自動(dòng)控制原理第2章新 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)資料

PAGE27第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立描述控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是控制理論分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。一個(gè)系統(tǒng)，無(wú)論它是機(jī)械的、電氣的、熱力的、液壓的、還是化工的等都可以用微分方程加以描述。對(duì)這些微分方程求解，就可以獲得系統(tǒng)在輸入作用下的響應(yīng)（即系統(tǒng)的輸出）。對(duì)數(shù)學(xué)模型的要求是，既要能準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)本質(zhì)，又便于系統(tǒng)的分析和計(jì)算工作。建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。解析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律（例如，電學(xué)中有克希荷夫定律、力學(xué)中有牛頓定律、熱力學(xué)中有熱力學(xué)定律等）分別列寫(xiě)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。實(shí)驗(yàn)法是人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其響應(yīng)，按照物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法又稱(chēng)為系統(tǒng)辨識(shí)。近些年來(lái)，系統(tǒng)辨識(shí)已發(fā)展成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科分支。本章主要采用解析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型有多種形式。時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特性等。本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖等數(shù)學(xué)模型的建立及應(yīng)用。2.1物理系統(tǒng)動(dòng)態(tài)描述微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)(或元件)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，利用它可以得到描述系統(tǒng)（或元件)動(dòng)態(tài)特性的其他形式的數(shù)學(xué)模型。這里主要運(yùn)用機(jī)理建模法對(duì)常見(jiàn)的機(jī)械、電氣等物理系統(tǒng)建立其數(shù)學(xué)模型。2.1.1列寫(xiě)微分微分方程的一般方法列寫(xiě)系統(tǒng)或元件的微分方程，目的在于確定系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，而系統(tǒng)由元件組成。用解析法列寫(xiě)系統(tǒng)或元部件微分方程的一般步驟是：⑴根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量；⑵從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫(xiě)出各元部件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組；⑶消去中間變量，寫(xiě)出輸入、輸出變量的微分方程；⑷將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。2.1.2機(jī)械系統(tǒng)的微分方程可以運(yùn)用牛頓定律進(jìn)行推導(dǎo)。下面通過(guò)舉例說(shuō)明機(jī)械系統(tǒng)微分方程的求取方法。機(jī)械系統(tǒng)微分方程例2-1設(shè)有一個(gè)由彈簧、質(zhì)量、阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)，如圖2-1所示。試列寫(xiě)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。圖2-1機(jī)械平移系統(tǒng)解由牛頓第二定律有，即整理得（2-1）式中：m—運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量，kg；y—運(yùn)動(dòng)物體位移，m；f—阻尼器粘性阻尼系數(shù)，N?s/m；—阻尼器粘滯摩擦阻力，它的大小與物體移動(dòng)的速度成正比，方向與物體移動(dòng)的方向相反，；k—彈簧剛度，N/m；—彈簧的彈性力，它的大小與物體位移（彈簧拉伸長(zhǎng)度）成正比，。運(yùn)動(dòng)方程式（2-1）即為此機(jī)械平移系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例2-2設(shè)有一個(gè)由慣性負(fù)載和粘性摩擦阻尼器組成的機(jī)械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，如圖2-2所示。外力矩M(t)為輸入信號(hào)，角位移θ(t)為輸出信號(hào)，試列寫(xiě)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。圖2.-2機(jī)械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)解由牛頓第二定律，有，即整理得（2-2）式中：J—慣性負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg?m2；θ—轉(zhuǎn)角，rad；f—粘性摩擦阻尼器的粘滯阻尼系數(shù)，N?m?s/rad；kJ—扭轉(zhuǎn)彈簧剛度，N.m/rad；運(yùn)動(dòng)方程式（2-2）就是此機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例2-3設(shè)有如圖2-3所示的齒輪傳動(dòng)鏈，試對(duì)傳動(dòng)鏈進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。