基本不等式及其應(yīng)用（11題型+限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項提升

熱點02基本不等式及其應(yīng)用

明考情.知方向——

三年考情分析2025考向預(yù)測

不等關(guān)系與不等式、分式不等式，絕對值不等式的解分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用

法、一元二次不等式及其應(yīng)用、基本不等式及其應(yīng)用

熱點題型解讀

殖1不初的性質(zhì)

題型7基杯等西寸國雌應(yīng)用

壁2分式襁式

題型8基本不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

醒3絕對值不等式

避9基本不等式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用暨上警

——及其應(yīng)用

壁4一元二次不會

[睡1?；静坏仁脚c導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用卜//\\

避5對數(shù)格式

談1曲哪融應(yīng)用

壁6基式用

題型1不等式的性質(zhì)

-4■■HI■■

1.比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

⑶作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

I

1.（2024?工漁）a,b,ceR,b>c,卡列示尊式恒成立而是j）

A.a+b2>a+c1B.a2+b>a2+cC.ab2>ac1D.a2b>a1c

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對于/,若則/<。2,選項不成立，故/錯誤；

對于8,a2=a2,b>c,

由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c,故B正確.

對于C、D,若a=0,則選項不成立，故C、D錯誤.

故選：B.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?上海楊浦?二模）已知實數(shù)b,c,1滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是（

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【詳解】對于ABD,取a=2,6=l,c=-2,d=-4,滿足。>6>0>c>",

顯然a+d=-2<-1=b+c,ad=-S<-2=be,ac=-4=bd,ABD錯誤；

對于C,a>b>0>c>d,貝!]a+c>b+d,C正確.

故選：C

3.（2024?上海閔行?三模）設(shè)a,b,。是不全相等的實數(shù)，隨機(jī)變量J取值為b,c的概率都是g,隨

機(jī)變量為取值為，———,“二的概率也都是；,則（）

2024202420243

A.￡?<￡[〃],。團(tuán)<。團(tuán)B.￡1?=￡[〃],D[<^]>D[f]]

C.E[^\<E\TJ],。團(tuán)=。團(tuán)D.￡團(tuán)=￡團(tuán)，。團(tuán)=以川

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、求離散型隨機(jī)變量的均值、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】首先求出￡團(tuán)，設(shè)/=；（a+b+c）,從而得到。團(tuán)，司〃]、。團(tuán)，再利用作差法判斷。團(tuán)與D團(tuán)

的大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】因為隨機(jī)變量4取值為。，b,c的概率都是g,

二百團(tuán)=g(a+6+c),設(shè)t=§(a+6+c),

則0[^=|[(?-/)2+(6-/)2+(c—)[

+i2+c2-2(tz+6+c)Z+3r2]=；[〃+b2+/-6/+3?]

a+2023bb+2023cc+2023a的概率都是;,

隨機(jī)變量〃取值為

202420242024

r-ilfa+2023b6+2023。C+2023Q

\3------1---------1------=§(Q+b+c),

202420242024

222

a+2023bI+Z)+2023c1+c+2023aj

。團(tuán)=;202420242024

222

]_a+2023b6+2023。c+2023a

I+I+—6%+3t2.

3202420242024

由Q,b,。是不全相等的實數(shù),

222

a+2023b1+b+2023clc+2023a

20242024+2024

)2

J2023a72023bV2023Z-72023cYj2023c-J2023a

、++>0,

202420242024

222

a+2023b6+2023。c+2023(2

>I+1+I，二。團(tuán)>。團(tuán);

202420242024

綜上，￡團(tuán)=土團(tuán),D[^]>D[n].

故選：B.

4.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實數(shù)。、b的四個不等式中，恒成立的是,（請?zhí)钊肴空_的

序號）

2

a+b

I>ab；(3)\a\-\b\<\a-b\-@a2+b2>2b-l.

2

【答案】②③④

【難度】0.65

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式證明不等關(guān)系

【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證Ml-W回即證2同2a6可判斷③.

