實(shí)數(shù)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型突破）解析版-2024-2025學(xué)年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

實(shí)數(shù)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型突破）

01思維導(dǎo)圖

平方根、算術(shù)平方根

平方根和立方根

立方根

實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的定義

實(shí)數(shù)的性質(zhì)

實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)的比較大小

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)一：平方根和立方根

^類型

平方根立方根

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號(hào)表示±G

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

性質(zhì)相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

沒有平方根；零的立方根是零；

(?)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結(jié)論V?"二Q

\-a{a<0)V-ci--\[a

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)

1.實(shí)數(shù)的分類

按定義分：按與o的大小關(guān)系分:

正有理數(shù)

正數(shù)

'有理數(shù):有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)

無(wú)理數(shù):無(wú)限不循環(huán)小數(shù)<0

負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

特別說明：(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無(wú)

限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

(2)無(wú)理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如、6,艙等；②有特殊意義的數(shù)，如口；③有特定結(jié)構(gòu)的

數(shù)，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，并且無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

(4)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)----對(duì)應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).

3實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式:

1任何個(gè)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|a|20

2)任何個(gè)實(shí)數(shù)。的平方是非負(fù)數(shù)即/2o

3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)即4a>0(a>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)

1)非負(fù)數(shù)有最小值零

2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)

(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算:

數(shù)。的相反數(shù)是一。；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值

是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.

5實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；

法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

03題型歸納

題型一平方根、算術(shù)平方根、立方根

例題：(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)1的平方根；1的算術(shù)平方根；1的立方根；

【答案】±111

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、求一個(gè)數(shù)的平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題考查了求平方根和立方根，根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的意義，逐個(gè)計(jì)算即可.

【詳解】解：1的平方根是±1,1的算術(shù)平方根是1,1的立方根是1,

故答案為：±1,1,1.

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23七年級(jí)下?重慶江津?期末)癇的平方根是,-8的立方根是.

【答案】±2-2

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題主要考查了平方根和立方根的概念，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

本題根據(jù)立方根和平方根的定義可知癇=4,4的平方根是±2,-8的立方根是-2,由此就求出.

【詳解】解：癇=4,4的平方根是±2；

-8的立方根是-2；

故答案為：±2；-2

2.(23-24七年級(jí)下?福建廈門?期末)計(jì)算：(1)79=；(2)雙=；(3)±"=:

(4)|1-V3|=.

【答案】32±2V3-1/-1+V3

【知識(shí)點(diǎn)】化簡(jiǎn)絕對(duì)值、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、求一個(gè)數(shù)的平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，平方根，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)運(yùn)算法則逐題計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)V9=3

(2)我=2

(3)±^4=+2

(4)vl-^<0

.-.|1-A/3|=A/3-1

故答案為：(1)3；(2)2；(3)±2；(4)V3—1?

題型二非負(fù)數(shù)的性質(zhì):算術(shù)平方根

例題：(23-24八年級(jí)下?廣東江門?期末)已知x、y為實(shí)數(shù)，且K萬(wàn)+3。-2『=0,貝ijx-y=.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

【分析】本題考查了平方的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)平方和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出x、y

的值，代入計(jì)算，即可求解；理解平方與算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

x-l=O,y-2=0,

解得：x=l,V=2,

/.x-y

=1-2

=-1,

故答案為：-1.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24七年級(jí)下?新疆喀什?期末)若實(shí)數(shù)a,b滿足|“+2|+而與=。，則而^的值是.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、絕對(duì)值非負(fù)性

【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得

a+2=0,6—3=0,a=-2,b=3,據(jù)止匕代值計(jì)算即可.

【詳解】解：|^+2|+>Jb—3=0,1+2120,Jb-320,

/.|<2+2|="-3=0,

，Q+2=0,6—3=0,

/.a=—2,6=3,

yja+b—J-2+3—1，

故答案為：1.

2.(23-24七年級(jí)下?廣東肇慶?期末)如果正不和1y-27互為相反數(shù),那么而的平方根是.

