新課改瘦專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第二節(jié)圓與方程第1課時(shí)系統(tǒng)知識(shí)-圓的方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系講義含解析

PAGEPAGE6其次節(jié)圓與方程第1課時(shí)系統(tǒng)學(xué)問——圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種狀況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點(diǎn)在圓內(nèi)[提示]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，肯定要先推斷D2＋E2－4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．[謹(jǐn)記常用結(jié)論]eq\a\vs4\al(,若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：,1當(dāng)F＝0時(shí)，圓過原點(diǎn).,2當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上.,3當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn).,4當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切.,)eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P124A組T4])圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(－1，1)和B(1,3)，則圓C的方程為____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.eq\a\vs4\al([教材改編題])經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點(diǎn)的圓的方程為________________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝13.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24.eq\a\vs4\al([易錯(cuò)題])已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，肯定點(diǎn)為A(1,2)，要使過定點(diǎn)A的圓的切線有兩條，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))5．若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－eq\r(2)，eq\r(2))6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________________．答案：x2＋y2－2x＝0直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點(diǎn)d＞rd＝rd＜r2．圓的切線(1)過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.(3)切線長(zhǎng)①?gòu)膱Ax2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq\f(2ar,d).[提示]過一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．3．圓的弦問題直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.[謹(jǐn)記常用結(jié)論]過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([教材改編題])若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.eq\a\vs4\al([教材改編題])直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．隨a的改變而改變解析：選B∵直線y＝ax＋1恒過定點(diǎn)(0,1)，又點(diǎn)(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交．3.eq\a\vs4\al([教材改編題])已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________．解析：由題意知點(diǎn)M在圓外，則a2＋b2＞1，圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直線與圓相交．答案：相交4.eq\a\vs4\al([易錯(cuò)題])過點(diǎn)(2,3)且與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線的方程為________________．解析：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為y＝k(x－2)＋3，由圓心(1,0)到切線的距離為1，得k＝eq\f(4,3)，所以切線方程為4x－3y＋1＝0；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易知直線x＝2是圓的切線，所以所求的直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)為圓心，且與直線x－y＋3＝0相切的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提示]涉及兩圓相切時(shí)，沒特殊說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種狀況進(jìn)行探討．[謹(jǐn)記常用結(jié)論]圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)：1將兩圓方程干脆作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示過兩圓交點(diǎn)的圓系方程不包括C2.eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P133A組T9])圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長(zhǎng)為________．答案：2eq\r(2)2.eq\a\vs4\al([教材改編題])若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實(shí)數(shù)a＝________.答案：±2eq\r(5)或03.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓x2＋y2＝r2與圓(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，則半徑r＝________.解析：由題意，得2r＝eq\r(32＋－12)，所以r＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)4.eq\a\vs4\al([易錯(cuò)題])若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：[1,121]5．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：選C圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故選C.6