X。一4

易知當(dāng)直線PN與圓。：/+/=4相切時(shí)，斜率取得最值，

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)斜率』=左，則直線PN:y=Mx-4)kx-y-4k=0,

尤0-4

則

所以等r，其最大值為今。選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D選項(xiàng):由圓M:(x-3『+(y-4『=1可知圓心Af(3,4),半徑力=1,

由切線長(zhǎng)可知|尸/|=,尸叫2_吟=yJ\PMf-l,

所以當(dāng)1PMi取得最小值時(shí)，忸/|取最小值，

又|EM|>\OM\-r=J(3-0)2+(4-0『-2=3，即|尸」切的最小值為3,

所以|力|的最小值為2拒，D選項(xiàng)正確；

故選：AD.

11.AD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)新定義，利用絕對(duì)值不等性即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)點(diǎn)。是直線了=2x-l上一點(diǎn)，且。(x,2x-l),可得

d(P,0)=max2|,2-卞],討論|x-2|,|2-夫|的大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì),

可得最小值；

對(duì)于選項(xiàng)C,運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,根據(jù)定義得|max{|x+c|，M}-max{卜-dN}|=2a,再根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行討論，

求得軌跡方程，即可判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)/(貓,”),3(4,%),。(七，外)，由題意可得：

d[C,A)+d(C,B)=max\\xA-xc\,\yA-yc\\+max{|xs-xc|,|}

>\xA-xc\+\xB-xc\>\xA-xB\,

同理可得:"(理N)+"(C,5)耳線-%I，則:

d(C,/)+c/(C,5)Wmax{|x「xJ,|y「y/}=d(45),

則對(duì)任意的三點(diǎn)A,B,C,都有"(C,/)+"?,8竺"(48)；故A正確；

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)。是直線x-2y-2=0上一點(diǎn)，且11,

可得"（尸,0）=111@*“_2|,2_；%）,

1QQO

由卜-2|22-5》，解得xWO或xN3,即有d（尸,0）=|無(wú)一2|,當(dāng)工=：時(shí)，取得最小值：；

由|x-2|<2-；x,解得0<x<1,即有/①⑼=？一?,"（P,。）的范圍是仔,2）,無(wú)最

值，

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為:，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)則J（x-a）2+（,一療=max｛|x-a|Jy-研,

若3-6閆—|,則"4+（一『十_小兩邊平方整理得x=a；此時(shí)所求軌跡為

x=a（y>b^,y<-b）

若卜-耳<k-4,則/iy+（i）2=卜4,兩邊平方整理得y=6；此時(shí)所求軌跡為

y-b或%（一。）,

故沒(méi)法說(shuō)所求軌跡是正方形，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，定點(diǎn)耳（-。,0）、8（。,0）,動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足|d（P,片）-4（尸,%）=2"（2C>2Q>0）,

則：|max｛|x+c],回｝-max｛卜-4M｝卜2。，

顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)定0,j>0.

⑴當(dāng)]x+c：y時(shí)，有卜+cf_c|=2q,得:；="；

\x-c>y11\Q<y<a-c

Ix+c<y

（2）當(dāng)「時(shí)，有0=2°,此時(shí)無(wú)解；

Ix-c<y

Ix+c>y

（3）當(dāng)《時(shí)，^x+c-y=2a,a<x■

[x-c<y

則點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

結(jié)合圖像可知，點(diǎn)尸的軌跡與直線>=左(左為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義

的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，

它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變

才是制勝法寶.

12.V3

【分析】設(shè)直線N3的方程為y=+則點(diǎn)/(0))，利用直線與圓一+3-1)2=1相

切求出6的值，求出|ZC|,利用勾股定理可求得|/卻.

【詳解】設(shè)直線N5的方程為y=+則點(diǎn)/(。))，

由于直線N8與圓一+5-1)2=1相切，且圓心為C(O,1),半徑為1,

則也”=1,解得方=-1或6=3,所以|/C|=2,

因?yàn)殁頲|=i,故|陰=卮問(wèn)所二指.

故答案為：V3.

13.-,e2

e_

【分析】利用同構(gòu)思想將原式變形，構(gòu)造新不等式ef+lWe'+/,通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到/的范圍，

由此反推出。的范圍.

