自動控制原理第4章新 穩(wěn)態(tài)誤差與準(zhǔn)確性分析學(xué)習(xí)資料

第4章穩(wěn)態(tài)誤差與準(zhǔn)確性分析控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能，它是控制系統(tǒng)的重要特性之一?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差則是系統(tǒng)控制精度的一種度量，是系統(tǒng)的準(zhǔn)確性能指標(biāo)。由于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、輸入作用的類型（控制量或擾動量）以及輸入函數(shù)的形式（階躍、斜坡或加速度等）不同，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任意情況下都與輸入量（希望的輸出）一致或相當(dāng)，也不可能在任何形式的擾動下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原來的平衡位置，因而會產(chǎn)生原理性穩(wěn)態(tài)誤差。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。此外，系統(tǒng)中存在的不靈敏區(qū)、間隙、零漂等非線性因素也會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差?？梢哉f，控制系統(tǒng)的誤差是不可避免的。但是這些不是本章所要研究的內(nèi)容。本章討論的是系統(tǒng)在沒有隨機干擾作用，元件也是理想的線性元件的情況下，系統(tǒng)仍然可能存在的誤差?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的其中一個指標(biāo)，就是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使誤差小于某容許值，以提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)該是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下研究才有意義；對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。本章主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和系統(tǒng)類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，其中包括系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系，同時介紹定量描述系統(tǒng)誤差的系數(shù)，靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)。4.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差對于實際系統(tǒng)來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。4.1.1系統(tǒng)的誤差e(t)是以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)來定義的，設(shè)xor(t)是控制系統(tǒng)所希望的輸出，xo(t)是其實際的輸出，則誤差e(t)定義為誤差e(t)的Laplace變換為E1(s)，則（4-1）系統(tǒng)的偏差差ε(t)是以系統(tǒng)輸入端為基準(zhǔn)來定義的。誤差ε(t)的Laplace變換為E1(s)，則（4-2）按輸入端定義的誤差（即偏差）通常是可測量的，有一定的物理意義，但其誤差的理論含義不十分明顯；按輸出端定義的誤差是“希望輸出”與實際輸出之差，比較接近誤差的理論意義，但它在實際中有時無法測量，一般只有數(shù)學(xué)意義。兩種誤差存在如下關(guān)系：(4-3)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一般可用圖4-1（a）的形式表示，經(jīng)過等效變換可以化成圖4-1（b）的形式。（圖4-1中兩個圖并不是等效變換圖）圖4-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及誤差定義補分圖名補分圖名由公式(4-3)可知，求出偏差就可以求出誤差，對單位反饋系統(tǒng)而言，偏差與誤差相等。除特別說明外，本書所討論的誤差都是指按輸入端為基準(zhǔn)定義的誤差（即偏差）。對于單位反饋系統(tǒng)來說，H(s)=1，偏差和誤差在數(shù)值上是相等的。4.1系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，或者說指系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差，因此，不討論過渡過程中的情況。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。記為ess(t)，穩(wěn)態(tài)誤差的定義為：為了計算穩(wěn)態(tài)誤差，可首先求出系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換，的極點均位于復(fù)平面的左半部（包括坐標(biāo)原點），利用終值定理求解同理，穩(wěn)態(tài)偏差的定義為：穩(wěn)態(tài)誤差通常有兩種含義。一種是指時間趨于無窮時誤差的值，稱為“靜態(tài)誤差”或“終值誤差”；另一種是指誤差中的穩(wěn)態(tài)分量，稱為“動態(tài)誤差”。當(dāng)誤差隨時間趨于無窮時，終值誤差不能反映穩(wěn)態(tài)誤差隨時間的變化規(guī)律，具有一定的局限性。4.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差的計算4.計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法是利用拉氏變換的終值定理，它適用于各種情況下的穩(wěn)態(tài)誤差計算，既可以用于求輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，也可以用于求干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。具體計算步驟如下：⑴判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的前提條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定時，求穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義。另外，計算穩(wěn)態(tài)誤差要用終值定理，終值定理應(yīng)用的條件是除原點外，在右半s平面及虛軸上解析或者說的極點均位于復(fù)平面的左半部，包括原點。當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定，或的極點位于虛軸上以及虛軸右邊時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，該條件不滿足。⑵求誤差傳遞函數(shù)⑶用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差（4-4）假設(shè)圖4-2所示的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，分析該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。圖4-2系統(tǒng)框圖由圖可知（4-5）故由終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差為（4-6）由上可知，穩(wěn)態(tài)偏差εss不僅與系統(tǒng)的特性(系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù))有關(guān)，而且與輸入信號的特性有關(guān)。