2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1.2正弦定理2練習(xí)含解析新人教A版必修5

PAGE1-第2課時(shí)正弦定理(2)學(xué)問點(diǎn)一正弦定理的變形及應(yīng)用1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－1D．1答案D解析∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1．2．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，則邊長c的取值范圍是()A．eq\f(15,2)，＋∞B．(10，＋∞)C．(0，10)D．0，eq\f(40,3)答案D解析∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC．∵C∈(0，π)，∴0<c≤eq\f(40,3)．3．在單位圓上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________．答案7解析∵△ABC的外接圓的直徑為2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7．學(xué)問點(diǎn)二推斷三角形的形態(tài)4．在△ABC中，若a＝2bcosC，則這個(gè)三角形肯定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案A解析由a＝2bcosC，得sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴這個(gè)三角形肯定是等腰三角形．5．已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC肯定是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案A解析由正弦定理，得acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，即△ABC為等腰三角形．6．在△ABC中，若eq\f(a,cos\f(A,2))＝eq\f(b,cos\f(B,2))＝eq\f(c,cos\f(C,2))，則△ABC的形態(tài)為()A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理，得eq\f(sinA,cos\f(A,2))＝eq\f(sinB,cos\f(B,2))＝eq\f(sinC,cos\f(C,2))，∴2sineq\f(A,2)＝2sineq\f(B,2)＝2sineq\f(C,2)．明顯eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＝π或eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝π或eq\f(A,2)＋eq\f(C,2)＝π均不成立．∴eq\f(A,2)＝eq\f(B,2)＝eq\f(C,2)，即A＝B＝C，∴△ABC為等邊三角形．故選B．7．在△ABC中，已知eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)，試求△ABC的形態(tài)．解∵eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)，a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴eq\f(4R2sin2AsinB,cosB)＝eq\f(4R2sin2BsinA,cosA)．又∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2)．故△ABC是等腰三角形或直角三角形．學(xué)問點(diǎn)三三角形中的三角函數(shù)問題8．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6答案B解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)．令eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)＝k(k>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝4k，,c＋a＝5k，,a＋b＝6k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)k，,b＝\f(5,2)k，,c＝\f(3,2)k.))∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3．9．已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\f(1,2)c＝b，則角A等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,12)答案A解析由正弦定理，得sinAcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinB＝sin(A＋C)，∴sinAcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，∴cosA＝eq\f(1,2)．∴A＝eq\f(π,3)．故選A．易錯(cuò)點(diǎn)忽視角之間的關(guān)系10．△ABC的三邊各不相等，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且acosA＝bcosB，求eq\f(a＋b,c)的取值范圍．易錯(cuò)分析這里簡單忽視探討“A＝B”這個(gè)狀況，從而產(chǎn)生“A＝B”這個(gè)增根．解∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB．∴sin2A＝sin2B．∵2A，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π．∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)．假如A＝B，那么a＝b不符合題意，∴A＋B＝eq\f(π,2)．∴eq\f(a＋b,c)＝eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sinA＋eq\f(π,4)．∵a≠b，C＝eq\f(π,2)，∴A∈0，eq\f(π,2)，且A≠eq\f(π,4)，∴eq\f(a＋b,c)∈(1，eq\r(2))．一、選擇題1．在△ABC中，若A＝178°，B＝1°，則有()A．eq\f(a,sinA)＞eq\f(b,sinB)B．eq\f(a,sinA)＜eq\f(b,sinB)C．eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)D．以上結(jié)論都不對答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R．故選C．2．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．eq\r(2)答案D解析由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA．所以sinB＝eq\r(2)sinA．所以eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2)．3．在△ABC中，已知3b＝2eq\r(3)asinB，cosB＝cosC，則△ABC的形態(tài)是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案B解析利用正弦定理及第一個(gè)等式，可得sinA＝eq\f(\r(3),2)，A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，但由其次個(gè)等式及B與C的范圍，知B＝C，故△ABC必為等腰三角形．4．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq\r(3)＋1)∶2，則最大角為()A．45°B．60°C．75°D．90°答案C解析設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，∴eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin120°－A,sinA)＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2tanA)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)，∴tanA＝1，∴A＝45°，C＝75°．5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿意bcosC＝(3a－c)cosB．若eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝4，則ac的值為()A．9B．10C．11D．12答案D解析由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)·cosB．化簡，得cosB＝eq\f(1,3)．又∵Beq\o(C,\s\up6(→))·Beq\o(A,\s\up6(→))＝accosB＝4，∴ac＝eq\f(4,cosB)＝12．二、填空題6．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________．答案eq\f(\r(10),2)解析∵tanA＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\f(1,\r(10))．在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝eq\f(BC,sinA)·sinC＝eq\r(10)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(10),2)．7．在△ABC中，AB＝eq\r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，則AC＝________．答案2解析因?yàn)椤螦＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(\r(6),sin60°)，解得AC＝2．8．若滿意c＝eq\r(2)，acosC＝csinA的△ABC有兩個(gè)，則邊長BC的取值范圍是________．答案(eq\r(2)，2)解析由acosC＝csinA及正弦定理，得sinAcosC＝sinCsinA，則tanC＝1，所以C＝eq\f(π,4)．過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，則BD＝eq\f(\r(2),2)BC，要使?jié)M意條件的△ABC有兩個(gè)，則需eq\f(\r(2),2)BC＜eq\r(2)＜BC成立，解得eq\r(2)＜BC＜2．三、解答題9．在△ABC中，已知2b＝a＋c，證明：acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3b,2)．證明由正弦定理可知，要證acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3b,2)，即證sinAcos2eq\f(C,2)＋sinCcos2eq\f(A,2)＝eq\f(3sinB,2)，sinA·eq\f(1＋cosC,2)＋sinC·eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(3sinB,2)，sinA＋sinC＋(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sinB，sinA＋sinC＋sinB＝3sinB，sinA＋sinC＝2sinB．又∵2b＝a＋c，∴acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3b,2)成立．10．如圖，D是Rt△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β．(1)證明：sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝eq\r(3)DC，求β的值．解(1)證明：∵α＝eq\f(π,2)－(π－2β)＝2β－eq\f(π,2)，∴sinα＝sin2β－eq\f(π,2)＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0．(2)在△ADC中，由正弦定理，得eq\f(DC,s