山東省臨沂市2025屆高三2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案解析）

山東省臨沂市2025屆高三2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號(hào)：

一、單選題

1.—=（）

2-1

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

2.已知集合/=同2》-〃40},8=同1<無<2}.若/。2=0,貝匹的取值范圍為（）

A.（-℃,!）B.C.（-℃,2）D.

3.直線2尤-3y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（2,-3）D.（3,-2）

4.圓G：尤?+了~=1與圓。2：廠+/-6x-8y+9=0的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

—?—?1—?

5.在V45C中，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在上，若=+則2=（）

,1124

A.-B.—C.-D.一

6333

6.（1+》嚴(yán)的展開式中的一項(xiàng)是（）

A.45xB.90x2C.120/D.240/

7.已知/（x）=tanx,若對任意實(shí)數(shù)ae（-1,1）,be（-1,1）,貝!]“a+6>0”是"/（。）+/（6）>0

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.設(shè)數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和為S,,,且S“+”=l,則滿足S,>0.99時(shí)，〃的最小值為（）

A.49B.50C.99D.100

二、多選題

9.甲，乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績（單位：厘米）如下:

試卷第1頁，共4頁

甲組：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263

乙組：239,241,243,245,245,247,248,249,251,252

則下列說法正確的是（）

A.甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252

B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246

7

C.從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上的概率為工

D.甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提高

io.圓柱的軸截面是正方形，a，o?分別是上、下底面的圓心，48是下底面圓周上兩

個(gè)不同的點(diǎn)，8c是母線，若圓柱002的側(cè)面積為16兀，則（）

A.圓柱的體積是16兀

B.圓柱內(nèi)切球的表面積是8兀

C.AOlBC=16

D?點(diǎn)3到直線距離的最大值為百

11.將曲線。。=色+述經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可得到雙曲線￡：工-?=1,若直線＞=加與C只有

一個(gè)公共點(diǎn)，與E交于43兩點(diǎn)，則（）

A.m=2V2B.a=2-\/3

C.b—2D.\AB\=2^6

三、填空題

12.設(shè)隨機(jī)變量J~N（2,5）,若「?＜〃?）=尸偌＞加一1）,貝打"=.

13.2025年春晚，劉謙表演了一個(gè)現(xiàn)場互動(dòng)魔術(shù)，道具只有三個(gè)：勺子、筷子和杯子.劉謙

讓觀眾從左到右隨便擺放這三個(gè)道具，分為三個(gè)位置：左位、中位和右位.假若按照魔術(shù)規(guī)

則只進(jìn)行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經(jīng)在最左邊，那么就

不需要移動(dòng)；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經(jīng)在最右邊，就不需要移

動(dòng).完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的概率是.

14.點(diǎn)加）在直線了=加+〃（〃€川）上，點(diǎn)？/C2，加）在拋物線了2=4》上，記MN兩點(diǎn)

試卷第2頁，共4頁

n-29

N

間的最小距離為服(”,),若nq.=a1a2a3,,,則n《，(M,N)=.

z=ln=2

四、解答題

15.已知a,6,c分別為V/3C三個(gè)內(nèi)角42,C的對邊，且GacosC+csii/-揚(yáng)=0.

⑴求A；

(2)若c=3,asinS=2百，求

16.已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e1

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程；

⑵若函數(shù)g(x)=〃x)-履在(-90)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求左的取值范圍.

17.《教育強(qiáng)國建設(shè)規(guī)劃綱要(2024-2035年)》中指出深入實(shí)施素質(zhì)教育，健全德智體美

勞全面培養(yǎng)體系，加快補(bǔ)齊體育、美育、勞動(dòng)教育短板，某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加綜合體

育活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名男生和100名女生，統(tǒng)計(jì)他們周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)

步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：

運(yùn)動(dòng)步

合

數(shù)(萬(2,3)口，4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

計(jì)

步)

人數(shù)

12a]a2a394100

(男)

人數(shù)

144b2272100

(女)

表中數(shù)據(jù)%,出，的，9成等差數(shù)列；4也也成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.

