2025年山東省淄博七中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（二）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年山東省淄博七中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若集合，集合，則A．， B． C．，2，3， D．，3，2．（5分）若復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位），則等于A． B． C． D．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且，則與的夾角為A． B． C． D．4．（5分）雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且在線段上，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．（5分）利民工廠的某產(chǎn)品，年產(chǎn)量在至之間，年生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量之間的關(guān)系近似地表示為，則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為A．160 B．180 C．200 D．2406．（5分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A．6 B．9 C．27 D．817．（5分）四棱錐中，，，，則三棱錐的體積為A．5 B．6 C．8 D．98．（5分）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根，，則的取值范圍為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列命題中，真命題的是A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù) B．已知隨機(jī)變量，若，則 C．已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則， D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120（多選）10．（6分）若函數(shù)有極值，則的可能取值為A．8 B．9 C．10 D．11（多選）11．（6分）已知直線及圓，則A．直線過(guò)定點(diǎn) B．直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值為2 C．存在，使得直線與圓相切 D．存在，使得圓關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則．13．（5分）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．（5分）如圖，直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，直線與的夾角為，直線與平面所成的角為交．若平面與平面所成角的大小為，且，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．如圖所示，在三棱柱中，△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，，在底面上的射影為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的正弦值．17．將某新開業(yè)的創(chuàng)意甜品店的開業(yè)天數(shù)與利潤(rùn)（單位：千元）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業(yè)兩個(gè)月，店家在開業(yè)剛好兩個(gè)月這天組織消費(fèi)者參加消費(fèi)返利抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：在抽獎(jiǎng)盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運(yùn)顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機(jī)會(huì)中參加游戲的消費(fèi)者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎(jiǎng)之后根據(jù)表3計(jì)算獎(jiǎng)金，消費(fèi)金額（單位：元）在，，，，，的消費(fèi)者分別有1，2，3輪次的抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．已知這天顧客的消費(fèi)情況以及每一輪次抽獎(jiǎng)后具體的獎(jiǎng)勵(lì)情況如下，求這天返利總金額的數(shù)學(xué)期望．表2消費(fèi)金額，，，，，，人數(shù)622253584表3“幸運(yùn)顧客”卡片數(shù)32其他情況獎(jiǎng)勵(lì)金額（單位：元）30200參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．18．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△的面積為，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程．（2）如圖，，，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是△的重心．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；求點(diǎn)到直線的距離的最大值．

2025年山東省淄博七中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DCDBCACA二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ABABABD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若集合，集合，則A．， B． C．，2，3， D．，3，【答案】【分析】先求出集合，，再利用集合的基本運(yùn)算求解．【解答】解：集合，集合，所以，3，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位），則等于A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果．【解答】解：由，得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，推得，再結(jié)合的取值范圍，即可求解．【解答】解：設(shè)與的夾角為，，，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，，解得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且在線段上，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，進(jìn)而由中位線定理得，在結(jié)合雙曲線的定義得，，，最后在中，結(jié)合勾股定理得，進(jìn)而得答案．【解答】解：如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，，所以，，所以，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，所以，所以，在中，，即，所以，離心率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題．5．（5分）利民工廠的某產(chǎn)品，年產(chǎn)量在至之間，年生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量之間的關(guān)系近似地表示為，則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為A．160 B．180 C．200 D．240【答案】【分析】利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．【解答】解：（1）依題意，每噸平均成本為（萬(wàn)元），則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查將實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足：正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對(duì)稱軸．6．（5分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A．6 B．9 C．27 D．81【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可求得答案．【解答】解：由題意可得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）四棱錐中，，，，則三棱錐的體積為A．5 B．6 C．8 D．9【答案】【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出點(diǎn)到平面的距離，然后利用向量求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求出△的面積，最后利用三棱錐的體積公式即可．【解答】解：設(shè)平面的法向量為，則，，則，則點(diǎn)到平面的距離為，又，，則點(diǎn)到直線的距離為，則，故三棱錐的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面法向量的定義及求法，用向量求點(diǎn)的平面距離的公式，三棱錐的體積公式，是中檔題．8．（5分）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根，，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【分析】先化簡(jiǎn)的解析式，作出的圖象，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解．【解答】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，當(dāng)時(shí)，方程在上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根，，且，所以的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列命題中，真命題的是A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù) B．已知隨機(jī)變量，若，則 C．