遼寧省縣域重點高中2025屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試卷（含解析）

遼寧省縣域重點高中2024~2025學年度高三二模試卷數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【詳解】由，則，則，即.故選：B.2.已知集合，，若，則m最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【詳解】由，，因為，所以，則m的最大值為1.故選：C.3.函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調遞增，且.對于A，由，則，，顯然，不符合題意；對于B，，，則，所以函數(shù)在上單調遞增，且時，；時，；時，，符合題意；對于C，由，則，，顯然，不滿足題意；對于D，由，則，下面證明：，即證明，即證明，即證明，顯然成立，所以，不符合題意.故選：B.4.某實驗中學為調查本校高三學生的學習成績是否與堅持體育鍛煉有關，隨機選取了高三300名學生的某次聯(lián)考成績進行統(tǒng)計，得到如下表格：分數(shù)鍛煉合計堅持鍛煉不堅持鍛煉分數(shù)10080180分數(shù)<6005070120合計150150300依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉有關，則m的值可能是（）附：，．α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.0.001 B.0.005 C.0.01 D.0.05【答案】D【詳解】由題意，，結合表格數(shù)據(jù)及選項，可以認為高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉有關，則m的值可能是0.05.故選：D.5.已知橢圓，直線與C交于M，N兩點，與兩坐標軸分別交于點A，B，且M，N是線段的三等分點，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由直線，不妨設，設，則，如圖，因為M，N是線段的三等分點，則，，則，解得，，，，則，又M，N兩點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：A.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域為，由，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，當時，函數(shù)，由于函數(shù)在上單調遞增，且，則，對于任意的、，且，即，所以，，所以，，即,所以函數(shù)在上單調遞增，則函數(shù)在上單調遞減，由，則，解得，即不等式的解集為.故選：A.7.在正四棱臺中，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，將該正四棱臺截取四個三棱錐，，，后得到多面體，則該多面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】如圖，連接，設，由，可知四邊形為邊長為的正方形，將正四棱臺補形成正四棱錐，易知，所以，設，易知為的中點，連接，則，可得，又，，所以，則，又，所以，同理，易知為正方形的中心，設多面體外接球的半徑為，又，則為多面體外接球的球心，且，則其外接球的表面積為.故選：B.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】，設，則，設，則，令，得，所以函數(shù)在上單調遞減，又，所以當時，，則，此時函數(shù)在上單調遞增，又，所以，則，即；又，，則，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在平行四邊形中，，，，E為的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，則，D正確.故選：BCD10.如圖是因不慎丟失部分圖象后，函數(shù)的局部圖象，則下列結論正確的是（）A.的最小正周期為B.是圖象的一個對稱中心C.圖象的對稱軸方程為D.的圖象是由函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將得到的函數(shù)圖象向右平移個單位長度得到的【答案】AC【詳解】由圖象可知的最小正周期為，故A正確；由，則，即，由圖象的對稱性可知為函數(shù)的一個對稱中心，且在函數(shù)圖象上，所以，因為，所以，則，當時，，所以不是圖象的一個對稱中心，故B錯誤；令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，則圖象的對稱軸方程為，故C正確；由函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到，再向右平移個單位長度，得到，故D錯誤.故選：AC.11.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權，每勝一球得1分，先得11分且至少領先2分者獲勝，該局比賽結束；當某局比分打成10:10后，每球交換發(fā)球權，領先2分者獲勝，該局比賽結束.現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝，每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球．假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的比賽結果相互獨立，且各局的比賽結果地相互獨立，則下列說法正確的是（）A.若每局比賽甲獲勝的概率，則該場比賽甲3:2獲勝的概率為B.若某局比賽甲先發(fā)球，則該局比賽中打完前4個球時甲得3分的概率為C.若某局比賽甲先發(fā)球，雙方比分為8:8，則該局比賽甲以11:9獲勝的概率為D.