中考數(shù)學復習：相似圖形

中考數(shù)學專題復習相似圖形

［基礎(chǔ)知識回顧】

一、成比例線段：

1、線段得比：如果選用同一長度得兩條線段AB,CD得長度分別為m、n則這兩條線段

AB

得比就就就是她們得比，即：7^=

a

2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果7=b--那么四條線段叫做同比例線段，簡稱

ac

3、比例得基本性質(zhì)：-b=—d<=>----

4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線

【提醒：表示兩條線段得比時，必須使示用相同得,在用了相同得前提下，兩條線

段得比值與用得單位無關(guān)即比值沒有單位?！?/p>

二、相似三角形：

1、定義:如果兩個三角形得各角對應各邊對應那么這兩個三角形相似

2、性質(zhì):⑴相似三角形得對應角對應邊

⑵相似三角形對應點得比、對應角平分線得比、對應得比都等于

⑶相似三角形周長得比等于面積得比等于

1、判定:⑴基本定理:平行于三角形一邊得直線和其她兩邊或兩線相交，三角形與原三角形

相似

⑵兩邊對應且夾角得兩三角形相似

⑶兩甭得兩三角形相似

⑷三組對應邊得比得兩三角形相似

【名師提醒:1、全等就就是相似比為得特殊相似

2、根據(jù)相似三角形得性質(zhì)得特質(zhì)和判定，要證四條線段得比相等，一般要先

證判定方法中最常用得就就是三■組對應邊成比例得兩三角形相似多用在

點三角形中】

三、相似多邊形：

1、定義：各角對應各邊對應得兩個多邊形叫做相似多邊形

2、性質(zhì)：⑴相似多邊形對應角對應邊

⑵相似多邊形周長得比等于面積得比等于

【名師提醒：相似多邊形沒有專門得判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定

義進行判定】

一、位似：

1、定義:如果兩個圖形不僅就就是而且每組對應點所在直線都經(jīng)過那么這

樣得兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做這時相似比又稱為

2、性質(zhì):位似圖形上任意一點到位似中心得距離之比都等于

【名師提醒:1、位似圖形一定就就是圖形,但反之不成立，利用位似變換可以將一個

圖形放大或

2、在平面直角坐標系中，如果位似就就是以原點為位似中心，相似比位r,那么位

似圖形對應點得坐標得比等于或】

【典型例題解析】

考點一:比例線段

例1如圖，已知△ABC,AB=AC=1,NA=36°,NABC得平分線BD交AC于點D,則

AD得長就就是,cosA得值就就是、（結(jié)果保留根號）

考點:黃金分割；相似三角形得判定與性質(zhì);銳角三甭函數(shù)得定義、

分析:可以證明AABCs^BDC,設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形得對應邊得比相等,即可列出方

程，求得x得值；A過點D作DELAB于點E,則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA得

值、

點評:AABC、ABCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間得數(shù)量關(guān)系；在求

cosA時，注意構(gòu)造直角三甭形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解、

對應訓練

2、如圖，在AABC中,AB=AC,ZA=36°,BD平分/ABC交AC于點D,若AC=2,則

AD得長就就是（）

A、旦B、縣口C、V5-1D、75+1

22

考點二:相似三角形得性質(zhì)及其應用

例2已知△ABCs^DEF,Z\ABC得周長為3,ZXDEF得周長為1,則ABC與ADEF

得面積之比為、

對應訓練

2、已知△ABCS/XA'B'C',相似比為3:4,AABC得周長為6,則AA'B'C’得周

長為、

考點三：相似三角形得判定方法及其應用

例3如圖，在正方形ABCD中,E就就是CD得中點，點F在BC上，且FC=4BC、圖中

相似三角形共有（）

A、1對B、2對C、3對。D、4對

考點：相似三角形得判定;正方形得性質(zhì)、

例4⑴如圖（1），正方形AEGH得頂點E、H在正方形ABCD得邊上，直接寫出HD:GC:EB

得結(jié)果（不必寫計算過程）;2?）將圖（1）中得正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2）,

求HD:GC:EB；

(1)⑵

考點：相似三甭形得判定與性質(zhì)；全等三角形得判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形;正方

形得性質(zhì)、

對應訓練

3、如圖，AABC組4ADE且/ABC=/ADE,/ACB=NAED,BC、DE交于點O、則下

列四個結(jié)論中，①=N2;②BC=DE;③△ABDS^ACE;④A、O、C、E四點在同一

個圓上，一定成立得有（）

A、1個。B、2個C、3個。D、4個

考點:相似三角形得判定;全等三角形得性質(zhì)；圓周角定理、

4、在銳角AABC中,AB=4,BC=5,/ACB=45°,將AABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