a)原始輪系圖b)等效輪系圖2-3齒輪傳動(dòng)鏈解由電動(dòng)機(jī)M輸入的轉(zhuǎn)矩為T(mén)m，L為輸出端負(fù)載，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。圖中所示的zi為各齒輪齒數(shù)，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分別為各軸及相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)角。假設(shè)各軸均為絕對(duì)剛性，即KJ→∞，根據(jù)牛頓第二定律式可得如下動(dòng)力學(xué)方程組（2-3）式中：f1、f2、f3——傳動(dòng)中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)；T1——齒輪z1對(duì)Tm的反轉(zhuǎn)矩，N?m；T2——z1對(duì)T1的反轉(zhuǎn)矩，N?m；T3——z3對(duì)T2的反轉(zhuǎn)矩，N?m；T4——z4對(duì)T3的反轉(zhuǎn)矩，N?m；TL——輸出端負(fù)載對(duì)T4的反轉(zhuǎn)矩，即負(fù)載轉(zhuǎn)矩。由齒輪傳動(dòng)的基本關(guān)系可知：；于是由式（2-3）可得：（2-4）令；Jeq稱(chēng)為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；令；feq稱(chēng)為等效阻尼系數(shù)；令；TLeq稱(chēng)為等效輸出轉(zhuǎn)矩。則有（2-5）則圖2-3（a）所示傳動(dòng)裝置可簡(jiǎn)化為圖2-3（b）所示的等效齒輪傳動(dòng)裝置。2.1.3電氣系統(tǒng)的微分方程根據(jù)歐姆定律、基爾霍夫定律（克希荷夫定律）、電磁感應(yīng)定律等物理定律來(lái)進(jìn)行列寫(xiě)，下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明列寫(xiě)方法。例2-4圖2-4所示為一無(wú)源濾波器電路，試寫(xiě)出以輸出電壓uo(t)和輸入電壓ui(t)為變量的濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程。圖2-4RC電路解根據(jù)基爾荷夫定律（克希荷夫定律），可寫(xiě)出下列原始方程式；（2-6）消去中間變量i(t)后得到（2-7）式（2-7)就是所求系統(tǒng)的微分方程。以上所討論的系統(tǒng)均具有線(xiàn)性微方程，將具有線(xiàn)性微分方程的控制系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)。對(duì)于一般研究的系統(tǒng)，其微分方程式的系數(shù)均為常數(shù)，稱(chēng)之為線(xiàn)性定常(或線(xiàn)性時(shí)不變)系統(tǒng)。線(xiàn)性系統(tǒng)具有以下特性。疊加性線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加原理，即幾個(gè)外作用施加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。均勻性均勻性也稱(chēng)為齊次性，線(xiàn)性系統(tǒng)具有均勻性，就是說(shuō)當(dāng)加于同一線(xiàn)性系統(tǒng)的外作用數(shù)值增大幾倍時(shí)，則系統(tǒng)的響應(yīng)亦相應(yīng)地增大幾倍。在線(xiàn)性系統(tǒng)分析中，線(xiàn)性系統(tǒng)的疊加性和齊次性是很重要的。2.2非線(xiàn)性系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型的線(xiàn)性化2.2.1本章第一節(jié)討論的元件和系統(tǒng)，假設(shè)都是線(xiàn)性的，因而，描述它們的數(shù)學(xué)模型也都是線(xiàn)性微分方程。系統(tǒng)或元件的輸出與輸入間的關(guān)系不滿(mǎn)足疊加原理及均勻性原理的，稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)或元件。事實(shí)上，任何一個(gè)元件或系統(tǒng)總是存在一定程度的非線(xiàn)性。例如，彈簧的剛度與其形變有關(guān)，并不一定是常數(shù)；電阻R、電感L、電容C等參數(shù)值與周?chē)h(huán)境（溫度、濕度、壓力等）及流經(jīng)它們的電流有關(guān)，也不一定是常數(shù)；電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線(xiàn)性因素會(huì)使其運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜化而成為非線(xiàn)性方程等等。嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般都是非線(xiàn)性的，而非線(xiàn)性微分方程沒(méi)有通用的求解方法。因此，在研究系統(tǒng)時(shí)總是力圖將非線(xiàn)性問(wèn)題在合理、可能的條件下簡(jiǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題處理。如果做某些近似或縮小一些研究問(wèn)題的范圍，可以將大部分非線(xiàn)性方程在一定的工作范圍內(nèi)近似用線(xiàn)性方程來(lái)代替，這樣就可以用線(xiàn)性理論來(lái)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。雖然這種方法是近似的，但它便于分析計(jì)算，在一定的工作范圍內(nèi)能反映系統(tǒng)的特性，在工程實(shí)踐中具有實(shí)際意義。