對于一個給定的系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號確定時，系統(tǒng)是否存在誤差取決于系統(tǒng)的特性。4.在系統(tǒng)分析中經(jīng)常遇到計算不同輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。因此分析研究典型輸入作用下引起的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入形式的關(guān)系，找出其中的規(guī)律性，是十分必要的。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-2所示，設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)島Gk(s)為（4-7）式中，v為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度，它表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。若記顯然則可將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示為（4-8）工程上一般規(guī)定：v＝0，1，2時分別稱為0型，I型和II型系統(tǒng)。v愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此，一般系統(tǒng)不超過III型。（1）輸入為單位階躍信號當(dāng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為（4-9）式中（4-10）稱KP為位置無偏系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，，，為有差系統(tǒng)，且K愈大，愈小。對于I、II型系統(tǒng)，，，為位置無差系統(tǒng)?？梢?，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。（2）輸入為單位斜坡信號當(dāng)輸入為單位斜坡信號時（4-11）式中（4-12）稱Kv為速度無偏系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，，；對于I型系統(tǒng)，，；對于II型系統(tǒng)，，。上述分析說明，0型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)偏差為∞；I型系統(tǒng)可以跟隨斜坡輸入，但是存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可以增大K值來減少偏差；II型或高于II型的系統(tǒng)，對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的。（3）輸入為加速度信號當(dāng)輸入為加速度信號時，（4-13）式中（4-14）稱Ka為加速度無偏系數(shù)。對于0、I型系統(tǒng)，，；對于II型系統(tǒng)，，?？梢姡?dāng)輸入為加速度信號時，0、I型系統(tǒng)不能跟隨，II型為有差，要無差則應(yīng)采用III型或高于III型的系統(tǒng)。II型系統(tǒng)加速度信號輸入時，輸入輸出波形如圖4-3所示。上述討論的穩(wěn)態(tài)偏差根據(jù)偏差與誤差的關(guān)系可以換算為穩(wěn)態(tài)誤差。圖4-3加速度信號輸入輸出波形綜上所述，在不同輸入時不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差可以列成表4-1。表4-1不同輸入時不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)的輸入單位階躍輸入單位恒速輸入單位恒加速輸入0型系統(tǒng)∞∞I型系統(tǒng)0∞II型系統(tǒng)00注：單位反饋時εss＝ess根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點。（1）關(guān)于以上定義的無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)，在隨動系統(tǒng)中一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信導(dǎo)。由輸入“某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某種”無偏系數(shù)，如輸入階躍信號而引起的無偏系數(shù)稱位置無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度?！澳撤N”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當(dāng)無偏系數(shù)為零時即穩(wěn)態(tài)偏差∞，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為∞則穩(wěn)態(tài)無差。（2）當(dāng)增加系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的準(zhǔn)確性將提高，然而當(dāng)系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差，因為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中包含兩個以上積分環(huán)節(jié)時，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的，因此III型或更高型的系統(tǒng)實現(xiàn)起來是不容易的，實際上也是極少采用的。增大K也可以有效地提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，然而也會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與準(zhǔn)確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。除此之外，為了減小誤差，是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K還是提高系統(tǒng)的型別也需要根據(jù)具體情況作全面的考慮。（3）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當(dāng)輸入控制信號是上述典型信號的線性組合時，即，輸出量的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)是它們分別作用時穩(wěn)態(tài)誤差之和，即（4）對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對于非單位反饋系統(tǒng)，可由式(4-4)將穩(wěn)態(tài)偏差換算為穩(wěn)態(tài)誤差。必須注意，不能將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)，再由計算偏差得到誤差，因為兩者計算出的偏差和誤差是不同的。例4-1某單位反饋的電液反饋伺服系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別求出該系統(tǒng)對單位階躍、等速、等加速輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。解利用公式（4-10）、（4-12）、（4-14）求出該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為所以系統(tǒng)對三種典型輸入的穩(wěn)態(tài)誤差分別為位置誤差速度誤差加速度誤差例4-2一個穩(wěn)定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-4所示。