【詳解】對于①，取。=-18=1,故①錯誤;

22

a+b〃+b?+2ab—4Q6tz2+Z)2-2aba-b

對于②,-abI>0,故②正確;

2442

對于③，當(dāng)時之同，要證|。|一他國。一切,即證（同-附24（|"6『

即|a|2+|Z?|2-2回網(wǎng)<a1+b2—lab,即證2時網(wǎng)>lab,

而2同回22成恒成立，

當(dāng)何<同時，同一回(0,|。一班0,所以回一|6國”勿，故③正確.

對于(D，—26+1=/+伍_1)>o,所以。2+6?226—1，故(J)正確.

故答案為：②③④.

題型2分式不等式

00混

分式不等式的解法：

基本思路：應(yīng)用同號相乘(除)得正，異號同號相乘(除)得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式。在此過程

中，變形的等價性尤為重要。

基本方法：①通過移項，將分式不等式右邊化為零；②左邊進(jìn)行通分，化為形如△^的形式;

g(x)

③同解變形：^>0^/(x)-g(x)>0；&<0o/(x>g(x)<0；

gWg(x)

/(X)〉n。.g(x)20/(X)0f/W-g(x)W0

g(x)一〔g(x)中0'g(x)—〔g(x)中0

L(2024?上海閔行?一模)不等式A2x—11<0的解集為_____

x-1

【答案】加

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式

【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得即可.

【詳解】不等式上1<0等價于(x-l)(2x-l)<0,解得:<X<1,

x-12

所以不等式生?<0的解集為1].

x-112)

故答案為：

2

2.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預(yù)測)不等式上二20的解集是______.

X—1

【答案】。,+⑹U{0}

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為Fa;);。，從而可解不等式.

[X—IwO

【詳解】因為上20,所以「(丁)j°，解得X>1或X=O,

x-l[x-l/O

所以不等式的解集是(I,+8)U{O}.

故答案為：(l,+?)U{0}

題型3絕對值不等式

00日W

常見絕對值不等式的解法與結(jié)論：

①幾個基本不等式的解集

(1)\x\<a(a>0)<^x12<a2<^-a<x<a；(2)\x\>a(a>0)^>x2>a2^x>a,^x<-a;

(3)\x-m|<a(a>0)^>-a<x-m<a<^m-a<x<a+m；(4)|x-冽|>Q(Q>0)=X-加>q,或x-加<-〃=%>加+a,或冽-a

②幾種主要的基本類型

(1)l/(x)A|g(x)|鈣/(x)>g2(x)(平方法)；(2)貝x)〉g(x)(g(x)>O)u?/a)>g(x),或/(x)<-g(x);

(3)|/(x)|<g(x)(g(x)>O)=-g(x)勺(x)<g(x);

(4)含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法脫去絕對值符號求解.

1.(2023?上海)不等式|x-2|<l的解集為.

【分析】原不等式可化為-1<尤-2<1,從而求出x的范圍.

【解答】解：由|x-2|<l可得，-I<x-2<1,

解得1<x<3,

即不等式的解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

【點評】本題主要考查了絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023?上海)不等式的解集為：.(結(jié)果用集合或區(qū)間表示)

【分析】運用|x|W。<=>-a(Wa,不等式即為-2<x-l<2,解出即可.

【解答】解：不等式|x-l&2即為-2令-&2,

即為-l4xW3，

則解集為[-1,3],

故答案為：[-1,3].

【點評】本題考查絕對值不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024?上海靜安?一模)不等式|2x-l|<3的解集為.

【答案】(7,2)

【難度】0.85

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、平方法解絕對值不等式

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即可.

【詳解】由不等式|2X-1|<3,得(21)妥-9<0,即(2x+2)(2x-4)<0,解得T<x<2,

所以原不等式的解集為(-1,2).

故答案為：(-1,2)

4.(2024?上海?三模)己知集合/=門上一1|<1},S=,則/口8=.

