自動控制原理第8章 非線性控制系統(tǒng)7.30改學習資料

PAGEPAGE164以下文字為本顏色的是要修改的！共4處8非線性控制系統(tǒng)前面幾章討論的均為線性系統(tǒng)的分析和設計方法，然而，對于非線性程度比較嚴重的系統(tǒng)，不滿足小偏差線性化的條件，則只有用非線性系統(tǒng)理論進行分析。本章主要討論本質(zhì)非線性系統(tǒng)，研究其基本特性和一般分析方法。8.1非線性控制系統(tǒng)概述在物理世界中，理想的線性系統(tǒng)并不存在。嚴格來講，所有的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。例如，由電子線路組成的放大元件，會在輸出信號超過一定值后出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。當由電動機作為執(zhí)行元件時，由于摩擦力矩和負載力矩的存在，只有在電樞電壓達到一定值的時候，電動機才會轉(zhuǎn)動，存在死區(qū)。實際上，所有的物理元件都具有非線性特性。如果一個控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件，則稱這種系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的特性不能由微分方程來描述。圖8-1所示的伺服電機控制特性就是一種非線性特性，圖中橫坐標u為電機的控制電壓，縱坐標為電機的輸出轉(zhuǎn)速，如果伺服電動機工作在A1OA2區(qū)段，則伺服電機的控制電壓與輸出轉(zhuǎn)速的關系近似為線性，因此可以把伺服電動機作為線性元件來處理。但如果電動機的工作區(qū)間在B1OB2區(qū)段．那么就不能把伺服電動機再作為線性元件來處理，因為其靜特性具有明顯的非線性。圖8-1伺服電動機特性8.1.1組成實際控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)總是在一定程度上帶有非線性。例如，作為放大元件的晶體管放大器，由于它們的組成元件(如晶體管、鐵心等)都有一個線性工作范圍，超出這個范圍，放大器就會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象；執(zhí)行元件例如電動機，總是存在摩擦力矩和負載力矩，因此只有當輸入電壓達到一定數(shù)值時，電動機才會轉(zhuǎn)動，即存在不靈敏區(qū)，同時，當輸入電壓超過一定數(shù)值時，由于磁性材料的非線性，電動機的輸出轉(zhuǎn)矩會出現(xiàn)飽和；各種傳動機構(gòu)由于機械加工和裝配上的缺陷，在傳動過程中總存在著間隙，等等。實際控制系統(tǒng)總是或多或少地存在著非線性因素，所謂線性系統(tǒng)只是在忽略了非線性因素或在一定條件下進行了線性化處理后的理想模型。常見典型非線性特性有飽和非線性、死區(qū)非線性、繼電非線性、間隙非線性等。8.1.1.1飽和非線性控制系統(tǒng)中的放大環(huán)節(jié)及執(zhí)行機構(gòu)受到電源電壓和功率的限制，都具有飽和特性。如圖8-2所示，其中的區(qū)域是線性范圍，線性范圍以外的區(qū)域是飽和區(qū)。許多元件的運動范圍由于受到能源、功率等條件的限制，也都有飽和非線性特性。有時，工程上還人為引入飽和非線性特性以限制過載。圖8-2飽和非線性8.1.1.2不靈敏區(qū)(死區(qū))非線性控制系統(tǒng)中的測量元件、執(zhí)行元件等一般都具有死區(qū)特性。例如一些測量元件對微弱的輸入量不敏感，電動機只有在輸入信號增大到一定程度的時候才會轉(zhuǎn)動等等。如圖8-3所示，其特性是輸入信號在區(qū)間時，輸出信號為零。超出此區(qū)間時，呈線性特性。這種只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為不靈敏區(qū)非線性，其中區(qū)域叫做不靈敏區(qū)或死區(qū)。圖8-3不靈敏區(qū)非線性特性圖8-4具有不靈敏區(qū)的飽和特性死區(qū)特性給系統(tǒng)帶來穩(wěn)態(tài)誤差和低速運動不穩(wěn)定影響。