浙江省寧波市“十校”2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

浙江省寧波市“十?！?025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．92．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)軌跡的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．6．對(duì)空間中的非零向量，記向量，與的夾角為，對(duì)，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．在四邊形中，已知，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．4 B． C．5 D．8．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在二項(xiàng)式的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128C．常數(shù)項(xiàng)為D．展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)10．已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為面內(nèi)以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．與平面所成角的最大值的正弦值為C．的最小值為D．二面角的最小值的正切值為三、填空題12．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為．13．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線（傾斜角為銳角）與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則．14．生活中經(jīng)常會(huì)統(tǒng)計(jì)一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)不同數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．設(shè)，對(duì)于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，比如：，．當(dāng)取遍所有的個(gè)有序數(shù)組時(shí)，的總和為．四、解答題15．已知函數(shù)．(1)化簡(jiǎn)，并求的值；(2)在銳角中，內(nèi)角滿足，求的值．16．在三棱錐中，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角．17．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．18．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線（不與軸重合）交橢圓于，連接交于點(diǎn)，連接，直線與軸交于點(diǎn)．（i）求的值；（ii）若點(diǎn)在線段上，求的取值范圍．19．對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得從數(shù)列的第項(xiàng)起，恒有成立，則稱數(shù)列為第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．(1)已知數(shù)列滿足，且，證明：3是的一個(gè)周期．(2)已知數(shù)列（其中，不全為0），，證明：存在正整數(shù)，使得時(shí)，成立，并求出滿足條件的一個(gè)周期．(3)已知數(shù)列，求證：不是周期數(shù)列．參考答案1．D【詳解】因?yàn)椋?故選：D.2．C【詳解】因?yàn)榧?，則.故選：C.3．C【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于，又因?yàn)?，所以點(diǎn)是以點(diǎn)和點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線，其中焦距，，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡的離心率.故選：C.4．A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，所以且，則.故選：A.5．B【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：B.6．B【詳解】不妨設(shè)對(duì)空間中的非零向量都是單位向量，它們的起點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)在單位球面上，當(dāng)時(shí)，對(duì)，滿足題設(shè)條件對(duì)，，這說(shuō)明的最大值不少于6.下面證明不會(huì)超過(guò)6.假設(shè)有7個(gè)以上的向量滿足條件，則存在7個(gè)以上的向量終點(diǎn).總可以找到一個(gè)大圓面，不經(jīng)過(guò)任何一個(gè)終點(diǎn)，于是這個(gè)大圓面的某一側(cè)必然有四個(gè)以上的終點(diǎn)，不妨設(shè)是這樣的四個(gè)點(diǎn)，它們?cè)谀硞€(gè)大圓面的同一側(cè)，且使得所對(duì)應(yīng)的任意兩個(gè)向量所成的角不小于直角.將這些向量適當(dāng)集中一下，可以使得它們兩兩變成直角而不改變?cè)谶@個(gè)大圓的同一側(cè)的屬性，這樣一來(lái)，這個(gè)向量所在的直線是兩兩垂直的，這是不可能的，實(shí)際上過(guò)同一點(diǎn)兩兩垂直的直線至多有三條，如果還有第四條的話，根據(jù)線面垂直的判定定理，必然會(huì)和原來(lái)三條中的任意兩條所確定的平面垂直，則與第三條重合，這樣就產(chǎn)生了矛盾.至此，我們證明了的最大值確實(shí)為6，故選：B.7．D【詳解】如圖，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則，所以，兩式相加得，①同理可得，②由①②得，③因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，④而，則，⑤由④⑤得，⑥由③⑥可得，即，又因?yàn)?，所以，所以兩點(diǎn)重合，所以互相平方，所以四邊形為平行四邊形，則，故，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：D.8．C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)镽，函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對(duì)任意，都有恒成立，則，所以，化簡(jiǎn)得所以或，所以或令，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以，對(duì)任意，所以.故選：C.9．ABD【詳解】展開式的通項(xiàng)為，則前3項(xiàng)的系數(shù)分別為，對(duì)于A，由題意可得，即，解得或（舍去），所以，故A正確；對(duì)于B，展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；對(duì)于C，展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大項(xiàng)，則有，解得或，所以展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故D正確.故選：ABD.10．AB【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以.對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．ACD【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于A，，則，所以的最大值為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)檩S垂直平面，則平面的法向量可取，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以與平面所成角的最大值的正弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)檩S垂直平面，則平面的法向量可取，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以二面角的最小值的正切值為，故D正確.故選：ACD.12．【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，表示復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心為半徑的圓，如圖，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖知，的最小值為.故答案為：.13．2【詳解】設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)M，則，又，，即，聯(lián)立，過(guò)的直線（傾斜角為銳角），解得（舍)或，則，即，設(shè)的傾斜角為，則，由，，，可得；故答案為：2．14．10505【詳解】按的取值分類，當(dāng)時(shí)，有組，當(dāng)時(shí)，有組，當(dāng)時(shí)，有組，當(dāng)時(shí)，有組，當(dāng)時(shí)，有組，所以總和為.故答案為：10505..15．(1)(2)【詳解】（1），所以，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)榍?，所以，則，因?yàn)?，所以，所?16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）作于，連接，在中，，則，所以，所以，所以，在中，，所以，則，在中，，又，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知，，，則即為二面角的平面角，故，又，則，在中，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，所以，又平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，又，所以線與平面所成的角為．17．(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，仿上設(shè)函數(shù)，則有，因?yàn)?，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以綜上所述，的取值范圍為．18．(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）設(shè)，記，則直線，聯(lián)立，消得，則，故，則，所以，另一方面直線，聯(lián)立，消得，則，所以，由于，得，，所以；（ii）由（i）的結(jié)論可知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，不妨設(shè)都在軸上方，進(jìn)一步有，由（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程得，由韋達(dá)定理得，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，所以，所以得取值范圍為.

19．(1)證明見解析；(2)證明見解析，；(3)證明見解析.【詳解】（1）由于，①，②由②①得，，即，又，則，故3是的一個(gè)周期．（2）由遞推和，，得，，，．（i）若，則，，，，．（ii）若，則，，，，．無(wú)論何種情況，都有，．由遞推關(guān)系得，會(huì)逐漸進(jìn)入循環(huán)，對(duì)的自然數(shù)，恒有．故