(1)若周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬步視為體育鍛煉達(dá)標(biāo)，估計(jì)該中學(xué)男生體育

鍛煉的達(dá)標(biāo)率；

(2)為進(jìn)一步了解女生每天參加綜合體育活動(dòng)的情況，在步數(shù)位于(2,5),[5,8)兩組內(nèi)的女生中,

采用等比例分層抽樣的方法抽取10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記步數(shù)在[5,8)

內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

試卷第3頁，共4頁

18.在zJVSC中，NB=90°,4D//BC,NA=CD=2AB=2,如圖將VM1。沿4D翻折至

△PAD.

(1)證明：平面尸8C_L平面尸/B；

(2)若二面角8大小為120°.

(i)求PN與平面P8C所成角的正弦值；

(ii)在線段尸。上是否存在點(diǎn)E,使得平面N8E與平面PDC所成角的余弦值為g?若存在,

確定點(diǎn)￡的位置；若不存在，說明理由.

22/7

19.已知橢圓氏二+3=1僅>01>0)的離心率為空，片，巴是￡的左、右焦點(diǎn)，且

ab3

由周=4近，直線《過點(diǎn)力與E交于43兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)若|明=2后,求4的方程；

(3)若直線4過點(diǎn)月與E交于C,。兩點(diǎn)，且4,4的斜率乘積為-,W,N分別是線段AB,CD的

中點(diǎn)，求A0W面積的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《山東省臨沂市2025屆高三2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ADBCBCCDBCDAC

題號(hào)11

答案BC

1.A

【分析】運(yùn)算復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

55（2+i）5（2+i）、.

【詳解】二=（2_i）（2+i廣匚可=2+1，

故選：A

2.D

【分析】由/口3=0,可得即可得解.

2

【詳解】={x|2x-a<0）=jxr<-|j,

因?yàn)?ng=0,

所以解得a42,

所以”的取值范圍為

故選：D.

3.B

【分析】把直線方程化為斜截式，根據(jù)直線方向公式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】2x-3^+l=0^j=|x+1,所以該直線的一個(gè)方向向量為

因?yàn)椋?,2）=3m,所以向量（3,2）與向量［1,￡|是共線向量，

其他選項(xiàng)的向量與向量不是共線向量，

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.

【詳解】圓G：尤2+/=1的圓心q（o,o）,半徑11,

2

HC2:x+/-6x-8y+9=0,即C?:（x-3）?+（y-4了=16,圓心。2（3,4）,半徑々=4,

答案第1頁，共14頁

則|GG|=V?*=5=4+2，所以兩圓外切.

故選：C.

5.B

【分析】由題意存=「一仆石+2.，麗=g9+；而，根據(jù)點(diǎn)P在C。上，即可列方

程求解.

—?1—?1—>

【詳解】由題意點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，所以。。二7口+大口，

22

又不=2萬+;就，所以刀+反=2函+西+g就，

^CP=X^CA+XCB,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在CD上，

1

所以--=1,解得久「或％=-；(舍去).

--2233

3

故選：B.

6.C

【分析】由二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)即可驗(yàn)算.

【詳解】(1+?°的展開式通項(xiàng)為&|=。。，，對比選項(xiàng)依次代入廠=1,2,3,4得對應(yīng)項(xiàng)，

(1+方°的展開式中的項(xiàng)可以是10》,45/,120/,210/.

故選：C.

7.C

【分析】綜合利用正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析判定.

【詳解】因?yàn)?'(x)=tanx是內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，

所以tana+tan6>0otan〃>一tanb=tana>tan(-Z))OQ>-Z?O〃+6>0,

所以“a+6>0”是“/⑷+/9)>0”充分必要條件，

故選：C.