但死區(qū)特性會減弱振蕩、過濾輸入端小幅度干擾，提高系統(tǒng)抗干擾能力。8.1.1.3具有不靈敏區(qū)的飽和非線性特性在很多情況下，系統(tǒng)元件同時存在死區(qū)特性和飽和限幅特性。如電樞電壓控制的直流電動機的控制特性就具有這種特性。具有不靈敏區(qū)的飽和非線性特性如圖8-4所示。8.1.1.4繼電器非線性實際繼電器的特性如圖8-5所示，輸入和輸出之間的關系不完全是單值的。由于繼電器吸合及釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電流是不相同的。因此，繼電器的特性有一個滯環(huán)。這種特性稱為具有滯環(huán)的三位置繼電特性。當時，可得到純滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖8-6所示。當時，可得到具有三位置的理想繼電非線性特性，如圖8-7所示。圖8-5具有滯環(huán)的三位置繼電非線性特性圖8-6具有滯環(huán)的兩位置繼電非線性特性8.1.1.5間隙非線性間隙非線性形成的原因是由于滯后作用，如磁性材料的滯后現(xiàn)象，機械傳動中的干摩擦與傳動間隙。間隙非線性也稱滯環(huán)非線性。間隙非線性的特點是：當輸入量的變化方向改變時，輸出量保持不變，一直到輸入量的變化超出一定數(shù)值(間隙)后，輸出量才跟著變化。齒輪傳動中的間隙是最明顯的例子。間隙非線性如圖8-8所示。圖78-7具有三位置的理想繼電非線性特性圖8-8間隙非線性特性8.1.2非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，有許多獨有的特點：（1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的閉環(huán)極點決定，也就是說一旦系統(tǒng)確定，其穩(wěn)定性也隨即確定，與初始條件和輸入信號無關。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的閉環(huán)極點相關外，還與初始條件和輸入信號相關。對于某一個確定的非線性系統(tǒng)，在一種初始條件下是穩(wěn)定的，而在另一種初始條件下則可能是不穩(wěn)定的，或者在一種輸入信號作用下是穩(wěn)定，而在另一種輸入信號作用下卻是不穩(wěn)定的。（2）線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)不是收斂與平衡狀態(tài)，就是發(fā)散。理論上說，當系統(tǒng)處于臨界時，會出現(xiàn)等幅振蕩。但是在實際情況下，這種狀態(tài)不可能維持，外界環(huán)境或系統(tǒng)參數(shù)稍有變化，系統(tǒng)就會趨于平衡狀態(tài)或發(fā)散狀態(tài)。而非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)除了收斂和發(fā)散以外，還有等幅振蕩的狀態(tài)。這種振蕩狀態(tài)在沒有外界作用的情況下，也會存在，而且保持一定的幅度和頻率，稱為自持振蕩、自振蕩或自激振蕩。自持振蕩由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，是非線性系統(tǒng)獨有的現(xiàn)象。（3）線性系統(tǒng)在輸入某一頻率的正弦信號時，輸出的穩(wěn)態(tài)分量是同頻率的正弦信，系統(tǒng)只會改變輸入信號的幅度和相位。而在非線性系統(tǒng)中，當輸入信號是某一頻率的正弦信號時，輸出信號不僅含有同頻率的正弦分量，還含有高次諧波分量。因此，在分析線性系統(tǒng)時采用的頻率特性、傳遞函數(shù)等方法不能應用于非線性系統(tǒng)的分析。（4）線性系統(tǒng)滿足疊加原理。而非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。對非線性系統(tǒng)的分析，重點是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度是多少，如何減小和消除自持振蕩等。