數(shù)列的基本知識(shí)與概念 （原卷版）

專(zhuān)題23數(shù)列的基本知識(shí)與概念

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照二定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每二個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，川）

為定義域的函數(shù)%=/（〃）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.

2.數(shù)列的分類(lèi)

（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無(wú)限分:

遞增數(shù)列:anA>an

遞減數(shù)列：a,>a

（2）按單調(diào)性來(lái)分:i+1n

常數(shù)列：（常數(shù)）

擺動(dòng)數(shù)列

3.數(shù)列的兩種常用的表示方法

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與

它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

【方法技巧與總結(jié)】

（5n=l

（1）若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，通項(xiàng)公式為%,則%=|'*

[s“-S,T，n>2，n&N

注意：根據(jù)S"求凡時(shí)，不要忽視對(duì)”=1的驗(yàn)證.

（2）在數(shù)列｛q｝中，若氏最大，貝,若%最小，貝』""'"i.

a

[n2a?+i[an<an+1

【題型歸納目錄】

題型一：數(shù)列的周期性

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

題型五：數(shù)列的最值問(wèn)題

【典例例題】

題型一：數(shù)列的周期性

例L已知無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足?！?2=|?！?1-￡N）,且q=l,%=X（X￡Z）,若數(shù)列｛。九｝的前2020項(xiàng)中

有100項(xiàng)是0,則下列哪個(gè)不能是X的取值（）

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

~2~

例若國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知?！ǘ獂lO"，b、=a、

2._7_

bn=a?-10a?_,(7ieN,,H>2),貝ljb2m9=()

A.2B.5C.7D.8

1+凡

例3.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=2,%+]=其前〃項(xiàng)積為則幾等于（）

1-冊(cè)'

A.-B.--C.6D.-6

66

例4.若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足。1=2%=2,且%+2=|%+1-?！皘,則｛%｝的前100項(xiàng)和為()

A.67B.68C.134D.167

2a?,0<a?<1,

例5.數(shù)列｛氏｝滿(mǎn)足%+1h]右q=K，則電⑼等于（）

2an-l,-<an<l,、'

-乙

2c.3

A.1B.

5555

例6.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足，%=<(〃￡N*,〃>1),若6￡(2,3)且記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s”,

若鼠=2019,貝1」5刻9的值為（）

6057「6055

B.3028C.----D.3029

2

例7.（2022?廣東汕頭?三模）已知數(shù)列｛〃〃｝中，4=-：，當(dāng)時(shí)，an=1，則%022=（

4an-\

4

AC.5D.

-45

例8.（2022?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，a,t=。屋%+1（心2）,q=2,則％0等于（）

A.—B.—C.-1D.2

22

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

mn~9,n>10

例9.（2。22.四川達(dá)州.二模（理））已知單調(diào)遞增數(shù)列｛叫滿(mǎn)足a，，1聲+則實(shí)數(shù)，〃的取值

I9J

范圍是（）

A.[12,-H?)B.(1,12)C.(1,9)D.[9,+c?)

例10.（2022.河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)/（元）=]（：["）尤:若數(shù)列｛%｝

ICI,X〉/

滿(mǎn)足凡=〃刈（〃eN*）且｛4｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A[：，3]B.[|,3]C.（2,3）D.[2,3）

例11.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4=1,a2=a,且％討+〃〃=2〃+1（〃N2,〃￡N*）,

若數(shù)列｛〃〃｝單調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

A,\<a<2B.2<a<3

例12.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和S,滿(mǎn)足S〃=l-A3*（A6R）,數(shù)列也｝是

遞增的，且a=A*+所7,則實(shí)數(shù)3的取值范圍為（）

2

A.——,+ooB.[-l,+oo)C.(-1,+co)D.一§,+00

3

例13.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=13）（〃€產(chǎn)），若對(duì)于任意“6M

a"~\n<S

都有4>。用，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

b

兒M-仁

例14.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為%=川+加，若數(shù)列｛?“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則

實(shí)數(shù)6的取值范圍為（）

A.（—2,+oo）B.[-2,+co）C.（—3,+8）D.（―℃,—3）

【方法技巧與總結(jié)】

解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的3種方法

作差比較法根據(jù)%+1一〃“的符號(hào)判斷數(shù)列｛??｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)嗅a>o或4<。）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

