2025版高考數(shù)學一輪復習第4章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第1節(jié)平面向量的概念及線性運算教學案理含解析北師大版

PAGE1-第一節(jié)平面對量的概念及線性運算[考綱傳真]1.了解向量的實際背景，理解平面對量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.駕馭向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.駕馭向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是隨意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與a共線．eq\o([常用結論])1．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))．2.eq\o(OA,\s\up9(→))＝λeq\o(OB,\s\up9(→))＋μeq\o(OC,\s\up9(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最終一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up9(→))＋eq\o(A2A3,\s\up9(→))＋eq\o(A3A4,\s\up9(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up9(→))，特殊地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．4．與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|).[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反． ()(2)若向量eq\o(AB,\s\up9(→))與向量eq\o(CD,\s\up9(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上． ()(3)若a∥b，b∥c，則a∥c. ()(4)當兩個非零向量a，b共線時，肯定有b＝λa，反之成立． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．化簡eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))得()A.eq\o(AB,\s\up9(→))B．eq\o(DA,\s\up9(→))C.eq\o(BC,\s\up9(→)) D．0D[∵eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→)))＝eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AD,\s\up9(→))＝0，故選D．]3．(教材改編)如圖，?ABCD的對角線交于點M，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，用a，b表示eq\o(MD,\s\up9(→))為()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bD[由題意可知eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝b－a，又eq\o(BD,\s\up9(→))＝2eq\o(MD,\s\up9(→))，∴eq\o(MD,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，故選 D．]4．如圖，設P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式錯誤的是()A.eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→)) B．eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))C.eq\o(BP,\s\up9(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→)) D．eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(BP,\s\up9(→))D[向量具有大小和方向兩個要素，故eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))，所以D錯誤，故選 D．]5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.－eq\f(1,3)[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))]平面對量的概念1．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量肯定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中正確命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3 D．4A[①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點與終點．②正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當a＝0時，無論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是隨意向量．]2．給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，則ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命題的序號是________．③[①錯誤．兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不肯定有相同的起點和終點．②錯誤．|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不肯定相等或相反．③正確．因為eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，所以|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝|eq\o(DC,\s\up9(→))|且eq\o(AB,\s\up9(→))∥eq\o(DC,\s\up9(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④錯誤．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．][規(guī)律方法]1相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.2共線向量即為平行向量，不要與線段的共線、平行混為一談.3向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖像的移動混為一談.平面對量的線性運算【例1】(1)(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up9(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up9(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)(2024·棗莊模擬)設D為△ABC所在平面內一點，eq\o(AD,\s\up9(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up9(→))，若eq\o(BC,\s\up9(→))＝λeq\o(DC,\s\up9(→))(λ∈R)，則λ＝()A．2B．3C．－2D．－3(3)在△ABC中，點M，N滿意eq\o(AM,\s\up9(→))＝2eq\o(MC,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))＝eq\o(NC,\s\up9(→)).若eq\o(MN,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AC,\s\up9(→))，則x＝________；y＝________.(1)A(2)D(3)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[(1)eq\o(EB,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→))，故選A.(2)由eq\o(BC,\s\up9(→))＝λeq\o(DC,\s\up9(→))可知eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AD,\s\up9(→)))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up9(→))，又eq\o(AD,\s\up9(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＝－\f(1,3)，,1－\f(1,λ)＝\f(4,3).))解得λ＝－3，故選D．(3)eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\o(MC,\s\up9(→))＋eq\o(CN,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AC,\s\up9(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).][規(guī)律方法]向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(1)(2024·山西師大附中模擬)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up9(→))，P是直線BN上一點，若eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up9(→))，則實數(shù)m的值為()A．－4B．－1C．1 D．4(2)(2024·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，eq\o(BC,\s\up9(→))＝3eq\o(EC,\s\up9(→))，F(xiàn)為AE的中點，則eq\o(BF,\s\up9(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up9(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up9(→))D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))(1)B(2)B[(1)∵eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up9(→))，∴eq\o(AC,\s\up9(→))＝5eq\o(AN,\s\up9(→)).又eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AN,\s\up9(→))，由B，P，N三點共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1.(2)依據(jù)平面對量的運算法則得eq\o(BF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up9(→))，eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→)).因為eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))，所以eq\o(BF,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up9(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up9(→))－\o(AB,\s\up9(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))，故選 B．]向量共線定理及其應用【例2】設兩個非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up9(→)).∴eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(BD,\s\up9(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B．∵a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.[母題探究]若將本例(1)中“eq\o(BC,\s\up9(→))＝2a＋8b”改為“eq\o(BC,\s\up9(→))＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？[解]eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即eq\o(BD,\s\up9(→))＝4a＋(m－3)b．若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→)).即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當m＝7時，A，B，D三點共線．[規(guī)律方法]共線向量定理的三個應用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up9(→))＝λeq\o(AC,\s\up9(→))，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．(1)已知向量e1與e2不共線，且向量eq\o(AB,\s\up9(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up9(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三點共線，則實數(shù)m，n滿意的條件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1(2)經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設eq\o(OP,\s\up9(→))＝meq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OQ,\s\up9(→))＝neq\o(OB,\s\up9(→))，m，n∈R，則eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值為________．(1)A(2)3[(1)因為A，B，C三點共線，所以肯定存在一個確定的實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up9(→))＝λeq\o(AC,\s\up9(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.(2)設eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，則eq\o(OG,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up9(→))＝eq\o(OQ,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up9(→))＝eq\o(OG,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3) B．由P，G，Q共線得，存在實數(shù)λ使得eq\o(PQ,\s\up9(→))＝λeq\o(PG,\s\up9(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.]1．(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所