判別系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程是否是非線(xiàn)性的，可視其中的函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，如出現(xiàn)高于一階的項(xiàng)，或?qū)?shù)項(xiàng)的系數(shù)是輸出變量的函數(shù)，則此微分方程是非線(xiàn)性的。機(jī)械系統(tǒng)中常見(jiàn)的一些非線(xiàn)性特性舉例如下：傳動(dòng)間隙由齒輪及絲杠螺母副組成的機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)中，經(jīng)常存在有傳動(dòng)間隙（圖2.2.1)，使輸入轉(zhuǎn)角Xi和輸出位移X0間有滯環(huán)關(guān)系。只有消除了傳動(dòng)間隙，Xi與X0才具有線(xiàn)性關(guān)系。死區(qū)在死區(qū)范圍內(nèi)，有輸入而無(wú)輸出動(dòng)作。負(fù)開(kāi)口液壓伺服閥具有典型死區(qū)特性，如圖2.2.2所示圖2-5傳動(dòng)間隙圖2-6死區(qū)摩擦力機(jī)械滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)副，如機(jī)床滑動(dòng)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)副、主軸套筒運(yùn)動(dòng)副、活塞液壓缸運(yùn)動(dòng)副等，在運(yùn)動(dòng)中都存在摩擦力。若假定為干摩擦力（也稱(chēng)庫(kù)倫摩擦力），如圖2-5所示。其大小為f，方向總是和速度的方向相反。實(shí)際上，運(yùn)動(dòng)副中的摩擦力與運(yùn)動(dòng)速度大小及其方向有關(guān)，如圖2-6所示。圖中曲線(xiàn)可大致分為起始點(diǎn)的靜動(dòng)摩擦力、低速時(shí)混合摩擦力（摩擦力呈下降特性），以及粘性摩擦力（摩擦力隨速度的增加而增加）。由以上各種非線(xiàn)性性質(zhì)可以看出，在工作點(diǎn)附近存在著不連續(xù)直線(xiàn)、跳躍、折線(xiàn)，以及非單值關(guān)系等嚴(yán)重非線(xiàn)性性質(zhì)的，稱(chēng)為本質(zhì)非線(xiàn)性性質(zhì)。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，為得到線(xiàn)性方程，只能略去這些因素，得到近似解。若這種略去及近似帶來(lái)的誤差較大，那就只能用復(fù)雜的非線(xiàn)性處理方法來(lái)求解了。不是像以上所說(shuō)的嚴(yán)重非線(xiàn)性性質(zhì)，稱(chēng)為非本質(zhì)非線(xiàn)性性質(zhì)。對(duì)于這種非線(xiàn)性性質(zhì)，就可以在工作點(diǎn)附近用切線(xiàn)來(lái)代替。這時(shí)的線(xiàn)性化只有變量在其工作點(diǎn)附近作微小變化，即變量發(fā)生微小偏差時(shí)，誤差才不致太大。非線(xiàn)性微分方程經(jīng)線(xiàn)性化處理后，就變成線(xiàn)性微分方程了，可以采用普通的線(xiàn)性方法來(lái)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。因而這種近似方法，給我們帶來(lái)了很大的方便。圖2-7干摩擦力圖2-8粘性摩擦力2.2.2線(xiàn)性化方法通常系統(tǒng)在正常工作時(shí)，都有一個(gè)預(yù)定工作點(diǎn)，即系統(tǒng)處于這一平衡位置。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)變量就會(huì)偏離預(yù)定點(diǎn)，也就是系統(tǒng)變量產(chǎn)生了不大的偏差。自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)將進(jìn)行調(diào)節(jié)，力圖使偏離的系統(tǒng)變量達(dá)到平衡位置。因此，只要非線(xiàn)性函數(shù)的這一變量在預(yù)定工作點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在，就可以在預(yù)定工作點(diǎn)附近將此非線(xiàn)性函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)。對(duì)于非線(xiàn)性函數(shù)f（x）及f（x，y），假定系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)為0，在該點(diǎn)附近將函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)，并認(rèn)為偏差是微小量，因而略去高于一次微增量的項(xiàng)，所得到的近似線(xiàn)性函數(shù)如下（2-8）（2-9）以上兩個(gè)式中減去靜態(tài)方程式，得以增量表示的方程為（2-10）（2-11）式（2-10）及（2-11）就是非線(xiàn)性函數(shù)的線(xiàn)性化表達(dá)式。在應(yīng)用中需注意以下幾點(diǎn)：（1）式中的變量不是絕對(duì)量，而是增量。公式稱(chēng)為增量方程式。（2）預(yù)定工作點(diǎn)（額定工作點(diǎn)），若看作是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)，則有x0=0，y0=0，f(x0，y0）=0，Δx=x-x0，Δy=y-y0=y,因而式（2-10）、（2-11）中的Δ去掉，增量可寫(xiě)為絕對(duì)量，公式中的變量為絕對(duì)量了。（3）若預(yù)定工作點(diǎn)不是系統(tǒng)冠以坐標(biāo)的原點(diǎn)，這是普遍的情況。又系統(tǒng)的非線(xiàn)性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定變量只有一個(gè)x)中僅f2(x)為非線(xiàn)性項(xiàng)，那么當(dāng)把f2(x)應(yīng)用式（2-10）線(xiàn)性化后，由于f2(x)成為增量式子，則f(x)及f1(x)也必須把其中的變量改為增量，以組成系統(tǒng)的線(xiàn)性化微分方程。（4）當(dāng)增量并不很小，在進(jìn)行線(xiàn)性化時(shí)，為了驗(yàn)證容許的誤差值，需要分析泰勒公式中的余項(xiàng)。例2-5鐵芯線(xiàn)圈如圖2-9（a）所示。