遼寧省聯盟2024-2025學年九年級上學期12月份聯合考試數學試卷（含答案與解析）

機密★啟用前

遼寧省名校聯盟2024年初三12月份聯合考試

數學

本試卷滿分120分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考察范圍：2024新人教版九年級上冊第25章-第28章，2024新人教版九年級下冊第31章-

第32章.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有1

個選項是正確的）

1.拋物線y=6x"-24x+1的對稱軸方程為（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

2.將一元二次方程（x—iy+4=o化為C=0的形式，貝/，b,C的值分別為（）

A1,-2,5B.1,-1,4C.-1,5,2D.1,2,5

3.如圖，在平面直角坐標系中，幺（1,2）,5（4,1）,以原點O為位似中心，將△幺臺。以2:1的比例縮小

為AA'B'O,且△Z'B'O位于第三象限，則?的坐標為（）

4.將拋物線y=-（x-2021）2+2026向右移動3個單位，再向下移動2個單位，所得新拋物線的頂點坐

標為()

A.(2024,2028)B,(2024,2024)C.(2018,2028)D.(2018,2024)

5.如圖，在等腰中，NZ8C=90°,AB=BC,以點2為旋轉中心，將3c逆時針旋轉60°

得到線段8。，連接C。、AD.若ZC=4,則2。的長為()

D

A.2B.3C.273-2D.473-3

6.下列選項中說法正確的是()

A.平面直角坐標系x。，中所有的拋物線都是二次函數的圖像；

B.相似三角形可以通過兩組對應角相等判定相似；類似的，四邊形48CD與四邊形相似與否的

判定條件也可以通過N/=NH,NB=NB'，NC=NC'來判斷；

C.三角函數中正弦函數(S%e)自變量的取值范圍是0。＜。＜90。；

D.兩條直線被一組平行直線所截，所得的對應線段成比例.

7.足球聯賽實行主客場的循環(huán)賽，即每兩個球隊都要在主場和客場各踢一場，某個賽季共舉行比賽210

場.設共有x個隊參賽，可列方程為()

A.yx(X-1)=210B.yx(x+1)=210

C.x(x-1)=210D.x(x+1)=210

8.如圖，一個人46在距離旗桿CD底部處仰視旗桿頂部，測得點2關于點。的仰角為50°,若該人

的身高為/m,則旗桿CD的高度為()

A.(/+Asin500)mB.(7+〃cos50°)mc.(/+Atan50°)mD.(Z+/z)sin50om

9.如圖，RtZi/BC中，AB=3,BC=4,05=90°,AD平分NBAC,EF〃AC,SAADC=2,

DF

則——的值為()

10.畫二次函數y="-+bx+c的圖像時，列表如下:

關于此函數有下列說法：①當x=0時，J=-3；②當x〉2時，y隨x的增大而減??；③函數圖像開口朝

上；④若2(3,0),8(3,5),C(p,5),D(p,0),則當夕〉3時，該函數圖像在四邊形45CD內部部分

從左向右降；其中正確的是：()

A.①②③B.①②④C.①②

二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)

11.計算：cos60°+tan45°+(-sin2180-cos218°)20M=.

12.下列選項：Ck)x+1=3—2x；@x~—4x+6=0;③(2x+2)~=4x~—2x+l；

i2

@(x-l)(x+3)=0;⑤=+--1=0.其中是一元二次方程的是(填序號).

XX

13.若拋物線y=x?+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A(m,n),B(m+6,n),則n=.

14.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點尸處放一水平的平面鏡，光線從點

A出發(fā)經平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知ABLBD,CD1BD,測得48=4m,

BP=6m,PD=24m,那么該古城墻的高度CD是m.

c

15.如圖，拋物線y=x2-2x-3交x軸于4、3兩點（/在2點左邊），C（4,5）在拋物線上，連接

AC.點。在線段ZC上運動，以8。為邊向右構造正方形5QE7L設點。的橫坐標為x,則點E的縱

坐標為.

三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

16.用適當的方法解方程：

（1）9X2-9X+2=0；

（2）（3x-2）（4x-3）=0.

17.如圖，在APNB中，點C、。在28上，PC=PD=CD,ZAPB=120°,求證:

CD2=ACBD.