7.1.3非線性控制系統(tǒng)的分析方法目前尚沒有通用的求解非線性微分方程的方法。雖然有一些針對特定非線性問題的系統(tǒng)分析與設計方法，但其適用范圍有限。因此分析非線性系統(tǒng)要根據(jù)其不同特點，選用有針對性不同方法。（1）相平面分析法非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法是一種用圖解法求解二階非線性常微分方程的方法。相平面上的軌跡曲線描述了系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程，因此可以在相平面圖上分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的時間響應特性。（2）描述函數(shù)法描述函數(shù)法又稱為諧波線性化法，它是一種工程近似方法。應用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)的自持振蕩時，能給出振蕩過程的基本特性(如振幅、頻率)與系統(tǒng)參數(shù)(如放大系數(shù)、時間常數(shù)等)的關系，給系統(tǒng)的初步設計提供一個思考方向。描述函數(shù)法是線性控制系統(tǒng)理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣。用計算機直接求解非線性微分方程，以數(shù)值解形式進行仿真研究，是分析、設計復雜非線性系統(tǒng)的有效方法。隨著計算機技術的發(fā)展，計算機仿真已成為研究非線性系統(tǒng)的重要手段。本章重點討論非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析方法。8.2描述函數(shù)法描述函數(shù)法是一種基于諧波線性化概念，將分析線性系統(tǒng)的頻率響應法移植到分析非線性系統(tǒng)中的一種工程近似方法。其基本思想是：當系統(tǒng)滿足某種條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的輸出信號中的高次諧波分量可以忽略，用基波近似輸出信號，由此導出非線性環(huán)節(jié)的近似頻率特性，即描述函數(shù)。此時的非線性系統(tǒng)就近似為一個線性系統(tǒng)，可以用線性系統(tǒng)分析方法中的頻率響應法對其進行分析。描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是否產(chǎn)生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度，消除和減弱自持振蕩的方法等。8.2.18.2.1.1繼電特性引例理想繼電特性如圖8-9（a）所示，當輸入正弦信號時，其輸出y(t)是一個與輸入正弦函數(shù)同頻率的周期方波。圖8-9理想繼電特性及輸入、輸出波形與輸出波形輸出周期函數(shù)可展開成富里葉級數(shù)=(8-1)由式（8-1）可以看出，方波函數(shù)可以看做是無數(shù)個正弦信號分量的疊加。這些分量中，有一個與輸入信號頻率相同的分量，稱為基波分量（或一次諧波分量），其幅值最大。其他分量的頻率均為輸入信號頻率的奇數(shù)倍，統(tǒng)稱為高次諧波。頻率愈高的分量，振幅愈小，各諧波分量的振幅與頻率的關系稱為該方波的頻譜，如圖8-9（b）所示。8.2.1.2諧波線性化對于任意非線性特性，設輸入的正弦信號為，輸出波形為y(t)。輸出y(t)有富氏形式：式中（8-2）（8-3），對于本章所討論的幾種典型非線性特性，均屬于奇對稱函數(shù)，y(t)是對稱的，則A0=0；若為單位奇對稱函數(shù)，則A0=A1=0。諧波線性化的基本思想或處理方法是略去輸出高次諧波分量，用輸出y(t)的基波分量y(t)近似地代替整個輸出。即（8-4）式中；（8-4a）(8-4b)因此，對于一個非線性元件，我們可以用輸入和輸出近似描述其基本性質(zhì)。非線性元件的輸出是一個與其輸入同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。