直線和圓的位置關(guān)系-切線長(zhǎng)定理（全國(guó)賽課公開(kāi)課一等獎(jiǎng)）課件-九年級(jí)數(shù)學(xué)新人教版上冊(cè)

人教版九年級(jí)上冊(cè)直線和圓的位置關(guān)系--切線長(zhǎng)定理教學(xué)目標(biāo)0102掌握切線長(zhǎng)的定義及切線長(zhǎng)定理.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算與證明.

01重點(diǎn)：掌握切線長(zhǎng)定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算與證明.02難點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用方程思想解決幾何問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.重難點(diǎn)引入新課同學(xué)們玩過(guò)空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？新課導(dǎo)入POO.PBAAB問(wèn)題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過(guò)圓上一點(diǎn)作已知圓的切線，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？問(wèn)題2

過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？01切線長(zhǎng)定理1、如何過(guò)⊙O外一點(diǎn)P畫(huà)出⊙O的切線？2、這樣的切線能畫(huà)出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫(huà)出PA是⊙O的切線.3、如果∠P=50°,求∠AOB的度數(shù).50°130°BA

O.ABP思考：已畫(huà)出切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則∠OAP=90°,連接OP，可知A、B除了在⊙O上，還在怎樣的圓上?如何用圓規(guī)和直尺作出這兩條切線呢？尺規(guī)作圖：過(guò)⊙O外一點(diǎn)作⊙O的切線O·PABOP1.切線長(zhǎng)的定義：

切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．AO①切線是直線，不能度量.②切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長(zhǎng)與切線的區(qū)別在哪里？在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).·OPAB切線與切線長(zhǎng)是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線長(zhǎng)概念

切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念：

1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；

2、切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.OPAB比一比：切線與切線長(zhǎng)

PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．OB是⊙O的一條半徑嗎？

PB是⊙O的切線嗎？（利用圖形軸對(duì)稱性解釋）

PA、PB有何關(guān)系？

∠APO和∠

BPO有何關(guān)系？PAOB觀察OPAB∟∟M⌒⌒12證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線.∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2.作輔助線求證：PA=PB，∠APO=∠

BPO．定理證明知識(shí)要點(diǎn)

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．PAOB切線長(zhǎng)定理

連接圓心和切點(diǎn)是我們解決切線長(zhǎng)定理相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用的輔助線．注意BPOA切線長(zhǎng)定理

過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長(zhǎng)相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語(yǔ)言:想一想：若連接兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)。

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線。

∴OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)C，連接CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)。

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴PC=PC.

∴△PCA≌△PCB。

∴AC=BC.CA=CBO.PABCBOPAHDC切線長(zhǎng)定理的推論P(yáng)O垂直平分ABPA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C.（1）寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）寫(xiě)出圖中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形.△APB△AOB（2）寫(xiě)出圖中與∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED★切線長(zhǎng)問(wèn)題輔助線添加方法（3）連接圓心和圓外一點(diǎn).（2）連接兩切點(diǎn)；（1）分別連接圓心和切點(diǎn)；拓展結(jié)論例已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H。EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用考點(diǎn)BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56例為了測(cè)量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測(cè)得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．分析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA、OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O切線長(zhǎng)定理在生活中的應(yīng)用考點(diǎn)BC在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°。OQ解：過(guò)O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線。∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°。∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為BC02三角形的內(nèi)切圓

小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題1:如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問(wèn)題2:如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？問(wèn)題：

如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：（1）作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.（2）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC,垂足為D.（3）以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓O.⊙O就是所求作的圓.ACB做一做1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.例

已知:△ABC(如圖),(1)求作△ABC的內(nèi)切圓☉I(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,寫(xiě)出作法,不要求證明).(2)在題(1)已經(jīng)作好的圖中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度數(shù).三角形的內(nèi)切圓的作法考點(diǎn)解析：(1)①以A為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,分別交AC、AB于點(diǎn)H、G;②分別以H、G為圓心,以大于HG的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,兩圓相交于K點(diǎn),連接AK,則AK即為∠BAC的平分線;③同理作出∠ABC的平分線BF,交AK于點(diǎn)I,則I即為△ABC內(nèi)切圓的圓心;④過(guò)I作IM⊥BC于M,以I為圓心,IM為半徑畫(huà)圓,則☉I即為所求圓.(2)∵∠BAC=88°∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°∴∠BIC=180°-46°=134°.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長(zhǎng)為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC.）解：設(shè)AB=c，BC=a，AC=b.CAB·ODMNrrr則S△OBC=

ar,S△OBA=

cr,S△OAC=br。S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=

ar+cr+br=

r（a+c+b）=lr.BACI問(wèn)題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段IA，IB,IC有什么特點(diǎn)？線段IA，IB,IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)BACI問(wèn)題2如圖，分別過(guò)點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.例如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠

BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心?！郔B，IC分別是∠

B，∠C的平分線。在△IBC中，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求角度考點(diǎn)如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,則∠PBC+∠PCA+∠PAB=

.解析：∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心?！郟B平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB。∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.90°名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．外心與內(nèi)心的區(qū)別：ABOABCOC03鞏固總結(jié)A2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC

的內(nèi)心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題20°4110°基礎(chǔ)鞏固題（3）若∠BIC=100°，則∠A=

度.（2）若∠A=80°，則∠BIC=

度.130203.如圖，在△ABC中，點(diǎn)I是內(nèi)心.

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？120°如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點(diǎn)D.求證：DE∥OC.證明：連接OD.∵AC切⊙O