河北省石家莊市某中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

河北省石家莊市第一中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x||x|<3},8={xeN|/<11},則()

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{152}

2.若i(l+z)=l,則z=()

A.1+iB.1-iC.-1-iD.-i

3.已知平面向量萬萬滿足同=網(wǎng)斗印花與3的夾角為30。,則實數(shù)2的值為

()

A.-2B.2

4計算的值是()

sina+cosa

V2V2

A.OB.-V2-----nD.

2--------------------------------?

5.某數(shù)學課外興趣小組對一圓錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將該圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此

平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了

3周，如圖，若該興趣小組已測得圓錐的底面半徑為5,則該圓錐的體積為()

C.250岳D.250Gl

6.當xi[0,2加時，曲線》=sinx與y=2sin13x-今J的交點個數(shù)為(

)

A.3B.4C.6D.8

7.設(shè)。=1.69,6=1.31.9,c=l+log1024128,則()

A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

8.函數(shù)/(尤),g(x)的定義域均為R,且〃x)+g(4-x)=4g(x)-/(x-8)=8,g(x)關(guān)于x=4

試卷第1頁，共4頁

18

對稱，g(4)=8,則￡八2")的值為()

m=\

A.-24B.-32C.-34D.-40

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=e*-x,g(x)=x?-x,令〃(x)=/(g(尤)),v(x)=g(/(x)),則()

A."(無)與g(x)的單調(diào)區(qū)間相同B.v(x)與/(X)的單調(diào)區(qū)間相同

C.〃(無)與/(X)有相同的最小值D.v(x)與g(x)有相同的最小值

10.某校體育活動社團對全校學生體能情況進行檢測，以鼓勵學生積極參加體育鍛煉.學生

的體能檢測結(jié)果X服從正態(tài)分布N(75,81),其中檢測結(jié)果在60以上為體能達標，90以上為

體能優(yōu)秀，則()

附：隨機變量J服從正態(tài)分布貝!(〃-b<J<〃+b)=0.6826,

P(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9544,尸(〃-3cr<J<〃+3cr)=0.9974.

A.該校學生的體能檢測結(jié)果的期望為75

B.該校學生的體能檢測結(jié)果的標準差為81

C.該校學生的體能達標率超過0.98

D.該校學生的體能不達標的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

11.在平面直角坐標系xOy中，動點尸(X/)到兩個定點片(T,o),8(1,0)的距離之積等于

1，記點尸的軌跡為曲線E,則()

A.曲線E關(guān)于原點對稱B.曲線E與尤軸恰有3個公共點

C.鳥的周長最小值為4D.△尸片外的面積最大值為1

三、填空題

22

12.如圖，已知斜率為-2的直線與雙曲線1-%=l(a>0,6>0)的右支交于/,2兩點,

點/關(guān)于坐標原點。對稱的點為C,且ZABC=45。，則該雙曲線的離心率為.

試卷第2頁，共4頁

13.用3種不同的顏色給M、N兩個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則兩個區(qū)域顏

色相同的概率是.

14.如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為EFG/Z,已知

=為了將容器中的水倒出，以BC為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒

出，當水剛好能從容器中倒出時，水面距離桌面的高度為.

四、解答題

15.已知正項數(shù)列｛與｝是等差數(shù)列，前”項和為S,,,滿足￡=63,且％+1,%,4成等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項公式;

(2)求數(shù)列的前〃項和&

16.記V4BC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。也已知力+/-1=-仍，bsinC=2gsinB.

(1)求C及c；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使V/2C存在且唯一，

求VABC的面積.

條件①：6=4；

條件②：6sinC=G；

試卷第3頁，共4頁

條件③：cos5=——.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作

答，按第一個解答計分.

17.己知四棱錐Z-BCE/中，BF//CE,CE，平面48C,點”為NE三等分點(靠近A點),

AB=BC=CE=3,BF=1,AC=3也.

(1)求證：■//平面48C；

⑵求二面角旗-Z的余弦值.

18.已知函數(shù)/(X)=lnx+/爐一2s3€及).