【答案】土百；

【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

【分析】本題考查了二次根式的非負(fù)性，根據(jù)非負(fù)式子和為0,它們分別等于0直接求解即可得到答案;

【詳解】解：???ViKNO,dy-2720,且VJF和1y-27互為相反數(shù),

1-3x=0,y-27=0,

解得：x=；,k27，

??.而的平方根是：土百，

故答案為：土百.

題型三利用平方根與立方根的定義解方程

例題：(24-25八年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))解方程

(l)(x-l)2-1j=0；

10

(2)64x3+27=0.

19

［答案］⑴或x

44

3

⑵X,

【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了根據(jù)平方根與立方根的定義解方程;

(1)根據(jù)平方根的定義解方程即可求解；

(2)根據(jù)立方根的定義解方程即可求解.

75

【詳解】(1)解：(x-l)9--^|=O

X-1=±—

4

19

解得：x=--^x=-

44

(2)解：64尤3+27=0

_27

.*.X3----

64

3

解得:x=-4

4

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23八年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí))解方程

(1)4(X+2)2-16=0；

(2)(2X-1)3-26=1.

【答案】⑴x=0或-4；

(2)x=2.

【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了平方根和立方根解方程.

(1)利用平方根解方程即可；

(2)利用立方根解方程即可.

【詳解】(1)解：??-4(X+2)2-16=0,

；.4(X+2)2=16,

；.(X+2)2=4,

x+2=2或x+2=-2,

x=0或-4；

(2)解：???(2x-l)3-26=l,

；.(2尤-1)3=27,

2x-1=3,

，x=2.

2.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中)解方程:

（1）4（X-1）2-49=0；

（2）27（2x-1）3=64.

5Q

【答案】⑴X]=-',X2--

7

⑵x=7

6

【知識(shí)點(diǎn)】立方根的實(shí)際應(yīng)用、利用平方根解方程

【分析】本題主要考查了利用平方根解方程，立方根的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用平方根解方程

和立方根的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵：①利用平方根解方程的方法：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相

反數(shù)，0只有一個(gè)平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根；在解方程時(shí)，利用平方根的定義進(jìn)行開方，從而求出未知

數(shù)的值；②利用立方根的概念解方程的方法：正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0

的立方根是0；在解方程時(shí)，利用立方根的定義進(jìn)行開立方，從而求出未知數(shù)的值；在求立方根時(shí)，常

需轉(zhuǎn)化為三的形式，也常常將（X+.）3中的X+。看作一個(gè)整體來(lái)處理.

（1）在解方程時(shí)，利用平方根的定義進(jìn)行開方，從而求出未知數(shù)的值；

（2）在解方程時(shí)，利用立方根的定義進(jìn)行開立方，從而求出未知數(shù)的值.

【詳解】（1）解：4（X-1）2-49=0,

49

整理，得：（x-1）9,

7

開平方，得：x-l=±-,

7

x=1±-,

2

59

x2=-;

（2）解：27（2X-1）3=64,

R64

整理，得：（2x—1）3=方，

4

開立方，得：2x-l=-,

7

/.x=—.

6

3.（24-25七年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí)）求下列式子中的％值

(1)9(X+1)2=25

（2）（-2+x）3=-216

1,

⑶（3=0

（4）27（x+l）3+64=0.

【答案】（i）§或一§

⑵-4

（3）3或-3

7

⑷下

【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查利用平方根、立方根解方程，

（1）將方程變形為（X+1）2=得，然后利用平方根的定義求出（X+1）的值，再求X的值；

（2）利用立方根的定義求出（-2+力的值，再求x的值；

（3）將方程變形為/=9,然后利用平方根的定義求出工的值；

（4）將方程變形為（》+1）3=-晟，然后利用立方根的定義求出（x+1）的值，再求尤的值;

解題的關(guān)鍵是明確平方根和立方根的定義.