【答案】(1,2)

【難度】0.85

【知識點】幾何意義解絕對值不等式、分式不等式、交集的概念及運算

【分析】首先解絕對值不等式與分式不等式求出集合A、B,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由上一1|<1,BP-Kx-Kl,解得0<x<2,

所以/={尤以-1]<1}={x[0<x<2},

由一<1,即一<0,等價于(l-x)x<0,解得無>1或尤<0,

XX

所以8='：<11=(一汽0)3(1,+00),

所以4cB=(l,2).

故答案為：(1,2)

5.(2022?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x),甲變化：/(x)-/(x-0；乙變化：\f(x+t)-f{x}\,z>0.

⑴若f=l,/(x)=2\〃x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若〃x)=/,/'(X)經(jīng)乙變化得到〃(x),求不等式以x)V/(x)的解集；

⑶若“X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，將“X)先進(jìn)行甲變化得到a(x),再將〃(x)進(jìn)行乙變化得到％(x);將“X)

先進(jìn)行乙變化得到v(x),再將v(x)進(jìn)行甲變化得到為(尤)，若對任意”0,總存在4(x)=H(x)成立，求證:

〃尤)在R上單調(diào)遞增.

【答案】⑴x=2；

(2)(-8,(1-/用a(1+加兌+8)；

⑶證明見解析.

【難度】0.4

【知識點】解含參數(shù)的絕對值不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式、簡單的指數(shù)方程、定義法判斷或證

明函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)由題設(shè)可得g(x)=2^=2,求解即可.

(2)由題設(shè)有f|2x+f區(qū)討論》<一；、xN-：分別求解即可.

(3)將題設(shè)化為對于任意f>0存在|[/(x+0-/?]-[/(%)-/(XT)]|=|/(x+/)-/(x)|-|/(x)-/(x-/)|,

即可證結(jié)論.

【詳解】⑴由題設(shè)，甲變化為則g(x)=2—2i=2-

g(x)=2'i=2,解得x=2.

(2)由題設(shè)，h{x)=|(x+02-x2\=t\2x+t\,又〃(x)4/(x),

■?■t\2x+t\<x2,

當(dāng)2x+/<0,即尤<-：時，貝！|f+2fx+/=(x+/)220,恒成立；

當(dāng)2x+/20,即時，則?一2氏+』=(x7)222/,解得：x<(l-V2)Z^x>(l+V2)Z.

綜上，不等式解集為(-8,(1-V2MU[(1+V2);,+?).

(3)由題設(shè)，u(x)=f(x)-f(x-t),則40)=|〃設(shè)+/)-“(尤)|=|/0+/)-2/(>)+。(尤-/)|,

v(x)=\f(x+t)-f(x)\,則似x)=v(x)-v(x-t)=|f(x+t)-f(x)I-|f(x)-f(x-t)\,

?.?當(dāng)九(x)=%(x)成立,“X)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

.?.I[/(X+0-Z(x)]-[/(x)-/(x-/)]\=\f(x+0-fix)|-|f(x)-f(x-t)\,

，對于任思t>0總存在4r,、//、，/、成x，

???/(X)在R上單調(diào)遞增，得證.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，利用絕對值的幾何意義及區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合任意f>0存在4(x)=%(x),判

斷函數(shù)在實數(shù)域上單調(diào)性.

題型4一元二次不等式

「二二二

I____________________________________________________________________________________

!一元二次不等式在求解時應(yīng)當(dāng)注意事項

（I）化標(biāo)準(zhǔn)：通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正；

（2）①因式分解；②判別式：對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式;

（3）求實根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根；

i（4）畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖；

（5）寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集。

1.（2024,上編徐匯?一模）不等式x2-4x+3<0的麓藁為.

【答案】（1,3）

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】通過因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可.

【詳解】不等式小4彳+3<0化為-3）<0,解得l<x<3,

2

不等式X-4X+3<0的解集為（1,3）.

故答案為：（1,3）.

2.（2024?上海奉賢?一模）已知xeR,則不等式x?-x+2>0的解集為.

【答案】R

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用二次函數(shù)的判別式的符號，判斷不等式恒成立.

【詳解】因為A=l-8=-7<0,所以不等式f-x+2>0的解集為R.