作商比較法

冊(cè)

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

題型三：數(shù)列的最大（小）項(xiàng)

例15.已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為1,且％=則%的最小值是（）

A.B.1

C.2D.3

例16.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=1。，巴旦二％?=2,則冬的最小值為（）

nn

C.史27

A.2-1B.—D.—

234

2an

例17.已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和S"，且S"-4=（〃_1）2，氏=不,則數(shù)列出｝的最小項(xiàng)為（

A.第3項(xiàng)氏第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)。.第6項(xiàng)

例18.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“=2"-12〃,數(shù)列｛|。“|｝的前n項(xiàng)和&則乙的最小值

n

例19.數(shù)列,n=l,2,…，中的最小項(xiàng)的值為

【方法技巧與總結(jié)】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)/(x)當(dāng)尤GN*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/(X)的類(lèi)型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,

或利用求函數(shù)最值的方法，求出了(元)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).

⑵通過(guò)通項(xiàng)公式凡研究數(shù)列的單調(diào)性，利用(心2)確定最大項(xiàng)，禾煙f"%,(n>2)

aaa

[n24+1[nVn+l

確定最小項(xiàng).

(3)比較法：若有%+1-%=/(〃+1)-/(〃)>0或?yàn)椤?時(shí)&出>1,則為+]>%,則數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)

歹U,所以數(shù)列｛"〃｝的最小項(xiàng)為％=/(I)；若有?！?1-%=/(〃+1)-/(〃)<0或?！?gt;0時(shí)％L<1,則4+1va〃，

則數(shù)列｛“”｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為0=/(I).

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

例20.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以小)表

示第"幅圖的蜂巢總數(shù)，則/(4)=()；/(?)=().

A.353n2+3n—1

B.363H2-3n+l

C.373n2-3n+l

D.383n2+3H—1

例21.由正整數(shù)組成的數(shù)對(duì)按規(guī)律排列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,

（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）,….若數(shù)對(duì)（根,〃）滿(mǎn)足"-2）W-2=2021,m,rieN*，則數(shù)對(duì)（〃2,W）排在（）

A.第386位B.第193位C.第348位D.第174位

例22.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3M2,2）,（3,1）,（1,今（2,3）,（3,2）,（4,1）,...,則第68個(gè)“整

數(shù)對(duì)”為（）

A.（1,12）B.（3,10）C.（2,11）D.（3,9）

例23.將正整數(shù)排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

則圖中數(shù)2020出現(xiàn)在

A.第64行3列B.第64行4列C.第65行3列D.第65行4列

題型五：數(shù)列的最值問(wèn)題

例24.（2022?北京市第十二中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%="+三，則數(shù)列｛見(jiàn)｝的最小值為（）

n

A,把n57

B.—C.8A/2D.12

35

n-\

例25.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列也J,a?=則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng)B.此數(shù)列的最大項(xiàng)是巴

C.此數(shù)列沒(méi)有最小項(xiàng)D.此數(shù)列的最小項(xiàng)是〃2

例26.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））在數(shù)列｛%｝中，4=1,an-an_x=n（?eN+,n>2）,則^的

最小值是（

A—

A，21C.1DI

例27.（2022?遼寧?高三階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足⑸=2〃25,7；=3/2…%，則1的最小值為（）

A.2-B.2-10C.2TD.2-12

若數(shù)列｛風(fēng)｝滿(mǎn)足％則巴1■的最小值為（）

例28.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）=13,??+1~an=n,

n

2314

A.——Bn.—

53

C.V26--D.13

2

例29.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為=-2/+13〃-16,則數(shù)列｛%｝中最大項(xiàng)的值為（）

「13

B.5C.6D.—

42

例30.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=1-15+0,%是數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng),

n

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-40,-25]B.[^0,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?陜西咬大附中模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)“尤）定義如下表，數(shù)列｛玉｝（〃eN）滿(mǎn)足4=2,且對(duì)任意的

自然數(shù)〃均有%+1則尤2022=（）

X12345

“尤）

51342

A.1B.2C.4D.5

2.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（理））大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用

于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量

總和，其中一列數(shù)如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……按此規(guī)律得到的數(shù)列記為｛%｝,

其前〃項(xiàng)和為給出以下結(jié)論：①電,1=21-2"；②182是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；③⑸=210；④當(dāng)〃為偶