【詳解】（1）解：9（X+1）2=25

.“x+l）2=y-

X+1=±—,

3

2f8

Do

.?.X的值為|■或-%

（2）（-2+x）3=-216,

?*?—2+x=—6,

???x=-4f

???%的值為-4；

1

（3）—J9—3=0,

3

.?.X2=9,

???x=3或x=—3,

??.x的值為3或-3；

（4）27（x+l）3+64=0,

.-.27（x+l）3=-64,

.-.（x+1）3,

,4

...X+1=—,

3

7

.*.x=—,

3

.?.x的值為-不7

題型四平方根與立方根綜合

例題：（24-25八年級(jí)上?陜西寶雞?階段練習(xí)）已知a+1的算術(shù)平方根是1,-27的立方根是8-12,c-3

的平方根是±2.

（1）求a,b,c的值；

⑵求a+6+c的平方根.

【答案】⑴a=0,b=9,c=7

⑵士4

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查了立方根、平方根和算術(shù)平方根的綜合應(yīng)用，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

（1）根據(jù)1的算術(shù)平方根是1,-27的立方根是-3,4的平方根是±2,即可求解；

（2）根據(jù)a+6+c=0+9+7=16即可求解；

【詳解】（1）解：門的算術(shù)平方根是1,

???Q+1=1,

?*,—0；

???-27的立方根是-3,

???6—12=—3,

???6=9；

???4的平方根是±2,

???c-3=4,

:.c=7；

(2)解：a+b+c=0+9+7=16,

??T6的平方根是±4,

.?.a+b+c的平方根是±4：

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25八年級(jí)上?四川成都?期中)已知26-2的立方根是-2,4a+36算術(shù)平方根是3.

(1)求°、6的值；

(2)求2a-6的平方根.

9

【答案】(1)“=5，b=-3

(2)±2后

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根.

(1)根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義得出助-2=(-2)3=-8,4a+36=32=9,求解即可；

(2)先求出2a-b的值，再求出平方根即可.

【詳解】⑴解：???2b-2的立方根是-2,4a+36算術(shù)平方根是3.

26-2=(-2)=—8,4a+3Z>=32=9,

9

解得：a=~，b=—3；

9

(2)解：由(1)可得。=—,6=-3,

2

o

:.2a—b=2x——(―3)=9+3=12,

2a-b的平方外艮為±V12=±273.

2.(22-23七年級(jí)下?廣西欽州?階段練習(xí))已知x的兩個(gè)平方根是。+3與2a-15,且26-1的算術(shù)平方根是

3.

(1)求a,6,x的值；

⑵求。+6-1的立方根.

【答案】⑴4,5,49

(2)2

【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、求一個(gè)數(shù)的立方根、已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)、求

一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題考查平方根，算術(shù)平方根及立方根的定義.熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義即可求得。，b的值，再求解尤的值即可；

(2)將。，b的值代入a+b-l中計(jì)算后利用立方根的定義即可求得答案.

【詳解】(1)解：的兩個(gè)平方根是a+3與2a-15,且26-1的算術(shù)平方根是3,

a+3+2。-15=0,26-1=9,

解得：a=4,b=5；

22

,..x=(a+3)=7=49；

(2)解：a=4,b=5,

a+6—1=4+5—1=8,

；.a+6-l的立方根是2.

3.(24-25八年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí))已知a+1的算術(shù)平方根是1,-27的立方根是6-12,c-3的平方

根是±2.

(1)求a,b,c的值：

(2)求a+6+c的平方根和立方根.

【答案】⑴a=0,b—9,c=7

(2)±4,V16

【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、求一個(gè)數(shù)的立方根、求一個(gè)數(shù)的平方根

【分析】(1)根據(jù)算術(shù)平方根，平方根和立方根的概念分別計(jì)算出。、b,c即可；

(2)利用(1)的結(jié)論直接求值即可.

本題主要考查算術(shù)平方根，平方根和立方根的知識(shí)，熟練掌握平方根和立方根的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???。+1的算術(shù)平方根是1,

二.Q+1=1,

解得Q=0;

??,-27的立方根是6-12,

b—12=—3,

b=9；

???C-3的平方根是±2,

c—3=4,

c=7.

（2）解：由（1）矢口，Q=0,b=9,c=7,

a+b+c=0+9+7=16,

.?.a+6+c的平方根是±4；

，a+6+c的立方根是正.