故答案為：R

3.（2024?上海崇明?二模）不等式x（x-l）<0的解為.

【答案】（0,1）

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案.

【詳解】因為x（xT）<0,所以0<x<l.

故答案為：（0,1）

題型5對數(shù)不等式

1.（2024?上海寶山?二模）宅研向廠（一-廠

A.a2>b2B.2a<2b

logj^d>\o^b

C-后<京DL

22

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】比較對數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、比較指數(shù)累的大小

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】a>b>0,

則/>〃，故A正確；

2">2",故B錯誤；

>序,故C錯誤；

\OgLa<\OgLb｝故口錯誤.

22

故選：A.

2.（2024?上海嘉定?一模）函數(shù)了=1。82（X2-1）的定義域為.

【答案】（-鞏T）U（l,+s）

【難度】0.94

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)>=log2（x2-l）有意義，貝1］一一1>0,解得x<T或

所以函數(shù)7=log?（--1）的定義域為U（1,+co）.

故答案為：（-?,-1）U（l,+?）

題型6基本不等式及其應(yīng)用

0O

1.幾個重要的不等式的變形

①a』222ab9、6GR）.；②）+巴N2（a、6同號）；③G/+"（a、6GR）.

abI2J2

已知T>0,y>0,則

2.平均值不等式與最值

（1）若王+尸S（和為定值），則當(dāng)x=y時，積盯取得最大值了

（2）若盯=,（積為定值），則當(dāng)x=y時，和x+y取得最小值2方；

即：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小一值:

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有量大值。

1.（2024?上海靜安?一模）若用，替換命題"對于任意實數(shù)d,有小20,且等號當(dāng)且僅當(dāng)d=0時成立"中的

d,即可推出平均值不等式“任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當(dāng)且僅當(dāng)這兩個

正數(shù)相等時成立".則t=.

【答案】夜-布（答案不唯一，可以為6-五或其它字母表示的表達(dá)式）

【難度】0.85

【知識點】基本不等式的內(nèi)容及辨析

【分析】根據(jù)給定的信息，取正數(shù)。力，作差變形推導(dǎo)即可得解.

【詳解】取正數(shù)凡6,則a+b-2?K=（折-Ml）20,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號，

因止匕“+621y[ab，即"2"-d，

于是“任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當(dāng)且僅當(dāng)這兩個正數(shù)相等時成立

顯然/=（夜-〃）2,取t=&-&.

故答案為：4a-4b

2.（2024?上海奉賢?三模）若a+6=l,則仍有最大值為.

【答案】L/0.25

4

【難度】0.85

【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】因為。+6=1,顯然當(dāng)時，取得最大值，所以a+6=12,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立，所以

4

所以仍有最大值為;.

故答案為：

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)a、b滿足l+：=1,則2a+6的最小值為____.

ab

【答案】3+2V2/2V2+3

【難度】0.85

【知識點】基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】根據(jù)基本不等式求解.

【詳解】由已知2a+6=（2a+6）（1+：）=3+學(xué)+^23+2&,當(dāng)且僅當(dāng)孕=幺，即0=1+也/=1+a時

abbaba2

等號成立，故所求最小值是3+2血.

故答案為：3+272.

4.（2024?上海奉賢二模）某商品的成本C與產(chǎn)量4之間滿足關(guān)系式。=。①），定義平均成本G=e（q）,其

中心=詈，假設(shè)c（q）=；/+100,當(dāng)產(chǎn)量等于時，平均成本最少.

【答案】20

【難度】0.85

【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用

【分析】根據(jù)條件得到e=子+”2,再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.

4q

12_____

【詳解】由題知,_C（4）_W"+二°_4I10042，10°T0,

qq4q^4q

當(dāng)且僅當(dāng)一=吧，即4=20時取等號，

4q

故答案為：20.

