三角函數(shù)與解三角形-2024年北京高考數(shù)學復習分類匯編（解析版）

專題17三角函數(shù)與解三角形

、.冗

1.(2023?北京)已知函數(shù)/(x)=sindxrcos0+cosG%sin0,0>0,\(p\<—.

(I)若/(0)=一冬求9的值；

(II)若在［-上單調遞增，且;■(與)=1,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一

個作為已知，求。、°的值.

條件①：/(y)=1；

條件②：/(-y)=-l；

條件③：“X)在［一年，一?上單調遞減.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】見解析

【詳解】(I)因為函數(shù)/(x)=sins:cos0+cos5sin0=sin3>x+e),

所以f(0)=sin(p=一號,

又因為|如<］,所以夕=—g.

(II)若選①:嗎)=1；

因為f(g)=l,

所以/(幻在x和*=與時取得最大值1,這與/(無)在［-(,g］上單調遞增矛盾，所以0、9的值不

存在.

若選②：/(--)=-1;

因為〃無)在［］,爭上單調遞增，且/嚀)=1,

所以〃x)在x=-g時取得最小值-1,》=與時取得最大值1,

所以了(元)的最小正周期為T=2x仔+至=2萬，計算。=爺=1,

又因為f(與)=sin(^+Q)=1,所以與+°=2左萬+5，k&Z,

角軍得cp=2kn-W，keZ,,

又因為|°|＜生，所以夕=—工；

26

若選③：/（X）在［q，一？上單調遞減，因為/⑴在［_（,予上單調遞增，且/仔）=1,

所以/（X）在尤=-（時取得最小值-1,x=g時取得最大值1,

所以〃尤）的最小正周期為T=2x（^+?=2;r,所以。=半=1,

又因為/（g）=sin（g+⑼=1,所以g+e=24萬+］,AeZ,

'rr

解得（p-2kjr――fkeZ,,

又因為|例＜工，所以9=一工.

26

2.（2022?北京）在AABC中，sin2C=sinC.

(I)求NC；

（II）若》=6,且AABC的面積為6如，求AABC的周長.

【答案】見解析

【詳解】(I)sin2C=y/3sinC,

2sinCeosC=A/3sinC,

又sinCw0,/.2cosC=6，

cosC=——,0vCv萬,

2

(II)?.?AABC的面積為6石,

—absinC=6-j3,

2

又b=6,C=—J

6

11

—xtzx6x—=6^r3，

22

/.a=4^/3,

a1+/_2

又cosC=c

lab

.73(4^3)2+62-C2

一2-2X4A/3X6'

c=2^/3,

:.a+b+c=6+6-Ji，

，AABC的周長為6+6/.

2萬

3.(2021?北京)在AA5c中，c=2bcosB,NC=—.

3

(I)求ZB；

(II)在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求3c邊

上的中線的長.

條件①c=~Jlb；

條件②AABC的周長為4+2^；

條件③AABC的面積為主叵.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】見解析

【詳角軍】(I)\,c=2bcosB,

由正弦定理可得sinC=2sin6cos6,即sin。=sin26,

―2萬

JC=——，

3

，當。二26時，5=-,即。+3=?,不符合題意，舍去，

3

:.C+2B=兀,

:.2B=-,

3

即3=工.

6

(II)選①c=\[2b,

由正弦定理可得

c=sinC=^_=^＞與已知條件。=叵矛盾，故AABC不存在，

bsinB1

2

選②周長為4+26，

?;C=M,B，,

36

,兀

?，?A=--9

6

由正弦定理可得“一=―竺=^=2R,即==，=—%=2R,

sinAsinBsinCLL

22T

/.a=R,b=R,c=y(3R,

a+Z?+c=(2+yJ^)R-4+2^/5^,

..R=2,即。=2,b=2,c-2^/5,

.?.AABC存在且唯一確定，

設的中點為

.?.CD=1,

在AACD中，運用余弦定理，AD?=AC2+CZ)2—2ACC?COSNC,

即3=4+1—2x2xlx(—g)=7,AD=yf7,

.?.6。邊上的中線的長度近.