已知輸入，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益，系統(tǒng)型別。設(shè)參數(shù)滿足穩(wěn)定性要求，利用表4-1計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時，當(dāng)時故得4.2用求穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法和靜態(tài)誤差系數(shù)法只能得到系統(tǒng)的終值誤差，當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差隨時間趨于無窮時，反映不出其隨時間的變化規(guī)律。對于那些只在有限時間范圍內(nèi)工作的系統(tǒng)，只需要保證在要求的時間內(nèi)滿足精度要求即可。而用動態(tài)誤差系數(shù)法則可以研究輸入信號為任意時間函數(shù)時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律。因此動態(tài)誤差系數(shù)又稱為廣義誤差系數(shù)。1．動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)法的思路是：將系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在處展開成如下的泰勒級數(shù)：定義動態(tài)誤差系數(shù)（4-15）則有（4-16）注意，式（4-15）右端是在復(fù)域處展開的，相當(dāng)于在時域中時的特性，所以式（4-16）只包含中的穩(wěn)態(tài)分量。從式（4-16）中可以看出，穩(wěn)態(tài)誤差與動態(tài)系數(shù)、輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)的穩(wěn)態(tài)分量有關(guān)。對于適合用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)之間在一定條件下存在如下關(guān)系：0型系統(tǒng)，I型系統(tǒng)，II型系統(tǒng)2．動態(tài)誤差系數(shù)的計算方法在系統(tǒng)階次較高的情況下，利用公式（4-15）確定系統(tǒng)動態(tài)系數(shù)是不方便的。求取動態(tài)誤差系數(shù)一般可以用系數(shù)比較法和長除法。下面通過舉例說明比較法和長除法。例4-3兩個控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖分別如圖4-5（a）、（b）所示，在輸入作用下，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在4min內(nèi)不超過6m。應(yīng)當(dāng)選擇哪一個系統(tǒng)？（圖的下標(biāo)應(yīng)該是4-5）解對圖4-5（a）系統(tǒng)，其誤差傳遞函數(shù)為：有 比較系數(shù)可得聯(lián)立求解得由輸入表達式，，，代入式（4-16）有對圖4-5（b）系統(tǒng)，其誤差傳遞函數(shù)為用長除法可得（注意將分子分母多項式分別寫成升冪排列形式）故得 得代入式（4-16），有曲線如圖4-6（圖中標(biāo)注）所示?？梢?，圖4.5（a）中的系統(tǒng)滿足要求。圖4-6例4-4圖動態(tài)誤差系數(shù)法一般適用于輸入函數(shù)具有有限階導(dǎo)數(shù)的情況，例如，如典型輸入或典型輸入相應(yīng)的組合，的有限次多項式等等。當(dāng)中含有項（如）時，中的只對應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)項，故不必考慮。4.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)給定信號與干擾信號同時作用于系統(tǒng)時，應(yīng)用線性系統(tǒng)的疊加原理求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。即控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(∞)應(yīng)是干擾信號單獨作用時引起的穩(wěn)態(tài)誤差enss(∞)和給定信號引起單獨作用時的穩(wěn)態(tài)誤差exss(∞)之代數(shù)和。即=+為了減小系統(tǒng)的給定或擾動穩(wěn)態(tài)誤差，一般經(jīng)常采用的方法是提高開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的階次(但實際中，一般v＜2)、增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)Kv以及采用補償?shù)姆椒ā＠?-4圖4-7（a）所示系統(tǒng)中，設(shè)擾動信號為單位階躍輸入N1(s)＝N2(s)＝，試分別求Nl(s)和N2(s)單獨作用時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差essn1，essn2。解假定R(s)=0，擾動信號N1(s)、N2(s)分別單獨作用于系統(tǒng)時，其等效框圖如圖4-7（b），（c）所示。（c圖中前向通道傳遞函數(shù)應(yīng)該是-1）誤差信號分別為利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差，分別為—般情況下，G(0)F(0)>>1，所以有由此題可以看出，擾動信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動信號的作用點有關(guān)，誤差的大小主要取決于擾動作號作用點之前的環(huán)節(jié)增益，比如essn1主要決定于G(0)，而essn2則決定于G(0)F(0)。（a）有外干擾的反饋控制系統(tǒng)（b）單獨加上N1(s)的框圖（c）單獨加上N2(s)的框圖圖4-7例4-4圖4.4減小系統(tǒng)誤差的途徑綜上所述，為了減小系統(tǒng)誤差，可以考慮以下途徑：（1）系統(tǒng)的實際輸出通過反饋環(huán)節(jié)與輸入比較，因此反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)的誤差是至關(guān)重要的。反饋通道元部件的精度要高，避免在反饋通道引入干擾。（2）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對于輸入引起的誤差，可通過增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)的型次減小誤差；對于干擾引起的誤差，可通過在系統(tǒng)前向通道干擾點前加積分器和增大放大倍數(shù)減小誤差。（3）有的系統(tǒng)要求的性能很高，既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，又要求良好的動態(tài)性能。這時，單靠加大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能滿足上述要求，這時可采用復(fù)合控制的方法，或稱順饋的辦法來對誤差進行補償。補償?shù)姆绞娇砂锤蓴_補償和按輸入補償分成兩種。4.4.1按干擾補償當(dāng)干擾可直接測量時，那么就可以利用這個信息進行補償。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-8所示。圖中為補償器的傳遞函數(shù)。由圖4-8可求出輸出對于干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)，到達結(jié)構(gòu)圖上第二個相加點；另一條是干擾信號直接到達此相加點。兩條通到的信號，在此點相加，正好大小相等，方向相反。從而實現(xiàn)了對干擾的全補償。一般情況