這與線性元件在正弦輸入下的輸出在形式上十分相似，故有些學者（特別是蘇聯(lián)學者）也稱上述近似處理為諧波線性化。8.2.1.3描述函數(shù)非線性特性在進行諧波線性化之后，可以仿照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。非線性元件的描述函數(shù)是由輸出的基波分量y1(t)對輸入x的復數(shù)比來定義的，即（根號只含分子）（8-5）式中N——非線性元件的描述函數(shù)；X——正弦輸入的幅值；Y1——輸出信號一次諧波的幅值；φ1——輸出信號一次基波與輸入信號的相位差。描述函數(shù)的實質(zhì)是用一個等效線性元件替代原來的非線性元件，而等效線性元件的幅相特性函數(shù)N是輸入信號的幅值X的函數(shù)。圖8-10所示為包括非線性元件的非線性系統(tǒng)框圖，即非線性系統(tǒng)分成線性部分G（S）與非線性部分N（S）。圖8-10典型非線性系統(tǒng)把非線性元件等效為一個放大倍數(shù)為復數(shù)的放大器，與頻率ω無關。這相當于線性系統(tǒng)中的放大器，其放大倍數(shù)是一個普通常數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為8.2.28.2.2.1理想繼電特性的描述函數(shù)理想繼電特性的數(shù)學表達式為當輸入正弦信號時，繼電特性為過零切換，則理想繼電特性及在正弦信號作用下的輸入、輸出波形，如圖8-11所示。圖8-11理想繼電特性及輸入、輸出波形由于正弦信號是單值奇函數(shù)，因此，,及=0。根據(jù)式（8-4b）得富氏級數(shù)基波分量的系數(shù)B，因為y(t)是周期2的方波，且對點奇對稱，故可改寫為（積分上限改為）因此基數(shù)分量為（8-6）顯然，理想繼電特性的描述函數(shù)是一個實數(shù)量，并且只是輸入振幅X的函數(shù)。8.2.2.2死區(qū)特性的描述函數(shù)假設輸入正弦信號函數(shù)為，則輸出特性的數(shù)學表達式為：當時，死區(qū)特性及其輸入、輸出波形，如圖8-12所示。當輸入信號幅值在死區(qū)范圍內(nèi)時，輸出為零，只有輸入信號幅值大于死區(qū)時，才有輸出，故輸出為一些不連續(xù)、不完整的正弦波形。圖8-12死區(qū)特性及輸入、輸出波形圖8-13死區(qū)特性描述函數(shù)由于死區(qū)特性為單值奇對稱函數(shù)，故，，,而并且由于y(t)在一個周期中波形對稱，即當時，y(t)=0,故的積分值只要計算其中，即，代入上式并整理得其描述函數(shù)為(8-7)圖8-13所示為與的關系曲線。由圖8-13可見，當時，輸出為零，從而描述函數(shù)的值也為零；如死區(qū)很小，或輸入的振幅很大時，，，亦即可認為描述函數(shù)為常量，恰好等于死區(qū)特性線性段的斜率，這表明死區(qū)影響可忽略不計。8.2.2.3飽和非線性特性的描述函數(shù)假設輸入正弦信號函數(shù)為，則飽和非線性特性的數(shù)學表達式為：（改）式中K為斜率。飽和特性及其輸入、輸出波形如圖7-14所示。圖8-14飽和特性及其輸入、輸出波形圖8-15飽和特性描述函數(shù)由圖可見，當正弦輸入信號的振幅時，工作在線性段，沒有非線性的影響。當時才進入非線性區(qū)。因此飽和特性的描述函數(shù)僅在的情況下才有意義。由于飽和特性為單值奇對稱函數(shù)，所以，，且，故描述函數(shù)為（8-8）與之間的關系如圖8-15所示。圖8－16圖8－16非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先將系統(tǒng)化簡成圖8－16所示的形式。系統(tǒng)的頻率響應為 （8－9）可以看出，當時，系統(tǒng)的特征方程為 （8－10）或者寫成 （8－11）其中，稱為非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)。與之間的相對位置就決定了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，證明略去。