第8屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類預(yù)賽試卷及答案

省市學(xué)校準(zhǔn)考證省市學(xué)校準(zhǔn)考證號絕密?啟用前(14金融工程-白兔兔)一二三四五六注意：1:所有答題都須寫在試卷密封線右邊,寫在其他紙上一律無效:2:密封線左邊請勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記:3:如答題空白不夠,可寫在當(dāng)頁背面,并標(biāo)明題號:一(填空題,本題滿分30分,共5小題,每小題6分)若在點x=a可導(dǎo),且f0,則n解解3.設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)=2.記z=f,若=z,則當(dāng)x>0,f(x)=解由題設(shè)得exy=f,令u=exy2,得到當(dāng)u>0有f′,即,從而所以有l(wèi)nf(u)=lnu+C1,f(u)=Cu.再而由初始條件得f(u)=2u故當(dāng)x>0有f(x)=2x4.設(shè)f(x)=exsin2x,則f(4)(0)=解由Taylor展開式得所以f(x)展開式的4次項3×x+=?x4,從而,故f(4)(0)=245.曲面z=平行于平面2x+2y?z=0的切平面方程為解該曲面在點(x0,y0,z0)的切平面的法向量為(x0,2y0,?1)。又該切平面于已知平面平行，從而兩平面法向量平行，故從而x0=2,y0=1,得z0=從而所求切平面為2(x?2)+2(y?1)?(z?3)=0即2x+2y?z=3二(本題滿分14分)設(shè)f(x)在[0,1]可導(dǎo),f(0)=0,且當(dāng)x∈(0,1),0<f′(x)<1.試證當(dāng)a∈(0,1)f(x)dx)2>f3(x)dx.證明設(shè)F(x)=f(t)dt)2?f3(t)dt,則F(0)=0且要證明F′(x)>0設(shè)g(x)=2f(t)dt?f2(x),則F′(x)=f(x)g(x)由于f(0)=0,f′(x)>0,故f(x)>0,從而只要證明g(x)>0,x>0而g(0)=0,我們只要證明g′(x)>0,0<x<a而g′(x)=2f(x)[1?f′(x)]>0,得證省市省市學(xué)校準(zhǔn)考證號三(本題滿分14分)某物體所在的空間區(qū)域為?:x2+y2+2z2≤x+y+2z,密度函數(shù)為x2+y2+z2,求質(zhì)量解由于2≤1,是一個橢球其體積為作變換u=x—,v=y—,w=√將?變?yōu)閱挝磺颚?u2+v2+w2≤1,而故dudvdw=√dxdydz且因一次項積分都是0,故其中記由于u2,v2,w2在Σ上積分都是,故設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(0)=0,f(1)=1.證明:解n等分區(qū)間[0,1],分點為0=x0<x1<···<xn?1<xn=1.記,則xk=0+kh=kh,xk—xk?1=h,k=1,2,···,n.dxξk∈設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù),且I=.證明:在(0,1)內(nèi)存在不同的兩點x1,x2使得證明設(shè)dt則F=0,F由介值定理,存在ξ∈使得F省市學(xué)校準(zhǔn)考證省市學(xué)校準(zhǔn)考證號,x1∈設(shè)f(x)在(?∞,+∞)可導(dǎo),且f(x)=f(x+2)=f(x+√3)用Fourier級數(shù)理論證明f(x)為常數(shù)證明由f(x)=f(x+2)知f(x)為以2為周期的周期函數(shù)，其Fourier系數(shù)分別為：由f(x)=f(x+√3)知所以an=ancos√3nπ+bn