排列（4個知識點10類熱點題型講練習(xí)題鞏固）（原卷版）

7.2排列

Bl學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)能通過實例，用自己的語言解釋排列的定

義；能用定義判斷是不是排列問題，發(fā)展數(shù)學(xué)

抽象素養(yǎng).(1)理解并掌握排列的概念.

(2)能從排列的定義出發(fā)推導(dǎo)排列數(shù)公式，并(2)能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題.

能用排列數(shù)公式解決有關(guān)計數(shù)問題.(3)能用排列數(shù)公式進行化簡與證明.

(3)能綜合應(yīng)用排列的概念和公式解決簡單的

實際問題.

排列的應(yīng)用

ra知識清單

知識點01排列的概念

1、排列的定義：

一般地，從W個不同的元素中取出機（加W"）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元

素中取出機個元素的一個排列.

知識點詮釋：

（1）排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”.

（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列.

（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從"個不同元素中取出根個元素后，再安

排這根個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列.

【即學(xué)即練1】下列問題是排列問題的是（）

A.從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？

知識點02排列數(shù)

1、排列數(shù)的定義

從幾個不同元素中，任取加（加《〃）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從幾個元素中取出加元素的排列

數(shù)，用符號父表示.

知識點詮釋：

“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指“從"個不同的元素中，任取相（77區(qū)〃）個元素，按照

一定的順序排成一列“，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；

2、排列數(shù)公式

A：="（力—1）（〃—2）（?—m+1）,其中心且m

知識點詮釋：

公式特征：第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是〃-加+1,共有〃2

個因數(shù).

【即學(xué)即練2】（x-2）a—3）（x-4）-（x-15）（xeN+，x>15）可表示為（）

A.A；?B.A匕

c.A'D.A，

知識點03階乘表示式

1、階乘的概念：

把正整數(shù)1至的連乘積，叫做”的階乘.表示：〃!，即％=〃！.

規(guī)定：0!=1.

2、排列數(shù)公式的階乘式：

,?z1、/，,1、n-(n-r)-(n-2)-(n-m+1)■(n-ni)-2-1n\

AA?=n(n-])(〃-2)(n-m+l)=------------------------------———--------------------=---------

(n—m)-21(n—m)\

所以

【即學(xué)即練3】不等式A1>6A/的解集為.

知識點04排列的常見類型與處理方法

1、相鄰元素捆綁法

2、相離問題插空法

3、元素分析法

4、位置分析法

【即學(xué)即練4】2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽.現(xiàn)有六個

參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺獅粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊

不能相鄰，那么不同的站法共有()種.

A.144B.72C.36D.24

04題型精講

k

題型一：排列的概念

【典例in下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法

B.會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相乘，其結(jié)果共有多少種

【典例12】下列問題是排列問題的是()

A.從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法?

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？

【方法技巧與總結(jié)】

判斷一個具體問題是否為排列問題的思路

【變式11】下列問題屬于排列問題的是（）

①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；

②從10個人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作尋運算.

A.①④B.①②C,③④D.①③④

【變式12］從集合｛3,5,7,9,11｝中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的

22

商？③作為橢圓=+七=1（。>0*>0）中的。，b,可以得到多少個焦點在無軸上的橢圓方程？④作為雙

ab

22

曲線-云=1（。>0*>0）中的。，b,可以得到多少個焦點在X軸上的雙曲線方程？

上面四個問題屬于排列問題的是（）

A.①②③④B.②④C.②③D.①④

題型二：畫樹形圖寫排列

【典例21】寫出從a、b、c、1四個元素中任取兩個不同元素的所有排列.

【典例22】寫出下列問題的所有排列：

（1）從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)?

（2）由1,2,3,4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.

【方法技巧與總結(jié)】

樹形圖的畫法

（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)進行確定首位.

（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類.

(3)重復(fù)以上步驟，直到寫完一個排列為止.

【變式21】從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個?

(2)寫出從4個元素a,瓦c,d中任取3個元素的所有排列.

