證明不等式問題（原卷版）

專題08證明不等式問題

【方法技巧與總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式y(tǒng)(x)>g(x)(或y(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明，(x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)7i(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

【題型歸納目錄】

題型一：直接法

題型二：構(gòu)造函數(shù)(差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造)

題型三：分析法

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)

題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友

題型六：放縮法

題型七：虛設(shè)零點

題型八：同構(gòu)法

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

題型十：分段分析法、主元法、估算法

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題

題型十三：三角函數(shù)

【典例例題】

題型一：直接法

例L已知函數(shù)/(x)=(a-l)/nx+x+@,avO.

x

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃<一1時，證明：Vxe(l,+oo),/(x)>-a-a2.

2

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+，awR.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=l且無>1時，證明：x2-x+3>/(x).

例3.已知函數(shù)/(x)=lwc+a(x2-1).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃,XG[1,+8)時，證明：/(%)?(x-I)ex.

2

題型二：構(gòu)造函數(shù)(差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造)

r2-1

例4.已知曲線f(x)=三一與曲線g(x)=Q加X在公共點(1,0)處的切線相同,

(I)求實數(shù)。的值；

r2-1

(II)求證：當(dāng)x>0時，----&-1Inx.

2

例5.已知/(x)=e”.

(1)若x..O時，不等式(％-1)/(犬)..m-―1恒成立，求刑的取值范圍;

(2)求證：當(dāng)兄>0時，f(x)>4lnx+8-8/n2.

例6.已知函數(shù)/(%)=歷(％+1)+々(%2+%)+2.

(1)當(dāng)〃=1時，求/(%)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)當(dāng)Q>0時，若/(%)的極大值點為玉，求證：/(%)<-2歷2+g.

例7.已知函數(shù)/(x)=ln(e'-V)-lnx.

(1)判斷了(元)的單調(diào)性，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛”“｝滿足q=1,??+1=/(??),求證：對任意“eN*,an>an+l>.

題型三：分析法

例8.己知1<自,2,函數(shù)/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)上有唯一零點；

(II)記/為函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)上的零點，證明：

(i)yja—l^x!k0-y/2(a—1)；

(ii)xof(e而)..(e-l)(a—l)a.

例9.已知a>l,函數(shù)f(x)=/-gx2-5T，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+(?)上有唯一零點；

(II)記/為函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)上的零點，證明：與<°.(參考數(shù)值：Z/24.6-1.53)

例10.已知函數(shù)/(x)=/-ax-1在(0,+oo)上有零點尤°,其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

(I)求實數(shù)。的取值范圍；

(II)記g(x)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：g(x0)<a(a-l).

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)

例11.已知函數(shù)/(x)=±+a(④0)且/(1)=

ex

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

19

(2)證明：lnx>--—.

exex

例12.已知函數(shù)/(x)=/nx,g(x)=x+m(meR).

(1)若g(x)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)X>0時,‘+Q——~~-..lrvc+1.

x

例13.已知函數(shù)/(%)=一歷x.(歷2ao.6931,G21.649)

(I)當(dāng)x..l時，判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(H)證明：當(dāng)尤>0時，不等式恒成立.

題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友

1-V-

例14.已知函數(shù)/(x)=——+live.

ax

(I)當(dāng)a=l時，求/(>)在［；,2］上最大值及最小值；

(II)當(dāng)1<工<2時，求證(％+1)妹>2(X一1).

例15.已知函數(shù)/(尤)=。歷x+伙尤+1)，曲線y=f(尤)在點(1,/(1))處的切線方程為y=2.

X

(1)求a、6的值；

(2)當(dāng)x>0且xwl時.求證：/W>(￡±W.

x-1

例16.已知函數(shù)/(兀)=仇￥+依一/3￡尺).

(1)討論函數(shù)八%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)圖象過點(1,0),求證：-——I-live+x-1..0.

x

例17.已知函數(shù)f(x)=Inx+ax—l(aGR).

(I)討論函數(shù)于(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)/(%)圖象過點(1,0),求證：e~x+xf(x)..O.

題型六：放縮法

例18.已知函數(shù)/(%)=4，+2%—1.(其中常數(shù)e=2.71828…,是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)證明：對任意的a.1,當(dāng)x>0時，f{x}..{x+ae)x.