18.據統(tǒng)計，2022年某種品牌汽車的年產量為64萬輛，到2024年，該品牌汽車的年產量達到了100萬

輛.若該品牌汽車年產量的年平均增長量從2022年開始五年內保持不變.

（1）求年平均增長率；

（2）求該品牌汽車2025年的年產量為多少萬輛？

19.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線。1：^=/-4》+3以某一點(d6)為對稱中心旋轉180°后得到

拋物線其頂點坐標為2(-2,1).

(1)填空：a=,b=；

(2)點3為C］的頂點坐標，連接4B,過N作ZCL48交G于點C，求點C的坐標以及一的值.

AC

20.在物理學中，關于“牽連速度”的相關問題我們可以進行如下分析：由于速度的矢量性，根據平行四

邊形定則，我們可以將速度進行正交分解分解成沿繩方向的速度與垂直于繩方向的速度.如圖一人站在水

平光滑臺面上，用繩子拉位于臺面下水平地面上的小車.若該人水平向右水平拉動繩子，小車向右水平運

動，且在某時刻速度為v.將v按照題干所述方式分解為用和丹，與繩和地面的位置關系如圖所示.若

(1)求繩子運動的速度和匕的大小;

(2)若繩子與車接觸的部分到平臺的水平距離為40m,繩子由滑輪到人的距離為5m,不計繩子與滑輪

接觸部分的長度，求繩子的長度.(參考數據：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan370?0.75)

21.如圖，在中，NA4c=90°,AB=6,ZC=8,點。為5c中點，過。作于

E,延長CE至尸，使得EF=2DE,連接點尸從點尸出發(fā)沿線段必以每秒加個單位長度向點

B運動，過P作尸0〃8c交尸￡)、FC于H、Q.

B

FAQEC

(1)直接寫出/BED=；

(2)設△m。與V陽E重疊部分面積為S,求S關于/的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍.

22.【問題初探】

DEEB

圖2圖3

在數學活動課上，王老師給出下列問題：如圖1,在V48C中，ZA=22.5°,N8=45。，BC=4.求

V48c的面積.

①如圖2,小淺同學從2NZ=N8這個條件出發(fā)給出了一種解題思路：將//擴大為二倍角即構造等腰

48,止匕時NCD8=45=45。，進而通過勾股定理解決問題.

②如圖3,小胖同學也從2NN=N5這個條件出發(fā)給出了另一種解題思路：將NCR4分解為兩個與//

相等的角，即構造等腰△C5O.此時NZ=/D,然后通過與小淺同學相同的方法求出面積.

【類比分析】

(1)王老師發(fā)現之前兩名同學在面對倍角問題時都運用了轉化思想，將二倍角轉化為兩個一倍角或將一

倍角轉化為二倍角來解決問題；為了幫助學生更好地感悟轉化思想，王老師給出了一道圖1的同類型題并

提出了下面問題，請你解答.

如圖4,在V4SC中，點。在5c上，AB=AC=CD,NBAD=2NCDE,BD=m,CE=n,求

ZD的長(用含有機、〃的代數式表示).

【學以致用】

（2）如圖5,在中，NACB=90。,D、E在4B、AC±,連接BE、CD交于點F,

ZACD=2ZABE,作NGEB=NDCB交4B于G.若AE=m-CE,

AD=kDB.a=2cosNABE,EG=n,求8c的長（用含有左、加、"的代數式表示）.

CE

23.定義：一般地，對于多項式函數%=《X'+L+ax+a0（生，i=l,2L"均為常數）的自

變量x滿足夕WxVq,而因變量%滿足夕（其中夕<1）,則稱該函數為切比雪夫雙域齊次函

幾

數.相似的，對于分段函數%=<"'（",，i=l,2L〃均為多項式函數），若該函數的一支或某幾支

兒.

圖象的一部分自變量x滿足夕而因變量必滿足?〈必Wq（其中P<1）,則稱該函數為〃階切

比雪夫雙域齊次函數.

