內(nèi)蒙古巴彥淖爾市重點中學(xué)2025屆高三第一次月考-數(shù)學(xué)試題試卷

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市重點中學(xué)2025屆高三第一次月考-數(shù)學(xué)試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件2．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．203．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學(xué)生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，4．若，則“”的一個充分不必要條件是A． B．C．且 D．或5．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．7．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．8．復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則等于（）A． B． C． D．9．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，設(shè)，則（）A． B． C． D．10．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓：的內(nèi)部隨機(jī)選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．11．如果實數(shù)滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列，，，…，是首項為8，公比為得等比數(shù)列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若,則=______,=______.14．若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是_____________.15．實數(shù)滿足，則的最大值為_____．16．已知函數(shù)，則________；滿足的的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.18．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項，第3項，第4項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和．19．（12分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）已知奇函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達(dá)點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．22．（10分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3．B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．4．C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C．5．A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.6．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.7．D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.8．A【解析】

先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷關(guān)系；由時，，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，由進(jìn)而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當(dāng)時，，則，令則，當(dāng)時，，則在時單調(diào)遞增，因為，所以，即，則在時單調(diào)遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.10．B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

解：當(dāng)直線過點時，最大，故選B12．A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．10【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運(yùn)算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.14．【解析】

由知x＞0，故.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.15．．【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線過點時直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.16．【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到，分和兩種情況討論可得；【詳解】解：因為，所以，∵，∴當(dāng)時，滿足題意，∴；當(dāng)時，由，解得.綜合可知：滿足的的取值范圍為.故答案為：；.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）直線的普通方程，圓的直角坐標(biāo)方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．（1），；（2）.【解析】

(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式；(2)求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:，所以，所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因為①當(dāng)時,②由①②得，，即，又當(dāng)時，不滿足上式，.數(shù)列的前2020項的和設(shè)③，則④，由③④得：，所以，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，錯位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.是中檔題.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由折疊過程知與平面垂直，得，再取中點，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；（2）由已知得為中點，以為原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點坐標(biāo)，用平面的法向量計算二面角的余弦．【詳解】（1）易知與平面垂直，∴，連接，取中點，連接，由得，，∴平面，平面，∴，又，∴平面，∴；（2）由，知是中點，令，則，由，，∴，解得，故．以為原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．又易知平面的一個法向量為，．∴二面角的余弦值為．【點睛】本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角．證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化．求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角．20．（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式，進(jìn)而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，故；當(dāng)時，，，則；故.（2）令，解得，畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示，要使曲線與直線有3個交點，則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立，化簡可得，令，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題.21．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結(jié)、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點，連結(jié)、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，，設(shè)面的法向量