判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先應在平面上畫出與軌跡，并在上標明增大的方向，在上標明增大的方向。如果非線性系統(tǒng)中的線性部分滿足最小相位條件，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定規(guī)則如下：如果不包圍的軌跡，如圖8－17a所示，則系統(tǒng)穩(wěn)定。離越遠，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好。如果包圍，如圖8－17b所示，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果與相交，如圖8－17c所示。若交點處，而，設某一時刻有?？梢钥闯?，此信號經(jīng)過系統(tǒng)閉環(huán)回路一周回到輸入端仍然為，系統(tǒng)中存在一個等幅振蕩。該振蕩可能是自持振蕩，也可能在一定條件下收斂或發(fā)散。圖圖8－17非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析ImImImReReRe0abc自持振蕩的確定當與相交時，方程圖8圖8－18自持振蕩分析ImRe的解對應著一個周期運動的信號的振幅和頻率。若這個等幅振蕩在系統(tǒng)受到輕微擾動作用后偏離原來的運動狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)又回到原來頻率和振幅的等幅持續(xù)振蕩，則這種等幅振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自持振蕩。自持振蕩是一種穩(wěn)定的等幅振蕩，而不穩(wěn)定的等幅振蕩在系統(tǒng)受到擾動的時候，會收斂、發(fā)散或轉(zhuǎn)移到另一個穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)。如圖8－18所示，與有兩個交點和。假設系統(tǒng)工作在點，當受到輕微的擾動時，使非線性環(huán)節(jié)的振幅增加，即工作點沿的曲線向增大的方向運動到點。由于點被包圍，屬于不穩(wěn)定點，系統(tǒng)的響應發(fā)散。此時，工作點會繼續(xù)沿的曲線向增大的方向運動至點。若系統(tǒng)受到輕微擾動使工作點沿的曲線向減小的方向運動到點。由于點不被包圍，屬于穩(wěn)定點，系統(tǒng)的響應收斂。此時，工作點會繼續(xù)沿的曲線向減小的方向運動，直到減小為零。顯然，屬于不穩(wěn)定的等幅振蕩點，不是自持振蕩點。假設系統(tǒng)工作在點，當受到輕微的擾動時，使非線性環(huán)節(jié)的振幅增加，即工作點沿的曲線向增大的方向運動到點。由于點不被包圍，屬于穩(wěn)定點，系統(tǒng)的響應收斂。此時，工作點會繼續(xù)沿的曲線向減小的方向回到點。若系統(tǒng)受到輕微擾動使工作點沿的曲線向減小的方向運動到點。由于點被包圍，屬于不穩(wěn)定點，系統(tǒng)的響應發(fā)散。此時，工作點會繼續(xù)沿的曲線向增大的方向回到點。顯然，是一個穩(wěn)定的等幅振蕩點，是自持振蕩點。圖8－19自持振蕩的判別ImRe不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域從上面的分析可以看出，圖8－18所示系統(tǒng)在非線性環(huán)節(jié)的輸入信號振幅時，系統(tǒng)收斂；當時，系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件及輸入信號有關，這是非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的一個明顯的區(qū)別。判斷周期運動點是否是自持振蕩點的方法為：如圖8－19所示，將包圍的區(qū)域看作是不穩(wěn)定區(qū)域，不被包圍的區(qū)域看作是穩(wěn)定區(qū)域。