2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系學(xué)案理含解析新人教A版

PAGEPAGE5第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系2024考綱考題考情1．空間向量及其有關(guān)概念(1)空間向量的有關(guān)概念①空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量。②相等向量：方向相同且模相等的向量。③共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量。④共面對(duì)量：平行于同一個(gè)平面的向量。(2)空間向量中的有關(guān)定理①共線向量定理：對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一一個(gè)λ∈R，使a＝λb。②共面對(duì)量定理：若兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb。③空間向量基本定理：假如三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc。2．兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。3．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.向量法證明平行與垂直(1)兩個(gè)重要向量①直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有多數(shù)個(gè)。②平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量。明顯一個(gè)平面的法向量有多數(shù)個(gè)，它們是共線向量。(2)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n、mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝01．向量三點(diǎn)共線定理在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)。2．向量四點(diǎn)共面定理在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中隨意一點(diǎn)。一、走進(jìn)教材1．(選修2－1P97A組T2改編)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c。故選C。答案C2.(選修2－1P111練習(xí)T3改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________。解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0,1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,0,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。答案垂直二、走出誤區(qū)微提示：①忽視向量共線與共面的區(qū)分；②運(yùn)用數(shù)量積公式出錯(cuò)。3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．垂直 B．平行C．異面 D．相交但不垂直解析由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又AB與CD沒(méi)有公共點(diǎn)，所以AB∥CD。答案B4．O為空間中隨意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝________。解析因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋t＝1，所以t＝eq\f(1,8)。答案eq\f(1,8)5．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______。解析|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以EF的長(zhǎng)為eq\r(2)。答案eq\r(2)考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))。解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b。(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c。(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c。進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1．結(jié)合圖形，明確圖形中各線段的幾何關(guān)系。2．正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義。3．平面對(duì)量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍舊成立?！咀兪接?xùn)練】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)。(1)化簡(jiǎn)：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________。(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________。解析(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))。(2)因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。答案(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))考點(diǎn)二共線、共面對(duì)量定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)。(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解(1)因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面對(duì)量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面。(2)當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)M、A重合，點(diǎn)N、B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1。三點(diǎn)P，A，B共線空間四點(diǎn)M，P，A，B共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【變式訓(xùn)練】如圖在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別是A1D1，D1D，D1C1的中點(diǎn)。(1)試用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(AG,\s\up6(→))；(2)用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C。解設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，(1)由圖得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝c＋b＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b＋c＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。(2)證明：由題圖得：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(EG,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))無(wú)公共點(diǎn)。所以EG∥AC，又因?yàn)锳C?平面AB1C，EG?平面AB1C，所以EG∥平面AB1C。又因?yàn)閑q\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(FG,\s\up6(→))與eq\o(AB1,\s\up6(→))無(wú)公共點(diǎn)，所以FG∥AB1，又因?yàn)锳B1?平面AB1C，F(xiàn)G?平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，又因?yàn)镕G∩EG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C?？键c(diǎn)三利用空間向量證明平行或垂直【例3】如圖所示，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACD＝90°。(1)求證：AB⊥平面EDC；(2)若P為FG上任一點(diǎn)，證明：EP∥平面BCD。證明(1)設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，則〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，所以a·b＝b·c＝0。依據(jù)向量的線性運(yùn)算，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝c－a。由E是AB的中點(diǎn)，得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(c－a)·eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(1,2)(c2－a2)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(c－a)·b＝c·b－a·b＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，即AB⊥CE，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AB⊥CD。又CE∩CD＝C，所以AB⊥平面EDC。(2)連接EF，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，所以GE∥CB，GE＝eq\f(1,2)CB，GF∥CD，GF＝eq\f(1,2)CD，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b。由P為FG上任一點(diǎn)，設(shè)eq\o(GP,\s\up6(→))＝λeq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(GP,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb－eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)λeq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))。又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(EP,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))共面。因?yàn)镋P?平面BCD，所以EP∥平面BCD。1．選取空間不共面的三個(gè)向量為基底，用基底表示已知條件和所需解決問(wèn)題的過(guò)程就是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的過(guò)程。2．通過(guò)計(jì)算向量的數(shù)量積為0，可證明垂直問(wèn)題。3．要證線面平行，證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示。【變式訓(xùn)練】在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2。(1)求證：EF∥平面ABCD。(2)求證：平面PAD⊥平面PDC。證明(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)。點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))。eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，即EF∥BD。又BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD。(2)由(1)可知eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0,0)，因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC。又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD。因?yàn)镈C?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))(協(xié)作例3運(yùn)用)如圖①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖②所示。(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大?。?3)線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由。解(1)因?yàn)锳C⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1