三角形的證明 知識歸納與題型突破（二十三類題型清單）原卷版-2024-2025學年北師大版八年級數(shù)學下冊

三角形的證明知識歸納與題型突破（23類題型）

01思維導圖

一、等腰三角形

i.三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對應邊相等，對應角也相等.判定：SSS、SAS、ASA,AAS、HL.

2.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形是軸對稱圖形.

②.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線是等腰

三角形的對稱軸.

③.等腰三角形的兩個底角相等.

3.等腰三角形的判定

有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊.

4.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條

對稱軸.

判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形.

5.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

要點：等邊三角形是中考中?？嫉闹R點，并且有關(guān)它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)

要熟記于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是，面積是g/含有30°的直角三角形揭示了三角

24

形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時也為我們學習三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

二、直角三角形

1.從角的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定

定理：直角三角形的兩個銳角互余.

逆定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

3.命題與逆命題

命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；

4.直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL).

三、線段的垂直平分線

1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.

3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于LAB的長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN,則

2

直線MN就是線段AB的垂直平分線.

要點：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應用范圍；

②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.

四、角平分線

1.角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.

2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

要點：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應用范圍；

②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時，要構(gòu)造全等三角形.

03題型歸納

題型一根據(jù)等腰三角形的定義求角度

例題

1.一個頂角為126。的等腰三角形，它的底角的度數(shù)為（）

A.18°B.24°C.27°D.34°

鞏固訓練

2.已知等腰三角形的一個角等于100。，則它的頂角是（）

A.80°B.100°C.80。或20°D.不能確定

3.如果等腰三角形的一個角是80。，則它的頂角度數(shù)是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

題型二根據(jù)等腰三角形的定義求邊長

例題

4.若一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則第三邊的長為（

A.4B.6C.8D.4或8

鞏固訓練

5.等腰三角形的兩邊長分別為4cm和7cm,則周長為（）

A.15cmB.18cmC.13cm或18cmD.15cm或18cm

6.已知等腰△/BC中，其中一邊長為4,周長為17,則其底邊長為（）

A.4B.9C.4或9D.不存在

題型三等角對等邊

例題

7.已知△48C,AB=AC,AB=65°,則—C的度數(shù)是（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

鞏固訓練

8.如圖，已知。E〃8C,/2=/C,/l=125。，則NC的度數(shù)是（）

C.45°D.35°

9.如圖，中，。是3c邊上一點,AC=AD=BD,NA4c=105。，則NC的度數(shù)為（

C.45°D.50°

10.如圖，在△N3C中，AC=BCD,E,尸分別是4B,AC,3c上的點，且4E=BD,AD=BF,

若NEDF=43。,則/C的度數(shù)是（）

C.94°D.129°

題型四等腰三角形的“三線合一”

例題

II.如圖，在△N8C中，AD1BC,AB=AC,若5。=4,則DC的長是（）

C.6D.8

鞏固訓練

12.下列說法中，正確的是（）

A.等腰三角形的高線、中線、角平分線重合B.頂角為60。的等腰三角形是等邊三角形

C.等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸D.等邊三角形不是軸對稱圖形

13.如圖，在△ABC中，N2=/C,點。為的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.NB=NBACB.ZBAD=ZCADC.ZBDA=ZCDAD.NB=NC

14.如圖，ZX/BC中，4B=AC,AD^LBC于點D,DEJ.AB于點、E,BFJ.AC于點、F,BF=8,則。E的

長為（）

題型五等腰三角形的格點問題

例題

15.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知/、8是兩格點，如果C也是圖中的格點且使

△/2C為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

鞏固訓練

16.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知點/,3是格點，如果點尸也是圖中的格點,

且使得是以為腰的等腰直角三角形；則點P的個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.8

題型六等角對等邊；等腰三角形的判定

例題

17.在A43C中，NB=C,AB=5.貝!]/C=（）

A.12B.9C.5D.2

鞏固訓練

18.下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（）

A.a=3,6=3,c=4B.a:b:c=2:2:4

C.Z5=50°,/C=80°D.ZA:ZB:ZC=1:1:2

19.如圖，已知N1=N2,NB=NC,不正確的等式是（）

A.AB=ACB.NBAE=NCADC.BEDCD.BD=DE

20.如圖，己知△4BC中，ZABC=45°,尸是高NO和BE的交點，。=4,則線段。尸的長度為（）

A

A.72B.4C.5D.2V2

21.如圖，△ABC中，BO平分NABC,CO平分NNC2,MV經(jīng)過點。，與AB,NC相交于點M,N,

宣MN〃BC,已知/B=3,/C=4,SC=4.5,則A/W的周長為（）

題型七等腰三角形的尺規(guī)作圖

例題

22.如圖，在△ABC中，AB=/C,//=50。，根據(jù)作圖痕跡，可知/C8O=()

A.80°B.60°C.45°D.50°

鞏固訓練

23.如圖，已知直線/及直線/外一點P,過點P作直線,!的平行線，下面四種作法中錯誤的是()

人拿1BW

①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高;

②已知等腰三角形的底邊和腰;

③己知等腰三角形的底邊和一底角.