當交點處的軌跡沿增大的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域時，該交點時自持振蕩點。反之，當交點處的圖8－19自持振蕩的判別ImRe不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域8.3機電控制系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)分析舉例實際工程控制系統(tǒng)大多是機電系統(tǒng)，如雷達與衛(wèi)星跟蹤設備的天線位置控制系統(tǒng)、軋鋼鋼坯定位系統(tǒng)、鋼帶跑偏控制等，在這些系統(tǒng)中存在的軸系-傳動裝置、電機、液壓馬達類機械結(jié)構(gòu)是不可缺少的組成部分。機械機構(gòu)參數(shù)（因素）包括轉(zhuǎn)動慣量、驅(qū)動系統(tǒng)剛度、軸系精度、傳動鏈間隙、齒輪運動誤差、摩擦等，本節(jié)以控制系統(tǒng)中的傳動鏈間隙為例進行分析，討論解決這類問題的處理基本方法。8.3.1圖8-20是一個典型的雷達位置伺服系統(tǒng)方框圖。圖8-20雷達伺服系統(tǒng)傳動鏈I1，I3，I4連接各種傳感器，用來傳送各種信息，也稱為數(shù)據(jù)傳動鏈。而傳動鏈I2主要傳遞執(zhí)行電機的動力，用以拖動負載，也稱為動力傳動鏈。I1，I4處在閉環(huán)系統(tǒng)之外，傳動鏈I2，I3，處在閉環(huán)之內(nèi)。在閉環(huán)系統(tǒng)中，傳動鏈I2又處在前向通道，I3處在反饋通道。傳動鏈在系統(tǒng)中所處位置不同，其傳動鏈的間隙對系統(tǒng)性能的影響也不同。一般在各個傳動鏈中都存在一定程度的間隙，包括齒輪的側(cè)向間隙、軸承間隙以及連接部分的滑鍵軸銷間隙等。這些間隙集中反應到傳動鏈的空回量上。分析模型如圖8-21所示，圖中為傳動鏈的輸入角，為傳動鏈的輸出角。2a為輸出軸固定時，從輸入軸上度量而得到的空回量，它是一個角度值。圖8-21齒輪間隙和輸出-輸入特性圖8-21中，Δ為間隙，R1為主動輪節(jié)圓半徑，所以2a=Δ/R1。若傳動鏈沒有間隙，那么輸出角和輸入角之間將呈現(xiàn)線性關系，如圖7-22所示。若存在間隙，且空回量為2a，那么，當主動軸從中間位置開始轉(zhuǎn)動a角時，從動軸不動；只有當主動軸轉(zhuǎn)動角大于a時，從動軸才跟隨主動軸轉(zhuǎn)動。當主動軸轉(zhuǎn)到某個位置時反向，這時從動軸不能立即跟隨主動軸反轉(zhuǎn)，只有當主動軸轉(zhuǎn)過整個空回量2a時，從動軸才開始跟著主動軸反向轉(zhuǎn)動，使整個曲線呈時滯回線對嗎？的形狀，即滯環(huán)非線件對嗎？。對嗎？對嗎？8.3.8.3.2.1傳動鏈I2的影響根據(jù)傳動鏈在系統(tǒng)中所處位置的不同，其空回量對系統(tǒng)性能的影響也不相同。下面以I2為例，討論起對系統(tǒng)影響的分析方法。假設傳動鏈I3是理想的，沒有空回，而傳動鏈I2具有空回量2a。其輸入—輸出特性關系如圖8-23所示，設此時輸入信號為正弦信號，即。按照分析非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)方法，可求出間隙非線性的描述函數(shù)為（8-12）圖8-23傳動鏈間隙時的輸出-輸入特性圖8-22理想輸出-輸入特性此圖在文中未提。此圖在文中未提。前面已推出滯環(huán)非線性的A1和B1為，對于圖8-20所示模型，式中。將A1、B1代入式（8-12）中，便可求出描述函數(shù)N(X)。其中幅度為；相角為。|N|和的曲線如圖8-24所示。圖8-24描述函數(shù)的幅值和幅角從圖中可以看出，這種非線性所造成的相位滯后，同空回量和輸入幅度之比有關，最大可達之多。因此，空回對系統(tǒng)的穩(wěn)定性是個嚴重威脅。含有非線性元件的控制系統(tǒng)框圖如圖8-25所示，令線性部分的頻率特性為，非線性部分的描述函數(shù)為N(X)。