北京市豐臺區(qū)市級名校2025年高三下學(xué)期第七次月考數(shù)學(xué)試題

北京市豐臺區(qū)市級名校2025年高三下學(xué)期第七次月考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內(nèi)，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心2．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．3．已知為正項等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．324．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．6．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．7．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立C．當(dāng)時，該命題不成立 D．當(dāng)時，該命題成立8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為點，延長交橢圓于點，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．9．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．11．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學(xué)通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．12．已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個學(xué)生的編號是__________．14．已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是；若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___15．已知半徑為4的球面上有兩點A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動點C滿足二面角C-AB-O的大小為60°16．已知集合，，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機構(gòu)從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計，開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展?fàn)I銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.18．（12分）已知數(shù)列滿足,，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.19．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中點，AC，BD交于點O.（1）求證：OE∥平面PBC；（2）求三棱錐E﹣PBD的體積.21．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點的交點為，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.2．B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.3．B【解析】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負(fù)值舍去），則有S5===1．故選C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．4．C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.5．C【解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.6．A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

寫出命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時該命題也不成立”，由于當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.8．B【解析】

設(shè)，則，，因為，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．9．B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負(fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．10．B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，，若，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學(xué)生的基本計算能力，是一個中檔題.12．D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.14．【解析】

利用絕對值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式，求出的最大值，然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡不等式有，即而當(dāng)時滿足題意，解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式，要注意到絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合來解答本題，注意去絕對值時的分類討論化簡15．4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因為OA=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因為O1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題．16．【解析】

根據(jù)交集的定義即可寫出答案。【詳解】，，故填【點睛】本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).（2）①4.911②100萬元.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得，再由二項分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展?fàn)I銷活動與不開展?fàn)I銷活動的利潤，比較即可得解.【詳解】（1）對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為，對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為，∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學(xué)期望，②由分層抽樣知，則100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個），每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個），若不開展?fàn)I銷活動，則一個月的利潤為（萬元），若開展?fàn)I銷活動，則一個月的利潤為（萬元），這100個城市中開展?fàn)I銷活動比不開展每月多盈利100萬元.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用，完善列聯(lián)表并計算的觀測值作出判斷，分層抽樣的簡單應(yīng)用，綜合性強，屬于中檔題.18．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）數(shù)列是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時，，故.當(dāng)時，，則，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【點睛】（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出（Ⅱ）采用分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列．19．(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（