⑴若加='，求”X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點再，/(再＜%)且/(xj2a%恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

22

以已知橢圓出小卜1,可上分別是橢圓的左、右焦點，尸是橢圓上的動點，直線3

交橢圓于另一點A,直線尸鳥交橢圓于另一點3.

(1)求△取區(qū)面積的最大值;

(2)求Jg與APAB面積之比的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《河北省石家莊市第一中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案BCBCBCCCACAD

題號11

答案AB

1.B

【分析】解不等式求出集合45,再求交集即可.

【詳解】因為/={x||x|<3}={x|-3<x<3},B={xeN|x2<11}={0,1,2,3},

所以znB={o,i,2}.

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)復數(shù)運算求解即可.

【詳解】i(l+z)=l則l+2=L-i,貝112=一1一i.

1

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)向量垂直時數(shù)量積等于0,結(jié)合數(shù)量積運算律以及數(shù)量積的定義，展開計算，

即得答案.

【詳解】因為(4-可，萬，所以(4-到/=0,

BPAa-b-a2=0,故/lx昂lx三一3=0,；.X=2，

故選：B

4.C

【分析】利用兩角差余弦公式化簡即可.

(71|兀兀

【詳解】c°s(丁aj—COS/Cosa+sin/na

sina+cosasina+cosa

V2...

=5-(sina+cosa)也

sina+coser2

故選：C.

5.B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,則圓錐繞頂點s滾動所形成的圓的半徑為/,周長為2元/,由

答案第1頁，共13頁

周長公式求出:15,即可求出圓錐的高，再由圓錐的體積公式即可得出答案.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,則圓錐繞頂點S滾動所形成的圓的半徑為/,周長為2無/,

又圓錐底面半徑為5,則底面周長為2兀x5=10*

故2兀/=3xlO兀，解得/=15,

所以圓錐的高為〃=J152-52=10a，

所以圓錐的體積為/=&兀*52、10收=空叵，

33

故選：B.

6.C

【分析】畫出兩函數(shù)在［0,2可上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù)了=$也%的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin(3x-的最小正周期為T=1，

所以在xe［0,2兀］上函數(shù)了=2由?3》-2有三個周期的圖象，

在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

7.C

【分析】由函數(shù)單調(diào)性，對數(shù)運算及中間值比較大小.

【詳解】因為y=1.3工單調(diào)遞增,故6=1.3"<1了=1.69=。,

787

Xc=1+log2,02=1+—=1.7>a,所以c>a>6.

故選：C

8.C

【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對稱性、周期性進行計算求解.

答案第2頁，共13頁

【詳解】因為/(x)+g(4-x)=4①，g(x)-/(x-8)=8②，

對于②式有：g(x+8)-/(x)=8③，由①+③有：g(x+8)+g(4-x)=12,

即g(x)+g(12-x)=12④，又g(x)關(guān)于x=4對稱，所以g(x)=g(8-x)⑤，

由④⑤有：g(8-x)+g(12-x)=12,即g(8+x)+g(12+x)=12,g(x+4)+g(x+8)=12,

兩式相減得：g(x+12)-g(x+4)=0,即g(x+12)=g(x+4),即g(x+8)=g(x),

因為函數(shù)g(M的定義域為R,所以g(x)的周期為8,又g(4)=8,

所以g(4)=g(12)=g(20)=…=8,由④式g(x)+g(12-x)=12有：g(6)=6,

所以g(6)=g(14)=g(22)=…=6,

由g(4)=8,g(x)+g(12-x)=12有：g⑻=4,

所以g(8)=g(16)=g(24)h-=4,

由⑤式g(x)=g(8-x)有：g(2)=g⑹=6,又g(x+8)=g(x),所以g(10)=g(2)=6,

由②式g(x)-〃x-8)=8有：/(x)=g(x+8)-8,

18

所以2/(2"。=/(2)+/(4)+…+/06)=g(O)+g(2>…+g例>8x18

m=\

=(6+8+6+4)x4+6+8-8x18=74,故A,B,D錯誤.

故選：C.