■■■■■■MM--MMMMMM-MM■■■■■MMM-■■■■■■■■■■IW-■■■■■■-MM■■1^^?■■-MM

題型7基本不等式與幕指對函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.（2024?上海普陀?模擬預(yù)測）函數(shù)y=log”（x+2）-l（a>0,且。片1）的圖像恒過定點/,若點/在直線

mx+ny+2=0±，,其中加>0,?>0,則'+'的最小值為.

mn

【答案】2

【難度】0.65

【知識點】基本不等式"1"的妙用求最值、對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】先由題意結(jié)合iog（,i=0求出點a進(jìn)而由點/在直線上得加+〃=2,再結(jié)合基本不等式常數(shù)"1"的

妙用即可求解.

【詳解】因為log“l(fā)=0,所以函數(shù)>=log.（x+2）-l（a>0且。片1）的圖象恒過定點（T,T）,

即^（-1,-1）,

又點N在直線加x+"V+2=0上,故機(jī)+〃=2,

,,c八11（1I]、1（n加、1（f~n晟）八

又加>0,〃>0,所以一+—=——F—（加+〃）=—2+—H—>—2+2./一x一=2,

mn2\mn）2（mnJ2（Nmn

當(dāng)且僅當(dāng)己='即加="=1時等號成立,

mn

所以--H—的最小值為2.

mn

故答案為：2.

2.（2024上海嘉定?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力=|1嗎$,若"6,且/（°）=/伍），則4+2力的取值范圍是.

【答案】（3,+8）

【難度】0.65

【知識點】基本不等式求和的最小值、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、對數(shù)的運算

【分析】畫出/（尤）=口臉乂的圖象，數(shù)形結(jié)合可得0<。<1]>1,ab=\,故。+26=。+7然后利用對勾

函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.

【詳解】/（x）=|log3x|的圖象如下：

因為0<a<6且/（。）=/?,所以|log3al=|log3同且

2

所以一log3Q=log3b,所以Qb=l,故。+2b=Q+—,

a

22

由對勾函數(shù)〉=x+—在（0,1）上單調(diào)遞減，所以。+26=。+—>1+2=3,

xa

所以4+2方的取值范圍是（3,+8）.

故答案為：（3,+8）

3.（2024?上海閔行?三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項,

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今

天大致相同.若2。+2=1，則（平+1）（46+1）的最小值為.

【答案】§25

16

【難度】0.65

【知識點】基本不等式求積的最大值、指數(shù)募的運算

【分析】令機(jī)=2",〃=2J結(jié)合基本不等式可得（4"+1乂斗+1）可化為-1『+1,求二次函

數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.

【詳解】不妨設(shè)m=2",〃=2J則心>0,〃>0,

所以1二加+mn，當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=2時取等號,

即0〈加〃W,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=g時取等號，

42

所以(4"+1)(4"+1)=(加之+1)(/+1)=(mn^+m2+n2+\=(mr*+(m+〃J_2mn+1

=(mw)2—2mn+2=[mn-1)2+1,(0<mn-)

所以當(dāng)加”;時，(半+陽+1)取得最小值||.

25

故答案為：--

16

題型8基本不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

1.(2024?上海金山?二模)已知平面向量￡、務(wù)、"滿足：以|=巧|=1,a-c=b-c^\^則￡片+片的最小值

為.

【答案】2V2-1

【難度】0.4

【知識點】基本不等式求和的最小值、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】根據(jù)條件推理得到)在￡方向上的投影數(shù)量等于"在方方向上的投影數(shù)量，且等于血=⑹=1,

口,"〉=苗粉，故可以作出圖形，設(shè)出位3〉=0,將所求轉(zhuǎn)化成關(guān)于。的函數(shù)形式，利用基本不等式即可求

得.

【詳解】因由W)=1可得?cos〈a,c〉=?cos〈&c〉=1,

即)在￡方向上的投影數(shù)量等于)在刃方向上的投影數(shù)量，且等于以|=|司=1,

又由cos〈a,c〉-cos(b,c)可得〈a,c)=(b,c),不妨設(shè)〈a,c〉=0,

__一1一—一21o|

則Q%=cos28，Ic|=------,于是=COS26H--------=2cos3-\-------1,

cosacos6cos6

因ee[0,n],則Ovcc^evi,因2cos?6+」；22后，當(dāng)且僅當(dāng)cos?6=立時，等號成立，

cos02

即當(dāng)cos2e=走時，Z4+7取得最小值2拒一1.