例如：二次函數若為切比雪夫雙城齊次函數，則x取值范圍為OVxVl.

i.當i=l且—24x41時，y=%%+旬為切比雪夫雙域齊次函數，則求生和%的值；

ii.當i=3時，已知函數y=x3—x+i的函數圖象以及數據信息如圖1所示，若該函數為切比雪夫雙域齊

次函數，則自變量X的取值范圍為:

（提示：參考函數圖象歹=/一2%+1如圖2所示，（一1.62,0）,（0.62,0）和（1,0）為圖象與X軸的三個交

點，參考數據：6=1.73.）

+2（777+][%—加2+2XTH-

（2）當7=2時，已知函數歹二2'一，其中機為常數，記函數y的圖象為G.

-x+4x+5,x>m

①當機=1時，求函數y在-3WxV2上最大值與最小值的差；

②設函數y圖象左支的頂點坐標為（工,%）,求為關于%的函數解析式（無需寫出自變量的取值范圍）；

③請討論，當機變化時，是否存在某一個值或取值范圍使得函數y在某一關于x的取值范圍中為2階切比

雪夫雙域齊次函數.若存在，請討論并求出加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有1

個選項是正確的）

1.拋物線＞=6——24x+1的對稱軸方程為（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，牢記二次函數的對稱軸公式》=-2是解題的關鍵.

2a

根據二次函數的對稱軸公式X=--計算即可.

2a

b-24

【詳解】解：拋物線v=6d9—24x+l的對稱軸方程為：x=一一=------=2,

2a2x6

故選：B.

2.將一元二次方程（x—I1+4=o化為辦2+區(qū)+0=0的形式，則a,b,。的值分別為（）

A.1,-2,5B.1,-1,4C.—1,5,2D.1,2,5

【答案】A

【解析】

【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題關鍵.

直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.

【詳解】解：將（x—1）2+4=0化為。/+8+°=0的形式為》2一2》+5=0，

故。=1,b=-2,c=5,

故選：A.

3.如圖，在平面直角坐標系中，幺（1,2）,8（4,1）,以原點。為位似中心，將AAB。以2:1的比例縮小

為AA'B'O,且△48'。位于第三象限，則H的坐標為()

B.2，-2C.-yD.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了位似變換的性質，在平面直角坐標系中，位似變換以原點為位似中心時，位似圖形對

應點的坐標的比等于相似比，同時要注意根據位似圖形所在象限確定坐標的正負.

【詳解】在平面直角坐標系中，以原點。為位似中心，相似比為左，位似變換后點(蒼川的對應點坐標為

(丘,僅)或(—丘,一加).

1

已知4(1,2),將AABO以2：1的比例縮小為△HB'O,即女=目位于第三象限，所以4

的坐標為］X1,—］X，即］一5，-11.

故答案選：D

4.將拋物線y=-(x-2021『+2026向右移動3個單位，再向下移動2個單位，所得新拋物線的頂點坐

標為()

A.(2024,2028)B,(2024,2024)C.(2018,2028)D.(2018,2024)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了拋物線平移的規(guī)律左加右減，上加下減，掌握拋物線平移的規(guī)律是解題的關鍵.根據

函數圖象的平移特點：左加右減，上加下減，進行求解即可.

【詳解】解：把拋物線y=-(x-202+2026向右移動3個單位，再向下移動2個單位，則所得拋物

線的解析式是y=—(x—2021—3『+2026-2,即>=—(x—2024)2+2024,

拋物線的頂點坐標為(2024,2024).

故選B.

5.如圖，在等腰Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=BC,以點8為旋轉中心，將3c逆時針旋轉60°

得到線段AD,連接CD、AD.若ZC=4,則4D的長為（）

A.2B.3C.2G-2D.473-3

【答案】C

【解析】

【分析】過點。作DE上AC于點E,由ZABC=90°,AB=BC,AC=4,可得

ZBCA=ABAC=45°,AB=BC=2①，由旋轉可得BC=BD,ZCBD=60°,推出△3CD是等

邊三角形，AB=BD,4480=30°,進而得到C0=3C=2亞，NBDA=/BAD=75。,推出

NDAE=3。。,可得4D=2DE,設DE=x,則ZQ=2x,AE=^x，在RMCDE中，由勾股定理列

方程求出x,即可求解.