【變式22】求從A,B,C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數(shù)，并寫出所有的排列.

題型三：簡單的排列問題

【典例31】寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列.

【典例32】將A、B、C、。四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排

在第二，C不排在第三，。不排在第四.試寫出他們四人所有不同的排法.

【方法技巧與總結(jié)】

對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數(shù)原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求

解.

【變式31】從1,2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，寫出得到的所有

三位數(shù)，并求出排列數(shù)；

(2)試寫出由1,2,3,4四個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，并求出排列數(shù).

【變式32】從0、1、2、3這4個數(shù)字中選出3個不同的數(shù)字組成1個三位數(shù)，試寫出所有滿足條件的

三位數(shù).

題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用

【典例41】計算下列各式.

(1)A2-A￡

Q*+A；.

【典例42】計算：

(1)A：+A：+A：+A：；

⑵4A：啜5A"

(3)已知A：=7AL，求”

【方法技巧與總結(jié)】

排列數(shù)公式的選擇

(1)排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù).

(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意

階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算.

【變式41】計算下列各題：

A+A

(1)99.

⑵解方程：3A"4A「

【變式42】計算：苓

（2）解不等式:A［＜6A廠.

題型五：階乘的概念及性質(zhì)

【典例51］解關(guān)于，的不等式A；＜6A］2；

（2）解不等式：3A：V2A3+6A：.

【典例52］已知A：+A3=xA：：；（〃eN+，〃W2）,求x的值.

【方法技巧與總結(jié)】

排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的

性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算.

【變式51］證明（〃+1）!一〃!=〃?〃!,并用它來化簡Ixl!+2x2!+3x3!+…+井xlO!.

【變式52］求解下列問題:

2&+7煩

⑴計算:

展一片

(2)求證：A；=nA^；(n>m>2).

【變式53】求證：A：：；=A'=（n+l）A：

題型六：與排列數(shù)公式有關(guān)的證明問題

【典例61】證明：(〃+1)!-加=小〃?。?/p>

(2)化簡：2-2!+3-3!+4-4!++2023-2023!.

【典例62]“『數(shù)”在研究某電動汽車工廠生產(chǎn)中的相關(guān)數(shù)據(jù)發(fā)揮了重要作用，設(shè)，?為非零實數(shù)，對任意

neN.N,m<n,有如下定義:

定義:數(shù)”：[可\=1+/+/+…+A*"]

定義:“r階乘[磯=[l]r[2]r[3]r…㈤,，規(guī)定[0兒=1；

n二回!，

定義:組合數(shù)”:

m[m]!r[n-m]!r

4

⑴求的值.

2

2

(2)證明：對任意〃eN+，〃zeN+，相<〃，都有

nn

mn—m

n—1n—1

②+rm

m—1m

〃+左+1n-

⑶證明：對任意“eN+m—,都有碎]

【方法技巧與總結(jié)】

對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形式有關(guān)的論證時，一般用階乘式.

【變式61】證明下列等式.

(D(〃+1)A"A工，

n-m

nil

【變式62】證明E=7-E，并利用這一結(jié)果化簡:

1239

(1)—+—+—+???+—；

2!3!4!10!

123n

⑵,+靖疝+…+西方

1In

【變式63】證明:H!-(n+l)!-(n+l)!；

1232022

（2）化簡:一+—+一+H----------

2!3!4!2023!

題型七：相鄰問題

【典例71】有7個同學(xué)要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法.

【典例72】行知中學(xué)高二有6名數(shù)學(xué)老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數(shù)為一.

【方法技巧與總結(jié)】

相鄰問題捆綁法

【變式71】4名男生、3名女生站成一排，至少有兩個女生相鄰的站法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【變式72】甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，

丙不站前排，則不同的站法共有種（用數(shù)字作答）.

【變式73］若AaCD,E五人站成一排，如果A,8必須相鄰，那么排法共種.

題型八：不相鄰問題

【典例81】甲、乙等4人排成一列，則甲乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為.