已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則， D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120【答案】【分析】對(duì)于，利用中位數(shù)的概念即可判斷；對(duì)于，利用二項(xiàng)分布的方差公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解即可判斷；對(duì)選項(xiàng)，利用分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式計(jì)算即可判斷．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式（其中是試驗(yàn)次數(shù)，是每次試驗(yàn)成功的概率），可得．又因?yàn)?、為常?shù)），那么．已知，即，解得，選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，滿足，根據(jù)期望的性質(zhì)、為常數(shù)），可得．因?yàn)?，所以．再根?jù)方差的性質(zhì)、為常數(shù)），可得．因?yàn)?，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)男生樣本為，，，，平均數(shù)為，方差為；女生樣本為，，，，平均數(shù)為，方差為．總體樣本平均數(shù)．，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求解，屬于中檔題．（多選）10．（6分）若函數(shù)有極值，則的可能取值為A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可．【解答】解：函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，所以有零點(diǎn)，所以△，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，的可能取值為8，9．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的理解與應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知直線及圓，則A．直線過(guò)定點(diǎn) B．直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值為2 C．存在，使得直線與圓相切 D．存在，使得圓關(guān)于直線對(duì)稱【答案】【分析】利用直線系方程求解直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，判斷；求解直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值，判斷；利用圓的圓心到直線的距離等于半徑，求解，判斷；通過(guò)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，判斷即可．【解答】解：直線，可得，可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以正確；圓，圓的圓心，半徑為，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，所以直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值為：，所以正確；因?yàn)閳A的圓心到定點(diǎn)的距離為：（半徑），所以直線與圓的的位置關(guān)系是相交，不存在，使得直線與圓相切，所以不正確；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心時(shí)，存在，使得圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則．【答案】．【分析】先將代入題干表達(dá)式，兩邊同時(shí)乘以，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而計(jì)算出的值．【解答】解：由題意，當(dāng)時(shí)，，由，可得，兩邊同時(shí)乘以，可得，化簡(jiǎn)整理，得，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，并計(jì)算某項(xiàng)的值．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的判別，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．13．（5分）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】．【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式為：，1，2，3，4，，所以的展開式中的系數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）如圖，直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，直線與的夾角為，直線與平面所成的角為交．若平面與平面所成角的大小為，且，則的值為．【答案】．【分析】過(guò)點(diǎn)作，且交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且交于，在三角形中，可得，中可得，進(jìn)一步計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，且交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且交于，則直線與平面所成的角為，所以，不妨設(shè)，易得，則，又平面與平面所成角為，，則，則，中，，代入，可求得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法及直線與直線所成的角的求法，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解答過(guò)程；（2）．【分析】（1）先將遞推公式兩邊同時(shí)乘以，再兩邊同時(shí)加2，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而證得結(jié)論成立；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累乘法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【解答】（1）證明：依題意，由兩邊同時(shí)乘以，可得，即，兩邊同時(shí)加2，可得，，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．（2）解：由（1），可得，則，，又由，可得，則，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，，，，，①，②①②，可得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問(wèn)題．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，累乘法，錯(cuò)位相減法，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．16．如圖所示，在三棱柱中，△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，，在底面上的射影為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的正弦值．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）過(guò)作于，連，就是直線與平面所成的角，根據(jù)線面角定義求解即可．【解答】證明：（1）取中點(diǎn)，連，，則平面，，又，，平面，又，平面．解：（2），，，平面平面，平面平面，平面平面，過(guò)作于，平面，連，就是直線與平面所成的角，，，，，，故直線與平面所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，直線與平面所成的角，是中檔題．17．將某新開業(yè)的創(chuàng)意甜品店的開業(yè)天數(shù)與利潤(rùn)（單位：千元）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業(yè)兩個(gè)月，店家在開業(yè)剛好兩個(gè)月這天組織消費(fèi)者參加消費(fèi)返利抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：在抽獎(jiǎng)盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運(yùn)顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機(jī)會(huì)中參加游戲的消費(fèi)者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎(jiǎng)之后根據(jù)表3計(jì)算獎(jiǎng)金，消費(fèi)金額（單位：元）在，，，，，的消費(fèi)者分別有1，2，3輪次的抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．已知這天顧客的消費(fèi)情況以及每一輪次抽獎(jiǎng)后具體的獎(jiǎng)勵(lì)情況如下，求這天返利總金額的數(shù)學(xué)期望．表2消費(fèi)金額，，，，，，人數(shù)622253584表3“幸運(yùn)顧客”卡片數(shù)32其他情況獎(jiǎng)勵(lì)金額（單位：元）30200參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】（1）；（2）1413.12元．【分析】（1）先計(jì)算出樣本的平均值，再根據(jù)線性回歸方程的系數(shù)的計(jì)算公式求出回歸方程的系數(shù)；（2）先確定獎(jiǎng)勵(lì)金額的取值，再分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由此求出期望，再計(jì)算返利總金額的數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）由題意可得，則，，則，，故關(guān)于的線性回歸方程為；（2）設(shè)表示參加一輪次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金額，則的可能取值為0，20，30，因?yàn)槌槿∫粡埧ㄆ?，抽到“幸運(yùn)顧客”卡片的過(guò)兩年為，所以，，，所以元，則元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程以及數(shù)學(xué)期望的求解，考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求得，得到（1），根據(jù)題意列出方程，即可求解；（2）由（1）知，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與，即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，可得，所以（1