選③面積為S.8C=5^，

???A=B=~,

6

:.a=b,

/.S^r=—absinC=—a2x—=,解得〃=指,

2224

余弦定理可得

AZ)2=AC2+CD2-2xACxCDxcos—=3+-+^x—=—,

3424

s后

AD=-----?

2

4.(2020?北京)在AABC中，a+b=ll,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求:

(I)。的值；

(II)sinC和AABC的面積.

條件①：c=7,cosA=--；

7

條件②：cosA=—,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】見解析

【詳解】選擇條件①（I）由余弦定理得儲=/+。2一2"8$4,即/一/二49—14〃x（—；）=49+2〃，

（a+b）（a—Z?）=49+2Z?,

?「a+h=ll,

/.11^-11Z?=49+2Z?,

即Ila—136=49,

聯(lián)立［Mi

解得a=8,b=3,

故a=8.

(II)在AABC中，sinA>0,

.4L-----rr473

/.smA=A/1—COSA=-----,

7

由正弦定理可得

sinAsinC

7W[

.-csinAX7G

a82

*'?^AABC=；Q〃sinC=：x8x3x*=66.

選擇條件②(I)在AABC中，sinA>0,sinB>0,C=7r-(A+B),

1「9

cosAx.——,cosB——,

816

/.sinA=\/l-cos2A=,sin5=\J1-COS2B=,

816

由正弦定理可得—=―心，

sinAsinB

asinA_6

bsinB5

?「a+〃=ll,

..a—6,b=5,

故a=6；

(II)在AABC中，C=7r-(A+B),

■「?0、.,.3A/795A/71A/7

/.sinC=sin(A+B)=smAcosBD+cosA4smBD=-----x——+------x—=——,

8161684

.0一1,?1A<V7_15A/7

..DAp——absinC——xox5x-------------

AABrC2244

5.(2023?朝陽區(qū)一模)設函數(shù)/(x)=AsinGXcos@x+cos2Gx(A>0,0>0),從條件①、條件②、條件③這

三個條件中選擇兩個作為己知，使得了(幻存在.

(1)求函數(shù)〃尤)的解析式；

(2)求了⑺在區(qū)間嗚］上的最大值和最小值.

條件①：/(x)=/(-%);

條件②：/(X)的最大值為g;

條件③：/(%)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為T.

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分.

【答案】見解析

【詳解】(1)若選擇條件①，

、AAA

因為/(x)=—sin2a)x+cos2cox,所以f(-x)=—sin(-2G%)+cos2sin2cox+cos2cox,

由/(%)=/(-%)可得Asin2<uv=。對恒成立，與A>0，G>。矛盾，

所以選擇條件②③，

由題意可得/(-x)=Asin(一妙)cos(-s)+cos2(一GX)=-Asin2s+cos2cox,

7171

設——<67<——,

22

2

A11JA_i_11

由題意可得/(x)=—sinICDX+—cos2①x+—=----------sin(2ox+0)+一,

22222

其中cos67=/,sin。=i1

因為了(尤)的最大值為：，所以當至+<=^,解得4=后,

所以sin9=！，(p=—,

26

由/(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為|?可得(=9,

所以T=---=71、解得G=l,

2G

JT1

所以f(x)=sin(2xH——)+—.

62

(2)由正弦函數(shù)的圖象可得當xe[O,[時，2x+-e[-,—],sin(2x+-)e[-1,1],

266662

所以/(龍)在區(qū)間[o,g上的最大值為g,最小值為o.

6.(2023?西城區(qū)一模)如圖，在AWC中，ZA=—,AC=應，CD平分NACB交AB于點。，CD=石.

3

(I)求NADC的值；

(II)求ABCD的面積.