【詳解】由題ae，原式變形：elna-lna>eha+1-x+ex-e-x，

移項(xiàng)且兩邊同時(shí)加1得e(lna+l—龍)+12e'na+1-T+lna+l—x,

令lna+l-x=/,原式可得ef+lWe'+f,令/?)=e'+，，g(x)=er+l,

因?yàn)間(O)=/(O)=l，g(l)=/(l)=e+l,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

由下圖圖像可知,當(dāng)/(x)Wg(x)時(shí),可得故OVlna+1-xWl,

所以尤-IVlnaVx,因?yàn)轭}目中為存在性命題，且尤e[0,2],

所以—IVlnaV2,解得—WaWe。

e

故答案為：匕1e?,

_e

【點(diǎn)睛】同構(gòu)題型識(shí)別度較高，當(dāng)題目中同一個(gè)參數(shù)出現(xiàn)在多個(gè)位置，且一般無(wú)法分離，同

時(shí)式子中指數(shù)對(duì)數(shù)幕函數(shù)三類形式的函數(shù)時(shí)，常常想到同構(gòu)思想來(lái)解題.

14.22"-1

O

【分析】根據(jù)。2=]求出生,根據(jù)｛%｝的遞推關(guān)系可得｛a｝的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定

義可求｛"｝的通項(xiàng)，從而可求心

【詳解】因?yàn)?(x)=f+3X-4,所以，(x)=2x+3.

因?yàn)?(?！?=。；+3%-4,/'(%)=2%+3,

所以曲線了=/(x)在點(diǎn)(?！?/(%))處的切線方程為V-(d+3%-4)=(2d+3)(x-

令尸。，得戶工說(shuō)+4

即an+\

2a〃+3

因?yàn)槌?=黑所以我-16%+4=（7%-2）（%-2）=0.

因?yàn)閝>1,所以q=2.

7Qn+4

因?yàn)?（》）=/+3彳-4=（》+4）。一1），所以再=1,X2=-4,所以％=log6----r.

an-1

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

…+4

%+i+4_2?！?3a：+8Q〃+16

因?yàn)?2，故g=2”,

晨+4iaj—2%+1

2an+3

而4=log6氏W=1*O,故也｝為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為1,公比為2,

%—1

所以2=2"7,故S.=E=2"-L

故答案為：2,2"-1

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)時(shí)，可對(duì)原遞推關(guān)系適當(dāng)變形，從而運(yùn)用

等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法求出新數(shù)列的通項(xiàng)從而得到原數(shù)列的通項(xiàng).

7

⑵/0濡=5,/(%)?*,=-

【分析】(1)把圖象上的兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，由方程組求4，6的值;

(2)定義法求函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求最值.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)8(2,4)是/⑺圖象上的兩點(diǎn)，

L2+b

2a+1

(2)設(shè)14芭(3,

則/(占)-〃%)=2玉+：2%2+86卜一刀)

%+1(匹+1)(%+1)

因?yàn)?4項(xiàng)<%2(3,所以％2-％1〉0,(再+1)(%2+1)>0,

則/(尤1)-/(%)>0,即/(網(wǎng))>/(%),

所以函數(shù)/(x)=m詈在［1,3］上單調(diào)遞減.

7

故/(x)a=*l)=5,/(x)min=/(3)=j.

343

16.(1)sinQ=~cosQ~tan——

7『24

50

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求解；

（2）利用正弦展開(kāi)式，恒等變換再代入數(shù)值求解.

【詳解】（1）在射線歹=一：耳龍"）上取一點(diǎn)（4,-3）,

343

所以sinq二一一，cosq二一，tanq二一一；

554

（2）

.嚼J_.rn,.7t1V3_.,V3./\_773-24

sin;1&（7+—=sm2qcos—+cos29qsiny-—sm2q+-cos2q-sinqcosq+-^-11-2sm2q）———

17.（1）證明見(jiàn)解析

%

【分析】（1）設(shè)/C和助交于點(diǎn)。，則。為5。的中點(diǎn)，證得PO//3A，結(jié)合線面平行的

判定定理，即可求解；

（2）由（1）知，POHBDX,得到異面直線與N尸所成的角就等于尸。與N尸所成的角，

在直角△4PO中，即可求解.

【詳解】（1）由題意得O為8。的中點(diǎn)，

連結(jié)P。，又因?yàn)槭恰?的中點(diǎn)，故尸O//5R,

又因?yàn)镻Ou平面PNC,BAo平面P4C,

所以直線8Z）"/平面尸/C.

（2）由（1）知，PO//BDt,

所以異面直線與/尸所成的角就等于PO與/尸所成的角，

故乙4尸。即為所求；因?yàn)镹3=/D=1,N4=2,尸為。。的中點(diǎn)，貝1」尸。=1,

則易知尸/=PC=Ji,NO=也，因?yàn)?。為NC中點(diǎn)，則尸O_L/。，

22

也

在直角△/尸。中,可得sin/Z尸。=W2=,=L

AP^22

又因?yàn)樗?