【詳解】解：過點。作。E_Z/C于點E,

ZABC=90°,AB=BC,AC=4,

ZBCA=ABAC=45°,AB2+BC2AC2>即25c2=42,

AB=BC=2C，

由旋轉可得：BC=BD,ZCBD=60°,

ABCD是等邊三角形，AB=BD,NABD=ZABC-ZCBD=90°-60°=30°,

CD=BC=2垃,^BDA==1(180°-Z^￡>)=1(180°-30°)=75°,

ZDAE=ABAD-ABAC=75°-45°=30°,

???DE1AC,

AD=IDE,

設DE=x,則ZZ)=2x,AE=瓜,

???AC=4,

CE=AC-AE=4-&，

在RMCQE中，由勾股定理得：DE2+CE2=CD2＞即/+(4—瓜『=(2行『，

解得：x=V3-1，

AD=2道-2,

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含30°度角的直角三角形性質，

熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵.

6.下列選項中說法正確的是()

A.平面直角坐標系xQy中所有的拋物線都是二次函數的圖像；

B,相似三角形可以通過兩組對應角相等判定相似；類似的，四邊形48C。與四邊形HB'C'Z)'相似與否的

判定條件也可以通過4=NH,NB=NB'，NC=NC'來判斷；

C.三角函數中正弦函數(S%e)自變量的取值范圍是0。＜。＜90。；

D,兩條直線被一組平行直線所截，所得的對應線段成比例.

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數圖像，相似圖形的判定，三角函數自變量取值范圍以及平行線分線段成

比例定理等知識點，需要對這些概念和定理有清晰的理解和準確的把握，才能正確判斷每個選項的正誤.

【詳解】A.平面直角坐標系中，只有形如＞="2+樂+以。。0)的拋物線才是二次函數的圖像，所

以A選項錯誤；

B.相似三角形可以通過兩組對應角相等判定相似，但是四邊形相似的判定條件比較復雜，僅通過四組對

應角相等不能判定四邊形相似，還需要考慮邊的比例關系等，所以B選項錯誤；

C.三角函數中正弦函數，自變量。的取值范圍是全體實數，而不是0°＜。＜90。，所以C選項錯誤.

D.兩條直線被一組平行直線所截，所得的對應線段成比例，這是平行線分線段成比例定理，所以D選項

正確.

故選：D.

7.足球聯賽實行主客場的循環(huán)賽，即每兩個球隊都要在主場和客場各踢一場，某個賽季共舉行比賽210

場.設共有x個隊參賽，可列方程為()

A.yx(X-1)=210B.yx(x+1)=210

C.x(x-1)=210D.x(x+1)=210

【答案】C

【解析】

【分析】設參加比賽的球隊共有x支，則每支球隊都要與余下的(x-1)支球隊進行比賽，又每兩支球隊

都要在自己的主場和客場踢一場，即每兩支球隊相互之間都要比賽兩場，故這X支球隊一共需要比賽X

(X-1)場，而這個場次又是210場，據此列出方程.

【詳解】解：設參加比賽的球隊共有x支，每一個球隊都與剩余的(x-1)隊打球，即共打x(x-1)場

???每兩支球隊都要在自己的主場和客場踢一場，即每兩支球隊相互之間都要比賽兩場，

???每兩支球隊相互之間都要比賽兩場，

即x(x-1)=210,

故選：C.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是抓住“每兩支球隊都要在自己的主場和客場踢一

場”列等量關系.

8.如圖，一個人45在距離旗桿CD底部/zm處仰視旗桿頂部，測得點8關于點。的仰角為50°,若該人

的身高為/m,則旗桿CD的高度為()

A.(Z+/zsin50o)mB.(/+Acos50°)mC,(/+Atan50°)mD.(/+/z)sin50°m

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了三角函數中正切函數的應用，通過構建直角三角形，利用正切函數求出相關線段

的長度，進而得到旗桿的高度.解題的關鍵是理解仰角的概念，并能正確運用三角函數關系進行計算.

【詳解】過點B,做交CD與H,

D

h

在直角三角形。中，NDBH=50。,AC=BH=km,

根據正切函數的定義，tanABDH=—,即tan50°=也，所以ZV/=/ztan50。m,

BHh

旗桿CD的高度等于人的身高加上QX的長度，即(/+〃tan50°)m.

故選：C.