試列寫(xiě)以電壓為輸入，電流為輸出的鐵芯線(xiàn)圈的微分方程。解根據(jù)克希荷夫定律有（2-12）式中，為線(xiàn)圈的感應(yīng)電勢(shì)，它正比于線(xiàn)圈中磁通變化率，即（2-13）式中，為比例常數(shù)。鐵芯線(xiàn)圈的磁通是線(xiàn)圈中電流的非線(xiàn)性函數(shù)，如圖2-9（b）所示。將式（2-12）代入式（2-13）得（2-14）顯然這是一個(gè)非線(xiàn)性微分方程。(a)鐵芯線(xiàn)圈原理圖(b)磁通與線(xiàn)圈電流關(guān)系圖2-9鐵芯線(xiàn)圈及磁通曲線(xiàn)如果在工作過(guò)程中，線(xiàn)圈的電壓、電流只在平衡工作點(diǎn)（）附近作微小的變化，在的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，則在平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，磁通可表示成泰勒級(jí)數(shù)，即式中，＝，當(dāng)“足夠小”時(shí)，略去高階項(xiàng)，取其一次近似，有式中，為平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，令它為，則有上式表明，經(jīng)小擾動(dòng)線(xiàn)性化處理后，線(xiàn)圈中電流增量與磁通增量之間已經(jīng)近似為線(xiàn)性關(guān)系了。將式（2-14）中，，均表示成平衡點(diǎn)附近的增量方程，即將上述三式代入方程(2-14)，消去中間變量并整理，可得 （2-15）式（2-15）就是鐵芯線(xiàn)圈的線(xiàn)性化增量微分方程。在實(shí)際使用中，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常常略去增量符號(hào)而寫(xiě)成 （2-16）但必須明確，和均為相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量（小變化量），而不是本身的真正值。2.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的微分方程，是在時(shí)間域內(nèi)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)求解描述系統(tǒng)的微分方程，可以把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但計(jì)算量繁瑣，尤其是對(duì)于高階系統(tǒng)，難以根據(jù)微分方程的解，找到改進(jìn)控制系統(tǒng)品質(zhì)的有效方案。在Laplace變換的基礎(chǔ)上，引入描述系統(tǒng)線(xiàn)性定常系統(tǒng)（或元件）在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)，不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以借以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，都是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。本節(jié)首先討論傳遞函數(shù)的基本概念及其性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上介紹典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。2.3設(shè)有線(xiàn)性定常系統(tǒng)，若輸入為xi(t)，輸出為xo(t)，則系統(tǒng)微分方程的一般形式為式中：n≥m;an,bm(n,m=0,1,2,……)均為實(shí)數(shù)。在零初始條件下，即當(dāng)外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件，，…，和，，…，均為零時(shí)，對(duì)上式作Lap1ace變換可得：在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為零時(shí)，線(xiàn)性定常系統(tǒng)的輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比，稱(chēng)為線(xiàn)性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。由此可得：則傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的。零初始條件有以下兩方面含義：一是指輸入作用是在以后才作用于系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)均為零；二是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是“相對(duì)靜止”的，即系統(tǒng)輸出量及各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)的值也為零。大多數(shù)實(shí)際工程系統(tǒng)都滿(mǎn)足這樣的條件。零初始條件的規(guī)定不僅能簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且有利于在同等條件下比較系統(tǒng)性能。所以，這樣規(guī)定是必要的。例2-6求圖2-1所示機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解已知該系統(tǒng)的微分方程是式（2-1）,即設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得由定義可得機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2-17）2.3由線(xiàn)性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義可以分析得知，傳遞函數(shù)具有下列性質(zhì)：1、系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)，是一種描述其動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，它和系統(tǒng)（或元件）的運(yùn)動(dòng)方程式一一對(duì)應(yīng)。