則系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為其特征方程式為圖8-25典型非線性系統(tǒng)即（8-13）我們知道，系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于特征方程的根，所以說，式（8-13）就是我們討論穩(wěn)定性的基本方程。為了使討論簡單明了，我們用圖解法來求解。假設某I型系統(tǒng)的線性部分G（jω）的軌跡曲線以及非線性部分的-1/N(X)軌跡曲線都畫在同一個復平面上，如圖8-26所示。從圖可以看出，兩曲線有三個交點，其中P1和P3點的振蕩是穩(wěn)定的，即為穩(wěn)定極限環(huán)；而P2點的振蕩是不穩(wěn)定的，即為不穩(wěn)定極限環(huán)。應當注意，對于I型系統(tǒng)，兩曲線可能沒有交點，也可能有一個交點或數(shù)個交點。圖8-26是有三個交點的實例。如果沒有交點，表明此時空回不會引起極限環(huán)振蕩。但是，對于=2\*ROMANII型系統(tǒng)來說，兩部分軌跡必然有一個交點，因此必然產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，如圖7-27所示。圖8-26=1\*ROMANI型系統(tǒng)圖8-27=2\*ROMANII型系統(tǒng)由于動力傳動鏈存在空回，在起始狀態(tài)下，電機需轉(zhuǎn)功一個空回的相應角度a，這時，相當于反饋被斷開，處于開環(huán)狀態(tài)，而開環(huán)系統(tǒng)的增益比閉環(huán)的增益大得多。在這種情況下，于輪轉(zhuǎn)動一個角度，自同步機上的誤差電壓經(jīng)過增益很大的開環(huán)放大，使電機產(chǎn)生一個很大的力矩。同時，由于在空回范圍內(nèi)，電機軸上的負載幾乎等于零。因而，使電機軸上的齒輪以很大的加速度撞擊從動輪，而后，帶動負載運動。正因為這個原因，天線才以比無空回時大得多的速度沖過。負載一經(jīng)被帶動，反饋便被接通，開環(huán)狀態(tài)轉(zhuǎn)入閉環(huán)狀態(tài)工作。天線的轉(zhuǎn)角則等于。出于慣性，又使輸出角超過，形成反極性的誤差電壓，使電機反轉(zhuǎn)。在反轉(zhuǎn)的過程中，由于空回，反饋又被斷開，由閉環(huán)狀態(tài)轉(zhuǎn)為開環(huán)狀態(tài)，直至電機以極大的速度和加速度轉(zhuǎn)過2a角才重新拖動天線反轉(zhuǎn)。如此反復，產(chǎn)生振蕩。此時，這種振蕩不完全是負載的慣性作用，還附加了在空回范圍內(nèi)所積累的動能的作用。因而，即使系統(tǒng)有足夠的阻尼，能阻止無空回時系統(tǒng)的振蕩，但不能阻止由空回引起的系統(tǒng)的持續(xù)振蕩。避免或消除極限環(huán)振蕩的措施如下：（1）對于III型以上系統(tǒng)，欲避免這種振蕩，只有徹底消除傳動鏈的空回。（2）對于=1\*ROMANI型系統(tǒng)，可以減小環(huán)路的增益，使線性部分的開環(huán)頻率特性曲線完全落在線之內(nèi)。但這是以犧牲系統(tǒng)的精度為代價，來換取系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(3)可在系統(tǒng)中加入校正環(huán)節(jié)，如在圖8-26的P2和P3點的頻率范圍區(qū)加入微分校正環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)的曲線在這一段轉(zhuǎn)彎，而避免與相交。對于空回引起的極限環(huán)振蕩，不管在什么情況下，其振蕩頻率都會低于系統(tǒng)的截止頻率。因此，在實際設備中，根據(jù)振蕩的波形和振蕩的頻率是不難鑒別空回型極限環(huán)振蕩的。8.3.2.2傳動鏈I1、I4的影響從圖8-20知道，I1和I4都處于閉環(huán)之外，用于數(shù)據(jù)傳遞，一旦存在空回，使會影響系統(tǒng)的精度。先看數(shù)據(jù)傳動鏈I1。假設其中有空間量2a，手柄處于中間位置，那么在起始狀態(tài)下，手柄轉(zhuǎn)動小于a角時，同步發(fā)送機轉(zhuǎn)子不動，沒有誤差信號產(chǎn)生，天線也就不可能運動。