9.如圖，Rta/BC中，AB=3,BC=4,BB=90°,AD平分/BAC,EF〃AC,S^ADC=2,

DF

則——的值為()

DF

A

【答案】A

【解析】

【分析】如圖，過點。作。交NC于點作。G,48交48于點G,作。交8c于

點、H,連接AD,勾股定理求出NC,根據5=2,求出。河，角平分線的性質得出

4

DG=DM=M，N1=Z3,根據等面積法求出。X,證明四邊形8HOG是矩形，得出

ZGDH=90°,BG=DH,結合EE//C,證出ZE=￡>￡,在R〃Z)￡G中，勾股定理列方程求出x,

證明AEDGS△。切，即可解答.

【詳解】解：如圖，過點。作。M_ZZC交NC于點/，作。G,48交48于點G,作DH_LBC交

BC于點、H,連接BD,

,?AB=3,8c=4,E)B=90°,

AC=A/32+42=5，

??c-7

,aAADC-z，

S/.\AriD!C,=—2x5DM=2,

4

解得：DM=—,

5

AD平分NBAC,

4

DG-DM=—,ZX—/3,

5

??q_c1c1C

,U"BC-丁°AADB丁3BDC，

1141

一x3x4—2H—x3x—i—x4DH,

2252

7

解得：DH=M

???/ABC=ZBGD=/DHB=90°,

，四邊形BHDG是矩形，

7

??.ZGDH=90。,BG=DH=~,

5

???EF//AC,

???N1=N2,

???N2=N3,

???AE=DE,

設/￡=Q￡=x,

78

則EG=3-----x=——x,

55

在RMDEG中,||—x[+[[]=X2，

解得：x=l,

???ZEGD=ZDHF=90°,ZEDG=ZDCH=90°-ZCDH,

AEDGSADFH,

1

.DE_EG_5_3

"DF~DH~7—7，

5

故選：A.

【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，角平分線的性質，矩形的性質和判定，平

行線的性質，等腰三角形的判定等知識點，解題的關鍵是正確做出輔助線，掌握以上知識點.

10.畫二次函數y=ax?+bx+c的圖像時，列表如下：

X......1234......

y......010-3......

關于此函數有下列說法：①當x=0時，y=-3；②當x〉2時，＞隨x的增大而減??；③函數圖像開口朝

上；④若/（3,0）,8（3,5）,C（p,5）,D（p,0）,則當夕〉3時，該函數圖像在四邊形4BCD內部部分

從左向右降；其中正確的是：（）

A.①②③B.①②④C.①②D.②③

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的性質.

先由表中數據可知，隨著尤的增大，y的值先增大后減小，得到函數圖象開口向下；利用了=。時，x=l或

x=3,得到函數的對稱軸，再結合開口方向得到函數的增減性；利用對稱軸為直線x=2和函數的增減性

進行分析判斷即可.

【詳解】解：由表中數據可知，隨著x的增大，y的值先增大后減小，

，函數圖象開口向下，故③錯誤，不符合題意；

,；y=0時，x=l或x=3,

函數的對稱軸為直線x=2,

:開口向下，

.?.當x〉2時，》隨尤的增大而減小，故②正確，符合題意；

:對稱軸為直線x=2,

x=0時與x=4時對應的函數值相等，故x=0時，y=-3,故①正確，符合題意；

?.?2(3,0),5(3,5),C(p,5),D(p,0),當x>2時,丁隨1的增大而減小,

則當夕〉2時，該函數圖像在四邊形45CD內部部分從左向右降；故④錯誤，不符合題意；

故選：C.

二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)

22O4

II.計算：cos60°+tan45°+(-sin180-cos18^°"=.

【答案】-

2

【解析】

【分析】本題考查特殊角的三角函數值，同角的正弦與余弦的關系，根據特殊角的三角函數值，同角的正

弦與余弦的關系sin2a+cos2a=1進行計算即可.

【詳解】解：cos600+tan45o+(^-sin218°-cos2180^

22

=1+1+(sin180+cos180)2024

一+i

2

_5

故答案為：一

2

2

12.下列選項：0x+1=3—2x；d)x—4x+6=0;③(2x+2)=4x——2x+l；

i2

@(x-l)(x+3)=0⑤=+--1=0.其中是一元二次方程的是(填序號).

;XX

【答案】②④

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，需要根據定義對每個選項進行分析判斷.