8.D

【分析】根據(jù)S,,。,的關(guān)系求出a“,S”的表達(dá)式，進(jìn)一步解不等式即可得解.

答案第2頁，共14頁

【詳解】因?yàn)镾,+〃a“=l,所以%=；,

當(dāng)“22時(shí)，S"+"%=1,所以+,

即&=曰，此時(shí)%=2x—x吐…X&X生X4

aa

n-\〃+1n-2%-3a2%

n-1n-2n—332111

=----------X------------X----------X???X—X—X—X—=--------------------〃=1也滿足該式,

n+1nn-15432〃（"+1）

七總二1一'町

故4=

n+1

若s“=l--1->0.99,解得”>99,故所求為100.

n+1

故選：D.

9.BCD

【分析】對于A直接利用百分位數(shù)計(jì)算公式即可；對于B根據(jù)公式計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù)；

對于C根據(jù)古典概率公式計(jì)算即可；對于D,求出兩者平均數(shù)判斷即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?2x60%=7.2,所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，即

253,故A錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)B,因?yàn)?0x50%=5,所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù),

口口245+247,,-I-T-ZZ.

即--------=246,故B正確;

2

對于選項(xiàng)C,甲組中跳遠(yuǎn)成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠(yuǎn)成績在250厘米以上的

有2人,

所以從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績均在250厘米以上的概率為

727

____V_____—____故C正確;

1210-60（

對于選項(xiàng)D,甲組的平均成績?yōu)?/p>

244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+263……

---------------------------------------------------------------------------------------=251厘米,

239+241+243+245+245+247+248+249+251+252

乙組的平均成績?yōu)?246厘米,

W

所以將甲組中跳遠(yuǎn)成績?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有提

高，故D正確.

故選：BCD.

10.AC

【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到線距離公

答案第3頁，共14頁

式逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)圓柱。。2的底面半徑為「，所以母線為2八

因?yàn)閳A柱。1。2的側(cè)面積為16兀,所以2兀r-2r=16兀=>r=2.

因?yàn)閳A柱。。2的體積是7i-22x2x2=167t,所以選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閳A柱。。2的底面半徑為2,所以母線為4,所以圓柱內(nèi)切球的半徑為2,

所以圓柱。。2內(nèi)切球的表面積是4兀=16兀，因此選項(xiàng)B不正確；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

Q(0,0,4),8(0,2,0),C(0,2,4),設(shè)

------->-v

(2cos0,2sin0,0),sin6>#1,

AOi?；(-2cos0,-2sin0,4),W=(0,0,4),

JQ-SC=(-2cos6?,-2sin(9,4).(0,0,4)=12co的卜N92si坦*岳4x4=16,

所以選項(xiàng)C正確；

設(shè)。=AB-(-2cos9,2-2sin8,0),

直線的單位方向向量為

答案第4頁，共14頁

〃=?§=/(-2cos。，-2sin^,4)=-(-cosa-sin。,]

\AO]V4cos^+4sin^+16V一小

所以點(diǎn)3到直線/Q距離為

I_4.232._"I36I_4/.~"I__~~?2__77

=J-—sm0n--sin0+—=J-y(sin0+4)+20,

o/F

由題意TVsinJvl,所以當(dāng)sin6=-l時(shí)，41ax=三一，選項(xiàng)D不正確,

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求點(diǎn)3到直線/Q距離的最大值的關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線距離的向量公式

寫出表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

II.BC

【分析】由雙曲線定義、對勾函數(shù)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求得優(yōu),進(jìn)一步只需聯(lián)立

22

?=2后與5:^--匕=1即可判斷D.