例19.已知函數(shù)/⑺=加+三1,g(x)="(smx+l)-2

XX

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)求證：當(dāng)原女1時，/(%)>g(x).

例20.已知函數(shù)/(?=----.

1+lnx

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)解關(guān)于x的不等式/(%)>」(兄+工)

2x

題型七：虛設(shè)零點

例21.設(shè)函數(shù)/(x)=e2x+alnx.

(1)討論/(%)的導(dǎo)函數(shù)((x)零點的個數(shù)；

(2)證明：當(dāng)a<0時，/(x)..aln(-^)-2a.

例22.設(shè)函數(shù)/(x)=e2x-alnx.

(I)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(幻零點的個數(shù)；

,9

(II)證明：當(dāng)〃>0時，f(x)..2a+aln—.

a

例23.已知函數(shù)一依.

(1)若函數(shù)/(幻在H上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若a=l,證明：當(dāng)x>0時，〃尤)>1一半—(年)2.

參考數(shù)據(jù)：e=2.71828,Zn2?0.69.

題型八：同構(gòu)法

例24.已知函數(shù)/(幻="媽.

X

(1)討論/(X)在區(qū)間(1,+00)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)4=1時，證明：x-esinx..x-/(%)+sinX.

例25.已知函數(shù)/(x)=ox/nr-x+l,ae.R.

(1)討論了(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)p>q>l時，證明qlnp+Inq<plnq+Inp.

例26.已知函數(shù)/(九)=(s-l)e*,msR.

(1)討論函數(shù)4%)的單調(diào)性;

33

(2)若peR,qG(0,+OO),證明：當(dāng)根=1時，f(p+q)+-(p-q)2+2q>f(p-^)+—(/>+^)2

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

例27.已知函數(shù)/(%)=歷叱比―"+〃sinx,a>0.

(1)若x=0恰為/(%)的極小值點.

(i)證明：-<?<1；

2

(ii)求/(%)在區(qū)間(-co,乃)上的零點個數(shù);

/八川1/(x)Z1X、“X、"X、/1X、/1兀、“無、”XX\

⑵右々=1，^^=(1——)(1+-)(1--)(1+-)(1--)(1+—)...(1——)(1+——)…〉

X71712712713Tl3萬Y171Y171

,尤2Jf(-l)"x2n

又由泰勒級數(shù)知COSX-1-------1----------------F...H------------------F...neN*證明：

2!4!6!(2n)!

例28.已知函數(shù)/(x)=x2+lnx-cuc.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(頊,2/，對％日0,+8)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)Q=1時，設(shè)鼠光)=%/一/⑺一%-1.若正實數(shù)4，%2滿足4+4=1，%，%2W(°，+00)(玉。R2)，

證明：玉+4%)<4g(Xi)+4g(九2)?

例29.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x------F-----------F,其中〃!=1X2X3X4Xxn,此

3!5!7!

公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)工￡(0二)時，sinx<x,sinx>x-—,

23!

,尤35

sinxx----1-x--,.

3!5!

(1)證明：當(dāng)xe(O,乙)時，吧>工；

2x2

(2)設(shè)/(x)=〃zsinx,若區(qū)間[“，/滿足當(dāng)/(x)定義域為[。，切時，值域也為[a,b],則稱為/(尤)

的“和諧區(qū)間”，

(i)m=1時，/(尤)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出了(元)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明

理由；

(ii)帆=-2時，/(尤)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/(x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說

明理由.

題型十：分段分析法、主元法、估算法

例30.設(shè)。>0且awl,函數(shù)/(尤)=sinax—asinx.

(1)若/(無)在區(qū)間(0,2%)有唯一極值點％,證明：f(x0)<min[2a7r,(1-d)Tt｝；

(2)若/(尤)在區(qū)間(0,2%)沒有零點，求。的取值范圍.

例31.已知函數(shù)/(x)=eYsin尤-af+2a-e),其中aeR,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)4=0時，討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)g麴h1時，求證：對任意的xe[0,+oo),f(x)<0.