若給定系統(tǒng)（或元件）的運(yùn)動(dòng)方程式，則可確定與之相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。2、傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，，其中為實(shí)部，為虛部。分子的階數(shù)m低于分母的階數(shù)n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。，這是由于物理系統(tǒng)具有慣性的緣故；各系數(shù)均為實(shí)數(shù)，是因?yàn)樗鼈兌际窍到y(tǒng)元件參數(shù)的函數(shù)，而元件參數(shù)只能是實(shí)數(shù)。3、傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)（或元件）本身內(nèi)部的結(jié)構(gòu)有關(guān)，與輸入信號(hào)和初始條件無(wú)關(guān)。即傳遞函數(shù)只表征系統(tǒng)（或元件）本身的特性。4、一定的傳遞函數(shù)有一定的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。將傳遞函數(shù)定義式中的分母、分子多項(xiàng)式分解后，可以得到下式：5、一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的函數(shù)關(guān)系，如果傳遞函數(shù)已知，則可針對(duì)各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)。如果傳遞函數(shù)未知，則可通過(guò)引入已知輸入量并研究系統(tǒng)輸出量的實(shí)驗(yàn)方法，確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。6、傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)，脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)是指系統(tǒng)在單位脈沖輸入量δ(t)作用下的輸出。因?yàn)閱挝幻}沖輸入時(shí)，，因此，系統(tǒng)的輸出。而的拉式變換即為脈沖函數(shù)，它正好等于傳遞函數(shù)的拉式反變換，即。因此，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)g(t)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)有單值函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可以用于表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。2.3.3由于控制系統(tǒng)的微分方程往往是高階的，因此其傳遞函數(shù)也往往是高階的。不管控制系統(tǒng)的階次有多高，均可化為一階、二階的一些典型環(huán)節(jié)，如比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)等。熟悉掌握這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，有助于對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的分析與研究。比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲而按比例地反映輸入的環(huán)節(jié)稱(chēng)為比例環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程為：式中：—輸出量；—輸入量；K—環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益（常數(shù)）。傳遞函數(shù)為：（2-18）例2-7圖2-10所示為運(yùn)算放大器，其輸出電壓與輸入電壓之間有如下關(guān)系式中R1、R2為電阻。經(jīng)Laplace變換后得其傳遞函數(shù)為圖2-10運(yùn)算放大器慣性環(huán)節(jié)(或一階慣性環(huán)節(jié))慣性環(huán)節(jié)又稱(chēng)非周期環(huán)節(jié)，在這類(lèi)環(huán)節(jié)中，因含有儲(chǔ)能元件，所以對(duì)突變形式的輸入信號(hào)不能立即輸送出去。凡動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)，稱(chēng)為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為（2-19）式中：T—為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。例2-8圖2-11為無(wú)源濾波電路，為輸入電壓，為輸出電壓，i為電流，R為電阻，C為電容。試求其傳遞函數(shù)。圖2-11無(wú)源濾波電路解根據(jù)克希荷夫定律有消除中間變量，得經(jīng)Laplace變換后，得故傳遞函數(shù)為式中，T＝RC為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。微分環(huán)節(jié)凡具有輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，稱(chēng)為微分環(huán)節(jié)，即。其傳遞函數(shù)為（2-20）式中：T——微分時(shí)間常數(shù)。如液壓油缸的流量與活塞的位移關(guān)系為故流量對(duì)位移的傳遞函數(shù)為4．積分環(huán)節(jié)凡具有輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)稱(chēng)為積分環(huán)節(jié)，即。其傳遞函數(shù)為（2-21）式中：T——積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。液壓缸活塞位移對(duì)流量的傳遞關(guān)系即為積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為5．