124

【詳解】對于BC,由題意將曲線。:了=縣+西夾在中間的兩條漸近線方程為

3x

V3

y=——x.x=0，

3

兀71

所以這兩條漸近線所形成的那個(gè)銳角的一半為〃_5一7—兀，

(7二-----=一

26

曲線C:y=叵+空的兩條漸近線y=Bx,x=0的中間那條直線為y=Qx,

3x3

聯(lián)立尸氐以及c：尸縣+也，解得卜=8或

3%卜=3》=-3

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，—=tan0=,2a=2J3+9=46,解得。=2百,6=2,故BC正確,

a3

對于A,若直線丫=皿與c：y=^+這只有一個(gè)公共點(diǎn)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得切=±2百，

3x

故A錯(cuò)誤；

22

對于D,要求以同，由雙曲線的對稱性可知，只需聯(lián)立＞=2后與￡:￡-亍=1,

fx—6[x——6..

解得]-20或h，-2Vr即"同=12,故D錯(cuò)誤，

答案第5頁，共14頁

故選：BC.

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解.

【詳解】由題意〃=2,P^<m）=P^>m-l）,所以竺芳二1=2,解得機(jī)=看

故答案為：

2

13.-

5

【分析】由條件概率知識(shí)即可求解.

【詳解】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個(gè)字的拼音的第一個(gè)小寫英文字母來代替這三

個(gè)東西，

例如s妨代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，

一開始的狀態(tài)有skb,sbk,bks,bsk,ksb,kbs六種情況，我們用->表示一次調(diào)換，

那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過程為：skbfksb,

第二種初始狀態(tài)下的變換過程為：sbkTskb,

第三種初始狀態(tài)下的變換過程為：bksfkbsfksb,

第四種初始狀態(tài)下的變換過程為：bskTbksTkbs,

第五種初始狀態(tài)下的變換過程為：ksbTksb,（本質(zhì)上沒有調(diào)換），

第六種初始狀態(tài)下的變換過程為：kbsTksb,

從以上可以看出來，末狀態(tài)杯子在右邊對應(yīng)的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀

態(tài)共5種情況，

在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是求6（對應(yīng)的初始狀態(tài)是第二

種初始狀態(tài)），

故所求概率為。

故答案為：

1013

14.----

2025

【分析】本題可先求出M、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出的表達(dá)式，然后求出

,最后根據(jù)的表達(dá)式計(jì)算n4（M,N）的值.

n=2

【詳解】已知點(diǎn)“（尤”加）在直線y=〃尤+"（〃eN*）上，

答案第6頁，共14頁

則將點(diǎn)M代入直線方程可得加=〃%+”①.

點(diǎn)N6,⑼在拋物線『=4尤上，則將點(diǎn)N代入拋物線方程可得加2=4%②.

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以|跖V|=|尤2-X]|.

222

由①可得玉=1,由②可得％=二，貝1MV1=1仁一匕]！1=1乜-4+”.

〃44〃4〃

令t==,貝|]|皿|=產(chǎn)一0+11,將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：

2n

22

|jWHf-—+1|=|?-—+-fU+1|^C_0+1_Li,

nn\n)\n)\nJn

因?yàn)椋?二）220,所以當(dāng)/=,時(shí)，取得最小值，lAWIminqi-Al.

nnn

(1)0+1)

因?yàn)椤╓N*,所以1----F＞°，則“〃(MN)=|MV/=1---T=~~2~

nnn

咨7，一“、1x32x43x52024x2026

口4,(“川)=干*丁*下＞＜一^^025T-，

可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項(xiàng)的分子分母可以約分，約分后可得:

2025120261013

rp〃"N)—x--------

n=2220252025

1013

故答案為:

2025

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

對于求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離最值的問題，先根據(jù)點(diǎn)所在的曲線方程得到坐標(biāo)之間的

關(guān)系，再將距離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)式）來求

解最值.在處理連乘形式的式子時(shí)，要善于觀察式子中各項(xiàng)的規(guī)律，通過約分等方法簡化計(jì)

算.