2

故答案為：2及-1.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵在于運用向量數(shù)量積的定義和投影向量的數(shù)量理解￡出1的相互關(guān)系，設(shè)出

夾角凡將所求化成關(guān)于。的函數(shù)形式.

2.(2024?上海?三模)空間中42兩點間的距離為8,設(shè)的面積為S,令％=|耳2.和若22%=3,

則S的取值范圍為.

【答案】（0,12向

【難度】0.4

【知識點】利用不等式求值或取值范圍、向量與幾何最值、三角形面積公式及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)公式萬石對向量進(jìn)行處理，再結(jié)合不等式得出

RM-16+\P2M-16+|^M-16=0,即可推出點6,巴線在以M為球心4為半徑的球面上，從可求得答

案.

【詳解】由題意可知4=耳黑踮H；［（以+尊）2一（鎮(zhèn)一踮）［，

設(shè)48中點為則數(shù)+踮=2而，P^4-P^B=BA,

所以4=：［（2啊）2_第1=〔而2_161

3_______

由￡24=3,得2%+2&+2%=3,則3=2%+2>+2匕3324+&+"

i=\

當(dāng)且僅當(dāng)24=24=2右時等號成立，則24+4+4二1,

即4+4+4V0,即麗2-16+|既2-16+麗2-16<0,

貝I］府2—16+|^M2-16+1}M2-16=0,即麗2=16」所卜4,

即點6％［在以M為球心4為半徑的球面上，

先說明圓的內(nèi)接三角形為正三角形時，面積最大；

設(shè)△48C為半徑為r的圓的內(nèi)接三角形，

則Suae=~absinC--2rsinA-2rsinB-sinC=2/siiL4sinSsinC

2

<2r［siM+si,+sinC］,當(dāng)且僅當(dāng)si辿=sinB=sinC時等號成立，

即△NBC為正三角形時，其面積取到最大值速

4

由于點4,6,A在以M為球心4為半徑的球面上，故月的面積S可以無限小，

%=哈16=125

即S的取值范圍為（。，12石］,

故答案為：（0，126］.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵要利用3石=；[（3+刈2-（@-不）2]以及均值不等式推出

--------?2--------2--------?2

P{M-16+\P2M-16+\P3M-16=0,從而推出點耳巴山在以〃為球心4為半徑的球面，即可求解.

題型9基本不等式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用

1."七6五.王福雷奈二稹5而'甌一橐"直隔二誦拓囪藏孤在:箕苒AB=40^,一茄二5（保,1a0--F

分別為CZ）的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為A、B,半徑均為20米），其

余區(qū)域為草坪.現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段即上，另外兩

個頂點在線段CD上，則該游樂區(qū)面積的最大值為平方米.（結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】137

【難度】0.65

【知識點】求正切（型）函數(shù)的值域及最值、用和、差角的正切公式化簡、求值、基本不等式求和的最小

值

【分析】根據(jù)已知條件知，當(dāng)三角形的兩邊分別與圓弧相切時，三角形的面積最大，設(shè)切點為G,

ZMAE=0,0e[o,^,由三角形全等得到/尸40=:一8,將三角形面積的表達(dá)式用夕表示，從而轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可求解.

【詳解】設(shè)游樂區(qū)所在的三角形為M在線段所上，尸,0在線段。C上，如圖所示，

當(dāng)尸分別于圓弧相切時，邑3取得最大值，

由對稱性，只討論

設(shè)與圓弧相切于點G,連接

設(shè)NM4E=（9,ee（0，E],因為■三Z\M4G,/\PAD=APAG,

--20

則乙3G=6,

zpAD2—，一f)

24

因為4E=E尸=。尸=40=20,所以〃E=20tan。，=20-20tan。，

PZ)=20tan(：-6j,PF=20-20tan^-61j,

所以叢四=2SPFJ/=2x|(20-20tan20-20tanf^-^

\

Tt八

tan——tan，

=400(1-tan6>)1-4=800x------------------L

JI1+tan0

1+tan—?tan0

4)

因為de所以tan0e(0,l),

令t=1+tan。e(1,2),則tan6=f-l,

則Sp°M=800?"平辿=一800(/+7一3卜一8002^r|-3=2400-160072,

2

當(dāng)且僅當(dāng)t=7,即「=夜時等號成立，

所以(SPQM[a,=2400-1600V2。137平方米，

即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米.