一階微分環(huán)節(jié)描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程的形式為：，其傳遞函數(shù)為（2-22）6.振蕩環(huán)節(jié)(或稱(chēng)二階振蕩環(huán)節(jié))振蕩環(huán)節(jié)含有兩種儲(chǔ)能元件，在信號(hào)傳遞過(guò)程中，因能量的轉(zhuǎn)換而使其輸出帶有振蕩的性質(zhì)，其微分方程為圖2-12振蕩環(huán)節(jié)對(duì)圖2-12所示振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為；振蕩環(huán)節(jié)為二階環(huán)節(jié)，通常傳遞函數(shù)可寫(xiě)成或?qū)懗桑?-23）式中：——無(wú)阻尼固有頻率；T——振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，；——阻尼比，。例2-9圖2-13所示為一質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)，位能和動(dòng)能可以相互轉(zhuǎn)換，它是一個(gè)典型機(jī)械振蕩環(huán)節(jié)。例2-1已經(jīng)推出系統(tǒng)的力平衡方程式為令；上式拉氏變換后，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為圖2-13質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)7．二階微分環(huán)節(jié)描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有形式，其傳遞函數(shù)為（2-24）8．延時(shí)環(huán)節(jié)（或稱(chēng)遲延環(huán)節(jié)）延時(shí)環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時(shí)間、但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)便稱(chēng)為延時(shí)系統(tǒng)。延時(shí)環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間有如下關(guān)系式中:—延遲時(shí)間。延時(shí)環(huán)節(jié)也是線(xiàn)性環(huán)節(jié)，它符合疊加原理。延時(shí)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為（2-25）延時(shí)環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)不同，慣性環(huán)節(jié)的輸出需要延遲一段時(shí)間才接近于所要求的輸出量，但它從輸入開(kāi)始時(shí)刻起就已有了輸出。延時(shí)環(huán)節(jié)在輸入開(kāi)始之初的時(shí)間τ內(nèi)并無(wú)輸出，在τ后，輸出就完全等于從一開(kāi)始起的輸入，且不再有其他滯后過(guò)程；簡(jiǎn)言之，輸出等于輸入，只是在時(shí)間上延時(shí)了一段時(shí)間間隔τ。當(dāng)延時(shí)環(huán)節(jié)受到階躍信號(hào)作用時(shí)，其特性如圖2-14所示。圖2-14延時(shí)環(huán)節(jié)輸入、輸出關(guān)系例2-10如圖2-15所示為軋鋼時(shí)的帶鋼厚度檢測(cè)示意圖。帶鋼在A點(diǎn)軋出時(shí)，產(chǎn)生厚度偏差Δh1（圖中為h十Δh1，h為要求的理想厚度）。但是，這一厚度偏差在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)才為測(cè)厚儀所檢測(cè)到。測(cè)圖2-15軋鋼時(shí)帶崗厚度檢測(cè)示意圖厚儀檢測(cè)到的帶鋼厚度偏差Δh2即為其輸出信號(hào)x0(t)。若測(cè)厚儀距機(jī)架的距離為L(zhǎng)，帶鋼速度為v，則延遲時(shí)間為τ＝L／v。故測(cè)厚儀輸出信號(hào)Δh2與厚度偏差這一輸入信號(hào)Δh1之間有如下關(guān)系：Δh2＝Δh1(t一`)此式表示，在t＜τ時(shí)，Δh2＝0，即測(cè)厚儀不反映Δh1的量。這里，Δh1為延時(shí)環(huán)節(jié)的輸入量，Δh2為其輸出量。故有因而有2.4系統(tǒng)框圖及其簡(jiǎn)化一個(gè)系統(tǒng)由若干環(huán)節(jié)按一定的關(guān)系組成，將這些環(huán)節(jié)以方框表示，其間用相應(yīng)的變量及信號(hào)流向聯(lián)系起來(lái)，就構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。系統(tǒng)方框圖具體而形象地表示了系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型、各變量之間的相互關(guān)系以及信號(hào)流向。事實(shí)上系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種圖解表示方法，它提供了關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的有關(guān)信息、并且可以揭示和評(píng)價(jià)每個(gè)組成環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響。根據(jù)方框圖，通過(guò)一定的運(yùn)算變換可求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。故方框圖對(duì)于系統(tǒng)的描述、分析、計(jì)算是很方便的，因而被廣泛地應(yīng)用。2.4.1.函數(shù)方框函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示，如圖2-16所示。圖2-16系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖圖中，指向方框的箭頭表示輸入，離開(kāi)方框的箭頭表示輸出，方框中表示的是該輸入輸出之間的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。