TT

15.⑴、

⑵汨

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得tan/=百，由此即可得解；

（2）由正弦定理得6=4,再由余弦定理即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得百sin/cosC+sinCsin/-，§sin8=0,

即6sinZcosC+sinCsinN=V^sinj3=V^si《/+。=i3sinZcosC+7_3cosZsin（,

答案第7頁，共14頁

所以sinCsinN=6cosNsinC，因?yàn)閟inC>0,cos/=上^>0,

所以tan/=百，又Ne(O,兀)，解得N=g；

(2)若。=3,asinB=2>/^,貝!josin5=2Rsin4sin5=6sin4=——b=2和，這里H是三角形

2

45。外接圓的半徑，

解得6=4,

由余弦定理可得。=J/+c2-26ccos/=，42+32-2x4x3xg=g.

16.(l)3x->+1=0

⑵卜:]

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)分離參數(shù)可得l=(2x+l)e：構(gòu)造函數(shù)M%)=(2x+l)e',x.(_QO,o),利用導(dǎo)數(shù)求出函

XX

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】⑴由〃x)=(2x+l)e"得r(x)=(2x+3)e)

則"0)="(0)=3,

所以曲線>=/(》)在點(diǎn)(。，/⑼)處的切線方程為>-1=3無，即3x-y+l=0；

(2)令g(x)=/(x)—丘=0,則2=幺"=(2x+l)e.,

XX

令Mx)=(2x：l)e：xe(_8,o),

z(2x2+x-1)ex(2x-l)(x+l)ex,、

則miI/(x)x=A——p)=，----%一」，了《_%0)，

令//(x)〉0,貝令/(x)<0,貝

所以函數(shù)力⑴在(-巴-1)上單調(diào)遞增，在(TO)上單調(diào)遞減，

所以'(XU=〃(T)=：，

V

(2x+l)e'=2/+巨,當(dāng)xfe時(shí)，”(尤)一o,

XX

當(dāng)X.0時(shí)，//(%)-?-<?,

如圖，作出函數(shù)〃(x)的大致圖象，

答案第8頁，共14頁

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=y(x)-foe在(-oo,0)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)y=Ky=Mx)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以上的取值范圍為[o.]

17.(1)30%

3

(2)分布列見解析，￡(X)=|

【分析】(1)需要根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬步的人數(shù)，進(jìn)而計(jì)算達(dá)標(biāo)

率；(2)先根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求出相關(guān)人數(shù)，再利用分層抽樣確定抽取人數(shù)，最后通過古典

概型求出隨機(jī)變量X的分布列和期望.

【詳解】(1)已知q,外，%，9成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則q+3d=9.

又因12+4]+?+。3+9+4=1009即%+出+的=75.

由等差數(shù)列性質(zhì)q+。2+。3=3%=75,可得4=25.

(a,+d=25

聯(lián)立方程組11C，解得d=-8,1=33,“3=25+(-8)=17.

[6+3d=9

男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬步(即[5,6)、[6,7)、[7,萬這三組)的人數(shù)為17+9+4=30人.

30

所以男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率為—xlOO%=30%.

(2)因?yàn)?也在成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為^("N+),

且14+4+仇+Z?]+7+2=100,即4+仇+4=77.

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所以4+639+6342=77,即4(1+1+/)=77.

因?yàn)閝￡N+，4GN+,

77

當(dāng)4=1也=?，舍去；當(dāng)夕=2,4=11,打=224=44滿足題意；

7711

當(dāng)9=3,4=5，舍去.當(dāng)9=4,a=§,舍去.

7777

當(dāng)9=5,63=3^,舍去.當(dāng)夕=6,4=ZJ,舍去.

7777

當(dāng)夕=7,a=為，舍去.當(dāng)夕=8,63=1^，舍去.當(dāng)^=9,&<1,舍去.

步數(shù)位于(2,5)內(nèi)的女生人數(shù)為14+44+22=80人，步數(shù)位于［5,8)內(nèi)的女生人數(shù)為

11+7+2=20A.