若某局比賽目前比分為10:10，則該局比賽甲獲勝的概率為【答案】AC【詳解】對于A，甲3:2獲勝的事件是第5局甲獲勝，前4局甲勝2局，概率為，A正確；對于B，打完前4個球時甲得3分的事件是甲發(fā)2球得2分的事件與甲發(fā)2球得1分的事件和，其概率為，B錯誤；對于C，比分為8:8后由甲發(fā)球，甲以11:9獲勝的事件是4次發(fā)球，前3球甲勝2球，第4球甲勝，其概率為，C正確；對于D，設打成后再打2個球時甲的得分為，則，，，設該局比賽甲獲勝為事件，則，由全概率公式，得，解得，則該局比賽甲獲勝的概率，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題p:“，”是假命題，則m的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，為真命題，恒成立問題分離參數(shù)求解.【詳解】由題，為真命題，所以，對，又在上的最小值為，，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.已知均為銳角，，，則________，________．【答案】①.②.【詳解】因為均為銳角，所以，則，所以；由，則，又，所以，，則，所以.故答案為：；.14.“雙曲線電瓶新聞燈”是我國首先研制成功的，利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．這種燈的軸截面是雙曲線的一部分（如圖），從雙曲線的右焦點發(fā)出的互為反向的光線，經(jīng)雙曲線上的點P，Q反射，反射光線的反向延長線交于點M，且，．制作時，通過雙曲線的離心率控制該新聞燈的開口大小，則該新聞燈軸截面雙曲線的離心率為________．【答案】##【詳解】由雙曲線的光學性質可知，直線，的交點為雙曲線的左焦點，在中，由正弦定理得，則，設，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，兩式作商得，設，，由雙曲線的定義可知，，，解得，則，，，，所以，則，即，在中，，則，則，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若，的平分線交于點D，且，求的面積．【答案】（1）（2）【小問1詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由的平分線交于點D，，且，得，整理得，由余弦定理得，解得，所以面積.16.已知拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，當直線l經(jīng)過點F且時，．（1）求C的方程；（2）設O為坐標原點，點A在第一象限，點B在第四象限，且，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【小問1詳解】由題，易知直線的斜率存在，設，，，聯(lián)立，消去整理得，，則，由拋物線定義得，，，又，，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】設直線，，，，由，又，，解得，聯(lián)立，整理得，則，，所以，即，且，故直線恒過定點，又，所以，，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.17.如圖①，在矩形中，，，M為的中點，將沿折起，使A到處，平面平面，連接，（如圖②）．（1）證明：平面；（2）已知Q是線段上的動點，且，直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】在矩形中，，，易得，則，即，在四棱錐中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點為，連接，由，則，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，以為原點，以的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設，由，得，即，所以，設平面的一個法向量為，則，取，得，設直線與平面所成角為，則，整理得，又，則.18.已知函數(shù)．（1）當時，證明：在上單調遞增；（2）當，時，求的零點；（3）當，時，若在上有2個零點，求b的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）0；（3）.【小問1詳解】當時，，求導得，函數(shù)在上單調遞減，，因此，所以在上單調遞增.【小問2詳解】當，時，的定義域為，，即0是的零點，求導得，令，求導得，當時，，，函數(shù)在上單調遞減，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，，函數(shù)在上單調遞減，因此，所以函數(shù)有唯一零點0.【小問3詳解】當，時，，函數(shù)，求導得，令，求導得，當時，，則，當時，，則，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，存在，使得，當時，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而，則函數(shù)在上有唯一零點；，若，即時，在上有唯一零點，因此函數(shù)在上有2個零點；若，即，在上沒有零點，函數(shù)在上有1個零點；當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，當且僅當時取等號，函數(shù)在上有1個零；當時，，，且，又，則存在唯一零點，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而，即函數(shù)上有唯一零點，又當從大于的方向趨近于時，函數(shù)的值趨近于負無窮大，，因此函數(shù)在上有1個零點，此時函數(shù)在上有2個零點，所以函數(shù)在上有2個零點，的取值范圍是.19.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，因俄國數(shù)學家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第，，，…次狀態(tài)無關．已知有A，B兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從A，B兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重