所以，方框的輸出應(yīng)是方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入，即應(yīng)當(dāng)指出，輸出信號(hào)的量綱等于輸入信號(hào)的量綱與傳遞函數(shù)量綱的乘積。2.比較點(diǎn)比較點(diǎn)是兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入信號(hào)之間代數(shù)求和運(yùn)算元件，也稱(chēng)比較器。如圖2-17所示。圖2-17相加點(diǎn)示意圖在比較點(diǎn)處，輸出信號(hào)（離開(kāi)相加點(diǎn)的箭頭表示）等于各輸入信號(hào)（指向相加點(diǎn)的箭頭表示）的代數(shù)和，每一個(gè)指向相加點(diǎn)的箭頭前方的“十”號(hào)或“一”號(hào)表示該輸入信號(hào)在代數(shù)運(yùn)算中的符號(hào)。在相加點(diǎn)處加減的信號(hào)必須是同種變量，運(yùn)算時(shí)的量綱也要相同。相加點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。3.分支點(diǎn)分支點(diǎn)表示同一信號(hào)向不同方向的傳遞，如圖2-18所示。圖2-18分支點(diǎn)示意圖在分支點(diǎn)引出的信號(hào)不僅量綱相同，而且數(shù)值也相等。2.4根據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程組，分別建立相應(yīng)的子結(jié)構(gòu)圖，按信號(hào)傳遞順序連接起來(lái)，可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例2-11圖2-19中，，分別是電路的輸入、輸出電壓，試建立相應(yīng)的系統(tǒng)方框圖。解根據(jù)克希荷夫定律，可寫(xiě)出以下方程：圖2-19R-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)根據(jù)各方程可繪出相應(yīng)的子系統(tǒng)的方框圖，分別如圖2-20（a）、(b)和（c）所示，按信號(hào)的傳遞順序，將各子結(jié)構(gòu)圖依次連接起來(lái)，便得到無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-20（d）所示。圖2-20R-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖2.4.方框圖是從具體系統(tǒng)中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)圖形，當(dāng)只討論系統(tǒng)的輸入、輸出特性，而不考慮它的具體結(jié)構(gòu)時(shí)，完全可以對(duì)其進(jìn)行必要的變換，當(dāng)然，這種變換必須是“等效的”，應(yīng)使變換前后輸入量與輸出量之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種基本連接方式，方框圖運(yùn)算法則是用于指導(dǎo)求取框圖不同連接方式下的等效傳遞函數(shù)的方法。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入的聯(lián)接方式稱(chēng)為環(huán)節(jié)的串聯(lián)，如圖2-21所示。圖2-21串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換當(dāng)各環(huán)節(jié)之間不存在（或可忽略）負(fù)載效應(yīng)時(shí)，則串聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：故環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。當(dāng)系統(tǒng)由n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：Gi(s)—第i個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，…，n)。2．并聯(lián)環(huán)節(jié)各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種聯(lián)接方式稱(chēng)為環(huán)節(jié)的并聯(lián)，如圖2-22所示。則有故環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和。推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，則總的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即++等效式中：Gi(s)—第i個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，…，++等效圖圖2-22并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換3．反饋聯(lián)接所謂反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過(guò)反饋回路返回到輸入端，又重新輸入到系統(tǒng)中去的聯(lián)接方式稱(chēng)為反饋聯(lián)接，如圖2-23所示。反饋聯(lián)接實(shí)際上也是閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的最基本形式。單輸入作用的閉環(huán)系統(tǒng)，無(wú)論組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)有多復(fù)雜，其傳遞函數(shù)方框圖總可以簡(jiǎn)化成圖2-23所示的基本形式。