△AiBG、A（1）如圖1,當點G在線段CA得延長線上時，求NCCiAi得度數(shù)衿（2）如圖2,

連接AAi,CCi、若AABAi得面積為4,求aCBCi得面積；

（3）如圖3,點E為線段AB中點，點P就就是線段AC上得動點，在AABC繞點B按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)過程中，點P得對應點就就是點Pi,求線段EP］長度得最大值與最小值、

考點:相似三角形得判定與性質(zhì);全等三角形得判定與性質(zhì);旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)、

專題:幾何綜合題、

分析：⑴由由旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)可得：NAiCiB=NACB=45°,BC=BC1,又由等腰三甭形得性

質(zhì)，即可求得/CCA得度數(shù)；

⑵由△ABC四△A|BG,易證得△ABAiS△CBC1,然后利用相似三角形得面積比等于相似比

得平方，即可求得ACBCi得面積；

(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P得對應點巳在線段AB

上時,EP1最小，②當P在AC上運動至點C,AABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P得對應點P?在線段AB

得延長線上時,EP1最大，即可求得線段EP】長度得最大值與最小值、

解答：解:⑴由旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)可得:NAjC|B=NACB=45°,BC=BCj,A二/CGB=/C￡B=4

5°,、、…(2分)

.-.ZCCjA^ZCC1B+ZAiC1B=45°+45°=90°、

*(2)-/AABC^AA1BCi,

.-.BA=BA1,BC=BCi,ZABC=ZAiBC1,

BABA.L

——=—,/ABC+/ABCi=/AiBCi+NABG/ZABAj=ZCBCb

BCBC}

.'.△ABA^ACBCis

C

SAABA1=4,AS△cBci=—-；A

4

(3)①如圖1,過點B作BD±AC,D為垂足,

A

C(PJ

.「△ABC為銳角三甭形，二圖2*點D在線段AC上,

在RtABCD中,BD=BCXsin45°=-72,A當P在AC上運動與AB垂直得時

2

候,4ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P得對應點Pi在線段AB上時,EPi最小，最小值為:EP】=BPi

-BE=BD-BE=-V2-2;A②當P在AC上運動至點C,AABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P得對應

2

點Pi在線段AB得延長線上叱EPi最大，最大值為:EPi=BC+BE=2+5=7、

點評:此題考查了旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)、相似三角形得判定與性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)以及三

角函數(shù)得應用、此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想得應用,注意旋轉(zhuǎn)前后得對應關(guān)系、

考點四:位似

例5如圖,正方形ABCD得兩邊BC,AB分別在平面直角坐標系得x軸、y軸得正半軸上,

正方形A'B'C'D'與正方形ABCD就就是以AC得中點O'為中心得位似圖形，已知

AC=30，若點A'得坐標為（1,2）,則正方形A'B'C'D'與正方形ABCD得相似比就就

是（）

考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)、

分析:延長A'B'交BC于點E,根據(jù)大正方形得對角線長求得其邊長，然后求得小正方形

得

對應訓練

5、如圖,正方形0ABe與正方形ODEF就就是位似圖形,O為位似中心，相似比為1:0,

點A得坐標為（1,0）,則E點得坐標為（）

A、（夜，0）（|,1）C、（血,0）D、Q，2）

考點:位似變換;坐標與圖形性質(zhì)、

【聚焦中考】

1、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點E,沿AE將AABE向上折疊，使B點落在

AD上得F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）

考點:相似多邊形得性質(zhì);翻折變換（折疊問題）、

2、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC得頂點。在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上,

如果矩形OA'B'C與矩形OABC關(guān)于點。位似，且矩形OA'B'C'得面積等于矩形O

￡

ABC面積得4,那么點B'得坐標就就是（）

A、（-2,3）B、（2,-3）。C、（3,—2）或（一2,3）。D、（-2,3）或（2,-3）

門Av

C~

B\----------6

考點:相似多邊形得性質(zhì);坐標與圖形性質(zhì)、

BF

3、在菱形ABCD中,E就就是BC邊上得點，連接AE交BD于點F,若EC=2BE，則FD得

值就就是（）

1

1117

A、一B、一C、一D、3

234

考點:相似三角形得判定與性質(zhì);菱形得性質(zhì)、

4、為了測量被池塘隔開得A,B兩點之間得距離，根據(jù)實際情況,作出如圖圖形，其中AB1B

E,EF±BE,AF交BE于D,C在BD上、有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù):①BC,

ZACB;②CD,/ACB,NADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC、能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A,B

間距離得有()