QA

采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于(2,5)內(nèi)抽取10X言=8人，從步數(shù)位于［5,8)

內(nèi)抽取10-8=2人.

隨機(jī)變量X表示步數(shù)在［5,8)內(nèi)的人數(shù)，X的可能取值為0,1,2.

r37C2cl7121

P(X=0)=W=,；尸(x=l)=^^=,；P(X=2)=^CC^=上

333

JCo15JJcoI2SJco15

所以X的分布列為：

X012

771

P

151515

77193

期望頤X)=0x，+lx，+2x—=Z=」

151515155

18.(1)證明見解析

/n114

(2)(i)與(ii)存在點(diǎn)E,當(dāng)?！?不?！富颉！?—DP時(shí)滿足題意

1425

【分析】(1)只需證明8C_L平面尸48,注意到/D//BC,故只需證明4。_L平面尸,由

AD1AP,AD14B即可證明AD1AP,AD1AB；

(2)(i)由題意得/尸即二面角尸的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)求解即可；(ii)

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)彳市=2赤,2e(0,1),將平面/BE與平面尸DC的法

向量表示出來，結(jié)合平面N3E與平面PDC所成角的余弦值為(列出關(guān)于％的方程，判斷該

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方程的解的情況即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?5=90°,/D//3C,所以,

因?yàn)镻/c48=A,PA,ABu平面PAB,所以/￡>_L平面PAB,

所以3C_L平面尸又BCu平面尸BC,所以平面尸5C_L平面P43；

(2)(i)在四棱錐P-/8CD中，由(1)知即二面角尸的平面角，

故NP48=120。，因?yàn)镸4=CD=2/3=2,所以NC=6,NB=3,

從而BC=36,ZDCB=30°,

過點(diǎn)A作4F_LPB,交PB于點(diǎn)、F,又因?yàn)?FJ8C,可得/尸_L平面P8C,尸/與平面尸8C

所成角即為N/尸尸.

在△尸48中，由余弦定理可得：PB=y/PA2+AB2-2PA-AB-cos1200=V7>

PA-AB-sinl20D而AF

由等面積法，AF=2——---------=2,sinNAPF=—,

iPBAP14

2

所以尸工與平面尸5c所成角的正弦值為叵；

14

(ii)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),尸(—1,0,75),用1,0,0H0,小,q,qJ,

麗=卜1,-2亞6),

設(shè)麗=X麗,;le(0,1),可得4-九26(1-/1),收)，

設(shè)平面M3E的法向量為成=(x,y,z),平面POC的法向量為五=(。,4c),

m-AB=0x=°

應(yīng).4E-0~Ax+(1-2+九z—0

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令y=可得玩=（0,42（2-1））,

n-DP=Of—a-2回+&=0

一，即廠，

n-DC=O|a+j3，=0

令a=0>,可得為=（后,一>1）,

132-2|1

設(shè)平面ME與平面PDC的夾角為6,cos3='==-,

V5-V5A2-8/l+45

14

解得2=萬或W,

14

所以存在點(diǎn)￡,當(dāng)。￡尸或?！?《。尸時(shí)滿足題意.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/,加的方向向量分別為Z3,平面名△的法向量分別為￡3,則

（4\a-b

①兩異面直線/,加所成的角為cos6=k$;

（兀、\a-u\

②直線,與平面夕所成的角為夕?！?。4彳，smJ=帛；

I2）\a\\u\

③二面角a-/-尸的大小為61（0464兀），|cose"麗?.

22

19.⑴」匕二1

124

（2）x-J/+2V2=0,或x+y+2后=0；

聲

3

【分析】（1）根據(jù)橢圓焦距公式。橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系進(jìn)行

求解即可；

（2）根據(jù)直線《的斜率是否為零，結(jié)合橢圓弦長公式分類討論進(jìn)行求解即可

（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)