數(shù)時(shí)，S,+2-2S“M+S“=〃+2（〃€N）其中正確的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

3.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（理））觀察數(shù)組（2,2）,（3,4）,（4,8）,（5,16）,（6,32）,…，根據(jù)規(guī)律，可得第8

個(gè)數(shù)組為（）

A.（9,128）B.（10,128）

C.（9,256）D.（10,256）

4.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛。"｝滿(mǎn)足1）（4+1）+2=0,則數(shù)列｛4｝的前2022

項(xiàng)積為（）

123

A.—B.—C.—6D.一

632

5.（2022?江西?臨川一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,〃角=券、則2022=（）

A.—B.1C.2D.一

32

6.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q=〃+—貝廠%>4”是“數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增'的

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（、-rr+2tn,H<5,neN,,、

7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%且數(shù)列MJ是單調(diào)遞增數(shù)列，

貝心的取值范圍是（）

A.由手）B.C.（5,^o）D.（1,4]

8.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列｛的｝的前”項(xiàng)和S〃=〃2—iOw（〃eN*）,則數(shù)列｛”的｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是

（）

A.第2項(xiàng)B.第3項(xiàng)

C.第4項(xiàng)D.第5項(xiàng)

9.（2022.上海普陀.二模）數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的和S“滿(mǎn)足S用+S“="5eN*）,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.數(shù)列｛4,+1+%｝是常數(shù)列

B.若則｛4｝是遞增數(shù)列

C.若％=-1,則$2022=1013

D.若％=1,則｛%｝的最小項(xiàng)的值為-1

10.（2022?北京四中三模）已知數(shù)歹U｛%｝的通項(xiàng)為%=/一2力7,貝廣/<0”是“V〃eN*,%+1>%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

11.（2022?河北?衡水第一中學(xué)高三階段練習(xí)）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主

要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩

儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是180

C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為由.=21D.此數(shù)列的前“項(xiàng)和為S“=〃?=-：!）

2%,網(wǎng)J1

12.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列｛??｝滿(mǎn)足%+11，%=§,則數(shù)列｛氏｝中的項(xiàng)的值可能

~^—<an<1

為（）

4

A.-B.2D.

3CI7

13.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

3456〃+1

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列

D.數(shù)列［J,…，上是遞增數(shù)列

242n

14.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知S”是｛4｝的前〃項(xiàng)和，4=2,an=l--（n>2）,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的

an-\

是（）

A.%02i=2B.SO2I=1O12

C.如?⑸+“3〃+2=1D.｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列

L,1

2c1n,c1n<—

15.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足4,+i=<72］，卬=,，則數(shù)列｛加｝中的項(xiàng)的值可

^2an--,an>-

能為（）

A.-B.-C.-D.-

9633

16.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4+i=J，則下列各數(shù)是｛。,｝的項(xiàng)的有（）

214〃

23

A.—2B.—C."D.3

17.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中記錄了一種三

角形數(shù)表，稱(chēng)之為“開(kāi)方作法本源”圖，即現(xiàn)在著名的“楊輝三角”.如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列

｛q｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成的，其中｛%｝是集合｛2、+2［0Vs<f，且s/eZ｝中所有的數(shù)從

小到大排列的數(shù)列，即4=3,%=5,%=6,?4=9,%=1。，…，則下列結(jié)論正確的是（）

3

56

91012

口Q(m=3?2n~]

A.第四行的數(shù)是17,18,20,24B.〃(〃+i)

2

°皿尸+

C,1D.[00=16640

2

18.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開(kāi)始的正奇數(shù)，從第2行開(kāi)始每個(gè)數(shù)是

它肩上兩個(gè)數(shù)之和.則下列說(shuō)法正確的是（）

1357911...

48121620...

12202836...

A.第6行第1個(gè)數(shù)為192

B.第10行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為2"的等差數(shù)列

C.第10行前10個(gè)數(shù)的和為95x29

D.數(shù)表中第2021行第2021個(gè)數(shù)為6061><2故。

19.（2022?河北?石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推

論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的

兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是182

C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為。2”=2/D.止匕數(shù)歹U的前兀項(xiàng)和為5“=〃5-1）

20.（2022?福建漳州?三模）已知數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)