故答案為：137.

2.(2024?上海寶山?二模)在ANBC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sin?/+sin2C=sin22?+sirUsinC.

(1)求角8的大??；

(2)若AZBC的面積為百，求a+c的最小值，并判斷此時A/BC的形狀.

【答案】(1)(

(2)4,ZUBC為等邊三角形

【難度】0.65

【知識點】基本不等式求和的最小值、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正、余弦定理判定三角形

形狀、正弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】(1)由正弦定理角化邊可得力+°2=62+碇，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求8；

(2)由三角表面積可求得碇=4,根據(jù)均值不等式可求得a+c的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的

形狀.

【詳解】([)由正弦定理得/+c2=/+ac,

又由余弦定理得cosB="+c2"=旦=!，

laclac2

因為8是三角形內(nèi)角，所以8=5TT；

(2)由三角形面積公式得：

V=—acsmB=—tzcsin—=——ac=43,

3ABC2234

解得ac=4,

因為q+c22yl~ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號,

所以Q+c的最小值為4,此時△45。為等邊三角形.

題型10基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

L(2023.上海黃浦二行)-巨疝雙數(shù)°,6,c滿足：°；笄江謫靛二口=3,則:葭雨茄普金五.

【答案】[-2,2]

【難度】0.4

【知識點】基本(均值)不等式的應(yīng)用、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

【分析】首先利用不等式求得-24a42,通過減少變量得〃")=。(/-3),再利用導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.

【詳解】由題意得b+。=-=/一3,

由(b+c)2>46c得/T4(/-3),得a：44,所以-2WaW2,

令f(a)=abc=a(^a2-3^-a3-3a,

/,(a)=3a2-3=3(a+l)(a-l),

當(dāng)ae[-2,2]時，/⑷>0,此時〃a)在和(1,2]上單調(diào)遞增,

當(dāng)ae(-1,1)時，/'⑷<0此時/(a)在(-1,1)單調(diào)遞減，

所以7(。)的極大值為"T)=2,f{a}的極小值為/⑴=-2,

又因為〃-2)=-2,/(2)=2,

則。加的取值范圍為12,2].

故答案為：12,2].

2.(2024?上海?模擬預(yù)測)對于一個函數(shù)〃x)和一個點令s(x)=(x-a>+(〃5-4,若

尸(/J(X。))是s(%)取到最小值的點，則稱?是M在“X)的”最近點〃.

(1)^^/?=-(^>0),求證：對于點M(0,0),存在點P,使得點P是/在f(x)的“最近點〃；

⑵對于〃x)=e、M(l,0),請判斷是否存在一個點尸，它是〃在〃x)的“最近點”，且直線M尸與了=/(x)

在點P處的切線垂直；

⑶已知V=/(x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)7'(無)，且函數(shù)g(無)在定義域R上恒正，設(shè)點給?-1,/⑺-g⑺),

M2(f+l,/(/)+g(/)).若對任意的feR,存在點P同時是陷,在的“最近點”，試判斷〃x)的單調(diào)

性.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在，尸(0,1)

⑶嚴(yán)格單調(diào)遞減

【難度】0.4

【知識點】基本不等式求和的最小值、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)

性、求在曲線上一點處的切線方程(斜率)

【分析】(1)代入河(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由題得s(x)=(x-l)2+e2，，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到P,再證明直線與切線垂直即可；

(3)根據(jù)題意得到sMxJnSz'ajnO,對兩等式化簡得/"(%)=-七，再利用"最近點”的定義得到不等

式組，即可證明/=乙最后得到函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)M(0,0)時，s(x)=(i+口一o]2=.+晨2k」=2,

kA-JXyX

當(dāng)且僅當(dāng)丁=1即無=1時取等號，

故對于點“(0,0),存在點尸(1,1),使得該點是M(o,o)在“X)的"最近點”.

