數(shù)學(xué)與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題課時(shí)過(guò)關(guān)培優(yōu)訓(xùn)練-2024-2025學(xué)年高一下人教A版（2019）必修二

新人教版數(shù)學(xué)必修二課時(shí)過(guò)關(guān)培優(yōu)（與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題）一、選擇題。題號(hào)123456選項(xiàng)1.甲球與某正方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)正方體的各條棱都相切，丙球過(guò)這個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為()A.1∶2∶3 B.1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C.1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D.1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)2.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D.5πa23.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，則該直三棱柱外接球的表面積為()A.72π B.114πC.136π D.144π4.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A.4π(r＋R)2B.4πr2R2C.4πRrD.π(R＋r)25.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積為2π.若圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積為()A.4eq\r(3)πB.eq\f(2\r(3),27)πC.eq\f(\r(3),27)πD.eq\f(4\r(3),27)π6.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家.他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的eq\f(2,3)，且球的表面積也是圓柱表面積的eq\f(2,3)”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為12π，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A.eq\f(4,3)πB.8πC.eq\f(8,3)πD.eq\f(8\r(2)π,3)二、多選題。7.已知某正方體的外接球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說(shuō)法正確的是()A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C.正方體的棱長(zhǎng)為2D.線段MN的最大值為2eq\r(3)8.正四棱錐P－ABCD的底面積為3，外接球的表面積為8π，則正四棱錐P－ABCD的體積可以為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.2eq\r(2)D.eq\r(2)三、填空題。9.三棱錐A－BCD的四個(gè)面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為_(kāi)_______.10.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.11.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.四、解答題。12.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G.若四面體AEFG外接球的表面積為eq\f(π,4)，求正方形ABCD的邊長(zhǎng).13.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為2eq\r(2).(1)求AB的長(zhǎng)度；新人教版數(shù)學(xué)必修二課時(shí)過(guò)關(guān)培優(yōu)（答案版）（與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題）一、選擇題。1.甲球與某正方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)正方體的各條棱都相切，丙球過(guò)這個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為()A.1∶2∶3 B.1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C.1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D.1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)答案A2.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D.5πa2答案B3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，則該直三棱柱外接球的表面積為()A.72π B.114πC.136π D.144π答案C4.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A.4π(r＋R)2B.4πr2R2C.4πRrD.π(R＋r)2答案C5.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積為2π.若圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積為()A.4eq\r(3)πB.eq\f(2\r(3),27)πC.eq\f(\r(3),27)πD.eq\f(4\r(3),27)π答案D6.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家.他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的eq\f(2,3)，且球的表面積也是圓柱表面積的eq\f(2,3)”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為12π，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A.eq\f(4,3)πB.8πC.eq\f(8,3)πD.eq\f(8\r(2)π,3)答案D二、多選題。7.已知某正方體的外接球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說(shuō)法正確的是()A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C.正方體的棱長(zhǎng)為2D.線段MN的最大值為2eq\r(3)答案ABC8.正四棱錐P－ABCD的底面積為3，外接球的表面積為8π，則正四棱錐P－ABCD的體積可以為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.2eq\r(2)D.eq\r(2)答案AB三、填空題。9.三棱錐A－BCD的四個(gè)面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為_(kāi)_______.答案4eq\r(3)π10.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.答案eq\f(3,2)11.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.答案16π四、解答題。12.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G.若四面體AEFG外接球的表面積為eq\f(π,4)，求正方形ABCD的邊長(zhǎng).解由題意，折疊后的四面體AEFG如圖所示，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，四面體AEFG外接球的半徑為r，則AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折疊后的四面體AEFG中，GA，GE，GF兩兩垂直，所以四面體AEFG的外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)),2)＝eq\f(\r(6),4)a，由4πr2＝eq\f(π,4)，解得r＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(4,\r(6))r＝eq\f(4,\r(6))×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(6),6)，即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(6),6).13.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為2eq\r(2).(1)求AB的長(zhǎng)度；(2)求該長(zhǎng)方體外接球的表面積.解(1)設(shè)AB＝x，點(diǎn)A到點(diǎn)C1的最短路程有兩種可能，如圖甲的最短路程為AC1＝eq\r(x2＋4).圖甲如圖乙的最短路程為AC1＝eq\r(（x＋1）2＋1)＝eq