只有在手柄的轉(zhuǎn)角超過a角時，同步發(fā)送器的轉(zhuǎn)子才開始轉(zhuǎn)動，才有誤差信號發(fā)生，天線才有可能運動。這樣，在手柄和同步發(fā)送器之間，形成了一個a角的數(shù)據(jù)傳遞誤差。手柄轉(zhuǎn)過某一個較大的角度后，再反轉(zhuǎn)時，由于存在空回，須使手柄轉(zhuǎn)過2a角后，同步發(fā)生器的轉(zhuǎn)子才反向轉(zhuǎn)動，因而，就形成一個數(shù)據(jù)傳遞誤差2a角。同樣，對于數(shù)據(jù)傳動鏈I4，由于存在空回量2a，控制臺上的指示器所指示的天線位置，不是天線的實際位置，兩者相差2a角。8.3.2.3傳動鏈I3的影響如圖8-20所示，I3處于閉環(huán)之內(nèi)的反饋通道上，作為數(shù)據(jù)傳遞之用。假定I3有空回量2a。在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)的輸入量(角位置)等于系統(tǒng)的輸出量(角位置)，誤差信號。這時，若天線在外負載的擾動下，轉(zhuǎn)動角角時，因為I3有空回，則連接在I3輸出軸上的同步接受器，仍然處于靜止狀態(tài)，其輸出電壓不發(fā)生變化，誤差信號仍為零，天線的實際位置和所希望的位置之間相差一個的角度，這便是系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。由此可見，閉環(huán)內(nèi)的數(shù)據(jù)傳動鏈的空回量必會引起靜態(tài)誤差。至于I3的空回對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，完全可以仿照動力傳動鏈中空回量的影響來進行分析，只不過這時空回型非線性的描述函數(shù)不是處于前向通道，而是處于反饋通道上，如圖8-28所示。圖8-28控制系統(tǒng)顯然，其閉環(huán)頻率特性為式中—前向通道線性部分的頻率特性—反饋通道線性部分的頻率特性；N(X)——空回型非線性的描述函數(shù)。系統(tǒng)的特征方程為即（8-14）式（8-14）和式（8-13）完全一樣。因此，在反饋通道上的數(shù)據(jù)傳動鏈中的空回量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，同處于前向通道動力傳動鏈中空回量影響完全一樣，可能引起極限環(huán)振蕩。通過以上分析，可以得出如下結(jié)論：(1)傳動鏈中的各種間隙，集中反應在傳動鏈的空回上；(2)在雷達伺服系統(tǒng)中，各傳動鏈所處位置不同，傳動鏈的空回對系統(tǒng)的影響也不同；(3)處于閉環(huán)之外的數(shù)據(jù)傳動鏈主要影響系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳遞精度；(4)處于閉環(huán)以內(nèi)的動力傳動鏈主要影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)可能產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，但不影響系統(tǒng)的靜態(tài)精度：(5)處于閉環(huán)以內(nèi)的數(shù)據(jù)傳動鏈，既影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又影響系統(tǒng)的靜態(tài)精度。簡單關系見表8-1。表8-1傳動鏈間隙對系統(tǒng)性能的影響I1，I4I2I3影響穩(wěn)定性無有有影響精度有無有8.4改善非線性系統(tǒng)性能的措施及非線性特性的利用非線性因素的存在，往往給系統(tǒng)帶來不利的影響，如靜差增大、響應遲鈍或發(fā)生自振等等。消除或減小非線性因素的影響，是非線性系統(tǒng)研究中一個有實際意義的課題。非線性特性類型很多，在系統(tǒng)中接入的方式也各不相同，沒有通用的解決辦法，只能根據(jù)具體問題靈活采取適宜的校正補償措施。8.4.1改變線性部分的參數(shù)或針對線性部分進行校正（1）改變參數(shù)。