【詳解】①x+l=3-2x,經過移項化簡后為3x-2=0,未知數最高次數是1,是一元一次方程，不是

一元二次方程；

②4X+6=0,含有一個未知數x,且未知數x的最高次數是2,是整式方程，所以是一元二次方

程；

③(2x+2>=4——2x+l,展開左邊可得4f+8》+4=4/一2x+l，化簡后為10x+3=0,未知數

最高次數是1,是一元一次方程，不是一元二次方程；

@(x-l)(x+3)=0,展開可得必+2%一3=0,含有一個未知數%且未知數尤的最高次數是2,是整式

方程，所以是一元二次方程；

⑤--1=0,方程中含有分式*和一，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程.

XXXX

答案：②④

13.若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A(m,n),B(m+6,n),則n=.

【答案】9

【解析】

【詳解】???拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，

???當x=-5時，y=0.且b2-4c=0,即b2=4c.

又??,點A(m,n),B(m+6,n),

???點A、B關于直線x=-g對稱.

?'?A(--3,n),B(---F3,n).

22

將A點坐標代入拋物線解析式，得：

n=(-匕-31+b1-2-31+c=」b2+c+9=-，c+c+9=9.

I2JI2J44

故答案為9

14.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點尸處放一水平的平面鏡，光線從點

/出發(fā)經平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知4BLAD,CDVBD,測得4B=4m,

BP=6m,PD=24m,那么該古城墻的高度CD是m.

c

【答案】16

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質.首先證明

△ABPsMDP,可得一=——，再代入相應數據可得答案.

BPPD

【詳解】解：如圖,

根據光的反射可得NAPE=ZCPE,

：.NAPB=ZCPD,

???ABLBD,CDLBD,

NABP=ZCDP=90°,

:.AABPSACDP,

.ABCD

,?茄一方'

AB=4m,BP=6m,PD=24m,

?4_CD

解得：CD=16m.

故答案為：16

15.如圖，拋物線了=丁—2x—3交x軸于/、2兩點（/在3點左邊），C（4,5）在拋物線上，連接

AC.點。在線段ZC上運動，以AD為邊向右構造正方形ADEP.設點。的橫坐標為x,則點E的縱

坐標為.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，待定系數法求函數解析式.

先求出拋物線與x軸交點的坐標幺(-1,0),8(3,0),用待定系數法可求出直線NC的解析式，再求出點。

的縱坐標外)=x+1,通過正方形BDE尸的性質求出E點的縱坐標.

【詳解】解：由題可知拋物線產一一2》-3=(x+：Q(x-3),

令y=。，

即(x+l)(x—3)=0,

解得西=3,x2=-1,

???A在3左邊，

.-.^(-1,0),5(3,0),

設直線AC的解析式為y=kx+b,

把幺(—1,0),C(4,5)代入可得，

-k+b=0

4k+b=5'

得：4左+6—(一左+b)=5—0,

即5左=5,解得左=1,

把左=1代入—匯+6=0,解得6=1,

???直線ZC的解析式為y=x+l,

???點。在直線NC上運動，橫坐標為x,

把x代入y=x+l,

得點。的縱坐標為y。=x+1,

過。作￡>/7■垂直X軸，過￡作￡G_LZVf交。G的延長線于G點,

NG=NDHB=90°,

...AGED+ZGDE=90°,NHDB+NGDE=90°,

ZHDB=AGED,

由于四邊形廠為正方形，

:.DELDB且DE=DB,

：.ADHBAEGD,

：.BH=DG,DH=EG,

:XX

-yD-yB=E-D，

xB-xD=yE-yD,

xE=yD-yB+xD=x+1-0+x=2x+1,

yE=xB-xD+yD=3-x+x+1=4,

即E的縱坐標為4,

故答案為4.

三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

16.用適當的方法解方程：

（1）9/—9x+2=0；

（2）（3x-2）（4x-3）=0.

21

【答案】（1）石=4，x2=—

,、23

(2)%=§,x2=—

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，根據方程特點選擇合適的方法是解題的關鍵.

(1)運用公式法求解即可；

(2)根據因式分解法求解即可.

【小問1詳解】

解：9/—9X+2=0，

a=9,b=—9,c=2,

A=〃-4ac=(-9)2—4x9x2=9〉0.

...該方程有兩個不等的實數根.

-b±yjb2-4ac9±3

..X——，

2a2x9

21

解得石=4，*2=1.