【詳解】（I）在AADC中，由正弦定理可得，———=，匕

sinZADCsinA

,L

.AC-sinA"2也

貝miUlsmZADC=--------=----=—，

CD732

7t

?.?0<ZAZ?C<-,

3

（II）由（/）可知，AXCD=n--7t--=—,

3412

CD平分NACB交AB于點。，

71

...ZACB=-

6f

71

..ZB=ZADC-ZBCD=-,

6

「.AABC為等腰三角形，

二.BC=2xACxcos—=y/6,

6

./\rr\6

?.?sinZACD=si.n（/---兀----）、=——x--叵-------'-x也——=--7--6----7--2--,

3422224

.?.ABCD的面積為Lx8CxCT>xsinZACZ）=Lx#x若乂通一?=36-3

2244

7.（2023?東城區(qū)一模）已知函數(shù)/（元）=$也尤+5儂*+|0.

(I)求/(%)的最小正周期;

(II)若％=2是函數(shù)y=/(尤)一/(%+0)(0>0)的一個零點，求°的最小值.

6

【答案】見解析

【詳解】(I)因為/(%)=5111%+5111(%+事)=5111%+(51口無+*cosx=Tsinx+*cos%=Gsin(x+E)，

所以/(九)的最小正周期為2萬；

(II)由題設y=f(x)-f(x+°)=百sin(x+-)-y/3sin(x+—+(p),

66

由x是該函數(shù)零點可知,百5皿看+?)一百sin(￡+?+9)=0,即sing+夕)=，，

故一+0=——F2k萬，keZ,或——\-(p=----F2k兀，keZ,

3333

、TC

解得(p=2k兀,keZ或(p=i+2k兀,keZ,

因為9>0,所以9的最小值為

8.(2023?豐臺區(qū)一模)已知函數(shù)/(x)=2sin(s+0)3>O,0<°</)的部分圖象如圖所示.

(1)求了(%)的解析式；

(2)若函數(shù)g(X)="x)sinx,求g(x)在區(qū)間［0,芻上的最大值和最小值.

【答案】見解析

【詳解】(1)由圖象可知：7=4(—--)=2^,

44

@二1,

將點(￡,2)代入y"(無)得/(￡)=2sin(￡+°)=2,

444

71

'.cp=—F2k7i,kQZ,

4

?「0<夕<萬，

71

(D——,

4

71

：./(x)=2sin(x+—)；；

(2)g(x)=f(x)sinx=A/2sinx(sinx+cosx)=(sinlx—cos2x)+=sin(2x-—)+，

由尤e[0,￡]得勺，

4444

當2%-5=-5時,即％=0，g(%)加加=。，

當2》一"="時，即x=gg(x)s=^.

3

9.(2023?順義區(qū)二模)在AABC中，a=6,sinA=-sinB.

2

(I)求6；

(II)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求AABC的面積.

條件①：ZB=—；

3

條件②：邊上中線的長為J萬；

條件③：sinB=sin2A.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】見解析

【詳解】(/)因為sinA=]Sin3,

在AABC中，由正弦定理一匕=—也，

sinAsinB

可得：a=—b，

2

又因為a=6，

所以b=4；

(II)選擇條件①,

因為COS8/+L*

2ac

36+C2-16

所以—

212c

貝！|C2+6C+20=0,無解;

選擇條件②,

設3C邊上的中線為AD,貝1|AD=&7,CD=3,在AACD中，由余弦定理得:

222222

「AC+CD-AD4+3-(#7)1

cosC=------------------------=----------------------=—,

2ACCD2x4x33

因為cosC=；,Ce(0,%),所以sinC=J1-COS2C=￥

ii2XF1r-

所以MBC的面積為3=—。/^詁。=一、6乂4>^^=8尤；

223

選擇條件③，

、3

由題設，因為sin2A=2sinAcosA,所以sin5=2sinAcosA,因為sinA=—sinB,所以sin5=3sinBcosA,

2

因為5e(0,?),所以sin5w0,

所以cosA=—,

3

由余弦定理片=。2+，—2bccosA可得：

1

36=16+c92-2x4xcx—,

3

整理得3c之一8c—60=0,解得c=6或一W(舍)，

3

因為cosA=g,A￡(0,1),所以sinA=Jl一cos?A=,

所以AABC的面積為5=工6csinA=^x4x6x^l=8a.