【典例82】五種不同商品在貨架上排成一排，其中48兩種必須連排，而C,。兩種不能連排，則不同

的排法共有種.

【方法技巧與總結(jié)】

不相鄰問題插空法

【變式81］隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要

與“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為.（用數(shù)字作

答）

【變式82]A、B、C、D、￡五人住進編號為1，2,3,4,5的五個房間，每個房間只住一人，貝抬不住

2號房間，且B、C兩人不住編號相鄰房間的住法種數(shù)為.

【變式83]2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗

幟、真抓實干、團結(jié)奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責(zé)，凝聚起扎實推進中國式現(xiàn)

代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學(xué)習(xí)貫徹2024年全國兩會精神”圓

桌會議，根據(jù)會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有種（用數(shù)字作

答）.

題型九：定序問題

【典例91】某次演出有6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有一

種.

【典例92】期中安排考試科目9門，語文，數(shù)學(xué)，英語三門課的前后順序已經(jīng)確定，則期中考試不同

的安排順序有種.

【變式91】將A,B,C,D,E這5個字母排成一列，要求A,B,C在排列中的順序為A,B,C或

C,B,A（可以不相鄰），這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作答）

【變式92]如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最

上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

題型十：間接法

【典例10113名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少與1名女生相鄰，則共有種站法

【典例102】由字母A,B構(gòu)成的一個6位的序列，含有連續(xù)子序列ABA的序列有個（例如

ABAAAA,BAABAB符合題意）

【方法技巧與總結(jié)】

正難則反

【變式101】現(xiàn)有9位同學(xué)圍著圓桌坐成一圈，他們的衣服上分別標(biāo)有號碼1,2,3,…，9,若任意相鄰

兩個號碼之積不小于4,則不同的坐法有種.

【變式102]第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國

際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有種排法.

強化訓(xùn)練

1.某次會議安排甲、乙等六人的座位在第一排的1~6號，其中甲的座位號為奇數(shù)，乙的座位號為偶數(shù)，

且甲、乙不相鄰，則這六人不同的座位安排方法種數(shù)為（）

A.48B.96C.128D.186

2.兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數(shù)為（）

A.3B.6C.12D.24

3.e是自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，被稱為自然常數(shù)或者歐拉數(shù).最初由雅各布?伯努利在研究復(fù)利時發(fā)現(xiàn)，后由

萊昂哈德?歐拉證明其為無理數(shù)，大約為2.718281828.小明是個數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置的數(shù)字密碼時，打算

將自然常數(shù)e的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進行排列得到一個六位數(shù)密碼，那么小明可以設(shè)置（）個

不同密碼.

A.240B.180C.120D.72

4.要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育和藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3

節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法共有（）

A.75種B.144種C.288種D.360種

5.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

6.小花準(zhǔn)備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖

葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

7.北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品

采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和

4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為（）

A.2880B.1440C.720D.576

8.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、英語、體育、藝術(shù)、通技

各一節(jié)課的課表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數(shù)是（）

A.96B.192C.384D.768

9.（多選題）某學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）

A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法

B.從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法

C.將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種

D.8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法.

10.（多選題）某專賣店新進A,B,c,D，E，F(xiàn)，G這7款充電寶，準(zhǔn)備將它們在貨柜里擺成一

排售賣，則下列說法正確的是（）

A.若A,B,C必須擺在前三個位置，則不同的擺法有144種

B.若A,B,C彼此不相鄰，D，E，F(xiàn)，G也彼此不相鄰，則不同的擺法有72種

C.若A,B,c彼此不相鄰,則不同的擺法有1440種

D.若A不能擺在后兩個位置，則不同的擺法有3600種

11.（多選題）“六藝”即“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，為春秋戰(zhàn)國時期讀書人必須學(xué)習(xí)的六種技藝，分別為禮法、

樂舞、射箭、駕車、書法和算術(shù)，其中射箭、駕車（御戰(zhàn)車、駕車）為軍事技能.某國學(xué)館開設(shè)