【小問2詳解】

解：(3x-2)(4x-3)=0

3、一2=0或4%-3=0.

23

解得玉=4，X2=--

17.如圖，在△尸45中，點C、。在48上，PC=PD=CD,ZAPB=UQ°,求證:

CD2=ACBD.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識點，注意：如果兩個三角

形的兩個角分別對應相等，那么這兩個三角形相似.

根據PC=P￡>=C￡>,可得出△尸CD為等邊三角形，即可得出NPCZ)=NPOC=NCPZ)=60。，進而

AQpc

證明△R4C,再根據相似三角形的判定推出——=——即可.

PDBD

【詳解】證明：?.?PC=P￡>=C￡>,

.?.△PCD為等邊三角形，

ZPCD=NPDC=ZCPD=60°,

Z3=Z4=120°,

■：ZAPB=120°,

Zl+Z2=120°-60°=60°,

QZPCD=ZA+Z2=60°,

N1=NN,

:.APAC-ABPD.

,ACPC

"PD~BD'

:.PDPC=ACBD,

.'.CD-=AC-BD.

18.據統(tǒng)計，2022年某種品牌汽車的年產量為64萬輛，到2024年，該品牌汽車的年產量達到了100萬

輛.若該品牌汽車年產量的年平均增長量從2022年開始五年內保持不變.

(1)求年平均增長率；

(2)求該品牌汽車2025年的年產量為多少萬輛？

【答案】⑴25%

(2)125萬輛

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

(1)設年平均增長率為x,根據該品牌汽車2022年及2024年的年產量，即可得出關于x的一元二次方程,

解之取其正值即可得出結論；

(2)根據該品牌汽車2025年的年產量2024年的年產量x(l+增長率)，即可求出結論.

【小問1詳解】

解：設年平均增長率為X,

依題意，得：64(l+x)2=100,

解得：再=0.25=25%,X2=-2.25(不合題意，舍去).

答：年平均增長率為25%.

【小問2詳解】

解：100x(1+25%)-125(萬輛),

答：該品牌汽車2025年的年產量為125萬輛.

19.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線6：^=爐-4》+3以某一點(。,6)為對稱中心旋轉180°后得到

拋物線其頂點坐標為2(-2,1).

(2)點3為G的頂點坐標，連接48,過/作ZCL48交G于點C,求點C的坐標以及——的值.

AC

【答案】⑴0,0(2)C(-4,-3),—=1

AC

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，解一元二次方程等知識；

(1)先求出拋物線G的頂點坐標為(2,-1),根據旋轉可得(2,-1)和2(-2,1)的中點為(a,b),據此求解

即可;

(2)過/作ZELx軸，過C作CELZE于E,過8作皮)￡于。.AADB^^CEA,得到

AT)RJJJD

—=—=—,求出拋物線G解析式為y=—(x+2)+1=—。2—4c—3,設C(g—4c—3),則

CEAEAC

24AB

CE=-2-c,AE^c2+4c+4.AD=2,BD=4,得到——解方程得到

-2-c2+4c+4~AC

4B

c=-4,即可求出點C的坐標以及——的值.

AC

【小問1詳解】

W：??1C]:j=x2-4x+3=(x-2)--1,

拋物線G的頂點坐標為（2,-1）,

???拋物線G以某一點（。力）為對稱中心旋轉180°后得到拋物線G,其頂點坐標為幺（-2,1）,

（2,-1）和/（—2,1）的中點為（°力）,

.。-2+（一2）八

2？。，

故答案為：0,0；

【小問2詳解】

解：過/作AEJ.x軸,過C作C￡，Z￡于E,過8作皮）￡于0

NE=ZADB=90°,

QZDAB+ZCAE=90°,NC+NG4E=90°,

ZC=ZDAB,

.,.△ADBs^CEA,

AD_BD_AB

CE~AE~AC

1/拋物線G:y=--4x+3以點（0,0）為對稱中心旋轉180°后得到拋物線G,其頂點坐標為^（-2,1）,

?'.拋物線C2解析式為y=—(x+2)+1=—c——4c—3,

.?.設C(c,一。2—4c—3),

?.?8(2,-1),幺(-2,1),

CE=-2-c,AE-c2+4c+4>AD=2,BD=4,

.2_4_AB

"-2-c~c2+4c+4—AC'