(2)由題設(shè)可得s(x)=(x-l)2+(e*-0)2=(x-l)2+e2x,

則s'(x)=2(x-l)+2e",因為〉=2(x-l)/=2e2*均為R上單調(diào)遞增函數(shù)，

則s'(x)=2(x-l)+2e2、在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，

而丁(0)=0,故當(dāng)x<0時，s'(x)<0,當(dāng)x>0時，s'(x)>0,

故s(x)mni=s(0)=2,此時尸(0,1),

而廣(x)=ef=/⑼=1,故〃x)在點p處的切線方程為y=x+1.

而/？=y=一1，故l"左=T，故直線與y=/(x)在點尸處的切線垂直.

(3)T^Sj(x)=(x-Z+l)2+(/(x)-/(；)+g(；))2,

22

s2(x)=(x-f-1)+(/(x)-/(/)-g(?)),

而s；(x)=2(xT+1)+2(/(x)-/⑺+g(/))/(x),

s；(x)=2(x--1)+2(〃x)-/⑺-g(/))7,(x),

若對任意的/eR,存在點尸同時是在/(x)的"最近點"，

設(shè)尸(%，%)，則X。既是Si(x)的最小值點，也是S2(X)的最小值點,

因為兩函數(shù)的定義域均為R,則%也是兩函數(shù)的極小值點，

,

則存在與，使得s；(x0)=s2(xo)=O,

即可'(％)=2伍—+1)+2/，(%)[/伉)-/(/)+8(/)]=0①

s；(%)=2(/T一1)+2((%)[〃/)一/⑺一g(/)]=0②

由①②相等得4+4g(f).r(Xo)=O,即1+C(x(,)g得=0,

即/'(%)=-工，又因為函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，

g(t)

則/'伉)=-一[<0恒成立，

g?)

接下來證明％

因為X。既是、(X)的最小值點，也是S2(無)的最小值點，

則S](XO)VS(O,S2(XO)4S?),

即(Xo-f+l)2+(/(Xo)-〃0+g(0)2Vl+(g(。)2,③

22

(x0-?-1)+(/(x0)-/(?)-g<1+(g(Z)),④

③+④得2(x。-)2+2+2[/(x0)-/(疔+2g2(Z)<2+2g2(t)

即Go-行+(/伉)-/⑺yV0,因為0,(/-/(O)22。

則”(訃)⑺3解得一，

則/'?)=——1<0恒成立，因為/的任意性，則/(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是結(jié)合最值點和極小值的定義得到/■'(%)=一工，再利用最值點

g(/)

定義得到%=/即可.

3.(2023?上海寶山?二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程〉=履+1中，當(dāng)先取給定

的實數(shù)時，表示一條直線；當(dāng)左在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點(0」)的直線族(不含了軸).記直線族

2(a-2)x+4y-4a+a2=0(其中aeR)為中,直線族y=3〃x-2「(其中cO)為Q.

⑴分別判斷點4(0,1),8(1,2)是否在乎的某條直線上，并說明理由；

(2)對于給定的正實數(shù)%,點尸(%,%)不在。的任意一條直線上，求為的取值范圍(用/表示)；

⑶直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上

每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.求。的包絡(luò)和平的包絡(luò).

【答案】⑴點/(0,1)在中的某條直線上，點8(1,2)不在乎的某條直線上；

3

(2)(X0,+(?)；

2

⑶。的包絡(luò)方程為7=/(x>0),中的包絡(luò)方程為>=2+1.

-4

【難度】0.4

【知識點】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、求在曲線上一點處

的切線方程(斜率)

【分析】(1)分別把點48的坐標(biāo)代入直線族中的方程，然后判斷方程是否有實數(shù)解即可.

(2)由點P(x。,%)不在。的任意一條直線上，得到關(guān)