9.AC

【分析】對于A,利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；對于B,利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解判

斷；對于C,由1(x)min=40)=l,利用換元法求得“(x)的最小值判斷；對于D,由

g(x)mm=gg]=一一且〃X*n=/(0)=1,再利用復合函數(shù)的最值判斷.

【詳解】對于A,易知g(x)在]-巴￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

〃(x)=r(g(x)).g(x)=口--1)(2x-i),

當時，X2-x<Q,e'2T-l<0，2x-l>0,所以〃'(x)<0,即"(x)在gj上單調(diào)

遞減，而g(M在仁j上單調(diào)遞增，故A錯誤.

對于B,/'(x)=e、-l,當x<0時，r(x)<0,當x>0時，/'(x)>0,

答案第3頁，共13頁

所以/'(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)1nln=/(O)=l.

而V'(x)=g'(〃x)).f(x)=［2〃x)-l”(x),因為〃尤)21,所以2〃x)T>0,

所以v'(x)與/'(x)的正負相同,故v(x)與/("的單調(diào)區(qū)間相同，故B正確.

對于C,由選項B知：/(于==〃0)=1,

令仁8口)=尤2一彳=1-：］-；2-：，則函數(shù)>=f(。在，=0處取得最小值，

所以〃(無)與/(x)有相同的最小值，故C正確.

對于D,易知g(x)mM=g］：)=-：,

因為7(x)3=/(0)=1,而g(x)在&,+<?］上單調(diào)遞增，

從而=g(/⑼)=g6=。，故D錯誤.

故選：AC

10.AD

【分析】求出〃、。的值，可判斷AB選項；利用3b原則可判斷C選項；利用正態(tài)密度曲

線的對稱性可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，該校學生的體能檢測結(jié)果的期望為〃=75,A對；

對于B選項，該校學生的體能檢測結(jié)果的標準差為<7=扃=9,B錯；

對于C選項，?.?〃-2。=75-18=57<60,

所以，尸(X>6O)<P(X>〃-2cr)=1+(〃-2cr<〃+2CT)=0.9772,C錯；

對于D選項，?.?60+90=2〃，所以，尸(XV60)=尸(X>90),

所以，該校學生的體能不達標的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等，D對.

故選：AD.

11.AB

【分析】根據(jù)題意，求得點P的軌跡方程為((X+1)2+/X(XT)2+/)=1,結(jié)合選項，逐項

判定，即可求解.

【詳解】對于A中,由|PZ訃歸為1=1,所以((X+1P+力

答案第4頁，共13頁

用(-尤,-田替換(尤))，方程仍然成立，所以A正確.

對于B中，由方程((X+1)2+/)((XT)2+/)=1,令y=0,可得(一一)=1,

解得工=0或X=土收，所以B正確.

對于C中,因為歸耳|歸周句,所以附|+附|=閥|+西22｛陷卜西=2,

當且僅當|尸=|尸月|=1時等號成立，此時點尸恰為坐標原點，

所以△9片的周長最小值大于4,所以C錯誤.

對于D中，由題意得，，片月的面積為S=J尸片卜|尸/訃siK；,所以D錯誤.

故選：AB.

22

12.±X[(11.8?12/+(11,7?12)+???+(11.9?12)]/|^

A27

【分析】取N3的中點連接。河，求得直線。河的斜率，再利用點差法求得與=4,進

a-223o

而求得該雙曲線的離心率

【詳解】如圖，設(shè)直線48與x軸交于點。，取A8的中點M,連接/C,0M,

由雙曲線的對稱性可知。為線段/C的中點，則。M〃8C,

所以ZOMD=45。.由直線AB的斜率心=一2,得tanZODM=-2,

tan/ODM+tan45°

則直線OM的斜率自町=tan(/ODM+/OMD)=

1-tan/OZWan45。一1-(-2)x1-3,

五一五=1

/b2

設(shè)4(%,必),B(x2,y2),則，

兩式相減，得上

答案第5頁，共13頁

即無。財.左”=|r=一；x(-2)=g,

所以該雙曲線的離心率6=，71^=卮一半.

故答案為：姮

3

⑶i

【分析】三種不同的顏色分別用。、6“表示，列出所有基本事件，確定事件M、N兩個區(qū)域

顏色相同所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求其概率.