A.①②③B.②①③C.③①②D.②③①

題型八等邊三角形的性質(zhì)

例題

25.等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（）

A.1條B.2條

C.3條D.6條

鞏固訓練

26.如圖，已知等邊三角形48C,且則Z1的度數(shù)為（）

C.60°D.75°

27.等邊三角形的一邊與這邊上的高的比是（）

A.73：2B.73：1C.2：V3D.1：V3

28.已知直線?！ê飳⒌冗吶切?8C按如圖方式放置，點B在直線6上，若/2=130。，則N1的度數(shù)為

A

2

B4\b

C

A.10°B.12°C.18°D.20°

29.如圖，在等邊三角形48c中42=4,BD是/C邊上的高，延長3c至點E,使CE=CD,則BE的長

為.

30.如圖，已知是等邊三角形，2C=OC,E是4）上的點，CE〃4B,與BD交于點、F.若/CBD=40。,

則/DCE的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.2°D.25°

題型九等邊三角形的判定

例題

31.在△4BC中，已知4B=/C,再添加一個條件,就能使△48C是等邊三角形.（只要寫出一個符

合題意的條件即可）

鞏固訓練

32.下面給出幾種三角形：（1）有兩個角為60。的三角形；（2）三個外角都相等的三角形；（3）一邊上的高

也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個角為60。的等腰三角形，其中是等邊三角形的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

33.如圖，下列哪個條件能推出△4BC是等邊三角形的是（）

A.NB=NCB.AD1BC,BD=CD

C.AD1BC,BD=CD,ABAD=30°D.AD±BC,ABAD=ZACD

題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合

例題

34.如圖，△/BC中，ZACB=90°,ZA=60°,。是邊上一點，ZBCD=30°,BD=4cm,則4CD的

周長為（）

A.6cmB.8cmC.12cmD.16cm

鞏固訓練

35.如圖，△48C是等邊三角形，點。為/C邊上一點，以BD為邊作等邊ABDE,連接CE.若CD=2,

CE=6,則BC=（）

A.7B.8C.9D.10

題型十一直角三角形的兩個銳角互余及其逆定理

例題

36.如圖，在RtZkASC中，44c8=90。，于點。.若乙4=35。，則的度數(shù)為（

B.35°C.30°D.25°

鞏固訓練

37.如圖，已知直線Q〃b,AB1a,垂足為5,/I=48。，則N4的度數(shù)是（)

A.32°B.42°C.48°D.52°

38.在中，下列哪組條件不能判定△/BC是直角三角形（）

A.NC:N5:N4=2:2:4B.AB=5,AC=12,BC=13

C.ZC:ZB:ZA=3:4:5D.ZA+ZC=ZB

題型十二“HL”

例題

39.如圖，ACLBC,DF工EF,AC=DF,AB=DE,則判定之RtZ\QE尸的依據(jù)是（）

B.SSSC.HLD.AAS

鞏固訓練

40.如圖，在Rt/X/BC中，NACB=90。,E是4B上一點,且BE=BC,過點E作?！?交4。于點

連接如果4C=3cm,則4D+QE等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

41.如圖，在△48C中，ZC=90°,/C=12,BC=6,P、。兩點分別在NC和過點A且垂直于/C的射

42.如圖，在等腰△48。中,AB=AC,ZB=50°,點。為邊2c的中點，點E在邊4B上，

ZAED=69°.若點尸是等腰△4BC的腰/C上的一點，當△瓦乃為等腰三角形時，則NEAP的度數(shù)是

)

題型十三直角三角形的30°角的性質(zhì)

例題

43.如圖，在△/5C中，NACB=90°,S是高，ZA=30°fBD=2,則45的長為（）

A.4B.6C.8D.10

鞏固訓練

44.如圖，在△NBC中，N/CB=90。，CD是高，乙4=30。，AB=4.則BD長為()

D.4

45.如圖，在△/BC中，4=30。，ZBAC=105°,AC=3底,則3C的長為()

D.12

題型十四勾股定理及其逆定理

例題

46.一直角三角形斜邊長為10,一直角邊長為9,則另一直角邊長為

鞏固訓練

47.如圖，在△4BC中，AB1AC,垂足為4Ao是NC邊上的中線，48=5cm,4D=6cm,則2C的長

是.

48.如下圖以直角三角形三條邊為分別向外作三個正方形，其中兩個正方形的面積分別為225和289,則圖

中正方形字母/所代表的正方形的面積為.

49.一塊鋼板形狀如圖所示，若48=3,BC=4,AB±BC,CD=12,AD=13,則這塊鋼板的面積為

D

A（_J

5°--1

50.如圖，每個小正方形邊長都為1,連接小正方形的三個頂點A,B,C,可得△ZBC,則邊BC上的高

為.