整理得(c+2p=—2(c+2),

解得q=—2(與/(一2,1)重合，舍去)，c2=-4,

/、AB22

===

，，^_2_c-2-(-4)"

20.在物理學中，關于“牽連速度”的相關問題我們可以進行如下分析：由于速度的矢量性，根據平行四

邊形定則，我們可以將速度進行正交分解分解成沿繩方向的速度與垂直于繩方向的速度.如圖一人站在水

平光滑臺面上，用繩子拉位于臺面下水平地面上的小車.若該人水平向右水平拉動繩子，小車向右水平運

動，且在某時刻速度為匕將v按照題干所述方式分解為匕和匕，與繩和地面的位置關系如圖所示.若

(1)求繩子運動的速度和匕的大?。?/p>

(2)若繩子與車接觸的部分到平臺的水平距離為40m,繩子由滑輪到人的距離為5m,不計繩子與滑輪

接觸部分的長度，求繩子的長度.(參考數據：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan370?0.75)

【答案】(1)繩子的速度為8m/s,v2=6m/s

(2)繩子長度為55m

【解析】

【分析】本題考查了三角函數的應用，解題的關鍵是掌握三角函數的性質.

(1)以A,B,C,。標記矩形的四個頂點，由題意可得：ZABC=90°,v=10m/s,ZACB=31°,

BD=90°,NCAD=37。,根據％=8C=ZCcos。，v2=CD=ACsin0,即可求解；

(2)延長C4交墻壁于E.設繩子與滑輪的切點為E,由題意得：ZCFE=90°,ZFCE=37°,

FC

廠C=40m,根據C￡=一^求出再根據繩子長度為CE+5,即可求解.

cos6*

【小問1詳解】

解：如圖1,以A,B,C,。標記矩形的四個頂點.

圖1

ZABC=90°,v=10m/s,ZACB=37°,00=90°,ACAD=37°.

.,.在中，ZABC=90°,cos。=空，

AC

V]=BC=ZCcos9=10x0.8=8m/s.

r)r

?.?在RM/OC中，ZADC=90°,sin(9=——，

AC

v2=CD=ACsin=10x0.6=6m/s,

，繩子的速度為8m/s,v2=6m/s；

【小問2詳解】

延長C4交墻壁于設繩子與滑輪的切點為E.

圖2

由題意得：ZCFE=90°,ZFCE=37°,FC=40m,

FC

：.在Rt^FEC中，cos，=——

EC

：.C^=-^=—=50m.

cos。0.8

L=CE+5=55m.

答：繩子長度為55m.

21.如圖，在RtZ\48C中，ZBAC=90°,48=6,AC=8,點D為BC中點、,過。作。于

E,延長CE至尸，使得E尸=2。￡,連接AF.點尸從點廠出發(fā)沿線段必以每秒而個單位長度向點

8運動，過P作尸?！?c交尸￡）、FC于H、Q.

（1）直接寫出N8ED=；

（2）設△切。與VEDE重疊部分面積為S,求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍.

【答案】（1）45°

%15OQ3

42

(2)S=<

4524527f3八

—tH----1---------</V2

8222

【解析】

【分析】（1）過點8作于點T,利用勾股定理得5C,根據中點求得助，結合

C^EDE1

△CDEs^CBA,得---=----=----=—，求得C￡=4E和?！?進一■步求得EE和DF,利用等面積

CBACBA2

法S.BEC=S“BFD+S9CF求得BF和DF、尸T，根據等腰直角三角形的性質即可；

（2）根據勾股定理求得必，結合AFPQsAFBC解得EP,求得點0和點￡重合時間，①當

3

OV/WQ時，過H作HK上FC,結合AFPQS^FBC.求得/。=57.設HK=h,結合

4

△HKFs^DEF,求得FK,進一步利用4c.求得K0,利用1〃+2/z=5f解得

h=1t,即可求得5=尸0x4K；②當時，則￡0=57—6,結合瞿=黑解得

222HKQK

3

EM^-（5t-6）,求得S△呼，利用S=5△毋一5△眸即可.

【小問1詳解】

解：如圖，過點8作87,即于點7,

B

FAQEC

■：ABAC=90°,AB=6,AC=8,

■.BC=10,

???點。為8C中點，

BD=5,

-DE1A