223

10.(2023?石景山區(qū)一模)如圖，在AABC中，AC=4應，C=-,點。在邊BC上，cosZADB=~.

63

(I)求4)的長；

(II)若AABD的面積為2&,求AB的長.

【答案】見解析

【詳解】(I)cosZADB=-,cosZADC=~-且OvNADCv萬，

33

sinZADC=Jl-(1)2=半,

根據(jù)正弦定理*_=,

sinZCsinZADC

—曰sACsinZC.nr13.

可得AD=------------=4^2x—x—產=3；

sinZADC220

26

(II)???sinNAZ>5=sin(4—ZADC)=sinZADC=^-

???1AD-BD-sinZADB=yf2BD,

y/2BD=2A/2,得BD=2,

又cosZ.ADB=cos(乃-ZADC)=-cosZADC=：,

2

由余弦定理得AB?=32+2-2X3X2X-=9,

3

AB=3.

11.(2023?東城區(qū)二模)在AABC中，bsinA-acos-=0.

2

(I)求ZB；

(II)若b=3,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確

定，求。及AABC的面積.

條件①：sinA+sinC=2sinB；

條件②：c=y/3；

條件③：tzc=10.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】見解析

【詳解】(I)由正弦定理得sinAsin5-sinA-sinAcosO=0,/.sinB-cos—=0,

22

因為0<0〈工，所以々cos'w0.

222

ma.51B7t?n

所以sin—=—,—=—,B=—.

22263

(II)選條件①：sinA+sinC=2sinB.

jr

因為〃=3,5=sinA+sinC=2sin6.

由正弦定理得a+c=2&=6,由余弦定理得9=/+。2一QC=(〃+C)2—3〃C

解得ac=9.

所以SAABC=|acsinB=^.

由卜立，解得a=3.

[a+c=6,

選條件②：c=6

已知5=工)=3,c=6,由正弦定理得sinC=￡sin3=',

3b2

因為cvb,

所以C=&，A=—,.a=y/b2+c2=2』.

62

所以SMBC=；bc=^^?

選條件③：ac=10,由余弦定理得9=Q2+。2—〃=（Q+C）2一3〃。，gpa-^c=y/39,

所以〃（屈一。）二10,即〃_揚〃+10=0,因為（如產一4x10=—1<0,

所以不存在。使得AABC存在.

12.(2023?海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+cos(2x+^-),且/(?)=；,

(1)求。的值和/(%)的最小正周期；

(2)求/(%)在［0,%］上的單調遞增區(qū)間.

【答案】見解析

【詳解】(1)因為/(x)=asinxcos%+cos(2x+令，且/(?)=g,

所以/(—)=CLsin—cos—+cos(2x—+—)=-,

444462222

解得。=2,

所以/(%)—2sinxcosx+cos(2x+令=sin2x+cos2xcos看—sin2xsin看

—sin2x4cos2xsin2x—cos2x4sin2x—sin(2xH),

22223

即/(%)=sin(2x+y),

O■rr

所以了(元)的最小正周期7=§=萬；

(2)由一至+2AT微必x+工—+2kTi,keZ,

232

解得——+左通！k巴+k兀,左￡Z,

1212

所以f(x)=Sin(2x+1)的單調遞增區(qū)間為［-||+左匹［+左加，左￡Z,

當左=0時，/(%)的單調遞增區(qū)間為［—言會

當左=1時，/(%)的單調遞增區(qū)間為［衛(wèi),史］,

所以/(無)在[0,句上的單調遞增區(qū)間為。工]，[衛(wèi)，力.

1212

13.(2023?西城區(qū)二模)已知函數(shù)/(%)=$111(2%+0)+8$2%,其中|夕|<1.再從條件①、條件②、條件③

中選擇一個作為已知，使“X)存在，并完成下列兩個問題.

(I)求。的值；

(II)當xe[-工，勺時，若曲線y=/(x)與直線y=%恰有一個公共點，求機的取值范圍.

63

條件①：f(^)=-l;

條件②：-春是“X)的一個零點；

條件③：f(0)=/(j).