I26

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

6

(2)I'

【解析】（1）由拋物線，=2加（0>0）上一點(diǎn)火（根，2）到它的準(zhǔn)線的距離為3構(gòu)建方程，求

得P，則可得準(zhǔn)線方程y=-5；

x

（2）設(shè)點(diǎn)4（%,%）,_8（芍,%）,。（三,為），i>0,x2<0,x3>0,由面積公式可知

CN

?=-6萬(wàn)，由點(diǎn)G為。的重心，且在〉軸上，可以表示

\|AB\|SA.CoBCCznC

1\AM\_￡司切

CN\AM\己7,即可表示

,由相似三角形可知||二?

xx-x2忸。

江」一再+-），令"U，整理得早=M+環(huán)鼠），由

S]3x1-x2再+2%

....2S1+邑

3MMi<2忸M,得-：<〃<0,將〃=（〃-1）（〃+2）視為二次函數(shù)求得值域,進(jìn)而求得美」的

3di

范圍，取倒即可得答案.

【詳解】（1）有題意知，2+j=3,p=2,所以準(zhǔn)線方程：v=-1=-l

(2)設(shè)點(diǎn)/(網(wǎng),必),2(%,%)1(%3，%),%I>0,x2<0,x3>0

S.G以閭S,

△CNGCN

~BC

點(diǎn)G為A48c的重心，且在y軸上,

1\AM\1

所以S^BG=S&C5G=§§\ABC，且再+工2+%3=。，則邑=丁77不$1，83=7，且由相似

JJ3

三角形可知罌=』一CN

，

\A.B\xx-x2BC

所以

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

S2+S31\AM\!\CN)=1()?%十%

53(\AB\\IBnCz-?，3I

3x1-x2演+2%2

令汽S+S

23=1(JL_+"I)=L(2+J____

S]3u—1〃+23u—1〃+2

—(2H-----------------)

3(K-DQ+2)

29

因?yàn)?MA/J<2忸A(yù)/J,所以3%<—2%,故—§<〃<0,(〃—1)(〃+2)=〃之+〃—2￡———2則

S2+S3/I2

Hl659.

【點(diǎn)睛】本題考查在拋物線的背景下探究平面圖形面積比的范圍問(wèn)題，涉及求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程，還考查了三角形重心的性質(zhì)，屬于難題.

19.⑴/⑺的減區(qū)間為[(),野，增區(qū)間為g+j

(2)(i)見(jiàn)解析；(ii)見(jiàn)解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)(i)由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立,

(ii)k-m=-<\,則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為4+/3-2--------與——-一結(jié)

再em36ml[+%)

合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為In加+—4一1二-------,利用導(dǎo)數(shù)可證該不

72(m+l)

等式成立.

【詳解】⑴&)=-塌+9步，

當(dāng)o<x<],r(x)<o;當(dāng)x>],r(x)>o,

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

故行)的減區(qū)間為(0，￡|,小)的增區(qū)間為[]

,+℃.

2

(2)(i)因?yàn)檫^(guò)(。,6)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(尤,,/?)),:123,

故/'(占)一6=7'(為)(%-。)，

故方程/@)-6=廠3口-0)有3個(gè)不同的根,

該方程可整理為一---Inx+b=0,

2x

貝皿(*-合+[-：+口

x-e)(x-a),

當(dāng)0<x<e或x>a時(shí)，g,(x)<0；當(dāng)e<x<a時(shí)，g,(x)>0,

故g(x)在(0,e),(a,+oo)上為減函數(shù)，在(e,a)上為增函數(shù)，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),故g(e)<0且g(a)>0,

故[一熱](I)胃T“+…且卜士。，

ap

整理得到：6<幺+1且b>E+lna=/(“)，

2e2a

此時(shí)人/⑷-;匕-1]<?3Ina〉》>1政，

設(shè)〃(a)=,則/(a)=<0,

3e

故〃(a)為(e,+oo)上的減函數(shù)，^w(6z)<----lne=0,

(ii)當(dāng)0<“<e時(shí)，同(i)中討論可得：

故g(x)在(0,。),(e,+8)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)再<X2<X3,貝U0<再<Q<%2<e<工3，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故g(Q)<0且g(e)〉o,

\na+b<0,

答案第14頁(yè)，共16頁(yè)

整理得到：—+\<b<—+\na,

2e2e

因?yàn)轫?xiàng)</<%3，故°<芭<。/<?<￡，

a+eea.

又g(x)=l------1-----Inx+/77,

x2x

設(shè)/=±,-=me(0,l),則方程l一匕+同一lnx+6=0即為:

2

Xe'"x2x

a+e

----1+—Z2+lnZ+ft=0BP^j-(m+l)Z+—^2+lnZ+/)=0,

e2ev72

eee

t己4二——，22=——3=——

玉超工3

則。出名為-（加+1），+竺〃+[n/+b=o有三個(gè)不同的根,

2

tx_x3>￡>1,a1

設(shè)左二m=—<\,

23七ae

2e-a112e-ae-a2ee-a

要證:-+—2<一+一高,即證2+----<%