4.（23-24七年級(jí)下?湖北黃石?期中）已知2a-1的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0.

（1）求a、b、c的值；

（2）求。+6+c的算術(shù)平方根.

【答案】（1）。=5,6=17,c=3

（2）5

【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)、算術(shù)平方根和立方根的綜

合應(yīng)用、已知字母的值，求代數(shù)式的值

【分析】本題考查了平方根、立方根，算術(shù)平方根及其非負(fù)性，代數(shù)式求值，正確求出心6、c的值是

解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平方根、立方根，以及算術(shù)平方根的非負(fù)性求解即可；

（2）根據(jù)（1）所得結(jié)果，求出a+8+c=25,進(jìn)而得出算術(shù)平方根即可.

【詳解】（1）解：的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0,

2Q—1=9,b—9=8,2c—6=0,

「.4=5,b=\7,c=3；

（2）解：由（1）可知，a=5,b=17,c=3,

a+b+c=5+17+3=25,

:.a+b+c的算術(shù)平方根是5.

題型五實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)

例題：（23-24七年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）|2-若卜,|3-萬(wàn)|=—.

【答案】V5-2萬(wàn)-3

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值

\a（a>0）

【分析】本題考查了絕對(duì)值的概念與性質(zhì)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)|。|=［：.<］）即可求解.

［詳解］解：|2-V5|=V5-2,|3-^|=^-3,

故答案為：y/5—2,%-3.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?天津?yàn)I海新?期末）2亞-6的相反數(shù)是.

【答案】6-2V2/-2V2+6

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”，熟記定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)相

反數(shù)的定義求解即可得.

【詳解】解：2及一6的相反數(shù)是一倒收一6）=6-2后，

故答案為：6-25/2.

2.（22-23七年級(jí)下?北京豐臺(tái)?期中）石的相反數(shù)是；百-2的絕對(duì)值是.

【答案】Y2-V3

【知識(shí)點(diǎn)】相反數(shù)的定義、求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的性質(zhì)

【分析】利用相反數(shù)概念和絕對(duì)值的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：石的相反數(shù)是-行，

6-2的絕對(duì)值是2-6，

故答案為：Y,2-V3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相反數(shù)和絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握正有理數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)有理數(shù)的絕對(duì)值

是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

題型六無(wú)理數(shù)

例題：（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中）在下列數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）

22

A.V64B.一兀C.2.5D.—

7

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)，根據(jù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)即可判斷求解，掌握無(wú)理數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、洞=8,是整數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)不合題意；

B、-兀是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)符合題意；

C、2.5是有限小數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)不合題意；

22

D、萬(wàn)是分?jǐn)?shù)，不是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級(jí)上?浙江金華?期中）在0.458,4$：,石，-防1.010010001...（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多1個(gè)

0）這幾個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)或開方開不盡的數(shù)為無(wú)理數(shù)，即可解答.

【詳解】解：?■--^27=-3，

.?.在0.458,4$],石，-河,1,1.010010001...（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多1個(gè)0）這幾個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)有：

L010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多1個(gè)0）共3個(gè)，

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)3.14,4,0.23,0.1010010001,j,石力，石，百

中，無(wú)理數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)”、算術(shù)平方根與立方根，熟練掌握無(wú)理數(shù)的定義

是解題關(guān)鍵.先計(jì)算算術(shù)平方根與立方根，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義求解即可得.

【詳解】解："=2，V=27=-3.

7JT

則3.14,VZ,0.23,0.1010010001,次萬(wàn)，五都是有理數(shù)，和百是無(wú)理數(shù)，

所以無(wú)理數(shù)有2個(gè)，

故選：A.

jr11

3.（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)3.1415926,0,V100--0.32--河，

0.1010010001…（兩個(gè)“1”之間依次多個(gè)“0”）中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的立方根、無(wú)理數(shù)、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的定義，立方根，平方根的知識(shí)；根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)即可得出

答案.

【詳解】解:Two-io,

jr

無(wú)理數(shù)為：5，-Vioo,0.1010010001…（兩個(gè)“1”之間依次多個(gè)“o”）

無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故選：B.