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】見解析

【詳解】(I)選①時，/(a=sing+0)+cos(g)=-1,即sin(5+e)=_]_cos(q)=_]_<=一■!，

sin(g+9)最小值是-1,故選條件①時，/(x)不存在；

選②時，/(一_—)=sin(-—+(p)+cos(--)=0,

1266

EPsin(-—+(p)=-cos(--)=--，

662

rCLI、I17C__p,TC47r_,

n\以---(P=----------F2k77i，k7JZ,或i------F0=--------F，kGZ.

6363

兀_3兀

(P------F2&7T，kGZ,(p-------F2左TT，左￡Z,

62

因為，所以e=q；

選③時，/(0)=sin^+cosO=sin^+l,/(§)=sin(w+°)+cos彳=sin(§+9)-5.

即sin°+l=sin(夸+0)一；，

日口.1百1.1

B|Jsm^+l=-^-cos^---,

整理得OsinQ一^^COSQ=，

222

利用輔助角公式得石sin(夕-生)=-』，即sin(p-e)=-走，由選②同理可知0=-工；

62626

(II)由(I)可知9=一工，

貝U/(x)=sin(2龍-3)+cos2x=-sin2x--cos2x+cos2x=—sin2x+—cos2x=sin(2元+,

8

(1)求AABC的面積；

(2)求c及sinA的值.

【答案】見解析

【詳解】(1)由cosC='且0<C<%,則sinC=』包，

88

所以S^c=gabsinC=

(2)由c2=a2+b2—2"cosC=16+25—5=36,貝!Jc=6,

=則sinA=^^=也.

sinCsinAc4

15.(2023?海淀區(qū)一模)在AABC中，6sin2A=gasinB.

(I)求ZA；

(II)若AABC的面積為36，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使AABC存

在且唯一確定，求。的值.

條件①：sinC=RI；條件②：2=±8；條件③：*=叵

7c47

注：如果選擇的條件不符合要求，第(〃)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答

計分.

【答案】見解析

【詳解】(I)因為。sin2A=J5asinB,由正弦定理得，sinBsin2A=y/3sinAsinB,

又5c(0,?),所以sin5w0,得至！Jsin2A=GsinA,

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=6sinA,

又AW(0,TT),所以sinAwO,得到cosA=立，所以A=2；

26

(II)選條件①：sinC=￡I；

7

2"

由(1)知，A=-,根據(jù)正弦定理知，-=-=^-=—>1,即c>“，

6asinA7

2

所以角C有銳角或鈍角兩種情況，AABC存在，但不唯一，故不選此條件.

選條件②：嘰空;

c4

因為5MBe=^besinA=^bcsm^=-^bc=3^,所以be=12百,

又2=氧|,得到6=拽^,代入m=12g,得到更c2=i2g,解得c=4,所以6=3若，

c444

由余弦定理得，a2=Z?2+C2-2Z7CCOSA=(3A/3)2+42-2x373x4x^=27+16-36=7,所以a=77.

選條件③：cosC=叵;

7

因為SMBC=3^csinA=gocsin?=1oc=3/，所以Z?c=12百,

由cosC=，得至ljsinC=A/1-COS2C=.11--=^2-,

7V497

jr

又sin5=sin(?—A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知4=—,

6

所以sinB」x畫+也x@=通，

277214

又由正弦定理得2=皿=^^=空，得至Ij6=^c,代入6c=12退，得至I］述c?=i2若，解得。=4,

csinC2J7444

7

所以Z?=3A/3,

由余弦定理得，a2=Z72+C2-2/7CCOSA=(3T3)2+42-2X3A/3X4X—=27+16-36=7,所以。=曲.

2

16.（2023?豐臺區(qū)二模）在四邊形ABCD中，AB=1,CD=DA=2,BC=3,再從條件①、條件②這兩個

條件中選擇一個作為已知，解決下列問題.

（I）求班）的長;

(II)求四邊形ABCD的面積.

條件①：cosZDBC=—；

3

條件②：ZDCB+ZDAB=TT.