【詳解】三種不同的顏色分別用。、4c表示，則給M、N兩個區(qū)域涂色包含的基本事件有：

(a,a),(?,Z>),(a,c),(b,a),(6,@(64(c,@(c,$(c,，,共9個基本事件，

事件M、N兩個區(qū)域顏色相同包含的基本事件有：

(a,a),(b,b),(c,c),共3個基本事件，

31

所以事件M、N兩個區(qū)域顏色相同的概率P=]=不

故答案為：

14.更

5

【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合棱柱的體積公式及未盛水的部分體積不變列方程，求解

可得答案.

【詳解】如圖，平面&W2與水面的夾角為

則平面48cq與水平桌面的夾角為D4Mq.

由題意可得三棱柱/百M-2GN的體積為4x4x1=16,

所以;4M?4%4A=16,解得4M=2,

所以=旭=

11MB,5

水面距離桌面的高度為=更

1115

故答案為：座

5

答案第6頁，共13頁

A

a

M,

&一方'、、、

15.(l)a?=3n

eIn

⑵小戲

【分析】（1）通過等比數(shù)列中項公式和等差數(shù)列性質(zhì)求得通項即可;

（2）利用等差數(shù)列的前〃項和公式以及裂項相消法求解即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,d〉0,

由E=63,1Moi+1,%,生成等比數(shù)列，

\_77

6囚+154=631l=3、％=彳

有](%+d=(%+1)(%+2"解得"a=3或(舍去,，

[--2

有an=3+3(〃-1)=3〃,

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為%=3小

,八,嗔士.〃(3〃+3)+

(2)由%=3〃，有-----L=———」

22

右1二2二2(11)

Sn3〃(〃+1)3〃+1J'

可得7T1二々12n

i+rr+-+

n+13>秒n+13〃+3

16.（1）C=,c=2A/3

⑵百

【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長即可.

（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時利用余弦定理結(jié)合給定條件求解

面積即可.

答案第7頁，共13頁

2r2_2[

【詳解】(1)由力+及一-二―1和余弦定理可得cosC="°—°=-±.

2ab2

2兀

因為C為V/3C的內(nèi)角，所以Ce(0,7T),故。=胃，

由bsinC=2百sinB變形得上=交，由正弦定理得c=2g.

sinBsmC

(2)選擇條件①：b=4,

4_273

由正弦定理得sinBe，解得sinB=l,

T

TT

因為B為V4BC的內(nèi)角，所以3e(0,?t),故3=萬，

2兀

與c=三相互矛盾，故不存在這樣的三角形，

所以我們不選擇條件①,

選擇條件②：bsinC=V3,

因為6sinC=6,C=--,所以

32

2

解得6=2,由余弦定理得-1"4+/7,-17

22x4x2

化簡得。2+2。一8=0,解得。=2或〃=-4(舍)，

所以S》5c=；MsinC=g-

選擇條件③：3sB=叵,

2

A1

因為cos8=—,所以sinB=u.

22

因為6sinC=2gsin8,所以6=2,

由余弦定理得"=”一+12。,化簡得/一60+8=0.

22ax2V3

解得a=2或a=4,當。=4時，V/3C是直角三角形，與題干不符，故排除,

所以&.=；a6sinC=囪.

17.(1)證明見解析；

【分析】(1)取NC三等分點N,由等比例性質(zhì)可得MN//EC且兒W=l,根據(jù)已知條件有

MNIIBF宣MN=BF,再由平行四邊形性質(zhì)有FM//BN,最后由線面平行的判定即可證

答案第8頁，共13頁

結(jié)論.

(2)法一B由題設(shè)易得8尸，平面43C,則乙13N為所求二面角M-的平面角，進

而由已知條件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：構(gòu)建空間直角坐標系求面月、

面切幅V的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示求二面角余弦值.

【詳解】(1)取/C三等分點N,貝!j/N=g/C=6,^.AM=~AE,故MNHEC豆

MN=-CE=1,

3

又BFI/CE,BF=1,於MNI/BF豆MN=BF,

所以四邊形3NMF為平行四邊形，即FM//3N,

又Wz平面48C,BNu平面/3C,故FMV/平面/3C.