題型七實(shí)數(shù)與數(shù)軸

例題：（23-24七年級(jí)下?貴州黔南?期末）若點(diǎn)/在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點(diǎn)/在數(shù)軸上表示的無(wú)理

數(shù)可能是.（只填一個(gè)）

IIII1IlA.lI?

-4-3-2-101234

【答案】石（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小估算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸；根據(jù)數(shù)軸可以得到。的取值范圍，從而可以解答本題.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)/在數(shù)軸上表示的數(shù)為。，

由數(shù)軸可得，2<a<3,

2<V5<3

故答案為：6（答案不唯一）.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?黑龍江齊齊哈爾?期末）如圖，在數(shù)軸上標(biāo)有字母的各點(diǎn)中，與實(shí)數(shù)而對(duì)應(yīng)的可能是

點(diǎn)（填人”或“2”或或“D”）.

I1=A1lB.lIC.D

-3-2-10123

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、無(wú)理數(shù)的大小估算

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無(wú)理數(shù)的估算，首先分別求出點(diǎn)4B,C,。在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的

數(shù)的范圍，然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義求出即3<而<4,據(jù)此即可得出答案，解答此題的關(guān)鍵是熟練

掌握數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)，準(zhǔn)確估算出舊的范圍.

【詳解】設(shè)點(diǎn)4B,C,。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的分別是孫，xB,xc,xD,

貝！|-2<X/<-l,0<<1,2cxe<3,xD>3,

?■-V9<VTT<V16,

即：3<VTT<4，

.??實(shí)數(shù)JIT對(duì)應(yīng)的可能是點(diǎn)D,

故答案為：D.

2.（23-24七年級(jí)下?遼寧葫蘆島?期末）如圖1,我們知道用兩個(gè)面積為Idn?的小正方形能拼成一個(gè)面積為

2dm2的大正方形，如圖2,在數(shù)軸上以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，以坐標(biāo)為I的點(diǎn)為圓心，正方形

的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，與正半軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是.

圖1圖2

【答案】1+V2/V2+1

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)，首先求出正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為正，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距

離求解即可.

【詳解】解：、?在數(shù)軸上以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，

二對(duì)角線的長(zhǎng)為血，

以坐標(biāo)為1的點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，與正半軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是1+收

故答案為：i+VL

題型八實(shí)數(shù)大小比較

例題：（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）比較大?。?屈.

【答案】<

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較

【分析】本題主要查了實(shí)數(shù)的大小比較.根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則解答，即可求解.

【詳解】解：?.-6=V36,V36<A/37,

6<V37.

故答案為：<

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期末）比較大?。?3-2_--.

一2

【答案】>

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)

算及不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：?.?27>16,

373>4,

2G-4>-劣，

;.V3-2>-—,

2

故答案為：〉

2.（23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期末）比較大?。篤2立二L.

2

【答案】>

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法.作差法判斷即可.

【詳解】解：后一1二1=理二Y1上工=立土1>o,

222

2

故答案為：＞,

題型九實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算

例題：(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期末)計(jì)算：

(1)7(-3)2+^^64-|1-73|；

(2)J(—10)~-13—句+27；

【答案】⑴-6

(2)10-71

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、求一個(gè)數(shù)的立方根、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【分析】此題考查了算術(shù)平方根和立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

(1)首先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后計(jì)算加減；

(2)首先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后計(jì)算加減.

【詳解】(1)J(-3)2+U-64一卜一四

=3+(-4)-(V3-l)

=3+(-4)-V3+l

=-Vs；

(2)J(-10)~—13—TT|+W-27

=1O-(TI-3)+(-3)

=10-兀+3+(-3)

=10-71.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)上?全國(guó)?期末)計(jì)算：

(l)-l2024+V16+(-6)^^8

(2)736+(-l)2-V125

【答案】(1)6

(2)2

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

(1)依次算乘方、算術(shù)平方根和立方根，再算除法，最后算加減；

(2)依次算算術(shù)平方根、乘方、立方根，再算加減.

【詳解】(1)