【答案】見解析

【詳解】（I）選①，在ABC。中，3C=3,CD=2,cosZDBC=—

3

由余弦定理可得cosZDBC=BD2+BC2-CD。,

2BDBC

可得或=也上々，

32x3x5。

整理可得—2b5D+5=0,

解得89=百；

、小?z.-j-m―曰/n4c+AZ)2—BD?I2+22—BD^5-BD^

選②，在MBD中，由余弦TE理可得cosNBAD=-----------------------=------------------=-----------，

2ABAD2x1x24

六「八>…-口占E-r，曰小「八BC2+CD2-BD231+21-BD213-BD2

在ABCD中，由余弦定理可得cosN3CD=------------------------=------------------=------------,

2BCCD2x2x312

因為NDCB+NH4B=%,

C_DF)21Q_DF)2

所以cosNa4D+cosN3CD=0,即:——+———=0,解得BD=S.

412

(II)選①，由(I)BD=如，sinNDBC=J1-cos2NDBC=2,

3

可得心8=|BDJBC-sinZDBC=1x^/5x3x|=A/5,

在AAfiD中，因為AB'AO'BD2,可得AB_L">,可得鼠初AD=：xlx2=l,

所以四邊形ABCD的面積5=5枷°+5M8=如+1;

選②，由(I)BD=@,

在MBD中，由余弦定理可得cosNDAB=R+S-M=F+Z—M=_J_,

2ABAD2x1x22

可得sinNDAB=Jl-cos^NDAB=走,可得=-AB-AD-sinZDAB=-xlx2x—,

在ABCD中，由余弦定理可得cos/BCD=5c?+'―A灰=學+展—(幣*=j_,可得sinN5c。=走，

2BCCD2x2x322

可得%8=（3CCO.sinN5cD=；x2x3x弓二￥，

所以四邊形ABCD的面積S=SM5￡）+S^CD=~~+=2百.

17.(2023?房山區(qū)一模)已知函數(shù)/(jr)=sin(cu%+0)(G>O,0<°〈萬)的最小正周期為萬.

(1)求g值；

(2)再從條件①.條件②、條件③三個條件中選擇一個作為已知.確定了(X)的解析式.設函數(shù)

g(x)=/(%)-2sin2%,求g(x)的單調增區(qū)間.條件①：/(X)是偶函數(shù)；條件②：/(X)圖象過點(三,1)；條

6

件③：人無)圖象的一個對稱中心為(||,0).注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給

分.

【答案】見解析

_OJr

【詳解】⑴由條件可知，—=71,解得0=2；

CD

(2)由(1)可知，f(x)=sin(2x+(p){co>0,0<夕〈萬)，

若選擇條件①：/(乃是偶函數(shù)，

-JT

所以2x0+o=——Fk兀、左￡Z,

2

因為0<°〈萬，

所以0=(,

■JT

所以f(x)=sin(2x+—)=cos2x,

所以g(x)=cos2x-2sin2x=cos2x+cos2x—1=2cos2x-l,

令-7i+2左通必r2kji,keZ,

77-

解得---F左技!kkji,左￡Z,

2

函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是[-1+k7t,k%],k&Z;

若選擇條件②：于(X)圖象過點(-,1)，

6

jrjr

貝lj/(—)=sin(2x——F0)=1,

66

貝!Jg+0=]+2k兀,keZ,即夕二g+2左犯kwZ,

因為Ov°<?，

所以夕=2

所以/(x)=sin(2xd——)，

6

所以g(x)=sin(2x+?)-2sin2x=~~~s^n2x+geos2x+cos2x-l=^-sin2x+geos2x-1=A/3sin(2x+^)-1,

令一二+2左感?%+二—+Ikn,k^Z,

232

解得：-米+左成覿—+^,

1212

所以g(x)的單調遞增區(qū)間是+左凡展+左加水￡Z.