例32.已知函數(shù)/(x)="—2x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=〃2x)-4好(x),當(dāng)％>0時，g(x)>0,求｝的最大值；

(3)已知1.4142<1.4143，估計比2的近似值(精確到0.001)

2

x-l

例33.已知函數(shù)/(%)=------/:lnx(x>l).

X

(1)若/(x)wo恒成立，求k的取值范圍；

(2)若取#=2.236,試估計In*的范圍.(精確到0.01)

4

題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值

1-x2

例34.已知函數(shù)/(x)=(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

ex

(1)求函數(shù)/(%)的零點為,以及曲線y=/(x)在％=%處的切線方程；

(2)設(shè)方程/(x)=帆(機>0)有兩個實數(shù)根石，x2,求證：|不一馬1<2-機(1+2).

2e

例35.已知函數(shù)/(%)=(e-x)/nx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(%)的零點，以及曲線y=/(x)在其零點處的切線方程；

(2)若方程/(X)=皿根力0)有兩個實數(shù)根玉，x2,求證：1%-%21<6-1一￡^~.

e-1

例36.已知函數(shù)/(九)=(爐—l)e，(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程：

(2)若方程/(x)=加伽<0)有兩個不等的實數(shù)根石，%，求證：|%-%21<2+

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題

例37.已知函數(shù)/(%)=x/〃(l+x)-a(x+l)(x>0),其中。為實常數(shù).

7r

(1)若函數(shù)g(x)=/'(%)-T..0定義域內(nèi)恒成立，求。的取值范圍；

1+x

(2)證明：當(dāng)。=0時，華”1；

X

(3)求證：-+-+—^—<ln(l+n)<1+-+-+.

23n+123n

1352n-l

例38.證明:—X—X—X...X-------------

2462n

例39.已知f(x)=",g(x)=x+l(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求證：/(%)..g(X)恒成立；

(2)設(shè)機是正整數(shù)，對任意正整數(shù)〃，(1+；)(1+5)…(1+")<m，求加的最小值.

題型十三：三角函數(shù)

例40.已知函數(shù)/(x)=sinx-tanx.

⑴設(shè)g(x)=/(x)+3cosx且xeW,求函數(shù)g(x)的最小值;

(2)當(dāng)xe0,^,證明：/(x)>x2.

例41.已知函數(shù)/0)=加*-。0+111了)，其中。＞0,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若f(x)Nl,求實數(shù)。的值;

(2)證明：x2ex＞x(2+Inx)—2(1-sinx).

例42.已知/(%)=Ye"sinx—Qx+asinx.

(1)當(dāng)人龍)有兩個零點時，求4的取值范圍；

(2)當(dāng)a=l,x＞0時，設(shè)g(x)="無)，求證：g{x}＞x+\nx.

x-sinx

【過關(guān)測試】

2+3r+3

1.(2022.重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí))已知函數(shù)〃X)=rA+JX+J,且aeR.

ex

(1)求曲線y=fM在點(oJ(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=/(X)+:必+以有三個極值點%,%,%,且為＜々＜%，求證：一+—+—〉。.

2玉％2X3

2

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=§丁+x2+ax+lit(-l,0)上有兩個極值點，石,聲，且玉＜%.

⑴求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)-；＜x＜0時，〃x)＞孩.

3X2

3.(2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(文))已知/(%)=^^2-萬皿:-0(冗-1),〃〉0.

(1)若/(X)在區(qū)間上有且僅有一個極值點加，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵在(1)的條件下，證明:＜〃

4.(2022?全國?哈師大附中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(x)=e*+exlnx(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)求證：/(x)..ex2.

5.(2022?江蘇江蘇?高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=alnx—6,aeR.

(1)試討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若對任意xe(0,+oo),均有/(元)W0,求。的取值范圍；

⑶求證：￡可匕fGt?

6.(2022?天津模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=l+ln,+l)(x>0).

⑴試判斷函數(shù)/⑺在(0,+8)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

(2)若〃x)>士?對于Vx?0,+?>)恒成立，求正整數(shù)上的最大值；

⑶求證：(1+1X2)(1+2X3)(1+3X4)++

7.(2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)=e，-"-lnx+a.

⑴若x=2是/(x)的極值點，求AM