51.如圖,折疊長方形ABCD一邊AD,使。落在3C邊的點尸處，已知=6,8C=10,則CE的長.

題型十五互逆命題與互逆定理

例題

52.下列說法中，正確的是（）

A.每個命題不一定都有逆命題

B.每個定理都有逆定理

C.真命題的逆命題仍是真命題

D.假命題的逆命題未必是假命題

鞏固訓練

53.命題“直角三角形兩個銳角互余”.這個命題的逆命題是：.這個逆命題是一命題.（填

“真"或假'）

54.命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是（"如果……那么……”的形

式表示）.

題型十六線段的垂直平分線的性質(zhì)

例題

55.如圖，△48C中，DE垂直平分/C交于點E,44=30。，48=70。，貝!]ZBCE=

C

鞏固訓練

56.如圖，△ABC中，DE垂直平分3C,若48=8,4c=10,則△48。的周長是.

57.如圖，△48C中，ABAC=9Q°,4C=8cm,DE是BC邊上的垂直平分線，△48。的周長為14cm,則48

的長度是cm.

題型十七線段的垂直平分線的判定

例題

58.如圖，在△/BC中，AD1BC,BD=CD,AB=5cm,AC=_cm.

鞏固訓練

59.如圖，△4BC周長為16cm,AC=6cm,AD1BC,所垂直平分NC,BD=DE,則OC=

cm.

例題

6°-如圖,在△曲中，d9。。，分別以點/和點C為圓心，大于梟C的長為半徑畫弧，兩弧相交于點

M、N,作直線交3c于點D,連接4D.若NC=30。，AD=12,貝i」3C=.

A

B/DC

鞏固訓練

61.如圖，在RtZk/BC中，ZC=90°,AC=4,3C=8,按下列步驟作圖：

步驟1：分別以點4點8為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點：

2

步驟2：作直線"N交2c于點，交AB于點、E,則CC）的長為.

62.如圖，在△ASC中，ZC=90°,HD平分/BAC交BC于點D,若3c=8,BD=5,則點。到4B的距

離為.

鞏固訓練

63.如圖，在RtZUBC中，/。=90。,40平分/。4民。。=4,/8=17,則443。的面積為

64.如圖，射線OE是的平分線，C是射線OE上一點，且C/1CM于點尸，CF=3,OC=10.點

。是射線03上一動點，當CD=5時,。。的長度是.

65.如圖，△48C的三邊AC,3c的長分別為4、6、8,其三條角平分線將△ASC分成三個三角形，則

題型二十角平分線的判定

例題

66.如圖，4BL8C于點2,4O1OC于點。，若CB=CD,且Nl=30。，則NC4D的度數(shù)是（）

A.90°B.60°C.30°D.1

鞏固訓練

67.如圖，0c是NMON內(nèi)部一條射線，P為射線OC上一點，尸于點4PBLOM于點、B.下面不

能判定。尸是NMON的平分線的是（）

A.ZM0C=ZNOCB.PA=PBC.OA=OBD.PB=OB

題型二十一角平分線的尺規(guī)作圖

例題

68.如圖，Rt^AgC中，ZC=90°,/8=40。，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交4B于點E,交/C

于點尸，再分別以點E,b為圓心，大于g跖的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在/A4c的內(nèi)

部相交于點P;畫射線的與8c相交于點。，則-4DC的大小為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

鞏固訓練

69.如圖，-08為已知角，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準確的作出N/O3的平分線,

第一步：在射線04。3上分別截取8,OE,使。D=OE；

第二步：分別以點。和點E為圓心，適當長（大于線段?！觊L的一半）為半徑做圓弧，在內(nèi)，兩弧

交于點C;

第三步：作射線。C.

射線OC就是所要求作的ZAOB的平分線.

用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

70.如圖，在中，ZC=90°,以頂點“為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊于點〃、

N,再分別以N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線的交邊3c于點。，若

CD=3,AB=10,貝［JANBD的面積為（）

題型二十二其他問題

例題

71.到三角形三邊距離相等的點是三角形的（）

A.三邊垂直平分線的交點B.三條高所在直線的交點

C.三條角平分線的交點D.三條中線的交點

鞏固訓練

72.在聯(lián)歡晚會上，有A、8、C三名同學站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要

求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當?shù)奈恢迷凇鱊BC的

（）

A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點

C.三邊上高的交點D.三條垂直平分線的交點

73.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則頂角的度數(shù)為（）

A.40°B.40?；?30°C.40?；?40°D.140°

題型二十三解答題

例題

74.如圖，在△N8C中，NABE=NACE,/BED=NCED.求證：AD±BC.

A

a

鞏固訓練

75.如圖，AD//BC,AA=90°E是48上的一點，且4D=8E,Z1=Z2.求證：DEICE.

---------------T

76.RtZMBC中，ZACB=9Q°,△ABC的高CD與角平分線BE交于點F.

c

ADB

(1)求證/。。=48。。；

(2)求證：ACE尸為等腰三角形.

77.如圖，在