圖2-23反饋聯(lián)接的等效變換圖2-23中，G(s)稱(chēng)為前向通道傳遞函數(shù)，它是輸出Xo(s)與偏差E(s)之比，即H(s)稱(chēng)為反饋回路傳遞函數(shù)，即前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋回路傳遞函數(shù)H(s)之乘積定義為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)，它也是反饋信號(hào)B(s)與偏差E(s)之比，即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：封閉回路在相加點(diǎn)斷開(kāi)以后，以E(s)作為輸入，經(jīng)G(s)、H(s)而產(chǎn)生輸出B(s)，此輸出與輸入的比值B(s)/E(s)，可以認(rèn)為是一個(gè)無(wú)反饋的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于B(s)與E(s)在相加點(diǎn)的量綱相同，因此，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)量綱，而且H(s)的量綱是G(s)的量綱的例數(shù)。輸出信號(hào)Xo(s)與輸入信號(hào)Xi(s)之比，定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)，即由圖可知由此可得故反饋聯(lián)接時(shí)，其等效傳遞函數(shù)等于前向通道傳遞函數(shù)除以l加(或減)前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)的乘積。閉環(huán)傳遞函數(shù)的量綱決定于與的量綱，兩者可以相同也可以不同。若反饋回路傳遞函數(shù)H(s)＝1，稱(chēng)為單位反饋。此時(shí)有。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、以及開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是三個(gè)常常容易混淆的概念，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的概念在上面有所敘述，二者均針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)而言，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)則是針對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)而言的。2.4為便于計(jì)算分析，常需要對(duì)比較復(fù)雜的系統(tǒng)框圖結(jié)構(gòu)（如多回路、多個(gè)輸入信號(hào)等）進(jìn)行變換、組合和簡(jiǎn)化，以便求出總的傳遞函數(shù)，并有利于分析各輸入信號(hào)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在對(duì)框圖進(jìn)行簡(jiǎn)化時(shí)，有兩條基本原則：1）變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。2）變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。表2-1列出了框圖變換過(guò)程中，分支點(diǎn)與相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則。表2-1方框圖變換法則序原框圖等效框圖說(shuō)明1AAB－A－BCA－B＋C__CAA－CCA－B＋CB－加法交換律2AAB－CA－B＋CAAB－A－BA－B＋CC加法結(jié)合率3AGAG1AG1GAG1G2AGAG2AG1GAG2G1乘法交換律4AGAG1AG1GAG1G2AGAG1GAG1G乘法結(jié)合率5AGAG1AG1＋AG2AG1G2AG2AGAG1＋AG2AG1＋G2并聯(lián)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)化6AAAGAG－BB－GAAAG－B/GAG－BB/G－G1/GB相加點(diǎn)前移7－－AA－BAG－BGBGAAG－BGAAG－GBBGG相加點(diǎn)后移8AAAGGAGAAAGGAGG引出點(diǎn)前移9AAAGGAAAAGGA1/GAG引出點(diǎn)后移10－－AA－BBA－B－A－AA－BBA－B－B引出點(diǎn)前移越過(guò)比較點(diǎn)11AGAG1AG1＋AG2AG1G2AG2AG1AG1＋AG2AG1AG1G2AG21/G2將并聯(lián)的一路變?yōu)?12－－BAG1G2AAG1G21/G2B將反饋系統(tǒng)變?yōu)閱挝环答?3反饋系統(tǒng)簡(jiǎn)化例2-12試化簡(jiǎn)如圖2-24所示的系統(tǒng)方框圖，并求其傳遞函數(shù)。圖2-24系統(tǒng)方框圖解：2.5*系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅蓀公式 2.5.1信號(hào)流圖是信號(hào)流程圖的簡(jiǎn)稱(chēng)，是與框圖等價(jià)的描述變量之間關(guān)系的圖形表示方法。圖2-25中所示的框圖可用圖2-26所示信號(hào)流圖表示。信號(hào)流圖尤其適用于復(fù)雜系統(tǒng)，其簡(jiǎn)化方法與框圖的簡(jiǎn)化方法是相同的。圖2-25框圖圖2-26信號(hào)流程信號(hào)流圖由一些定向線(xiàn)段將一些節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)組成。其中節(jié)點(diǎn)用來(lái)表示變量或信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)也稱(chēng)源點(diǎn)，輸出節(jié)點(diǎn)也稱(chēng)阱點(diǎn)、匯點(diǎn)；混合節(jié)點(diǎn)是指既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。定向線(xiàn)段表示支路，其上的箭頭表明信號(hào)的流向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；沿支路箭頭方向穿過(guò)各相連支路的路徑稱(chēng)為通路，從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路稱(chēng)為前向通道；起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且