2025屆廣東省重點(diǎn)名校高三數(shù)學(xué)試題一模模擬考試題

2025屆廣東省重點(diǎn)名校高三數(shù)學(xué)試題一模模擬考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．2．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．3．在鈍角中，角所對的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．4．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．26．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當(dāng)該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．49．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④10．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．11．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且與點(diǎn)相鄰的一個最低點(diǎn)為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的取值范圍是__________.14．邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時，其底面棱長為________.15．對任意正整數(shù)，函數(shù)，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立，則的最大值為_________．16．記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.20．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，是與的等比中項.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.21．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．22．（10分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據(jù)求出的最大值；【詳解】解：因為，所以因為所以，即，，時故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.4、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、A【解析】

分別代值計算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得關(guān)于a的不等式組，解得a的范圍.【詳解】，由其在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

由已知，設(shè)．可得．于是可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、D【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇．【詳解】當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．10、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計算的準(zhǔn)確度，屬于簡單題目.11、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.12、C【解析】分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點(diǎn)可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點(diǎn)為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當(dāng)時，，所以與有6個交點(diǎn)，設(shè)各個交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

配方求出頂點(diǎn)，作出圖像，求出對應(yīng)的自變量，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】，頂點(diǎn)為因為函數(shù)的值域是，令，可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為，則斜高為，即此四棱錐的高為，所以此四棱錐體積為，令，令，易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.15、【解析】

將代入求解即可；當(dāng)為奇數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值；同理,當(dāng)為偶數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時,,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以；當(dāng)為偶數(shù)時,,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】試題分析：顯然，又，①當(dāng)時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點(diǎn)：不等式、簡單線性規(guī)劃.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)判別式即可證明．（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明，需要分類討論，【詳解】解：（1）當(dāng)時直線方程為或，直線與橢圓相切.當(dāng)時，由得，由題知，，即，所以.故直線與橢圓相切.（2）設(shè)，，當(dāng)時，，，，所以，即.當(dāng)時，由得，則，，.因為.所以，即.故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）最小值為，此時；（2）見解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得；法二:運(yùn)用基本不等式構(gòu)造，可得最值；法三：運(yùn)用柯西不等式得：，可得最值；（2）由絕對值不等式得，，又，可得證.【詳解】（1），法一:，，的最小值為，此時；法二:，，即的最小值為，此時；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值為，此時；（2），，又，.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用基本不等式，柯西不等式，絕對值不等式進(jìn)行不等式的證明和求解函數(shù)的最值，屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，值域為【解析】

（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數(shù)的定義域為.化簡，得，因為，且，，所以，所以.所以函數(shù)的值域為.（注：或許有人會認(rèn)為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，建立首項和公差的方程組，通過基本量即可寫出前項和；（2）由（1）中所求，結(jié)合累加法求得.【詳解】（1）由題意可得即又因為，所以，所以.（2）由條件及（1）可得.由已知得，所以.又滿足上式，所以【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項公式和前項和的基本量的求解，涉及利用累加法求通項公式，屬綜合基礎(chǔ)題.21、矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點(diǎn)