A、1組B、2組。C、3組。D、4組F

考點：相似三角形得應用;解直角三角形得應用、

5、如圖，在平面直角坐標系中，△ABC得頂點坐標分別為(4,0),(8,2),(6,4)、已知△AiB￡i

得兩個頂點得坐標為(1,3),(2,5),若AABC與AAiBiC1位似，則△A】B〔C1得第三個頂

考點:位似變換;坐標與圖形性質(zhì)、

6、如圖，在邊長為1得小正方形組成得網(wǎng)格中，AABC和4DEF得頂點都在格點上,Pi,Pz,

P3,P4,P5就就是4DEF邊上得5個格點，請按要求完成下列各題：

⑴試證明三甭形4ABC為直角三角形；

⑵判斷4ABC和ADEF就就是否相似，并說明理由；

(3)畫一個三角形，使她得三個頂點為R,P2,P3,P4,P5中得3個格點并且與△ABC相似(要求:

用尺規(guī)作圖，保留痕跡,不寫作法與證明)、

考點:作圖一相似變換;勾股定理得逆定理;相似三角形得判定、

【備考真題過關(guān)】

一、選擇題

b_5a-b

1、已知a13,則“得值就就是()

2、如圖，AABC為等邊三角形，點E在BA得延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC、若4A

BC得邊長為4,AE=2,則BD得長為（）

A、2B、3C、6D、6+1

3、如圖,在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E、F、G、H分別在矩形ABCD得各邊上,

EF//AC//HG,EH//BD//FG,則四邊形EFGH得周長就就是（）

A、M713C、2MDs2岳

考點:平行線分線段成比例;勾股定理;矩形得性質(zhì)、

4、小張用手機拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖,甲圖中得線段AB在乙圖中得對應線段就

,一一?"??，**>-rwr—*'

就是（）甲圖7,圖A

A、FGB、FHC、EHD、EF

考點:相似圖形、

5、如圖,六邊形ABCDEFs六邊形GHIJKL,相似比為2:1,則下列結(jié)論正確得就就是（）

A、/E=2/K

B、BC=2HI

C、六邊形ABCDEF得周長=六邊形GHIJKL得周長

6、下列4X4得正方形網(wǎng)格中,小正方形得邊長均為1,三角形得頂點都在格點上，則與AABC

相似得三角形所在得網(wǎng)格圖形就就是（）

7、如圖，點D在AABC得邊AC上,要判定4ADB與AABC相似,添加一個條件，不正確得就

就是（）

ABCBADAB

A、ZABD=ZCB、ZADB=ZABCC、——=——D、

BDCD-AC

考點:相似三角形得判定、

AE1

8、如圖，在△ABC中，EF//BC,EB2,S四邊衫BCFE=8,則S/\ABC=（

A、9B、10。C、12。D、13

考點:相似三角形得判定與性質(zhì)、

￡

9、如圖，在四邊形ABCD中,DC//AB,CB±AB,AB=AD,CD=2AB,點E、F分別為AB、

AD得中點，則AAEF與多邊形BCDFE得面積之比為（）

考點:相似三角形得判定與性質(zhì);三角形得面積；三角形中位線定理、

10、（2012?欽州）圖中兩個四邊形就就是位似圖形，她們得位似中心就就是（）

A、點M。B、點NC、點OD、點P

11、如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位中心，將AABO擴大到原來得2倍，得到

△A'B'O、若點A得坐標就就是（1,2）,則點A'得坐標就就是（）

C、(-2-4)D、(-2-1)

考點:位似變換;坐標與圖形性質(zhì)、

二、填空題

14、正方形ABCD得邊長為lcm,M、N分別就就是BC、CD上兩個動點，且始終保持

AM_LMN,當BM=cm時，四邊形ABCN得面積最大，最大面積為

cm?、

考點:相似三角形得判定與性質(zhì);二次函數(shù)得最值;正方形得性質(zhì)、

15、如圖Q為矩形ABCD得中心，M為BC邊上一點,N為DC邊上一點,ON±OM,若AB=6,AD

=4,設(shè)OM=x,ON=y,則y與x得函數(shù)關(guān)系式為。

考點:相似三甭形得判定與性質(zhì)；矩形得性質(zhì)、

16、如圖，E就就是口ABCD得邊CD上一點，連接AE并延長交BC得延長線于點F,且AD=4,

CE1

AD

3，則CF得長為

考點：相似三角形得判定與性質(zhì)；平行四邊形得性質(zhì)、

1人如圖，在邊長相同得小正方形組成得網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形得頂點上,AB、

CD相交于點P,則tanZAPD得值就就是、

考點:相似三甭形得判定與性質(zhì)；勾股定理;銳角三甭函數(shù)得定義、

18、如圖，利用標桿BE測量建筑物得高度，標桿BE高1、5m,測得AB=2m,BC=l4cm,

則樓高CD為m、

19、如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內(nèi)M處得運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)得B點,

已知網(wǎng)高OA=1、52米,OB=4米,OM=5米，則林丹起跳后擊球點N離地面得距離NM=

米、

RO"

考點:相似三角形得應用、

20、如圖,小明同學用自制得直甭三角形紙板DEF測量樹得高度AB,她調(diào)整自己得位置，設(shè)法

使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B