(2)法一：由平面ARW即平面"W,aBFI/CE,CE_L平面48C,

所以，平面ABC,則ZABN為所求二面角仍的平面角，

/?

在等腰△/BC中cosN8/C=迫，0<ZB^C<180°,則ZB/N=ZB/C=30°,

2

又AN=C,AB=3,由BN°=AN°+AB?-2AN-AB心§3。。=3，即5N=百，

所以，同/B/C求法可得N/3N=30。，故所求二面角M-網(wǎng)-Z的余弦值為

2

法二：以/C的中點。為坐標原點，以08為X軸O/為y軸建系如圖所示，

答案第9頁，共13頁

A/

則《，，

o,|6,o],g[mo,o]N0,,0,M,

222

77

所以羽=弓,彳后。],,、一（361

BF=（0,0,1）,NB=—,--—,0,

G2J

一mi

設(shè)平面尸的法向量為4=（XQ”ZJ,平面BFAW的法向量為%=卜2，%/2）,

一~7p_3_

二差二＞一三%若％=1，可得心（鳥⑼,

則

%?BF=Z]=0

,—>>

n2-BF=z2=0

—.—?3A/S，若％=1,可得及2=（1,

n2-NB=-x2-—y2=0

,、n,?n72A/3G

所以c°s四％萬郎同=一=一

2x2一下,

3-、3+y/s,+@上單調(diào)遞增，在（三叵,士手）上單調(diào)遞減

18.⑴在（0,2），（

2

/3

⑵5汽一萬

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導，然后通導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

（2）由函數(shù)有兩個極值點可得方程2加工+1=0的有兩個不等正根，則有

A=4（m2-1）>0

xt+x2=2/M>0,求得當=,，0<^1<1<x2,將問題轉(zhuǎn)化為可化為a4X[InX]-%對

再2

=1>0

答案第10頁，共13頁

玉e（O,l）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-；x3-x,xe（0,l）,利用導數(shù)求其最小值即可

【詳解】（1）t（x）的定義域為（0,+s）,

由〃？=：,求導得了'（無）=工+工-3='~3"+1,

2xx

令/'（x）=。，得%2一3%+1=0,解得再=3,,%=”,

所以當0＜X＜石或X＞%2時，/'W＞0,當再＜%＜12時，/'（X）＜0,

故/⑴在（0,土盧,（言烏+8）上單調(diào)遞增，在（二1，=5）上單調(diào)遞減；

（2）“X）的定義域為（0,+功，求導得「卜）」+X_如二22m+1,

XX

/（X）有兩個極值點玉"2（玉＜起）時，等價于方程/-2〃次+1=0的有兩個不等正根,

A=4（m2-1）>0

x+x=2m>0,所以x2=,，0<Xj<1<x,

所以x22

xxx2=1>0

此時不等式/（占）-辦2恒成立，等價于山王+；占2-2（西+工）王^。\對玉€（0,1）恒成立,

可化為aWxjn再_；xj_/對再￡（0,1）恒成立,

13

令g（x）=x]nx--x3-x,xe（0,1）,貝Ug'（x）=Inx-mx?,

令“Lnx-#,得l（x）=：-3x=0,得X\=R或％=-*（舍去），

所以當xe|0,\-時，”（x）＞0,當時，〃（x）＜0,

^A（x）</zf—^=ln—--xf=In—U0

v7332332

所以g，（x）＜0在（0,1）恒成立，所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以g（x）＞g（l）=_j,所以?！匆蝗f.

3'

故實數(shù)。的取值范圍是]

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利

用導數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是由/（X）有兩個極值點網(wǎng),9（王＜%）時，等價

答案第11頁，共13頁

于方程-2加x+l=0的有兩個不等正根，從而可求得%2=—，0<Xj<1<x,所以將

x\2

/（國）2"2恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為。（巧1口玉-；西3一毛對西￡（0,1）恒成立，然后通過構(gòu)造函

數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題

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