如選擇條件③：于(X)圖象的一個對稱中心為(尢■,()),

5454

所以2x----\-(p=kn,左wZ,(p=k7T------,

126

因為。所以夕=看

jr

所以/(%)=sin(2xH——)，

6

所以g(犬)=sin(2x+—)-2sin2x=^^sin2x+—cos2x+cos2x-l=-sin2x+—cos2無一1=Gsin(2x+-)-1，

622223

令一二+2左展電工+e—+2kn,k^Z,

232

解得—包+版麴I—+k7i,

1212

所以g(x)的單調遞增區(qū)間是［-||+0噌+keZ.

18.(2023?平谷區(qū)一模)在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且atanB=2Z?sinA.

(1)求角5的大小;

(2)若3C=4,A=生，求AABC的面積.

4

【答案】見解析

【詳解】(1)atanB=2〃sinA,

/.sinA--------=2sinB-sinA,

cos5

\,0<A<7r,0<B<7r,

/.sinA>0,sinB>0,

二.cosB=—,

2

\,0<B<7Tf

??.B=-；

3

(2)由(1)知，B=-

39

4兀

*:A=一,

4

C=7r—A—B，

.V21A/27376+^

sinC=sm(A+B)=sinAcosB+cosAsmBD=——x—+——x——=-----------,

22224

4XA/6+V|

由正弦定理^=-^,^c=a'SmC=----/一=2+2-，

sinAsinCsinA/2

~T

故％c=|acsinB=1x4x(2+2^)x^=6+2V3.

19.(2023?通州區(qū)一模)在AABC*中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinAcosB=2sinA—cosAsinB.

(i)求電￡的值；

sinA

(2)若6=3,從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得A/WC存在且唯一確定，求AABC的面積.

條件①：cos8=U;條件②：sinC=巫；條件③：AABC的周長為9.

164

【答案】見解析

【詳解】(1)sinAcosB—2sinA—cosAsinB,則2sinA=sinAcosB+cosAsin3=sin(A+B)=sinC,

.sinC

..------=z；

sinA

(2)由(1)得sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

z72+62_*.47—911

若選條件①：由余弦定理得cos5="+。"，即"+4。'J,

lac4〃16

又a>0,角軍得a=2,貝！Jc=4,

此時AABC存在且唯一確定，

jjr

-/cosB=—>0,則5￡(0,—),

162

/.sinB=^1-cos2B=,

16

.q-1.nJ°/3厲3A

..S二-acsinB=-x2x4x-------=----------；

22164

若選條件②：即C>A,

若C為銳角，則cosC=A/1—sin2C=—,

4

/4—―21,Q_4/o

由余弦定理cosC="，即1+”例，整理得2a2+〃_6=0,且〃>0,解得〃=士，貝Uc=3；

2ab46a2

若。為鈍角，則cosC=-J1-Sil?C=—L

4

由余弦定理得cosC="，即—_L=Q十"，整理得2片—a—6=0,且a>0,解得4=2,貝lc=4；

lab46a

綜上所述，此時AABC存在但不唯一確定，不合題意；

若條件③：由題意得a+〃+c=9,即a+3+2a=9,解得。=2,貝!Jc=4,

此時AABC存在且唯一確定,

22—

rArJL,-j-m/R-6Z+t?2—Z?4+16911

由余弦定理得cosB=---------------=-------------=—>0,

2ac2x2x416

則BG(0,—),sin3=A/1-COS2B=

216

=L"、2x4工迎

22164

20.（2023?海淀區(qū)校級模擬）在AABC中，,cosA=—

a510

（I）求證：AABC為等腰三角形;

（II）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一，求6的值.

條件①：ZB=—；

6

條件②：A4BC的面積為”;

2

條件③：池邊上的高為3.

【答案】見解析

【詳解】（I）證明：因為在AABC中,

所以由正弦定理可得包或，所以粵芻=叵，解得sin8=3,

asinA3，1055

10

因為2=巫<1,即6<°,可得3為銳角,

a5

所以cosB=y/1—sin2B=',

所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=一^^x—+3yx—==cosA,

10510510

又A,Cw(0,?),

所以A=C,即AABC為等腰三角形，得證;

(II)若選條件①：因為N5=